Noções Básicas de Engenharia Econômica: Aplicações ao Setor Elétrico

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Prof Ivan Camargo Brasília 1998 CAMARGO Ivan Marques de Toledo C172n Noções básicas de engenharia econômica apli cações ao setor elétrico Brasília FINATEC 1998 160 p il 1 Engenharia econômica 2 Matemática finan ceira 3 Energia elétrica I Título CDU 330322212 Capa diagramação e Editoração Heonir Soares Valentim Impressão e acabamento Gráfica e Editora Itamarati Ltda Sobre o autor Ivan Marques de Toledo Camargo é engenheiro eletricista formado pela Universidade de Brasília em 1982 Concluiu seu doutorado em Grenoble França em 1988 e é Pro fessor Adjunto do Departamento de Engenharia Elétrica da UnB desde 1989 Atual mente ocupa o cargo de ViceDiretor da Faculdade de Tecnologia Para Natalie Laura e Felipe PREFÁCIO Este livro nasceu com o plano Real No instante em que o país definiu uma unidade monetária estável passou a ser possível planej ar investimentos de longa duração em moeda nacional Nestes estudos o conceito de valor temporal do dinheiro é fundamental As empresas concessionárias de energia elétrica sentiram a necessidade de difundir estes conceitos entre os seus engenheiros Inicialmente em 1995 a Companhia Energética de Brasília solicitou à Universidade de Brasília um curso de Noções Básicas Engenharia Econômica Entre os anos de 1996 e 1997 este curso foi ministrado dezenas de vezes e para 1998 já estão programadas várias reedições o que endossa a oportunidade desta publicação Este livro foi elaborado na forma de um estudo dirigido para engenheiros que necessitem dos conceitos básicos de matemática financeira e métodos de comparação de alternativas de investimento Cada novo conceito apresentado é seguido de um exemplo Não se pretende abordar tópicos mais complexos de engenharia econômica como risco decisão em ambiente de incerteza ou financiamento do capital de uma empresa Para estes tópicos umâ extensa bibliografia é sugerida no final do livro Gostaria de agradecer a todos os alunos que leram os manuscritos deste livro e colaboraram com suas correções e sugestões Vários professores também leram os originais e suas críticas e sugestões enriqueceram bastante o texto Entre eles o meu professor e orientador José Galib Tannuri que desde os meus tempos de aluno ensinou que o fluxo de caixa era mais importante do que o fluxo de carga Destaco ainda a participação dos professores Marco Aurélio Gonçalves de Oliveira e Fernando Figueiredo que além de estruturarem o curso comigo também leram com muito cuidado o texto e contribuiram de forma inestimável para conclusão deste projeto Finalmente agradeço à FINATEC nas pessoas dos professores Antônio Manuel Dias Henriques e Lúcio Rennó Salomon que viabilizou financeiramente esta edição Í N D I C E CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 11 11 Objetivos11 12 Exemplos11 CAPÍTULO 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA 19 21 Definições Básicas 19 22 Exercícios Resolvidos44 CAPÍTULO 3 MÉTODOS DE COMPARAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO61 31 Introdução 61 32 Payback 61 33 Custo Anual Equivalente65 34 Método do Valor Presente 80 35 Taxa Interna de Retorno TIR88 CAPÍTULO 4 DEPRECIAÇÃO E IMPOSTO DE RENDA 109 41 Introdução 109 42 Depreciação Linear110 43 Método da Soma dos Dígitos 112 44 Método de Depreciação por Fundo de Amortização DFA 114 CAPÍTULO 5 APLICAÇÕES A SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA 125 51 Exemplos de Custos125 52 Considerações Finais139 BIBLIOGRAFIA 143 Apêndice 1 RESUMO DAS FÓRMULAS PRINCIPAIS 145 Apêndice 2 LISTA DE EXERCÍCIOS 147 Capítulo 1 Introdução Capítulo 1 INTRODUÇÃO 11 Objetivos O objetivo deste livro de Engenharia Econômica é introduzir os conceitos de valor temporal do dinheiro e baseado nestes conceitos analisar alter nativas de investimentos Para se incorporar o conceito de valor temporal do dinheiro em uma ou várias alternativas de investimento é fundamental conhecer os princípios de matemática financeira Estes princípios são extremamente simples A grande dificuldade da en genharia econômica está na formulação correta e lógica das diversas al ternativas tecnicamente viáveis de solução de um determinado proble Este livro então além de apresentar os conceitos de matemática finan ceira pretende formular um grande número de problemas preferencial mente relacionados com o setor elétrico e propor uma solução Propõe se então um estudo dirigido no qual cada novo conceito vem acompa nhado de um exemplo 12 Exemplos Dando início aos exemplos ainda na introdução vaise explorar uma das maiores dificuldades dos problemas de engenharia econômica a obten ção dos dados ma Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 11 Qual a forma mais econômica de se viajar de Brasília para o Rio de Janei ro Carro ônibus ou avião Solução Como se vê a primeira dificuldade em um problema de engenharia eco nômica é a obtenção dos dados Quanto custa a passagem de ônibus Quanto custa a passagem de avião Em contato com as empresas obtemse Passagem de ônibus leito R 8500 e Passagem de avião R 16500 E o custo da viagem de carro Para se determinar este custo mais uma vez os dados são fundamentais Qual é a distância Qual é o carro Qual é o consumo deste carro Qual é o preço do litro da gasolina Considerando neste exemplo distância entre Rio Brasília 1200 km preço da gasolina 080 R por litro e consumo do carro 16 km por litro Teriase como primeira solução Custo distância preço da gasolina consumo ou R 1 litro C 1200km 08 R 6000 litro 16 km Note que escrever as unidades neste tipo de problema é fundamental para se ter noção da coerência dos dados Capítulo 1 Introdução Esta solução indicaria que viajar de carro seria a alternativa mais barata No entanto esta solução pode está errada já que ela não avaliou todos os custos envolvidos na viagem de carro Na verdade para se avaliar o custo de uma viagem de carro é necessário conhecer qual foi o investimento feito na compra do carro qual é o custo da sua manutenção qual o é custo do seguro do carro qual é o valor de revenda do carro quanto tempo se pretende ficar com o carro etcQuanto maior for o detalhamento da alternativa analisada menor será a probabilidade de erro na análise Mais uma vez aparece o problema dos dados É muito difícil prever todas estas variáveis Considerando neste exemplo que valor do carro R 1000000 tempo de permanência com o carro 4 anos quilômetros rodados por ano 25000 km valor de revenda após 4 anos R 600000 valor da manutenção a cada lOOOOkm R 40000 e valor do seguro 10 do valor do carro por ano Além destes dados é fundamental considerar também o custo da gasoli na Para rodar os 25000 km por ano previstos o custo será km R 1 litro C 25000 08 125000 R ano ano litro 16 km A manutenção anual será dada por 400 R 1 M 10000 km lOOOOOkm 100000 R ano 4anos Podese então construir a tabela 11 de gastos anuais sem por enquanto tratar do problema do valor temporal do dinheiro O custo total do carro nos 4 anos de uso será portanto de Noções Básicas de Engenharia Econômica Custo total R 1640000 Considerando que neste exemplo por hipótese vaise rodar 100000 km adicionandose na mesma tabela o custo por quilômetro do carro temse Tabela 11 Avaliação dos custos de um carro Portanto C 0164 Rkm A viagem de 1200 km de carro custará então R 19680 Observase que a decisão de viajar de carro avião ou ônibus muda com pletamente dependendo da forma com que o problema é abordado A vi agem mais cara acaba sendo a viagem de carro Outros fatores podem influenciar a decisão de ir de carro por exemplo a necessidade de um carro no Rio de Janeiro o número de passageiros que vão viajar etc Exemplo 12 Quanto se deve cobrar de um carona para ir de Brasília para o Rio de Janeiro no seu carro Solução Mais uma vez a solução depende de uma série de fatores muitos deles dificilmente transformáveis em números Por exemplo quanto vale a compania de um amigo em uma viagem longa Uma primeira solução portanto seria não cobrar nada Mesmo desconsiderando estes aspectos de difícil quantificação o problema econômico pode ter várias soluções 14 Capítulo 1 Introdução Para exemplificar repetese a tabela 11 considerando agora o preço da viagem por item Tabela 12 Custo da viagem de carro Outra solução seria dividir igualmente entre os dois ocupantes do carro o custo total da viagem Como foi visto no problema anterior a viagem de carro custaria R 19680 portanto cada passageiro deve pagar R 9840 Uma terceira solução seria rachar o preço da gasolina Neste caso o carona deveria pagar R 3000 Qualquer solução entre estes dois limites pode ser justificada Talvez a solução mais razoável seja considerar apenas o valor da gasolina e da manutenção Neste caso Gasolina 6000 R Manutenção 1200 km40000 RS10000km 4800 R portanto Custo total 10800 R e o custo por passageiro será R 5400 Todos os itens listados na tabela 12 podem ou não ser incluídos no preço Este exemplo mostra que em um problema de engenharia econômica a formulação correta do problema é muitas vezes mais difícil que a sua própria solução Exemplo 13 Desejase passar um mês de férias na Europa fazendo uma viagem por vários países de aproximadamente 2000 km Esta viagem será realizada por duas pessoas que precisam optar por viajar de carro alugado ou de trem Qual a solução mais barata 15 Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução Mais uma vez temse o problema dos dados Muitos dados foram forneci dos no enunciado do problema Formular corretamente o problema já é um bom começo para uma boa solução em termos de engenharia econô mica A primeira parte da solução consiste em buscar os dados Quanto custa alugar um carro na Europa Quanto custa o bilhete de trem Estas respos tas estão cada vez mais acessíveis A quantidade de informação que se pode acessar através de um micro conectado à rede internet é impressio nante O aluguel de um carro incluindo o seguro fica por R 95000 por mês O passe do trem com direito a um mês sem limitação de viagens fica por R 85000 Uma solução apressada seria considerar que como são dois passageiros o custo do trem R 170000 é muito superior ao do carro que portanto é a melhor solução Neste ponto é bom que se mostre a importância da consideração do maior número possível de fatores que influem em cada alternativa A alternativa do carro evidentemente tem que levar em consideração o preço da gaso lina No caso para uma viagem de 2000 km fazendo as mesmas conside rações de consumo e de preço da gasolina do exemplo anterior daria um gasto de aproximadamente R 10000 Além disto é preciso considerar os gastos com pedágio e estacionamento referentes à alternativa carro Considerando que entre pedágio e estacionamento se gaste em um mês aproximadamente R 25000 temse que a alternativa carro poderia ser esquematizada pela tabela 13 16 Tabela 13 Alternativa carro Capítulo 1 Introdução Para complementar a alternativa trem é necessário saber que a compra do segundo passe tem um desconto de 40 ou seja o valor dos passes ficaria em R 136000 fazendo com que esta alternativa volte a ser com parável com a alternativa carro No entanto não se pode esquecer do custo do transporte na cidades Considerando que se gaste R 2000 por dia em transporte a alternativa trem também fica completa A alternativa mais barata é sem dúvida a do carro A decisão de viajar de carro ou de trem pode ainda ser influenciada por inúmeros fatores não econômicos do tipo eu gosto ou eu não gosto de dirigir O engenhei ro não pode no entanto tomar uma decisão economicamente razoável baseado exclusivamente nestes outros fatores Estes exemplos introdutórios mostraram a dificuldade de se formular cor retamente um problema de engenharia econômica Os problemas de en genharia econômica devem sempre ser encarados como uma comparação de alternativas Cada alternativa deve ser analisada cuidadosamente Uma alternativa mal formulada pode distorcer completamente o resultado Nos próximos capítulos vaise definir os conceitos de matemática financeira para em seguida examinar as formas usuais de comparação de alternati vas levandose em consideração o valor temporal do dinheiro Tabela 14 Alternativa trem Noções Básicas de Engenharia Econômica 18 Capítulo 2 Matemática Financeira Capítulo 2 MATEMÁTICA FINANCEIRA 21 Definições Básicas JUROS É o valor em dinheiro pago pelo uso de um empréstimo ou É o valor em dinheiro recebido pelo valor emprestado TAXA DE JUROS É a relação entre o dinheiro recebido pelo emprésti mo e o dinheiro emprestado Vaise usar a letra i para denominar a taxa de juros ao longo deste texto Os juros e a taxa de juros estão sempre relacionados a um determinado intervalo de tempo Exemplo 21 Emprestando a um banco R 10000 esperase receber ao final de um ano R 1200 referentes aos juros Qual a taxa de juros Solução ou i 12 ao ano Existem vários fatores que justificam o pagamento de juros em transa ções financeiras entre eles podese citar 1 9 Noções Básicas de Engenharia Econômica Inflação Não se deve confundir inflação com taxa de juros Evidente mente se existe uma desvalorização da moeda todo investimento razoá vel deve levar em consideração a correção monetária ou seja a preserva ção do poder de compra do dinheiro investido Esta correção no entanto não está remunerando o capital investido Desta forma além da correção monetária um investimento deve ser remunerado pela taxa de juros Em todos os exemplos que se seguem a inflação não é considerada ou seja considerase que a moeda tenha um valor constante R 100 US 100 Utilidade Investir significa deixar de consumir Esta restrição ao consu mo deve ter alguma compensação financeira Risco Existe um risco inerente a qualquer investimento Normalmente a taxa de juros deve compensar o risco que se assume em um investimento Quanto maior o risco maior deve ser a taxa de juros Oportunidade Como os recursos na sociedade são sempre limitados a rentabilidade de um determinado investimento deve refletir a necessida de de captação de dinheiro do projeto JUROS COMPOSTOS É a incidência de juros sobre os juros de um determinado período de tempo Exemplo 22 Qual seria o valor recebido de juros ao final de um ano se os R 10000 do exemplo anterior fosse aplicado a uma taxa de 1 ao mês Solução Chamando de P o valor investido ao final de um mês o valor deposita do no banco será P mais os juros referentes a P ou seja P P iP Pli Ao final do segundo mês o valor no banco será dado por P2 P iP Pli iPli P1 2i i2 Pli2 20 Capítulo 2 Matemática Financeira Por consequência ao final do nésimo período temse Pn Plin 21 O valor recebido ao final de um ano 12 meses neste exemplo será portanto P12 1001 00112 R 11268 PERÍODO DE CAPITALIZAÇÃO É o intervalo de tempo considerado para a aplicação da taxa de juros TAXA EFETIVA DE JUROS É a consideração dos juros compostos em uma determinada quantia investida quando o tempo de aplicação é maior que o período de capitalização Em todos os problemas de engenharia econômica devem ser considera dos os juros compostos e portanto a taxa efetiva de juros TAXA NOMINAL DE JUROS É um valor que se refere aos juros de uma determinada aplicação desprezando o efeito dos juros compostos quando o período de capitalização é menor que o período de aplicação do dinheiro Exemplo 23 Um banco empresta dinheiro a uma taxa nominal de 12 ao ano capitali zado mensalmente Calcular a taxa efetiva de juros ao ano Solução Chamando de r a taxa nominal de juros em um período p m o nú mero de vezes que esta taxa é capitalizada neste período Pela definição de período de capitalização temse que 21 Noções Básicas de Engenharia Econômica Neste período p2 a taxa efetiva de juros será Para considerála no período de capitalização p é preciso levar em consi deração os juros compostos eq 21 Portanto neste exemplo r 012 m 12 i 1268 aa Exemplo 24 Qual seria a taxa de juros efetiva se a taxa nominal fosse de 12 ao ano capitalizada a cada segundo Solução Definindo k mr do exemplo anterior eq 23 temse 22 ou seja 23 Fazendo m ou k tender ao infinito lembrando que 2 2 24 Capítulo 2 Matemática Financeira É interessante notar que a taxa efetiva é sempre maior que a taxa nominal Para valores pequenos de r a diferença da taxa efetiva para a taxa nomi nal não é muito grande Neste exemplo a diferença é da ordem de 6 ou seja 1275121062 Quando a taxa de juros nominal aumenta muito a diferença entre as duas taxas fica muito grande Exemplo 25 Na época da inflação de 80 ao mês alguns bancos usavam a taxa nomi nal da inflação 08 capitalizada diariamente Qual a taxa efetiva de ju ros Solução Da definição de taxa efetiva e nominal eq 23 vem 23 vem Neste exemplo então Observase que neste caso a diferença entre a taxa nominal e taxa efetiva é enorme Além disto estes exemplos mostram que levando em consideração o va lor temporal do dinheiro para uma determinada taxa de juros dois valo res diferentes em tempos diferentes podem ser equivalentes Definese então Noções Básicas de Engenharia Econômica EQUIVALÊNCIA Fluxos de caixas diferentes que para uma determina da taxa de juros em tempos diferentes têm o mesmo valor Exemplo 26 Determinar 3 formas equivalentes de se pagar R 10000 a uma taxa de 6 aa em dez anos Solução Podese determinar infinitas soluções para este problema Vaise conside rar arbitrariamente três formas de pagar esta dívida a Pagamento completo ao final do período Diretamente do exemplo an terior eq 21 temse Sa 100l00610 17908 R b Pagamento dos juros ao final de cada ano e pagamento do principal da dívida ao final do período Podese imaginar o seguinte fluxo de caixa Tabela 21 Fluxo de caixa b 24 Capítulo 2 Matemática Financeira na tabela foram computados os juros do período a dívida antes do paga mento anual o pagamento efetuado ao final do período e a dívida depois de efetuado o pagamento anual Observase que o somatório dos paga mentos efetuados neste item b é diferente do somatório do pagamento efetuado no item a mas as duas alternativas são absolutamente equiva lentes c Pagamento dos juros do período mais um décimo da dívida Podese fazer uma tabela semelhante àquela do item b com o seguinte fluxo de caixa Tabela 22 Fluxo de caixa c Como foi dito podese imaginar infinitas formas de pagar R 10000 em dez anos com uma taxa de juros de 6 aa Em todas elas o somatório final poderá ser diferente mas fazendose corretamente a aplicação dos juros sobre a dívida todas elas serão equivalentes Estas formas de pagamento são equivalentes porque ao final do período considerado a dívida é igual a zero 25 Noções Básicas de Engenharia Econômica Em algumas situações é conveniente representar graficamente o fluxo de caixa Para isto definese um DIAGRAMA DE FLUXO DE CAUÍA Este diagrama consiste de um eixo onde se considera os períodos de capitali zação e setas para cima ou para baixo representando respectivamente os fluxos de caixa positivos ou negativos conforme a convenção adotada Esta convenção pode ser por exemplo setas para cima para entrada de dinheiro em caixa e para baixo para saída de dinheiro É conveniente em cada problema estipular uma convenção uma vez que em certas situa ções o que se deseja é o dinheiro gasto e em outras o dinheiro recebido É fundamental entretanto que seja qual for a convenção adotada no pro blema ela se mantenha coerente Exemplo 27 Representar o fluxo de caixa das três formas de pagamento do exemplo anterior Solução a Usando o resultado do exemplo anterior Figura 21 Diagrama do fluxo de caixa do exemplo 26 a Capítulo 2 Matemática Financeira b Baseado na tabela 21 obtemse aproximadamente Figura 22 Diagrama de fluxo de caixa do exemplo 26 b c Finalmente baseado na tabela 22 temse Figura 23 Diagrama de fluxo de caixa do exemplo 26 c Para se comparar alternativas em engenharia econômica é fundamental que estas alternativas sejam comparáveis Para isto é preciso que todos os valores sejam referidos a uma mesma referência de tempo Definese então VALOR PRESENTE P Quantia equivalente no momento inicial de uma série de pagamentos efetuados ou recebidos VALOR FUTURO FV Quantia equivalente no momento final de uma série de pagamentos efetuados ou recebidos 27 Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 28 Calcular o valor presente das três séries de pagamentos do exemplo anterior Solução Do exemplo 22 temse Para se calcular o valor presente dos desembolsos anuais da alternativa b convém tabelar cada pagamento Copiando a quarta coluna da tabela 21 e calculando o seu valor presente VP temse Tabela 23 Valor presente exemplo 26 b 28 Portanto dado o valor pago ao final do período temse o valor presente através de 25 Neste exemplo Capítulo 2 Matemática Financeira Evidentemente o valor presente de alternativas equivalentes tem que ser o mesmo Para a terceira série da mesma forma temse Tabela 24 Valor presente exemplo 26 c Como foi visto podese pagar uma dívida de diferentes formas equiva lentes Uma forma interessante de se pagar uma dívida é através de pres tações constantes Definese então SÉRIE UNIFORME UV Uma série de pagamentos constantes ou uni formes ao longo de n períodos de capitalização que a uma determina da taxa de juros i equivale a um determinado valor presente P ou a um determinado valor futuro F E importante observar que uma série uniforme pode começar no instante inicial período 0 do fluxo de caixa ou ao final do primeiro período de capitalização As equações deduzidas para cada uma destas situações são diferentes Como todo pagamento ou receita efetuada no instante inicial pode ser considerado um valor presente P neste livro considerase que na série uniforme os pagamentos são efetuados ao final dos períodos de capitalização 29 Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 29 Calcular o valor da série uniforme equivalente às séries de pagamentos do exemplo anterior Solução Em cada período de capitalização devese aplicar U a uma taxa de juros i Calculando o valor futuro da primeira destas aplicações temse Da mesma forma para a segunda aplicação Para a nésima aplicação O valor futuro total será o somatório de todas estas parcelas Multiplicando os dois lados desta expressão por 1 i temse Fazendo a diferença entre as duas expressões acima vem ou 26 Capítulo 2 Matemática Financeira Evidentemente de forma análoga Neste problema então se F R 17908 i 6 aa e n 10 diretamente da aplicação da fórmula deduzida U R 1359 Exemplo 210 Achar o valor presente da série uniforme definida no exemplo anterior Solução Combinando as duas equações 21 e 27 previamente deduzidas Esta expressão pode ainda ser expressa de outra forma Somando e dimi nuindo a taxa de juros i obtemse 28 29 27 vem e ou Noções Básicas de Engenharia Econômica Esta expressão mostra que a diferença entre o fator que calcula U dado F e o fator que calcula U dado P é a taxa de juros i A expressão inversa é obtida diretamente Neste exemplo com U R 1359 i 6 aa n 10 vem P R 10000 como não podia deixar de ser Resumindo as expressões principais para a consideração do valor tempo ral do dinheiro são 21 25 26 27 210 210 Capítulo 2 Matemática Financeira Todos os fatores definidos nestas equações são funções de duas variáveis a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização n Dado portanto estes dois parâmetros é muito fácil fazer qualquer tipo de ope ração de equivalência Estes fatores são facilmente programáveis em qual quer calculadora Nas calculadoras financeiras eles já vêm previamente programados Existem também tabelas em livros para vários valores de i e de n Com os recursos dos microcomputadores a utilização destas tabelas é apenas marginal Para não reescrever cada uma destas expressões a cada exemplo definese os fatores como funções de duas variáveis da seguinte forma FP é chamado fator de acumulação de capital e é dado por FACni PF é chamado fator de valor presente ou atual e é dado por FVAni FU é também chamado fator de acumulação de capital e é dado por FACni UF é chamado fator de formação de capital e é dado por FFCni PU é também chamado fator de valor atual ou presente e é dado por FVAni e UP é chamado fator de recuperação de capital e é dado por FRCni As expressões deduzidas são extremamente simples A única dificuldade é a sua correta aplicação Alguns exemplos resolvidos são mostrados a seguir 29 33 Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 211 Calcular a série uniforme equivalente U de uma aplicação P quando o número de períodos de capitalização tende a infinito Solução vem U Pi 211 A relação inversa é evidentemente verdadeira P Ui 212 Convém então definir CUSTO CAPITALIZADO É o valor presente de uma determinada alter nativa de investimento quando o número de períodos de capitalização tende a infinito Exemplo 212 Qual o valor futuro de uma série uniforme supondo que a taxa de juros tenda a zero Solução 34 Capítulo 2 Matemática Financeira Fazendo i tender a zero obtemse uma indeterminação do tipo 00 Usan do a regra de 1Hôpital temse Podese fazer o mesmo para o valor presente e como era de se esperar o valor presente e o valor futuro são iguais quando a taxa de juros conside rada é igual a zero Exemplo 213 Qual o valor presente do salário de um engenheiro ao longo da sua vida Solução Considerando Salário líquido mensal médio R 200000 Vida útil de um engenheiro 35 anos Taxa de juros 3 ao mês Vem U 2000 n 3512 420 i 3 am P UFVA420 3 Ui R 6666667 Considerando uma taxa de juros mensal bancária 8 am temse P UFVA420 8 Ui R 2500000 É interessante notar que com esta taxa de juros um engenheiro vale me nos que um apartamento de quarto e sala em Brasília 213 35 Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 214 Supondo uma taxa de juros de 3 am vale mais a pena alugar ou com prar um apartamento Solução Tratase de um problema de comparação de um investimento inicial P com uma série uniforme U Supondo um período de 10 anos ou 120 meses vem Esta expressão mostra que se o aluguel for igual a 3 do valor do aparta mento então as duas alternativas de investimento são equivalentes Caso o valor do aluguel seja menor que 3 do investimento então é melhor manter o dinheiro aplicado a esta taxa pagar o aluguel e lucrar a dife rença Na prática o valor do aluguel é sempre da ordem de 1 do valor do imó vel portanto não vale a pena comprar o apartamento Aliás é muito difí cil justificar economicamente qualquer tipo de investimento quando a taxa de juros é de 3 am Exemplo 215 Calcular o valor futuro F de uma aplicação P a uma taxa nominal de juros r por n períodos de capitalização considerando que os juros sejam computados continuamente P UFVA1203 U 3 P Solução Como e 36 Capítulo 2 Matemática Financeira vem p pem Em algumas situações é difícil determinar uma série uniforme de presta ções que represente corretamente os desembolsos ou os ganhos de um determinado investimento Para se analisar prestações crescentes ao lon go do tempo definese o GRADIENTE UNIFORME G O gradiente uni forme é uma série de pagamentos ou reembolsos que crescem uniforme mente a partir do segundo período de capitalização Exemplo 216 Calcular o valor futuro F de um gradiente uniforme definido pelo dia grama de fluxo de caixa representado na figura a seguir Solução Observase na figura na página seguinte que por definição o gradiente co meça no segundo período de capitalização Podese decompor o gradiente em n1 séries uniformes calcular o valor futuro de cada série uniforme e somar o resultado 37 Noções Básicas de Engenharia Econômica Figura 25 Decomposição do gradiente em séries uniformes A segunda série uniforme também de amplitude G começaria no ter ceiro período de capitalização e o seu valor final será dado por Nesta sequência a penúltima série n2 é dada por e a última é dada por 38 Capítulo 2 Matemática Financeira O somatório destas diversas séries uniformes com durações diferentes dá o resultado futuro de um gradiente O termo entre chaves já foi calculado no exemplo 29 portanto ou 214 Exemplo 217 Calcular o valor presente e o valor da série uniforme equivalentes ao gra diente uniforme G Solução Tendo sido definida a relação entre F e P e F e U podese derivar a expres são acima deduzida para o cálculo do valor presente e da série uniforme 0 Noções Básicas de Engenharia Econômica 215 Da mesma forma 216 As relações inversas são evidentemente válidas No entanto elas são de pouco uso prático uma vez que para simplificar a análise de uma alterna tiva de investimento não tem sentido transformála em um gradiente uni forme Exemplo 218 Calcular o valor presente de um gradiente uniforme quando o número de períodos de capitalização tende a infinito Solução Usando a expressão deduzida anteriormente observase que quando n tende a infinito a relação entre P e G fica indetermidada Usando a regra de lHôpital e lembrando que 40 Capítulo 2 Matemática Financeira A derivada do numerador e do denominador ficam respectivamente A relação continua indeterminada Aplicandose mais uma vez a mesma regra obtemse Exemplo 219 Calcular o valor presente do salário de um engenheiro considerando que o salário inicial seja de R 100000 que o salário final seja de RS 500000 e que a vida útil de um engenheiro seja 35 anos Considerar uma taxa de juros de 10 aa O salário anual deste engenheiro ao final do primeiro ano será R 1200000 Ao final do último ano será de RS 6000000 Podese supor que o aumento salarial seja linear ao longo da vida Desta forma é neces sário definir duas séries A primeira uniforme a partir do final do primei 217 Solução Portanto 41 Noções Básicas de Engenharia Econômica ro ano de R 1200000 A segunda a partir do final do segundo ano dada pela variação anual do salário G O valor de G é calculado como a diferença entre o valor final e o valor inicial dividida pelo número de períodos considerados O valor presente da série uniforme é dado por U 12000 n 35 i 10 aa 218 Capítulo 2 Matemática Financeira P12000FVA3510 R 11572991 O valor presente do gradiente uniforme é dado por Portanto P P P2 R 2343 mil Resolvendo o mesmo problema considerando uma taxa anual de juros de 6 vem U 12000 n 35 i 6 aa P12000FVA356 R 17397800 G 141176 n 35 i 6 aa P R23386299 P P P2 R4078 mil Exemplo 220 Repetir o exemplo anterior considerando uma taxa de juros de 3 am e comparar o resultado com aquele do exemplo 213 43 Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução O período de capitalização neste caso tem que ser mensal Tense então n 12 35 420 Da mesma forma que no exemplo anterior o problema deve ser dividido em duas séries A primeira uniforme com o valor do salário mensal ini cial R 100000 A segunda um gradiente uniforme cujo o valor G é calculado exatamente da mesma forma Como o número de períodos de capitalização é muito grande temse P U i 1000 003 R 3333333 G 4000 419 R954 P2 G i2 954 00009 R 1060000 O valor presente total será P R 4393333 Observase que mesmo com um salário médio maior que o do exemplo 213 o valor presente ficou muito menor porque com grandes taxas de juros os valores do final do ciclo mesmo que muito grandes quando descontados para o valor presente tomamse desprezíveis 22 Exercícios Resolvidos 1 Investiuse R 100000 em janeiro de 1981 a uma taxa de 10 aa Qual o valor acumulado em janeiro de 1991 Solução P 1000 i 10 aa n 10 F P FVA1010 1000 11010 R 259374 44 Capítulo 2 Matemática Financeira Quanto se deve investir em janeiro para que em dezembro tenhase R 100000 acumulado a uma taxa de 1 am Solução F 1000 i 1 am n 12 P FFAC121 10001 0112 88745 Obs É importante notar que a noção de valor presente não precisa estar relacionada ao dia de hoje mas a qualquer instante que se defina como instante inicial Quanto se pode retirar por ano de um depósito de R 100000 feito em janeiro de 1981 para que ao final de 1991 não se tenha mais nada na conta considere ainda uma taxa de 10 aa Solução P 1000 i 10 aa n 10 U P FRC 1010 R 16275 Obs Os exercícios 221 e 223 mostram que a uma taxa de 10 aa R 100000 em 1981 é equivalente a R 259374 em 1991 ou a dez presta ções anuais de R 16275 Investindose na caderneta de poupança a uma taxa de 6 aa R 200000 hoje R 150000 depois de dois anos e mais R 100000 depois de 4 anos qual será a quantia poupada ao final de 10 anos 45 Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução Neste caso não existe nenhuma fórmula simples de cálculo A forma mais fácil de resolver este problema é calcular o valor futuro das três aplica ções fazendo variar o instante da aplicação em cada caso P 2000 n 10 i 6 aa Fx 2000 10610 R 358169 P2 1500 i 6 aa F3 1000106 R 141852 F Fl F2 F3 R 739099 Obs Este problema também pode ser resolvido fazendo o valor presente de cada aplicação e depois calculando o valor futuro da soma ã Qual o valor presente de 10 aplicações trimestrais iguais de R 100000 com juros mensais de 4 Solução Uma primeira solução seria fazer 0 valor presente de cada aplicação desconsiderando o fato de que elas sejam iguais i 6 aa F2 1500106 R239077 P3 1000 n 6 46 Capítulo 2 Matemática Financeira Outra solução mais rápida seria o cálculo dos juros trimestrais efetivos considerando o período de capitalização igual a 3 meses Neste caso Obs Os resultados têm que ser os mesmos O segundo método é muito mais simples no entanto alguns livros usam o primeiro por que só têm tabuladas as taxas de juros inteiras Mais uma vez convém lembrar que qualquer calculadora programável fornece o fator de conversão direta mente ê Quanto tempo demora para uma determinada quantia aplicada dobrar de valor se aplicada a uma taxa de 3 am Solução A incógnita agora é o número de períodos de capitalização Noções Básicas de Engenharia Econômica 219 Portanto são necessários quase dois anos para dobrar um valor aplicado a uma taxa de 3 am Uma determinada aplicação paga R 10000 ao final de 5 anos para um investimento de R 80 Qual a taxa anual de juros Solução A incógnita é a taxa de juros F 100 P 80 n 5 F Plin 220 i 456 aa Quanto se deve aplicar mensalmente em uma caderneta de poupança i 6 aa para ao final de 20 anos comprar um apartamento de R 10000000 para o filho 48 Capítulo 2 Matemática Financeira Solução Podese considerar um período anual de capitalização supondo que a aplicação anual seja igual a 12 vezes a aplicação mensal Então F 100000 n 20 anos i 6 aa U FFFC20 6 R 271000 por ano Portanto equivalente a uma aplicação mensal de R 22583 Num passado recente a taxa de juros da poupança estava em 3 am Supondo que esta taxa se mantivesse por vinte anos recalcular o de pósito mensal para a compra do apartamento Solução F 100000 n 20 12 240 i 3 am U F FFC2403 R 249 por mês Estas contas são interessantes para mostrar o absurdo destas taxas de juros O condomínio de um prédio cobra de aluguel de vaga na garagem R 5000 por mês ao final do mês Se um morador preferir fazer um único pagamento trimestral de R 15000 em que dia ele deve pagar o aluguel considerando uma taxa de juros de 1 am para que nem o morador nem o condomínio sejam prejudicados 49 Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução O valor presente do custo da vaga por trimestre é dado por U 50 n 3 i 1 P U FVA 31 50 294 R 14704 Se o morador quer pagar com um cheque de R 15000 então o problema é calcular o número de períodos de capitalização que com esta taxa de juros seja equivalente ao valor presente calculado P 14704 F 150 i 1 O aluguel deve ser pago ao final do segundo mês de utilização Um apartamento custa R 16000000 mas pode ser quitado à vista por R 12000000 O valor do apartamento pode também ser financi ado em 36 meses com uma taxa de 15 am Qual a taxa real de juros do financiamento Solução O cálculo das prestações mensais é direto P 160000 n 36 i 15 50 Capítulo 2 Matemática Financeira U P FRC3615 160000 00362 R 578438 Para o cálculo dos juros reais devese calcular para qual taxa de juros o valor à vista corresponde à prestação paga Neste caso U 578438 P 120000 n 36 FRC 36 i UP 00482 Infelizmente não existe nenhum método direto de cálculo da taxa de ju ros Uma solução possível é a consulta das tabela de juros para n 36 Desta consulta obtemse que a taxa de juros está entre 33 e 34 ao mês i 34 FRC 00485 i 33 FRC 00478 i 335 am Outra forma mais inteligente é partir da definição do fator de recupera ção de capital e derivar uma expressão para o cálculo iterativo da taxa de juros Explicitando a taxa de juros em função dela própria vem Noções Básicas de Engenharia Econômica A qual pode ser resolvida iterativamente por 221 Partindo de um valor inicial por exemplo de 3 em uma dúzia de iterações obtemse i 3346 ao mês Se a entrega do apartamento está prevista para o final dos 36 meses qual o valor pago pelo apartamento Solução Se o comprador pagou à vista e só vai receber o imóvel 36 meses depois as alternativas que ele deve formular são será que não vale a pena colocar o dinheiro na poupança e só comprar ao final do período Ou colocar mensalmente a prestação na poupança para saber quanto se teria ao final do período E importante observar que a taxa de juros que vai remunerar a poupança não tem relação com aquela contratada pela construtora Não tem sentido portanto neste problema usar a taxa de 15 am e sim a taxa de juros da poupança de 05 am temse P 120000 n 36 i 05 am F P FAC36 05 120000 1196 R 14360166 ou U 578438 n 36 i 05 am F U FAC36 05 578438 39336 R 22753498 Capítulo 2 Matemática financeira Obs Observe que a prestação e o valor à vista só são equivalentes na taxa real de juros da construtora calculada no exercício 11 Em qualquer taxa inferior o valor futuro da série uniforme será maior que o valor futuro do investimento P Um investimento de R 5000000 paga anualmente R 700000 por quinze anos Qual a taxa de juros Solução O problema é idêntico ao 11 Não é possível explicitar i no entanto o seu cálculo iterativo não apresenta nenhuma dificuldade Usando a equa ção deduzida anteriormente 221 com U 7000 P 50000 n 15 Um título de capitalização devolve ao investidor ou cliente metade do dinheiro aplicado corrigido monetariamente dois anos depois da aplicação Supondo que a taxa mínima de atratividade da empresa seja de 10 aa qual o lucro bruto para o dono desta aplicação Solução Em todos os problemas resolvidos não foi levado em conta a inflação Supõese que o dinheiro considerado mantenha o seu valor de compra com o tempo Considerando o valor temporal do dinneiro só é possível comparar inves timentos numa mesma base de tempo então ou se calcula o valor presen te do montante devolvido ou o valor futuro da aplicação A diferença 53 Noções Básicas de Engenharia Econômica entre os dois será o lucro bruto No primeiro caso será o lucro atual no segundo o lucro futuro Supondo que o valor aplicado seja 100 Então F P2 Lucro P P2l in P 100 n 2 i 10 aa Lucro 100413 587 De cada R 10000 pagos R 5870 ficam na conta do dono da empresa de capitalização O Baú da Felicidade funciona mais ou menos da mesma forma O cliente paga mensalmente um camê para ao final de dois anos retirar um produto de valor igual ao somatório das parcelas em uma das lojas do Baú Qual o lucro do processo supondo uma taxa de juros de 1 am Solução Mais uma vez tem que se comparar os valores em uma determinada refe rência temporal Esta referência pode ser atual ou futura daqui a dois anos Considerando o valor presente de uma mensalidade de digamos 100 temse PI U FVA n i P2 nU FVAn i Lucro P1 P2 U FVA n i nFVAn i U100 n 24 i 1 54 Capítulo 2 Matemática Financeira Lucro 234 U R23418 Nestes cálculos aproximados não foram considerados inadimplência nem a diferença entre o preço da mercadoria das lojas do Baú e outra loja qualquer Repetir o problema anterior considerando uma taxa de juros de 3 am U 100 n 24 i 3 Lucro PI P2 U FVA n i nFVAn i Lucro 169355 118064 R 51291 Quanto se deve depositar anualmente em uma caderneta de poupança 6 aa para pagar os 4 anos de estudo na Universidade do filho aproximadamente R 2500000 por ano Solução Podese fazer o seguinte diagrama de fluxo de caixa supondo que o filho entre na Universidade com 18 anos e que a partir deste momento não se faça mais poupança Solução Figura 27 Fluxo de caixa do exercício 17 55 Noções Básicas de Engenharia Econômica É preciso que as duas séries de poupança e desembolso tenham uma mesma referência de tempo Esta referência pode ser o instante inicial ou o instante 18 anos Em qualquer solução é importante lembrar que todas as expressões deduzidas levaram em consideração que o depósito ou apli cação foi feito ao final do período Trazendo o desembolso que é conhe cido para o instante inicial temse U 25000 n 4 i 6 aa Pj U FVA4 6 25000 34651 8662764 Este valor pela definição da série uniforme está relacionado ao instante j 17 Para se ter o valor presente então F P 8662764 n 17 i 6 aa P2 F FVA17 6 8662764 03714 3217042 O que se quer é o depósito anual Portanto ao longo de dezoito anos de preparação para Universidade P 3217042 n 18 i 6 aa U P FRC 18 6 3217042 009236 R 297115 Um equipamento que custa R 1000000 tem uma vida útil de 6 anos O custo anual de manutenção no primeiro ano é de R 150000 Este custo aumenta linearmente com o tempo a uma taxa de R 30000 por ano Qual o custo anual equivalente deste equipamento Supor uma taxa de juros de 10 aa 56 Capítulo 2 Matemática Financeira Solução Tratase de um problema de gradiente uniforme Neste exemplo o custo do equipamento pode ser dividido em três partes o investimento a manu tenção constante e a manutenção variável Calculando o custo anual equi valente de cada uma das parcelas temse P 10000 n 6 i 10 aa U P FRC6 10 10000 02296 229607 U2 1500 G3 300 n 6 i 10 aa Um agiota empresta dinheiro dizendo cobrar uma taxa de 20 ao ano Na verdade ele acrescenta vinte por cento ao valor emprestado e divide o resultado em doze prestações Qual a taxa de juros real co brada pelo agiota Solução Pela fórmula do agiota para R 10000 tomados de empréstimo a presta ção seria dada por Prestação 100 1212 10 57 Noções Básicas de Engenharia Econômica Então U 10 P 100 n 12 A incógnita é mais uma vez a taxa de juros Ela deve ser obtida pelo processo iterativo descrito anteriormente eq 221 Resolvendo este processo iterativo temse i 292 am A taxa anual de juros é então dada por i aa 1 i am12 1 4125 aa Na maior parte das situações é mais importante calcular os juros reais do que saber se este juro real é nominal ou efetivo 2Õ A forma mais comum de atuação do agiota é pré descontar os juros cobrados ou seja para um empréstimo de R 10000 a uma taxa que o agiota diz ser 20 ao mês ele entrega R 8000 e cobra R 10000 ao final do mês Qual a taxa real de juros Solução P 80 F 100 n 1 F P 1 i Capítulo 2 Matemática Financeira Desejase comprar um carro de R 2000000 A concessionária pro põe um financiamento em 36 meses com juros de 3 ao mês Em quanto tempo é possível adquirir este automóvel se em vez de pagar a prestação à concessionária o consumidor aplicar o mesmo valor em um investimento que renda 1 ao mês P 20000 n 36 i 3 am U P FRC 363 20000 00458 R 91607 F 20000 i 1 am U 91607 Usando a fórmula do fator de acumulação de capital Solução vem 222 Portanto n 198 meses Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Capítulo 3 MÉTODOS DE COMPARAÇÃO DE ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO 31 Introdução Para comparar alternativas como foi visto nos exercícios resolvidos é fundamental que se escolha uma referência comum de tempo As formas mais comuns de comparação de alternativas são Payback Custo Anual Equivalente Valor Presente e Taxa de Retomo Na sequência serão discutidas estas quatro formas analisando as vanta gens e desvantagens associadas a cada uma delas 32 Pavback A técnica de comparação de alternativas de investimento pelo método chamado Payback é a mais simples e por esta razão é muito usada Ela consiste em avaliar o tempo que um determinado investimento levaria para que o retomo ficasse maior que o valor investido O método não leva em consideração nem os juros nem os rendimentos após a recuperação do capital investido Exemplo 31 Uma empresa estuda um determinado investimento de R 15000000 que segundo os seus analistas daria um retomo mensal de R 2000000 nos Noções Básicas de Engenharia Econômica próximos doze meses Se esta empresa considera que é razoável investir em projetos que recupere o capital investido em no máximo um ano verificar se ela deve ou não aceitar este investimento Solução P 150000 U 20000 como o retomo é constante n P U 75 meses A empresa portanto deve aceitar o investimento Se a série de receitas não for uniforme o cálculo do payback deve ser feito considerando o valor acumulado do investimento Exemplo 32 Suponha que o retomo do exemplo anterior tenha um retomo crescente conforme mostrado na tabela abaixo Tabela 31 Exemplo 32 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Avaliar o payback deste investimento Solução A melhor forma de resolver este problema é usando uma planilha de cál culo e colocar uma coluna com o valor acumulado do capital investido e do retomo Tabela 32 Cálculo do valor acumulado Fazendo uma interpolação linear entre os períodos 7 e 8 obtemse n 725 A informação obtida através do método do payback simples é muito pobre já que não considera nem o valor temporal do dinheiro nem o valor recebido após a recuperação do capital Observe que a informação obtida pelo método nos exemplos 31 e 32 são muito parecidas mesmo com investimentos cuja a receita é bastante diferente Para se ter uma informação mais precisa sobre um determinado investi mento podese usar o método chamado payback descontado que nada mais é que a consideração do valor presente das receitas a uma determi nada taxa de juros Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 33 Repetir o exemplo anterior considerando uma taxa de 1 am e em segui da uma taxa de 8 am Solução Usando a mesma tabela e considerando o valor presente do retomo temse Tabela 33 Cálculo do valor presente acumulado i 1 am Fazendose uma interpolação linear obtemse n 745 0 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Considerando uma taxa de 8 am Tabela 34 Cálculo do valor presente acumulado i 8 am Fazendo uma interpolação linear obtemse n 942 A consideração do payback simples ou descontado pode mudar com pletamente os resultados 33 Custo Anual Equivalente A técnica do custo anual equivalente ou custo mensal equivalente ou simplesmente custo equivalente consiste em transformar uma sequência de desembolsos e receitas de um determinado projeto em uma série uni forme Para transformar os valores ao longo do tempo em uma série uniforme é indispensável conhecer a taxa de juros Esta é a parte mais delicada da análise A escolha de uma taxa de juros que não corresponda à realidade inutiliza completamente o estudo 65 Noções Básicas de Engenharia Econômica A técnica consiste em transformar todas as alternativas em séries unifor mes e escolher aquela na qual o beneficio anual é o maior Como parte do lucro normalmente é consumido pelo Imposto de Renda IR a taxa de juros real da alternativa deve ser calculada descontando o IR Muitas alternativas de investimento que parecem atrativas podem se tomar um mau negócio depois de descontado o valor do imposto de ren da Este aspecto vai ser analisado no próximo capítulo na análise que se segue o IR não é considerado Exemplo 34 Uma empresa produz manualmente um determinado produto A sua fo lha mensal de pagamento é de R 8000000 Propõese a compra de uma máquina que a um custo de R 35000000 reduziria a folha de pagamen to à metade mas teria um custo adicional de manutenção e energia de R 2000000 por mês A máquina tem uma vida útil de 2 anos e nenhum valor é esperado na sua revenda Considerando que é possível pegar di nheiro emprestado no sistema financeiro a uma taxa de 1 am analisar a viabilidade do investimento Como foi dito engenharia econômica é a comparação de alternativas Neste exemplo a primeira alternativa A é não fazer nada Ou seja con tinuar com a produção manual gastando mensalmente a folha de paga mento UA 80000 A segunda alternativa B pode ser dividida em três o investimento a manutenção e a diferença da folha de pagamento Transformando em sé rie uniforme Pj 350000 investimento n 2 12 24 i 1 am Solução 66 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento U P FRC24 1 350000 00471 R 1647572 As duas outras partes do investimento já são séries uniformes U2 20000 manutenção U3 40000 folha de pagamento UB U u2 u3 R 7647572 por mês Com esta taxa de juros o investimento é viável pois UB UA Exemplo 35 Repetir o exemplo anterior para uma taxa de juros de 3 am Solução UA 80000 U P FRC24 3 350000 00590 2065000 UB U u2 u3 R 8065000 por mês Com esta outra taxa de juros o investimento não vale a pena UB UA Quanto maior a taxa de juros mais difícil fica viabilizar economicamente um investimento Normalmente um dado investimento apresenta um valor residual ao final da sua vida útil É interessante desenvolver uma expressão para cálculo da série uniforme considerando este valor residual do investimento Exemplo 36 Calcular a série uniforme de um investimento P que ao final da sua vida útil de n anos apresente um valor residual F considerando uma taxa de juros de i ao ano 0 Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução 31 Exemplo 37 Qual o custo anual equivalente de um carro considerando os dados do exemplo 11 Solução Inicialmente devese definir qual a taxa de juros As alternativas são ou comprar um carro para passar quatro anos com ele e nestes quatro anos fazer uma viagem para o Rio ou aplicar o dinheiro no sistema financei ro No caso de não se ter o dinheiro para fazer o investimento a taxa de juros a ser considerada deve ser a taxa do empréstimo solicitado para a compra do carro Considerando uma taxa de 12 aa e usando a tabela do exemplo 11 temse Tabela 35 Dados do exemplo do carro Podese calcular o valor anual equivalente de cada componente de custo A gasolina UA 1250 A R Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento B Manutenção UB 1000 C Seguro P 1000 n 4 i 12 aa Uj P FRC4 12 1000 03292 32923 F2 900 n 1 i 12 aa P2 F2 FVA1 12 900 08928 80357 F3 800 n 2 i 12 aa P3 F3 FVA2 12 800 07972 63775 F 700 n 3 i 12 aa P4 F4 FVA3 12 700 07118 49824 P P P P 193957 2 3 4 5 u2 P FRC4 12 193957 03292 63857 Uc U U2 R 96780 por ano 69 Noções Básicas de Engenharia Econômica D Investimento P 10000 F 6000 n 4 i 12 aa Tabela 351 Cálculo da série uniforme Colocando os custos em função do seu valor anual equivalente é possível comparar o valor relativo de cada um É interessante notar que o compo nente mais caro do carro é exatamente o investimento A gasolina que normalmente é tomada como o único custo do carro corresponde a ape nas 24 do custo total Mantendo a hipótese de rodar 25000 kmano temse que o custo por quilômetro é C 021 Rkm A famosa viagem para o Rio de Janeiro que custava R 19680 no exem plo 11 passa a custar R 25200 levandose em consideração o valor temporal do dinheiro e uma taxa de juros de 12 aa 0 Repetindo a tabela 35 considerando agora cada parcela da série uniforme temse Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Exemplo 38 O dono do carro do exemplo anterior mora a 10 km do seu trabalho Se a passagem de ônibus custa R 100 perguntase vale a pena ir para o tra balho de ônibus Uma solução precipitada do problema seria multiplicar o valor do custo do quilômetro rodado C 021 Rkm pela distância da viagem 10 km e concluir que o custo da viagem de carro é de R 210 portanto maior que a passagem Seria economicamente mais viável fazer a viagem de ônibus Neste ponto é interssante introduzir o conceito de custo marginal da alter nativa ou seja supondo que o investimento no carro já tenha sido feito baseado em outras necessidades convém analisar qual o custo incremental do carro quanto ele é utilizado para levar o dono ao trabalho Baseado na tabela 35 observase que os custos de seguro e investimento independem do número de quilômetros rodado são custos fixos Por outro lado a gaso lina e a manutenção vão mudar considerando uma maior utilização do car ro Considerando a série uniforme por quilômetro dos gastos com gasolina e manutenção temse UA 1250 uA 005 RSkm UB 1000 uB 004 Rkm O custo variável por quilômetro é portanto igual a 009 Rkm Conside rando uma viagem de 10 km vem que o custo marginal da viagem de carro é de R 090 portanto vale a pena neste caso ir de carro ao trabalho Exemplo 39 Comparar as duas alternativas de investimento dos exemplos 31 e 32 usando o método do custo mensal equivalente e uma taxa de juros de 1 am Solução Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução Do exemplo 31 vem P 150 n 12 i 1 am Portanto Na segunda alternativa de investimento o retomo é definido como um gradiente uniforme Para transformálo em uma série uniforme ou utiliza se a expressão relacionando U e G definida no capítulo anterior eq 216 ou calculase o valor presente total e o distribui ao longo dos 12 meses Para a taxa de juros de 1 am o valor presente total já foi calculado no exemplo 33 portanto P 20912 n 12 i 1 am UB 20912 FRC 121 20912 008885 R 1858031 Observase que o segundo investimento é muito melhor que o primeiro e este fato não tinha ficado claro usando o método do payback Exemplo 310 Repetir o exemplo anterior usando uma taxa de juros de 8 am Solução Da mesma forma que no exemplo anterior O retomo já é uma série uniforme U2 20 portanto 72 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento P 150 n 12 i 8 am Portanto U 150 FRC 12 8 150 01327 1990 O retomo já é uma série uniforme U2 20 portanto UA U U 1990 20 R 010 mil Para a segunda alternativa de investimento usando a tabela 34 Tabela 36 Valor presente para uma taxa de 8 PERÍODO CAPITAL VP fS 150 150 1 5 463 2 10 857 3 15 1191 4 20 1470 5 25 1701 6 30 1891 7 35 2042 mstmw 40 2161 9 45 2251 10 50 2316 11 55 2359 12 60 2383 TOTAL 6085 Calculando a série uniforme UB 6085 FRC 12 8 6085 01327 R 807480 Quanto maior a taxa de juros menor fica a diferença entre as duas alterna tivas Isto pode ser visto claramente na tabela 36 uma vez que o valor presente das últimas parcelas com esta taxa de juros fica quase constante Noções Básicas de Engenharia Econômica 331 Custo anual equivalente para alternativas de duração diferente Exemplo 311 Uma firma precisa decidir entre a compra de dois equipamentos Equipamento A custo R 5000000 vida útil 20 meses preço de revenda R 1000000 e custo da manutenção R 900000 por mês Equipamento B custo R 12000000 vida útil 40 meses preço de revenda R 2000000 e custo da manutenção R 600000 por mês Considerando uma taxa de juros mensal de 8 qual dos dois equipa mentos deve ser comprado Solução Nos problemas de engenharia econômica é importante concentrar a aten ção na diferença entre as alternativas Se neste exemplo a mesma quan tidade de pessoas são necessárias para manobrar os equipamentos A e B não vale a pena considerar o custo da mão de obra na comparação das alternativas Evidentemente na avaliação do custo final do produto to dos os custos devem ser computados Para avaliar qual o melhor equipamento calculase o valor anual equiva lente dos dois equipamentos A PA 50000 Fa 10000 n 20 i 8 am Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Uj R 900000 por mês UA UU A 1 UA R 1387400 por mês B PB 120000 F 20000 n 40 i 8 am Exemplo 312 Repetir o exemplo anterior considerando que se possa repetir o investi mento no equipamento A depois de 20 meses Solução O diagrama de fluxo de caixa desta solução encontrase na página seguin te É melhor comprar o equipamento A Uma análise superficial deste pro blema poderia levar a conclusão de que apesar do equipamento B ser mais caro ele é melhor porque dura mais tempo O contra argumento desta análise é afirmar que ao final de 20 meses quando acabar a vida útil do equipamento A podese repetir o mesmo investimento 75 Noções Básicas de Engenharia Econômica Figura 31 Fluxo de caixa do exemplo 312 Calculando a série uniforme deste investimento composto temse Uj R 9000 por mês P 50000 F2 40000 n 20 i 8 am P2 F2 FVA20 8 8581 F 10000 n 40 i 8 am P3 F3 FVA40 8 460 P Pt P2 P3 58121 n 40 i 8 am U2 P FRC40 8 58121 008386 R 4874 por mês U U U 2 R 1387300 por mês 0 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento O valor da série uniforme considerando que se possa repetir o investi mento é exatamente o mesmo do primeiro investimento Uma das vantagens da comparação de alternativas pelo método do custo equivalente é o de poder se comparar alternativas com duração diferentes 332 Investimento com duração muito longa Neste exemplo o custo anual equivalente do investimento será U R 12000000000 por ano Exemplo 314 Repetir o exemplo anterior considerando que a vida útil da usina seja de 30 anos Solução P 1000000000 n 30 i 12 aa U P FRC3012 109 01241 R 124 106 por ano 77 Exemplo 313 Qual o custo anual equivalente de uma usina de R 1 bilhão consideran do uma taxa de juros de 12 ao ano Solução Na expressão que define o fator de recuperação de capital FRC quando o número de períodos de capitalização n tende a infinito como foi vis to é dado por Noções Básicas de Engenharia Econômica A partir de 30 anos podese aproximadamente considerar que a vida do equipamento seja infinita Neste exemplo o erro relativo é de 3 333 Transformação de gradiente uniforme em série uniforme Exemplo 315 Estimase que um ônibus dure de 7 a 10 anos O custo da manutenção aumenta bastante à medida que o ônibus envelhece Sendo dados o custo de um ônibus R 12000000 a manutenção no primeiro ano R 1600000 a manutenção aumente R 330000 por ano o valor de revenda do ônibus depois de 7 anos é de R 4000000 ao final de 10 anos o valor de revenda passa a ser R 2800000 Considerando ainda uma taxa de juros de 8 ao ano quando é melhor vender o ônibus Devese transformar as duas alternativas em um custo anual equivalente Note que é necessário considerar o preço do ônibus Mesmo sabendo que o seu valor é idêntico a sua distribuição ao longo do tempo será diferente já que as duas alternativas têm durações diferentes A sete anos P 120000 F 40000 n 7 i 8 aa U P F FFC 7 8 Pi 120000 40000 01121 9600 18566 U2 16000 e Solução 78 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento G 3300 n 7 i 8 aa 1 in 1 ni U3 G i1 jn 1 13300 26937 888909 UA U u2 u3 R 4345700 por ano B dez anos P 120000 F 28000 n 10 i 8 aa U P F FFC 10 8 Pi 120000 28000 00690 9600 15948 U2 16000 G 3300 n 10 i 8 aa É melhor vender o ônibus com sete anos de uso É interssante notar que o peso do valor de revenda considerada a taxa de desconto fica desprezí vel com o aumento do tempo 0 Noções Básicas de Engenharia Econômica A técnica de comparação de alternativas pelo método do custo anual equi valente é muito boa entre outras razões por que transforma todos os in vestimentos e reembolsos em séries uniformes portanto em valores com paráveis Não se deve esquecer que em muitos problemas vários fatores que são dificilmente colocados em forma econômica devem ser levados em con ta para uma correta tomada de decisão Os exemplos apresentados neste item têm como objetivo exclusivo fami liarizar o leitor com a técnica do custo anual equivalente A parte mais difícil do problema que é exatamente a sua formulação e a obtenção dos dados foi eliminada O leitor não deve pensar que estes problemas são simples Na verdade como já foi dito a solução é muito simples mas a formulação correta é bastante delicada 34 Método do Valor Presente ou Atual Outra forma comum de se comparar alternativas é através do cálculo do valor presente dos desembolsos e receitas de um determinado investimento O método do valor presente é muito semelhante ao método do custo anual equivalente Todos os valores referidos ao instante inicial podem ser com parados A comparação que era feita ano a ano passa agora a ser feita em função dos valores iniciais Exemplo 316 Calcular o valor presente do carro do exemplo 11 supondo ainda que i 12 aa Solução Tomando a tabela 35 como base podese calcular o valor presente dire tamente de cada uma das séries de pagamento Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Tabela 37 Cálculo do valor presente Da mesma forma que no cálculo da série uniforme é necessário que se defina uma convenção para gastos e receitas Neste exemplo como o in teresse está na despesa com o carro estipulase como positivo os gastos e negativo a receita no caso a venda do carro Esta tabela pode ser feita usando as expressões que definem os fatores de valor atual como tem sido feito em todos os exemplos Mais simples e direto no entanto é a utilização das planilhas eletrônicas tipo Excel ou QuatroPro Estas planilhas apresentam todas as funções de matemática financeira préprogramadas e o cálculo do valor presente ou da série uni forme é direto A última coluna da tabela 37 foi calculada usando as seguintes expres sões no Excel versão 701995 da Microsoft em inglês a gasolina PV1241250 b manutenção PV1241000 c seguro 1000NPV12900800700 d investimento 10000 NPV120006000 Onde PV é a função present value e NPV é a função net present value Note que a convenção adotada nas funções préprogramadas é a mesma da adotada neste livro ou seja considera que os valores são computados ao final do período A interpretação deste resultado é que o investimento total na compra deste carro para uma utilização de 4 anos rodando em média 25 mil km por ano é 81 Noções Básicas de Engenharia Econômica P R 1596000 Exemplo 317 Calcular a série uniforme deste investimento Solução P 15960 n 4 i 12 aa U P FRC4 12 15960 03292 R 525400 por ano Como não podia deixar de ser o resultado é idêntico ao obtido no exemplo 37 As duas formas de comparação de alternativas são muito parecidas A van tagem de uma em relação à outra depende muito do problema analisado O maior problema de mais difícil avaliação é a determinação da taxa de juros a ser considerada Considerando que paira viabilizar uma alternativa é necessário recorrer ao sistema financeiro para tomar um empréstimo a taxa mínima de atratividade é o valor dos juros cobrados pelo banco Se no investimento analisado o valor presente das receitas menos os desembolsos for positi va considerando a taxa do banco então o investimento é viável Se for negativa não vale a pena pegar o dinheiro emprestado Uma outra hipótese para viabilizar o mesmo investimento é usar o pró prio dinheiro do investidor Neste caso a taxa mínima de atratividade é o juros que o investidor conseguiria aplicando o dinheiro no mercado finan ceiro No Brasil não tem sentido nenhum investimento que pague por exemplo menos que o rendimento da caderneta de poupança Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento 341 Comparação de Alternativas com duração diferente Exemplo 318 Comparar os investimentos em dois equipamentos de vidas úteis diferen tes com os seguintes dados Equipamento A custo R 5000000 vida útil 20 meses preço de revenda R 1000000 e custo da manutenção R 900000 por mês Equipamento B custo R 9000000 vida útil 40 meses preço de revenda R 2000000 e custo da manutenção R 600000 por mês O valor do equipamento B foi modificado em relação ao exemplo 311 para facilitar a análise Considere uma taxa de juros de 8 ao mês Solução Fazendose o valor presente dos dois investimento temse A Pj 50000 U 9000 n 20 i 8 am P2 U FVA20 8 9000 98181 8836332 F 10000 n 20 i 8 am P3 F FVA20 8 10000 02145 214548 Noções Básicas de Engenharia Econômica Pa P P 2 P3 R 13621784 B P 90000 U 6000 n 40 i 8 am P2 U FVA40 8 6000 119246 7154768 F 20000 n 40 i 8 am P3 F FVA40 8 20000 00460 92062 PB P P2 P3 R 16062706 Uma análise precipitada poderia induzir à escolha da alternativa A PA PB No entanto o método do valor presente não serve para comparar alterna tivas de duração diferentes Para comparálas é necessário que a base de tempo seja a mesma Neste caso devese supor que seja possível repetir a compra do equipamento A após o final da sua primeira vida útil Exemplo 319 Repetir o exemplo anterior supondo que se possa comprar novamente o equipamento A ao final da sua primeira vida útil Solução O fluxo de caixa é idêntico ao do exemplo 312 O cálculo do valor pre sente da alternativa A completa fica então P 50000 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento U 9000 n 40 i 8 am P2 U FVA40 8 9000 119246 10732152 F3 40000 n 20 i 8 am P3 F3 FVA20 8 40000 02145 858193 F 10000 n 40 i 8 am P4 F4 FVA40 8 10000 00460 46031 PA P P2 P3 P4 R 16544314 Concluise que a alternativa B é melhor já que PA PB Exemplo 320 Calcular a série uniforme dos dois investimentos Solução A P 13621784 n 20 i 8 am UAP FRC 208 13621784 010185R 1387409 por mês B P 16062706 n 40 i 8 am 0 Noções Básicas de Engenharia Econômica UB P FRC408 16062706 008386 R 1347021 pormês Observase que usando o método do custo anual equivalente em alternati vas de tempo diferentes obtemse diretamente que o equipamento B é o melhor Neste tipo de problema recomendase então a utilização do cus to anual equivalente Por outro lado a comparação de alternativas compostas por séries de de sembolsos e receitas não uniformes é mais fácil pelo método do valor presente O importante é que para se comparar alternativas de investimento as alternativas estejam em uma mesma base de tempo 342 Erros comuns na análise de alternativas Inclusão da taxa de juros no fluxo de caixa como despesa Exemplo 321 Tomouse R 100000 emprestado de um banco a uma taxa de 3 ao mês No final do ano devese pagar R 142576 Verificar quanto seria o desembolso mensal constante para quitar esta dívida ao final de 12 meses Solução Evidentemente a dívida final já leva em consideração os juros compostos do empréstimo por isto não tem sentido além do desembolso final imagi nar um desembolso mensal de R 3000 A série uniforme que paga esta dívida é dada por P 1000 n 12 i 3 am U P FRC12 3 1000 010046 R 10046 por mês Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Não tem sentido somar a esta série os R 3000 dos juros uma vez que eles já foram computados Considerar a depreciação como despesa anual Exemplo 322 Analisar a depreciação do carro do exemplo 11 Solução 0 investimento inicial no carro foi de R 1000000 Ao final de 4 anos considerase que ele valha R 600000 portanto podese considerar que em cada ano o carro se desvaloriza em aproximadamente R 100000 Não tem sentido colocar estes R 100000 no fluxo de caixa uma vez que ele já está computado no valor presente do investimento Considerálo como despesa corresponde a contar duas vezes a depreciação no fluxo de caixa No próximo capítulo uma discussão mais detalhada da depreciação será vista Erro de avaliação no tempo de duração de um projeto Exemplo 323 Uma pizzaria fatura R 7000000 por mês O lucro líquido da loja é de 10 Um investidor se propõe a comprar a loja por R 30000000 O dono da pizzaria deve vendêla Solução A primeira dificuldade neste tipo de problema é avaliar a taxa de juros Do ponto de vista do dono da pizzaria ele deve pensar aonde ele poderia aplicar os R 300 mil que lhe proporcionasse uma renda equivalente aos seus R 700000 por mês Digamos que ele tenha uma aplicação finan ceira que lhe renda 1 ao mês Neste caso supondo que a loja vai conti nuar dando o mesmo lucro por vários anos não vale a pena vender a loja 87 Noções Básicas de Engenharia Econômica Supondo no entanto que a loja tenha uma vida útil de apenas um ano Se ao final deste ano o seu valor de revenda fosse de apenas R 10000000 A análise do fluxo de caixa muda completamente e o rendimento equiva lente mensal será então U 7000 n 12 i 1 am P U FVA12 1 7000 112551 7878554 F2 100000 n 12 i 1 am P2 F2 FVA121 100000 08874 8874492 P P P 2 R 16753046 Neste caso é fortemente recomendável a venda da loja 35 Taxa Interna de Retomo TIR Viuse que nos três métodos de análise de alternativas econômicas apre sentados payback descontado da série uniforme e do valor presente devese estipular a taxa de juros Pressupõese que a alternativa que se está analisando possa ser comparada com a aplicação do dinheiro em um sistema financeiro onde a taxa de juros é conhecida Portanto vim deter minado investimento é razoável se o seu valor presente ou a sua série uniforme for positiva Se ao contrário o valor presente for negativo en tão é melhor aplicar o dinheiro no sistema financeiro A mudança da taxa de juros modifica completamente as conclusões da viabilidade de um determinado investimento Vários exemplos ao longo do texto mostraram este fato 88 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Para se analisar um investimento para uma faixa maior de taxas de juros é conveniente o método da taxa de retomo Definese então TAXA INTERNA DE RETORNO TIR É a taxa de juros que toma nulo o valor presente líquido de um determinado investimento E também cha mada taxa de retomo VALOR PRESENTE LÍQUIDO VPL É a soma dos desembolsos e re ceitas de um investimento referidos ao instante inicial 351 Taxa intema de retomo de uma série uniforme infinita Exemplo 324 Qual é a taxa de retomo do restaurante do exemplo anterior supondo que ele tenha um valor de venda de R 30000000 e um rendimento de R 700000 por mês Solução Este é o único tipo de problema de taxa de retomo que tem uma solução analítica Como por definição a taxa de retomo é a taxa de juros que zera o valor presente líquido temse P 300000 investimento U2 7000 por mês rendimento n oo i incógnita Noções Básicas de Engenharia Econômica Neste exemplo PU 42857 Não há solução analítica para este problema Uma solução possível é por tentativa e erro Tentando inicialmente uma taxa de juros de 05 ao mês vem Observe que supondo que o rendimento do restaurante vá ter uma dura ção muito grande o dono só deveria vendêlo se tivesse uma outra aplica ção onde o dinheiro renderia mais que 233 ao mês 352 Taxa interna de retomo de uma série uniforme Exemplo 325 Qual a taxa de retomo do restaurante do exemplo anterior supondo que o rendimento deste restaurante só vá durar 4 anos Solução Da mesma forma que no exemplo anterior VPL Z P P P2 0 onde Neste exemplo i 7000300000 233 am portanto 90 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento n 4 12 48 i 05 am PU FVA48 05 425803 VPL 300000 7000 425803 193778 Fazendo i 04 ao mês vem VPL P U2 FVA48 04 300000 7000 435942 515974 A taxa de retomo está portanto entre estes dois valores É interessante observar que é preciso diminuir a taxa de juros para que o valor presente da série uniforme aumente No limite quando i 0 o valor presente de uma série uniforme é dado pelo produto do número de período de capita lização pela série uniforme Dados estes dois pontos e sabendo que o VPL nulo está entre eles pode se fazer uma interpolação linear para se determinar a taxa de retomo Como o VPL é função da taxa de juros a interpolação linear significa que próximo da solução desejada podese aproximar esta função por uma reta A equação da reta é dada por VPLi m i b Os dois pontos da reta são i 05 VPL 05 193778 i 04 VPL 04 515974 A declividade da reta é dada por s 91 Noções Básicas de Engenharia Econômica O valor b é dado por b VPL05 m i 193778 7097518 05 3354981 VPL 0 3354981 7097518 i i 04727 am Uma outra forma de resolver o mesmo problema é usando uma fórmula iterativa do cálculo de i Da mesma forma que foi deduzida anteriormente Partindo de um valor inicial qualquer obtemse i 04724 am O valor obtido do processo iterativo não precisa ser exatamente igual ao valor obtido pela interpolação linear A interpolação linear é uma aproxi mação que será tanto mais próxima do valor real quanto menor for o in tervalo interpolado 353 Taxa de retomo de uma série não uniforme Exemplo 326 Considere ainda o mesmo exemplo do restaurante Supondo que rendi mento nos quatro anos seja não uniforme e dado pelo fluxo de caixa mos trado a seguir Qual a taxa de retomo Então eq 221 32 92 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Tabela 38 Fluxo de caixa de uma série não uniforme Solução A única solução para este problema é calcular o valor presente líquido do fluxo de caixa para diversas taxas de juros Quando o VPL mudar de si nal podese fazer uma interpolação linear para obter a taxa de retomo onde VPL 0 Inicialmente para i 10 aa temse P0 300 Fj 80 n 1 i 10 aa P F FVA1 10 80 09091 7273 F2 90 n 2 i 10 aa P2 F2 FVA210 90 08264 7438 F3 95 n 3 i 10 aa P3 F3 FVA310 95 07513 7137 F 90 4 n 4 i 10 aa P4 F4 FVA410 90 06830 6147 Noções Básicas de Engenharia Econômica Este procedimento deve ser repetido para outras taxas de juros por exem plo 8 e 6 ao ano O processo é razoavelmente trabalhoso no entanto qualquer planilha eletrônica faz este tipo de cálculo diretamente Usando o Excel e a tabela 38 temse Tabela 39 Resolução do exemplo 326 É possível portanto obterse facilmente uma curva relacionando o valor presente líquido com a taxa de juros Interpolando entre 7 e 6 temse i 696 ao ano Este método um pouco mais trabalhoso tem a vantagem de não necessi tar a princípio do valor da taxa de juros No entanto para saber se o investimento é ou não razoável é fundamental que se conheça a taxa de juros do mercado Neste exemplo se a taxa de juros disponível no merca do é de 6 ao ano vale a pena comprar o restaurante Por outro lado se for possível aplicar o dinheiro a uma taxa de 7 ao ano a compra do restaurante supondo esta série anual de lucros não é um bom negócio 354 Seleção entre duas alternativas com a mesma duração usando a taxa de retomo Exemplo 327 Dado um investimento A de R 10000000 que dará um retomo unifor me de R 3000000 nos próximos 5 anos Comparar com outro investi mento B de R 7000000 que durante os mesmos cinco anos dará um rendimento uniforme de R 2000000 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Solução Investimento A PA 100000 U 30000 A n 5 resolvendo esta equação iterativamente i 1524 ao ano A investimento B PB 70000 UB 20000 n 5 iB 1320 ao ano Como o investimento A tem maior taxa de retomo e os dois investimen tos tem a mesma duração pode se concluir que o investimento A é me lhor que o B De fato se a taxa de juros do mercado for por exemplo 14 ao ano o investimento A continua viável ou seja com um valor presente líquido maior que zero enquanto o investimento B passa a ser inviável Exemplo 328 Comparar as duas alternativas de investimento usando o método do valor presente Supor uma taxa de juros de 10 ao ano Solução Investimento A U 30000 n 5 i 10 Noções Básicas de Engenharia Econômica P U FVA 5 10 30000 37908 11372360 VPL P0 P 100000 11372360 1372360 Investimento B U 20000 n 5 i 10 P U FVA 510 20000 37908 7581600 VPL P0 P 70000 7581600 581600 Com o método do valor presente obtemse portanto o mesmo resultado de uma forma muito mais simples Exemplo 329 Traçar a curva do valor presente líquido VPL em função da taxa de juros para as duas alternativas do exemplo anterior Solução Nos dois exemplos anteriores obtevese dois pontos da curva O primeiro correspondendo ao VPL nulo a própria definição de taxa de retomo e o segundo para uma taxa de juros de 10 O cálculo é muito simples porém exige trabalho Usando uma planilha eletrônica e fazendo a taxa de juros variar de 0 a 20 ao ano obtemse a seguinte tabela Tabela 310 Resolução do exemplo 329 96 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento As duas curvas de VPL x i são dadas então por Figura 32 Valor presente líquido em função da taxa de juros exemplo 329 A informação contida na curva VPL x i é muito importante para a análise de investimentos Observase por exemplo que para qualquer taxa de juros menor que 20 ao ano o investimento A é melhor que o B 355 Escolha entre alternativas de mesma duração em que o método da TIR indica escolha diferente do método do valor presente líquido VPL Exemplo 330 Uma empresa tem que decidir entre os dois projetos mutuamente excludentes A e B descritos a seguir PA 100 Ua 30 n 5 anos PB 10 Ub 4 n 5 anos 0 Noções Básicas de Engenharia Econômica Se esta empresa utiliza uma taxa de juros de referência de 10 aa qual dos dois projetos deve ser escolhido Solução Calculandose a TIR dos dois projetos obtemse TIRA 152 aa TIR B 286 aa Calculandose o VPL dos dois projetos obtemse VPLA i 10 137 VPL B i 10 516 A princípio existe uma incoerência nos resultados pois pelo método da taxa interna de retomo o investimento B é melhor do que o A mas pelo método valor presente o investimento A é melhor do que o B Mudando a taxa de juros a escolha pode ficar mais clara Exemplo 331 Repetir o exemplo anterior considerando uma taxa de juros de referência de 15 aa Solução A TIR evidentemente não se altera mas o VLP é agora dado por VPLA i 15 05 VPL B i 15 34 Neste caso é óbvio que o investimento B é melhor que o A Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento A curva VPL em função da taxa de juros mostra claramente o ponto em que B passa a ser melhor que A Exemplo 332 Calcular a curva VPL x i dos dois investimentos descritos nos exemplos anteriores Solução Usando uma planilha de cálculo obtemse diretamente Figura 33 VPL em função da taxa de juros A curva de VPL x i mostra claramente o limite onde um projeto passa a ser melhor que o outro pelo método da TIR A forma correta de avaliar estes projetos mutuamente excludentes ou seja sem que haja incoerência entre o resultado do VPL e da taxa interna de retomo TIR é fazendo a análise incremental ou seja avaliar o que poderia ser feito com a sobra do dinheiro não investido no projeto mais caro Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 333 Fazer a análise incremental dos dois projetos vistos no exemplo anterior Solução Projeto C A B Pr 90 Uc 26 n 5 Portanto VPLC i 10 856 TIR C 136 aa Como o VPL deste projeto incremental é maior que zero podese con cluir que o projeto A é melhor que o projeto B Da mesma forma a taxa interna de retomo também é maior que 10 o que leva a um resultado coerente entre os dois métodos de avaliação de investimento É interessante notar que a TIR do projeto incremental é exatamente o valor de juros onde o projeto B passa a ser melhor que o projeto A Este ponto é chamado ponto de Fischer ponto F na figura 33 Evidentemente se esta análise fosse feita com uma taxa de juros de refe rência de 15 a escolha recairia sobre o projeto B 356 Taxa de retomo para investimentos com valor residual Exemplo 334 Calcular a taxa de retomo de um investimento A de R 5000000 que dê um retomo mensal de R 900000 e ao final de vinte meses de utiliza ção tenha um valor de revenda de R 1000000 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Solução Devese acrescentar aos cálculos passados mais um termo referente ao valor residual F Então VPL P0 U FVAn i F FVAn i 0 33 Da mesma forma que nos problemas anteriores não é possível explicitar i nesta equação Podese no entanto achar uma expressão iterativa para o cálculo da taxa de juros Desenvolvendo a equação anterior temse Neste exemplo P0 50000 U 9000 F 10000 n 20 iA 1742 am Então 34 Noções Básicas de Engenharia Econômica 357 Taxa de retomo para de investimentos com durações diferentes Exemplo 335 Calcular a taxa de retomo de um outro investimento B Dados investi mento inicial R 9000000 receita mensal RS 600000 valor residual R 2000000 e vida útil 40 meses Solução Usando a mesma equação desenvolvida anteriormente 34 com os dados P0 90000 U 6000 F 20000 n 40 iB 6 am O investimento A exemplo 334 com maior taxa de retomo parece melhor No entanto como não é correto comparar valor presente de alter nativas de duração diferentes a taxa de retomo também não tem sentido neste caso Ela nada mais é que a taxa de juros que zera o valor presente líquido das alternativas Só teria algum sentido esta comparação se não houvesse a possibilidade de refazer o investimento A ao final de vinte anos Exemplo 336 Traçar as curvas de VPL x i para as duas alternativas de investimento apresentadas nos exemplos anteriores Tabela 311 Exemplo 336 102 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Solução Usando uma planilha Excel temse Figura 34 VPL i exemplo 336 Podese então traçar as seguintes curvas Observase que as curvas VPL x i se cruzam Para taxas de juros pequenas até 2 aproximadamente o VPL da alternativa B é maior que o da alter nativa A Parataxas de juros maiores o VPL da alternativa A seria maior Exemplo 337 Calcular a série uniforme dos investimentos anteriores para uma taxa de juros de 1 e 5 ao mês Solução Investimento A P 50 F 10 n 20 i 1 am U0 9 U P FRC201 50 005542 277 U2 F FFC201 10 004542 045 Noções Básicas de Engenharia Econômica Ul U0 Uj U2 668 mil Rmês i 5 am U0 9 U P FRC20 5 50 008024 401 U2 F FFC20 5 10 003024 030 U5 U0 U U2 529 mil Rmês Investimento B P 90 F 20 n 40 i 1 am U0 6 U P FRC401 90 003046 274 U2 F FFC401 20 002046 041 Ul U0 Ut U2 367 mil Rmês i 5 am U0 6 U P FRC40 5 90 005828 524 U2 F FFC40 5 20 000828 017 U5 U0 U U2 092 mil Rmês 104 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Portanto a alternativa A é melhor para qualquer taxa de juros Para alter nativas de duração diferente ou equivalentase no tempo as alternativas ou usase o método da série uniforme 358 Cálculo da taxa de retomo de um gradiente uniforme Exemplo 338 Comparar pelo método da taxa de retomo as duas alternativas abaixo alternativa A investimento R 50000000 Solução A taxa de juros que anula o VPL das duas alternativas pode ser calculada iterativamente A expressão para a série uniforme já foi deduzida retomo anual R R 20000000 duração 10 anos alternativa B investimento R 50000000 retomo começa a crescer a partir do segundo ano a uma taxa de R 6000000 por ano duração 10 anos iA 3847 ao ano Da mesma forma para a alternativa B Noções Básicas de Engenharia Econômica Mais uma vez apesar da taxa de retomo da alternativa B ser menor do que a da alternativa A não se pode afirmar que a alternativa A seja melhor do que a B Podese afirmar que para uma taxa de juros de 30 a alternati va A é melhor do que a B Para se fazer uma melhor análise destas alter nativas é necessário traçar a curva VPL x i das duas Exemplo 339 Traçar a curva VPL x i das duas alternativas do exemplo anterior Solução Mais uma vez usando o Excel Tabela 312 Cálculo do VPL para diversas taxas de juros Podese então traçar as seguintes curvas Figura 35 Exemplo 339 Capítulo 3 Métodos de Comparação de Alternativas de Investimento Observase que para uma taxa de juros menor que 15 a alternativa B é melhor que a alternativa A Para comparar alternativas mesmo usando o método da taxa interna de retomo é fundamental se ter uma taxa de juros de referência 358 Taxa de retomo múltipla Os investimentos ditos convencionais com uma despesa seguida de uma sequência uniforme ou não de receitas têm sempre uma única taxa de retomo Os investimentos ditos não convencionais onde as despesas e receitas se alternam ao longo do tempo pode fazer com que a curva VPL x i cruze mais de uma vez o eixo horizontal ou seja pode provocar uma taxa de retomo múltipla Exemplo 340 Considere o investimento representado pelo seguinte fluxo de caixa Tabela 313 Exemplo 340 Analisar este investimento considerando uma taxa de juros de 5 Solução Para resolver este problema é melhor traçar a curva do VPL em função da taxa de juros Figura 36 Exemplo 340 Esta curva pode ser traçada diretamente com o auxílio de qualquer planilha eletrônica Este exemplo particular pode ser resolvido analiticamente uma vez que a série de investimentos é muito simples VPL P F2li F3li2 Substituindo os valores obtemse uma equação do segundo grau i2 i 0 Cujas raízes são i 0 i2 l Evidentemente as raízes são os pontos no qual o gráfico VPLi cruza o eixo dos i Neste exemplo com uma alteração de sinal na série de in vestimento temse duas raízes O VPL máximo pode ser obtido derivando a função em relação a i Noções Básicas de Engenharia Econômica Substituindo os valores Neste exemplo então é possível traçar a curva VLPi Normalmente no entanto com uma sequência um pouco mais complexa de desembolsos a única solução possível é numérica 108 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Capítulo 4 DEPRECIAÇÃO E IMPOSTO DE RENDA 41 Introdução Definição DEPRECIAÇÃO é um meio contábil de distribuição do custo de um determinado bem de capital ao longo de sua vida útil de manei ra sistemática e racional A depreciação é portanto um meio contábil de se distribuir ao longo do tempo uma grande despesa efetuada por uma determinada empre sa O tempo considerado não precisa ser o tempo real de duração do bem mas um tempo contábil normalmente regulamentado pela recei ta federal A vida útil contábil é definida pela receita federal porque a deprecia ção de um equipamento está intimamente ligada ao pagamento de im posto de renda da empresa De fato o IR de uma empresa é calculado sobre o lucro da empresa e o lucro é definido como sendo a diferença entre a receita e as despesas da empresa Neste contexto o conceito de depreciação fica bastante claro Se uma empresa se propõe a comprar um determinado equipa mento que só vai dar lucro a partir de sua utilização efetiva ou seja durante a sua vida útil não tem sentido que no ano do investimento a empresa apresente um déficit contábil enorme e ao longo da vida apre sente um lucro também enorme Para evitar isto é legal distribuir ao longo da sua vida útil contábil o custo do investimento 109 Noções Básicas de Engenharia Econômica Os valores máximos de vida útil aceito pela receita federal são dados em tabelas fornecidas pela própria receita Segue alguns exemplos Veículo 5 anos Máquinas 10 anos Construções 25 anos Ao final da vida útil contábil do equipamento ele pode ou não ter um determinado valor residual Não se pode esquecer que em algumas situa ções o valor residual do bem é menor que o preço da remoção Portanto o valor residual final pode ser negativo Em todo caso a diferença entre o valor residual e o preço de venda é passível de cobrança de impostos A depreciação sendo uma ferramenta contábil vai ser considerada neste livro de engenharia econômica somente nos aspectos em que interfira na decisão de escolha entre alternativas Existem diversas formas sistemáticas de considerar a depreciação de um investimento As três mais importantes são a linear da soma dos dígitos e por fundo de amortização que serão analisadas a seguir 42 Depreciação Linear É a mais simples e aceita pela receita federal Chamando de P Valor do Investimento n vida útil e D Depreciação periódica Temse D Pn 41 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Exemplo 41 Dado um determinado equipamento que custe R 10000 tenha uma vida útil contábil de 5 anos e um valor residual nulo calcular a depreciação e o valor contábil do equipamento ao longo da sua vida Solução Tabela 41 Deüreciacão linear A depreciação é facilmente calculada a partir da definição da eq 41 Exemplo 42 Supondo que o valor contábil do equipamento do exemplo anterior seja equivalente ao seu valor real calcular qual deve ser a remuneração míni ma que este equipamento deve dar à empresa Usar uma taxa de juros de 10 aa Solução A remuneração do equipamento pode ser dividida em duas parcelas a primeira corresponde a depreciação real do equipamento de forma que a empresa possa repor o equipamento após sua utilização A segunda corresponde à remuneração do capital aplicado Usando a tabela 41 pode se construir uma nova tabela colocando uma coluna com a remuneração do capital 10 do valor do equipamento e outra coluna com a remune ração total ou seja capital mais depreciação Noções Básicas de Engenharia Econômica Tabela 42 Remuneração do equipamento do exemplo 41 É interessante notar que a remuneração total neste exemplo é uma série não uniforme No entanto o somatório do seu valor presente é igual ao investimento inicial 43 Método da Soma dos Dígitos ou método de Cole Neste método o fator de depreciação decresce com o tempo e é calculado da seguinte forma FD fator de depreciação n vida útil do equipamento S somatório dos dígitos da vida útil Exemplo 43 Repetir os exemplos 41 e 42 considerando a depreciação pelo método da soma dos dígitos 42 43 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Solução n 5 S 5 6 2 15 Podese construir então a seguinte tabela Tabela 43 Depreciação pelo método da soma dos dígitos O valor contábil do equipamento ao final do primeiro período é menor neste método do que no método de depreciação linear O valor contábil final é evidentemente sempre o mesmo Neste exemplo este valor é igual a zero mas pode ser qualquer valor residual estipulado pela re ceita A série de remuneração total mínima se a depreciação real considerada for a da soma de dígitos é uma série não uniforme com os maiores valores nos primeiros períodos No entanto como se pode observar na coluna do cálculo do valor presente esta série é equivalente àquela do exemplo 42 considerando a mesma taxa de juros de 10 aa Como a depreciação é maior nos primeiros anos da vida útil do equi pamento as despesas contábeis serão maiores neste período portanto este método empurra o pagamento do imposto sobre o lucro para fren te o que como foi visto é vantagem para o investidor s 113 Noções Básicas de Engenharia Econômica Nestes dois exemplos a preocupação foi o cálculo da depreciação É importante notar a simplicidade deste cálculo e considerar que em qual quer planilha eletrônica ele é feito diretamente por uma função prépro gramada 44 Método de Depreciação por Fundo de Amortização ÍDFA Neste método a remuneração total depreciação mais capital é conside rada constante O fator de depreciação é calculado da seguinte forma UDFA é o fator de formação do capital FFC considerando a taxa de juros i e o número de períodos de capitalização igual à vida útil contábil do equipamento UDFA FFC ni 44 n vida útil contábil i taxa de juros 0 fator de depreciação do período j é dado por FD j UDFA lii1 45 Exemplo 44 Repetir os exemplos anteriores considerando o método de depreciação por fundo de amortização Solução n 5 1 10 aa UFDA FFC510 01638 FD1 01638 FD2 01638 11 01802 FD5 01638 114 02398 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Podese construir a seguinte tabela Tabela 44 Depreciação por Fundo de Amortização Constante A série de remuneração total é equivalente às outras O valor presente total equivale ao investimento O cálculo do fator de depreciação e do valor contábil é um pouco mais difícil neste método Este método é muito prático para a comparação de alternativas no entanto é pouco usado em contabilidade Exemplo 45 Comparar o valor contábil do equipamento em função do tempo para os três métodos de depreciação considerados Solução O gráfico comparando os três métodos é mostrado na figura 41 Figura 41 Comparação entre os três métodos de depreciação Ao final do último período todos os métodos são equivalentes Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 46 Supondo que este equipamento dê uma receita anual de R 10000 calcu lar o imposto de renda IR pago para cada uma das três formas de depre ciação Solução Considerando que o imposto de renda corresponda a 25 do lucro e que a única despesa relativa a este equipamento fosse a depreciação temse LUCRO RECEITA DEPRECIAÇÃO IR 25 LUCRO Fazendo este cálculo para cada um dos três métodos e calculando o seu valor presente aquele que der o menor IR será o mais vantajoso para empresa Estes cálculos estão mostrados na tabela 45 Tabela 45 Comparação entre os três métodos de depreciação Para a contabilidade da empresa quanto maior a depreciação inicial melhor já que menor será o imposto de renda pago Por razões óbvias quando é possível negociar a forma de depreciação do ponto de vista do empresário o método da soma dos dígitos é o mais vantajoso Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Exemplo 47 Uma empresa deseja adquirir um equipamento e tem que optar entre a compra e o aluguel deste equipamento O equipamento custa à vista R 100 mil e esperase que ao final de 10 anos ele tenha um valor de revenda de R 10 mil Além disto é previsto um gasto anual com a manutenção da ordem de R 4 mil O aluguel do equipamento com o preço da manuten ção incluido é de R 20 mil por ano Considerando que o IR é de 30 sobre o lucro da empresa e que a taxa mínima de atratividade da empresa é de 10 ao ano analisar qual é a melhor alternativa Solução Desprezandose inicialmente o efeito do imposto de renda para compa rar as alternativas usando o método do valor presente temse A Compra U 4000 n 10 i 10 aa P U FVA1010 4000 61445 R 2457800 F 10000 n 10 i 10 aa P2 F FVA1010 10000 03855 R 385500 PA P0 P P2 100000 24578 3855 R 12072300 B Aluguel U 20000 n 10 i 10 aa Noções Básicas de Engenharia Econômica PB U FVA1010 20000 61445 R 12289000 A análise feita desprezandose o efeito do IR mostra que a alternativa da compra do equipamento é a melhor Agora levandose em conta o efeito do IR como 30 do lucro é conside rado uma outra despesa da empresa e que este lucro é dado pela diferença entre a receita e as despesas contábeis quanto maior for a despesa contábil menor será o IR Desta forma é razoável pensar que 30 das despesas contábeis podem ser considerdas como uma renda aparente da empre sa Considerando a depreciação linear aceita pela Receita Federal a al ternativa A conta com uma despesa contábil composta pela depreciação e pela manutenção do equipamento D R 10000 por ano M R 4000 por ano Além disto se ao final da vida útil contábil do equipamento a empresa realmente conseguir vender o equipamento pelos R 10000 previstos 30 deste valor terá que ser pago como IR desta forma este valor tam bém tem que ser considerado como uma despesa aparente O fluxo de caixa considerando o IR desta alternativa fica então Figura 42 Fluxo de caixa do exemplo 47 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Onde RA é a receita aparente e DA é a despesa aparente Calculando o valor presente deste novo fluxo de caixa RA 30 14000 4200 DA 30 10000 3000 U 4000 4200 200 n 10 i 10 aa P U FVA 1010 200 61445 122890 F 10000 3000 7000 n 10 i 10 aa P2 F FVA1010 7000 03855 269880 PA P0 Pj P2 R 9607230 Para a alternativa B aluguel a receita aparente é dada por RA 30 20000 R 6000 Portanto U 200006000 14000 n 10 i 10 aa PB U FVA 10 10 14000 61445 R 8602300 Então levandose em consideração o IR é melhor alugar o equipamento Noções Básicas de Engenharia Econômica j Exemplo 48 Calcular o aluguel de um apartamento de R 10000000 considerando que a vida útil do apartamento seja de 25 anos e que a taxa de remunera ção do capital seja de 10 ao ano Solução Ao final dos 25 anos o investidor deve estar apto para comprar uma apar tamento novo temse F 100000 n 25 i 10 aa U F FFC256 100000 00102 101681 Rano Além de comprar o apartamento novo é importante remunerar o capital investido A taxa de remuneração do capital considerada neste exemplo é de 10 aa Então como o investimento foi de R 10000000 devese poder fazer uma retirada de R 1000000 por ano Considerando a depre ciação e a remuneração do capital o aluguel anual AA será dado por AA 101681 1000000 1101681 Rano É interessante observar que esta anuidade corresponde exatamente à série uniforme de um investimento P a uma taxa de 10 ao ano com uma vida útil de 25 anos U P FRCn i P FFCn i i U P FFCn i Pi Portanto o aluguel mensal AM cobrado deve ser AM AA12 91807 R por mês 120 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Exemplo 49 Repetir o exemplo anterior levando em consideração que o Imposto de Renda cobra 25 do lucro sobre o aluguel de uma pessoa física Solução Foi visto no exemplo anterior que para considerar a desvalorização do imóvel e a remuneração do capital era necessário uma Receita Líquida RL anual de R 1101681 O Imposto de Renda IR é uma despesa anual para este investidor que deve ser repassada ao locatário O novo aluguel será dado então por AA RL IR onde IR 025 AA e RL R1101681 portanto DT AA QY5 1468908 R por ano ou AM 122409 R por mês Exemplo 410 Repetir o exemplo anterior supondo que se possa abater a depreciação do imóvel do seu lucro Solução Neste caso o Imposto de Renda IR passa a ser dado por IR 025 AA D 121 Noções Básicas de Engenharia Econômica Onde D é depreciação do imóvel que para fins da Receita Federal é consi derada pelo método da depreciação linear portanto apartir da eq 41 temse D RS 400000 A Receita Líquida RL anual deve ser a mesma do exemplo 48 e o alu guel anual será então dado por AA RL IR RL 025 AA D AA 1335575 R por ano ou AM 111298 R por mês É importante notar que a consideração da depreciação no cálculo do IR permite ao dono do imóvel dar um desconto ao locatário mantendo a sua receita líquida Exemplo 411 Calcular a taxa interna de retomo de um investimento de R 10000000 que dá por ano durante 25 anos um rendimento anual de R 1468908 Solução P 100000 U 1468908 n 25 i incógnita Usando a fórmula iterativa ou uma planilha de cálculo obtemse i 1415 ao ano 0 Capítulo 4 Depreciação e Imposto de Renda Este exemplo é interessante para mostrar a importância da consideração do imposto de renda na análise dos investimentos Uma taxa de retomo de 1415 ao ano sem considerar o efeito do IR passa a 10 ao ano consi derando este efeito Exemplo 412 Em um acordo entre empresários e o govemo sobre a tarifa dos ônibus ficou acertado que na planilha de custos da empresa o valor residual do ônibus ao final da sua vida útil contábil passasse de 25 para 15 O método de amortização usado é o de Cole ou da soma dos dígitos A taxa de remuneração do capital é de 12 ao ano Calcular o lucro do empresário com esta mudança na sua planilha de custo considerando que o IR seja igual a 30 do lucro Solução Tem que se considerar que a diferença entre o imposto de renda pago nas duas planilhas é o lucro do empresário Quanto maior o valor da depreci ação menor será o imposto de renda pago Calculando então a deprecia ção para um valor residual de 25 e para um valor residual de 15 e fazendo a diferença entre os dois resultados obtemse a diferença de IR ao ano Em seguida fazendo o valor presente desta série obtémse o lucro total A tabela abaixo mostra estes cálculos Tabela 46 Depreciação com um valor residual diferente Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Capítulo 5 APLICAÇÕES A SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA 51 Exemplos de Custos Baseado nos conceitos de matemática financeira pretendese analisar qual seria a tarifa que uma usina geradora de energia elétrica teria que cobrar para ser um investimento razoável A partir de um exemplo acadêmico e muito simplificado vaise tentar introduzir algumas dificuldades ineren tes ao cálculo dos custos de um sistema de energia elétrica Exemplo 51 Supondo que um gerador de lkW instalado custe R 100000 e tenha uma vida útil de 30 anos qual a tarifa que deve ser cobrada para que este investimento seja razoável Considerar que a taxa de remuneração do capital razoável para este investimento seja de 10 aa e que o gerador atenda a apenas uma carga conforme figura 51 Figura 51 Gerador alimentando uma carga Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução A primeira dúvida que surge é como se comporta a carga A carga sendo constante e igual a lkW é evidente que o cálculo da tarifa se reduz a transformar o investimento em uma série constante com a du ração de 30 anos P 1000 n 30 i 10 U P FRC 3010 1000 01061 10608 R por ano por lkW Exemplo 52 Qual seria o valor mensal da tarifa Solução Uma solução aproximada seria dividir o valor anual por doze Um 884 R por mês por kW Para ser mais preciso calculase o valor efetivo da taxa de juros mensal e considerase o número de períodos de capitalização igual a 12 vezes 30 i ÍJÕ 1 0797 am n 30 x 12 360 meses P 1000 Um P FRC 3600797 1000 00085 846 R por mês Exemplo 53 No sistema brasileiro os investidores consideram que a taxa de remune ração do capital razoável é de 18 aa devido aos risco inerentes a este processo de privatização Qual seria o valor anual do quilowatt instalado nestas condições N 126 Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Solução P 1000 n 30 i 18 aa U P FRC 30 18 1000 01813 18126 R por ano É interessante notar que como a menor taxa de remuneração de capital que um mercado competitivo pode oferecer é a taxa do governo basica mente por que o investimento no governo seria o de menor risco é de se esperar que a privatização de uma usina geradora de energia provoque um aumento na tarifa Exemplo 54 Supondo que se queira cobrar pelo consumo de energia e não pela potên cia instalada Qual seria a tarifa Solução Neste caso é necessário calcular a energia consumida Por definição a energia E é dada por Onde Pt é a potência instântanea A potência varia ao longo do dia de acordo com uma CURVA DE CARGA que por exemplo pode ser dada pela figura 52 abaixo 51 Figura 52 Curva de carga Noções Básicas de Engenharia Econômica Evidentemente a potência máxima não pode neste exemplo ser superior aos 1000 W A potência média p é definida por Definese então FATOR DE CARGA como sendo a relação entre a potên cia média e a potência máxima da carga Supondo que o fator de carga neste problema seja de 065 então P 650 W Substituindose o valor da potência média na expressão da energia temse A energia sendo função do tempo deve ser taxada na mesma base ou seja considerando o consumo de energia diário mensal ou anual Consi derando um consumo anual temse E P 1 ano P 365 dias1 ano 24 horas1 dia 1 ano E P 8760 horas Chamando de conta anual de energia CAE e conta anual de potência CAP e considerando que elas têm que ser iguais temse CAE P fc horas do ano tarifa de energia max CAP P tarifa de potência max r 52 fc P Pmáx 53 54 Igualando as duas expressões e chamando tarifa de energia de TE e tari fa de potência de TP temse Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica TE fc 8760 Neste exemplo TP 10608 R kW por ano Então TE 1863 RMWh A tarifa de energia pode ser aplicada por mês ou por ano já que o tempo é considerado no cálculo da integral da potência Várias observações podem ser feitas com relação a estes exemplos simples Os quatro valores calculados investimento em RkW demanda por ano RkWano demanda por mês RkWmês ou tarifa de ener gia RkWh são equivalentes considerando o fator de carga dado O conhecimento da carga é fundamental Outros fatores são também importantes para o cálculo do custo da ener gia A usina não funciona sozinha então é preciso considerar uma mensa lidade ou anualidade referente à operação e manutenção da usina Exemplo 55 Calcular a tarifa supondo que a operação e a manutenção corresponda a 5 do investimento ao ano e que seja constante ao longo do período Solução O investimento nesta usina hipotética continua de R 100000 portanto considerando que a manutenção anual corresponda a 5 do investimen to temse uma série uniforme de R 5000 por ano correspondente à ma nutenção A tarifa será dada então por Noções Básicas de Engenharia Econômica P 1000 n 30 i 10 aa U P FRC3010 10608 R por ano U2 50 R por ano manutenção U Uj U2 15608 R por ano U TE f 2741 RMWh fc 876 O investimento em uma usina normalmente não é feito em um único ano Tipicamente uma usina hidroelétrica de 1000 MW tem a seguinte distri buição de desembolsos ao longo da obra ref 7 Tabela 51 Distribuição ao longo da obra do investimento em uma usina Exemplo 56 Supondo que a usina dos exemplos anteriores tenha tido a sequência típi ca de desembolsos mostrada na tabela 51 Calcular os Juros Durante a Construção JDC desta obra Calcular também o efeito destes juros no valor final da tarifa Solução É necessário referenciar todos os desembolsos ao instante 0 ou seja o instante onde a usina começa a dar retomo financeiro Usando uma planilha Excel temse Tabela 52 Valor presente da tabela 51 PERÍODO Porcentagem Valor presente Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Os juros durante a construção neste exemplo são iguais a 2679 A usina dos exemplos anteriores derão um acréscimo no investimento de 2679 portanto a tarifa terá que ser calculada da seguinte forma P 126790 n 30 i 10 aa U P FRC 3010 126790 01061 13450 R por ano U2 50 R por ano referentes à manutenção U 18450 R por ano ou TE 3240 RMWh Exemplo 57 Calcular o efeito do atraso em uma obra nos JDC Suponha que no quinto período a obra sofra um atraso de cinco anos Despreze o custo da obra parada Solução A única alteração que deve ser feita na planilha é o atraso no período Portanto temse Tabela 53 Valor presente da tabela 51 considerando atraso O efeito do atraso da obra no valor final da tarifa é evidente Finalmente levandose em consideração que 90 do custo aproximada mente de uma usina hidráulica se refere á barragem Acrescentar uma máquina a uma usina custa portanto relativamente pouco o que faria baixar em muito o preço da tarifa 131 Noções Básicas de Engenharia Econômica Exemplo 58 Calcular a tarifa supondo que na usina dos exemplos anteriores seja adici onada uma máquina idêntica à primeira Solução O investimento neste caso não é mais P e sim 11 P baseado na hipótese do custo relativo das máquinas A potência máxima neste caso passa para 2kW Considerando o investimento concentrado no instante inicial temse P 1100 n 30 i 10 Uj P FRC 3010 1100 01061 11669 R por ano por 2 kW U2 55 R por ano devido à manutenção U 17169 R por ano por 2 kW ou 8584 R por ano por kW TE 1508 R MWh Evidentemente não adianta encher de máquinas uma usina se não houver energia mecânica para ser convertida em elétrica em outras palavras se não houver água para rodar a turbina Normalmente a otimização dos projetos das usinas levam a uma supermotorização das mesmas ou seja a energia firme das usinas é sempre menor que a capacidade instalada Deste fato surge mais um uma característica do setor elétrico brasileiro Os maiores aproveitamentos hidroelétricos no Brasil são feitos em casca ta ou seja ao longo de um rio estão instaladas diversas usinas hidroelétricas É fundamental que haja um órgão regulador de estoque de água energia para que estas usinas possam operar em conjunto harmónicamente Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Sofisticando um pouco mais o exemplo lembrando que as cargas nor malmente estão situadas a uma certa distância da geração é necessário se acrescentar a transmissão no custo do sistema O sistema elétrico na turalmente pode ser esquematizado pela figura 53 Figura 53 Distribuição física de um sistema elétrico O custo de cada parte do sistema depende de inúmeros fatores A trans missão em particular depende da distância entre a geração e a carga Além disto depende do grau de CONFIABILIDADE que se deseja dar à carga E claro que uma linha de transmissão dá menor confiabilidade à carga do que duas por exemplo De acordo com o Plano Decenal de Expansão 19972006 ref 10 os gastos no setor elétrico nos próximos cinco anos podem ser estimados de acordo com a tabela 54 em bilhões de reais 133 Noções Básicas de Engenharia Econômica Tabela 54 Gastos do Setor Elétrico Exemplo 59 Calcular a tarifa levando em consideração a transmissão Solução Levando em consideração a hipótese anterior e refazendo o cálculo apro ximado do exemplo 51 temse G 1000 RkW T 500 RkW PG 1000 n 30 i 10 UG PG FRC 30 10 1000 01061 10608 R por ano por lkW PT 500 n 30 i 10 UT PT FRC 3010 500 01061 5304 R por ano por kW Baseado nestes dados é possível estimar que a transmissão é responsável por cerca de 25 do investimento A geração por 50 e a distribuição por outros 25 Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Transformando este valor para energia considerando o mesmo fator de carga dos exemplos anteriores temse TE transmissão 931 RMWh Considerando que a manutenção da geração e da transmissão correspondam aproximadamente a 5 do investimento temse UM 005 1500 75 R por ano U 23412 R por ano por kW portanto TE 4112 RM W h Exemplo 510 Mantendo a suposição de que 50 do investimento se refere à geração 25 à transmissão e 25 à distribuição calcular o valor médio da tarifa que deve ser cobrada pela concessionária distribuidora Solução Os custos de uma empresa distribuidora são bem diferentes daqueles de uma empresa geradora Em primeiro lugar a empresa distribuidora tem que comprar a energia que está vendendo Além disto a manutenção da distribuição é bem mais cara que a da geração dados de algumas conces sionárias apontam para algo em tomo de 40 do valor do investimento desta forma temse PI 500 RkW investimento n 30 i 10 UI PI FRC 3010 500 01061 5304 R por ano UM 040 500 20000 R por ano 135 J Noções Básicas de Engenharia Econômica UE TE lkW fc 8760 horas 4112 RMWh 065 876 MWh UE 23414 R por ano U UI UM UE 5304 20000 23414 48718 R TE 8556 RMWh É interessante notar que a tarifa média no Brasil no momento em que este livro foi escrito 1997 é de 86 RMWh o que mostra que os dados apro ximados usados neste exemplo refletem razoavelmente bem os valores reais Como foi visto no exemplo anterior existe um um contrato de compra de energia entre a empresa de distribuição de energia e a empresa que gera e transmite A tarifa entre estas empresas concessionárias é chamada de tarifa de SUPRIMENTO Neste contrato normalmente é calculado um preço para a demanda e outro para energia A título de exemplo a tabela 55 mostra o contrato de duas empresas gera doras A e B com uma empresa distribuidora C por ano ou Tabela 55 Exemplo de contrato de suprimento Exemplo 511 Calcular a conta mensal de energia que a empresa distribuidora C paga para A e B usando os dados da tabela 55 Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Solução A tarifa de A é monômia portanto o cálculo do custo mensal é direto CA 17 RkW 136 MW R 231 106 por mês A tarifa de B é binômia portanto para se calcular o valor da conta men sal é necessário calcular a parcela de energia e a parcela da demanda Além disto para o cálculo da parcela de energia é necessário conhecer o fator de carga Neste exemplo vaise usar fc 065 CEB 367 MW 065 1 mês 1997 RMWh 720 horas mês CEB R 343 106 por mês O custo da demanda é CD é dado por CDB 154 RkW 367 MW R 056 10 por mês Finalmente considerando a tarifa de transmissão que é a mesma para as empresas A e B temse que o custo da transmissão CT é dado por CTAB 3 RkW 367 136 MW R 154 10 por mês Somandose todas as parcelas calculadas obtemse a conta mensal de ener gia da empresa de distribuição C Conta C 231 343 056 154106 R 784 10 por mês Exemplo 512 Supondo que o valor médio da energia vendida pela empresa C é aquele dado pelo exemplo 510 ou seja 8556 RMWh qual o faturamento mensal desta empresa Noções Básicas de Engenharia Econômica Solução O faturamento desta empresa será dado pela energia vendida potência máxima vezes o fator de carga vezes o número de horas por mês vezes o valor da tarifa média A potência máxima é dada pelo contrato somado com a geração própria que neste caso será considerada igual a 12 MW FC Pmax fc 720 horas TE FC 515 MW 065 720 horas 8556 RMWh FC R 206 106 por mês Exemplo 513 Supondo que os dados dos exemplos anteriores sejam razoáveis qual va lor um investidor estaria disposto a pagar pela empresa C Solução A potência instalada de C é por hipótese igual a 515 MW O faturamento mensal foi calculado no exemplo 512 FC R 206 106 Os gastos mensais com energia foram calculados no exemplo 511 ContaC R 784 10 Os gastos anuais com manutenção MA usando as hipóteses do exemplo 510 seriam de 40 do investimento ou seja MAC 040 515 MW 05 M RSMW MAC R 103 106 por ano Dividindo por 12 para que a manutenção também fique em base mensal temse MC R 858 106 138 Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica O lucro da empresa será dado por LUCRO C 206 784 858 LUCRO C R 418 106 por mês Supondo que o investidor considere razoável uma taxa de retomo de 18 aa ou 139 am e que este investimento seja considerado por um tempo muito grande temse Preço U i 418 00139 R 30097 10 Obeserve que este valor é da mesma ordem de grandeza que o investi mento na distribuição tomando como hipótese no exemplo 510 ou seja de 500 RkW Investimento Distribuição 05 515 MW R 257 10 No momento em que foi feito este exemplo houve um leilão de privatização de uma empresa de distribuição com características semelhantes à em presa fictícia C O preço do lote de ações vendidas ficou entre os dois valores calculados acima Isto mostra que os investidores do setor estão fazendo contas semelhantes a estas mostradas nestes exemplos teóricos 52 Considerações Finais Uma característica importante do setor elétrico que o difere de outras indústrias de rede como distribuição de água ou gás é a impossibilidade de armazenamento da energia em sua forma elétrica Esta característica faz com que a geração tenha que ser a todo instante igual à carga somada às perdas inerentes ao processo de transmissão Esta íntima relação entre a geração e a carga fez com que as empresas do setor elétrico se estruturassem de forma vertical ou seja com a geração a transmissão e a distribuição pertencendo a um mesmo dono ou com um elevado grau de cooperação entre estas empresas Além disto todo o mercado era atendi do por uma única empresa caracterizando assim um monopólio 139 Noções Básicas de Engenharia Econômica A teoria microeconômica mostra que empresas que detêm o monopólio de um mercado apresentam uma tendência natural de produzir menos do que o mercado gostaria e a um preço mais alto Para corrigir esta distorção inerente ao monopólio é fundamental a presença de um órgão regulador que atue no sentido de minimizar estes problemas Uma das formas de se regular um monopólio é definindo o preço ou a tarifa Ainda de acordo com a mesma teoria é interessante que o órgão regulador defina o preço da energia igual ao seu custo marginal de produ ção Desta forma o regulador impõe à empresa o mesmo preço ao qual ela seria submetida se houvesse uma concorrência perfeita Para se entender o porquê da tarifa refletir os seus custos marginais é necessário uma revi são de conceitos de microeconomia Uma boa revisão destes conceitos pode ser encontrada na referência 4 Para o leitor interessado em uma abordagem mais profunda recomendase a referência 12 O transporte da energia ou seja a transmissão e a distribuição são mono pólios naturais Não é possível promover a concorrência entre duas linhas de transmissão em paralelo Da mesma forma não tem sentido mais de uma entrada de energia elétrica em uma residência nem mesmo em uma indústria A geração e a comercialização da energia não são necessariamente mo nopólios Se todos os agentes tiverem o direito de acesso livre e não discriminatório ao sistema de transporte ou seja aos cabos de transmis são e distribuição é possível promover a concorrência entre diversas em presas geradoras e até entre empresas de comercialização de energia Em 1978 os EUA mostraram que era possível a concorrência entre as empresas geradoras O governo obrigou as empresas concessionárias a comprar energia de novos produtores independentes chamados de Pro dutores Independentes de Energia PIE no Brasil e de Independent Power Producer IPP nos Estados Unidos Estes contratos eram remunerados pelos custos a serem evitados pelas empresas concessionárias 140 Capítulo 5 Aplicações a Sistemas de Energia Elétrica Na Inglaterra em 1990 a reestruturação do setor elétrico ocorreu de for ma mais profunda O governo inglês além de impor a competição na geração impôs também a competição na comercialização da energia Para que isto fosse possível uma série de medidas foram tomadas como a cri ação de um mercado spot de energia a subdivisão das empresas verti calmente integradas e o livre acesso ao sistema de transporte de energia entre outras Uma excelente análise da reestruturação do setor elétrico mundial pode ser encontrada na referência 13 A reestruturação do setor elétrico inglês provocou uma verdadeira revolu ção conceituai no setor elétrico de todos os países do mundo Transfor mar uma indústria que durante um século foi considerada um monopólio em uma estrutura econômica baseada na competição parecia impossível mas agora é uma realidade Alguns resultados da reestruturação do setor elétrico inglês já são conhecidos e o mais impressionante é a triplicação em cinco anos do valor das ações das empresas do setor No Brasil este processo de reestruturação também está ocorrendo Além da privatização dos ativos das empresas de energia elétrica está havendo uma completa mudança nas relações comerciais entre os agentes produ tores e distribuidores de energia A reestruturação do setor elétrico brasileiro tem características muito par ticulares Tratase de um enorme sistema interligado de usinas hidroelétricas Cerca de 95 da energia elétrica gerada no país é de ori gem hidráulica Os rios onde estão localizadas estas usinas têm uma gran de variação de vazão ao longo do ano Além disto existem diversas usi nas em um mesmo rio o que faz que as decisões de despacho de cada usina estejam intimamente ligadas Um problema importante neste novo contexto diz respeito ao cálculo do custo da água De fato considerando uma sequência de usinas em cascata em um mesmo rio e cada uma com um dono diferente o operador do sistema tem que ter um conhecimento muito grande do rio e do custo da água para decidir qual usina deve ser despachada 141 Noções Básicas de Engenharia Econômica O preço da transmissão também é fundamental A importância da trans missão no sistema brasileiro é evidente Além da extensa área territorial a característica de geração hidráulica impõe ao sistema a transmissão de grandes blocos de energia das usinas até os centros de carga A distribuição e a comercialização também precisam de um eficiente sis tema de regulação Se as empresas distribuidora e comercializadora fo rem de donos diferentes o agente regulador tem que garantir que a em presa distribuidora forneça serviço de qualidade para os seus consumido res e para aqueles que usam o seu sistema de distribuição O papel do agente regulador aumenta muito nesta nova estrutura do setor Ao contrário do que a teoria econômica preconiza ou seja que aumen tando a competição diminui a necessidade do agente regulador no setor elétrico quanto maior a competição mais eficiente precisa ser o trabalho do agente regulador O planejamento do setor elétrico brasileiro que historicamente vem sendo feito de forma centralizada está sofrendo também uma enorme mudança A característica hidroelétrica do setor faz com que um planejamento indicativo seja necessário A estrutura tarifária das empresas concessionárias também deve mudar bastante De fato o sistema centralizado de cálculo da estrutura tarifária acabou Cada empresa deve ser capaz de calcular os seus próprios custos em cada ponto do seu sistema e elaborar uma divisão dos custos entre os seus consumidores O papel do agente regulador neste ponto também é fundamental Para finalizar todas estas mudanças que estão ocorrendo no setor elétrico fazem com que o profissional da área tenha que ter uma noção muito clara de custos e do valor temporal do dinheiro para analisar corretamente as diversas possibilidades de investimento da empresa É dentro deste novo contexto que este livro se insere 142 Bibliografia BIBLIOGRAFIA 1 GRANT E L e IRESON W G Principies of Engineering Economy The Ronald Press Company New York 1964 2 HIRSCHFELD H Engenharia Econômica e Análise de Custos Editora Atlas SA São Paulo 1992 3 HESS G MARQUES J L PAES L C R e PUCCINI A Enge nharia Econômica Editora Bertrand do Brasil SA Rio de Janeiro 1992 4 BITU R e BORN P Tarifas de Energia Elétrica Aspectos Conceituais e Metodológicos MM Editora São Paulo 1993 5 Nova Tarifa de Energia Elétrica Metodologia e Aplicação DNAEE Brasília 1985 6 BIERMAN H e SMIDT S As Decisões de Orçamento de Capital Guanabara Dois Rio de Janeiro 1978 7 FORTUNATO LAM ARARIPE NETO TA ALBUQUERQUE JCR PEREIRA MVF Introdução ao Planejamento da Expansão e Operação de Sistemas de Produção de Energia Elétrica Ed Universitá ria EDUFF Niterói 1990 8 RODRIGUES AP DIAS DS Estado e Energia Elétrica Institu to Liberal Rio de Janeiro 1994 9 LAPPONI JC Avaliação de Projetos de Investimento Lapponi Treinamento e Editora Ltda São Paulo 1996 Noções Básicas de Engenharia Econômica 10 GCPS Plano Decenal de Expansão 19972000 Eletrobrás Rio de Janeiro 1996 11 GCOI Relatório 1996 Eletrobrás Rio de Janeiro 1997 12 MASCOLELL A WHINSTON M D e GREEN I R Microeconomic Theory Oxford Unversity Press New york 1995 13 HUNT S e SHUTTLEWORTH G Competition and Choice in Electricity John Wiley Z Sons Inglaterra 1996 144 J Apêndice 1 Resumo das Formulas Principais Apêndice 1 RESUMO DAS FÓRMULAS PRINCIPAIS Noções Básicas de Engenharia Econômica s 146 Apêndice 2 Lista de Exercícios Apêndice 2 LISTA DE EXERCÍCIOS Ia QUESTÃO Para que um funcionário público se aposente ganhando o seu salário inte gral após uma contribuição de 35 anos calcular o desconto no salário 2a QUESTÃO Uma lâmpada convencional de 60W custa R 200 e dura aproximada mente 1000 horas Uma lâmpada fluorescente com reator eletrônico em butido custa RS 5000 tem uma potência de 15 W a mesma quantidade de iluminação que a lâmpada convencional e dura aproximadamente 10000 horas Determinar a partir de qual utilização diária vale a pena substituir a lâmpada convencional pela fluorescente 3a QUESTÃO Repetir o exemplo 510 considerando que a taxa de remuneração do capi tal passe de 10 para 11 ao ano 4a QUESTÃO Faça uma avaliação da depreciação anual do seu carro e dos custos relati vos a seguro e manutenção Avalie para uma taxa de juros de 6 aa qual a melhor época para vender este carro Noções Básicas de Engenharia Econômica 5a QUESTÃO Um apartamento custa R 200 mil A vista ele pode ser adquirido por R 160 mil Este apartamento pode também ser financiado em 36 meses com uma taxa de 2 am Qual a taxa real de juros do financiamento 6a QUESTÃO Faça uma análise paramétrica dos custos de uma usina hidroelétrica UHE e de uma usina termoelétrica UTE para avaliar a partir de qual taxa de juros anual a UTE passa a fornecer uma energia mais barata que a UHE Considere as seguintes hipóteses Investimento UHE 1500 R kW Manutenção UHE 10 R MWh Investimento UTE 300 R kW Manutenção UTE 5 R MWh Combustível UTE 80 R MWh Fator de Carga 065 Apêndice 2 Lista de Exercícios SOLUÇÃO Ia QUESTÃO Para que um funcionário público se aposente ganhando o seu salário inte gral após uma contribuição de 35 anos calcular o desconto no salário Solução Considerando um salário anual S 100 A incógnita é o fator f que multiplicado por este salário dê uma série uniforme que ao final de 35 anos tenha um valor futuro que possa render uma outra série uniforme de amplitude S Considerando então o ano 35 como referência temse U f S n 35 i F U FAC 35 i fS FAC 35 i Este valor futuro ao final de 35 anos corresponde ao investimento feito pelo trabalhador para o período em que estiver aposentado então P F n número de anos vivos após a aposentadoria i U S U p FRCn i Noções Básicas de Engenharia Econômica O iator de desconto e evidentemente íunçao do numero de anos n e da taxa de juros Podese construir a seguinte tabela Tabela A21 É interessante observar que para uma vida aposentada de 10 anos consi derando uma taxa de juros de 10 aa o desconto no salário deve ser de 227 2a QUESTÃO Uma lâmpada convencional de 60W custa R 200 e dura aproximada mente 1000 horas Uma lâmpada fluorescente com reator eletrônico em butido custa R 5000 tem uma potência de 15W e a mesma quantidade de iluminação que a lâmpada convencional e dura aproximadamente 10000 horas Determinar a partir de qual utilização diária vale a pena substituir a lâmpada convencional pela fluorescente Solução Alternativa A Potência 60 W Custo R 200 Duração 1000 horas 150 Apêndice 2 Lisia de Exercícios Alternativa B Potência 15 W Custo R 5000 Duração 10000 horas Supondo o custo médio da energia igual a 10000 RMWh e uma taxa de juros de i ao mês A incógnita do problema é o número de horas de utilização por mês h O custo mensal da energia é dado por E Potência h Tarifa Portanto Além da série uniforme definida pela tarifa é necessário transformar o investimento em série uniforme A duração de cada investimento é dife rente por isto o método da série uniforme é o mais apropriado Se n é o número de meses que dura cada lâmpada então nA 1000h nB 10000h Noções Básicas de Engenharia Econômica A série uniforme do investimento é dada por Alternativa A P 200 n1000h i paramétrico U PFRCn i UA 0006 h 2 FRC1000h i Alternativa B P 5000 n 10000h i paramétrico U p FRC n i UB 00015 h 50 FRC10000h i As alternativas são comparáveis quando UA UB No entanto explicitar o valor de h não é possível Podese traçar UA e UB em função de h para diversas taxas de juros Considerando i 1 ao mês temse Figura A21 Apêndice 2 lista de Exercícios Do gráfico obtemse que a partir de 168 horas de utilização mensais ou seja 7 dias ou ainda 56 horas diárias vale a pena o investimento na lâmpada mais cara 3a QUESTÃO Repetir o exemplo 510 considerando que a taxa de remuneração do capi tal passe de 1 0 para 1 1 ao ano Solução Usando as hipóteses que foram feitas no exemplo 510 ou seja Investimento na geração 1000 R kW Investimento na transmissão 500 R kW Manutenção da geração e da transmissão igual a 5 do investimento ao ano e fator de carga igual a 065 Temse que o valor da energia comprada pela empresa distribuidora será P 1500 n 30 i 1 1 aa U P FRC 3011 1500 01150 17254 U2 005 1500 7500 manutenção U R 24754 por ano 247 54 TE suprimento q 5 5 g 7 5 4347 R MWh Recalculando as 3 parcelas referentes a investimento manutenção e ener gia agora considerando a taxa de juros igual a 1 1 temse 153 Noções Básicas de Engenharia Econômica ou TE fornecimento 8869 R MWh É interessante notar que um aumento de 1 na taxa de juros provoca o aumento de 366 na tarifa final 4a QUESTÃO Faça uma avaliação da depreciação anual do seu carro e dos custos relati vos a seguro e manutenção Avalie para uma taxa de juros de 6 aa qual a melhor época para vender este carro Solução Supondo que o valor de revenda de um carro cai 10 por ano Supondo ainda que o custo de manutenção seja da ordem de 10 do valor do carro no primeiro ano e que este valor aumente 50 a cada ano Calcular eco nomicamente qual a idade ideal de venda do carro Com estas considera ções é mais negócio vender o carro ao final do primeiro ano de uso Tabela A22 Análise da venda do carro Apêndice 2 lisia de Exercidos 5a QUESTÃO Um apartamento custa R 200 mil A vista ele pode ser adquirido por R 160 mil Este apartamento pode também ser financiado em 36 meses com uma taxa de 2 am Qual a taxa real de juros do financiamento Solução Usando mais uma vez uma planilha eletrônica fazendo P 200 n 36 i 2 am U 784 Calculando a taxa de juros que obedeça a seguinte restrição P 160 U 784 n 36 i 346 A taxa real de juros é portanto de 346 6a QUESTÃO Faça uma análise paramétrica dos custos de uma usina hidroelétrica UHE e de uma usina termoelétrica UTE para avaliar a partir de qual taxa de juros anual a UTE passa a fornecer uma energia mais barata que a UHE Considere as seguintes hipóteses Noções Básicas de Engenharia Econômica Investimento UHE 1500 R kW Manutenção UHE 10 R MWh Investimento UTE 300 R kW Manutenção UTE 5 R MWh Combustível UTE 80 R MWh Taxa de Carga 065 Solução É preciso inicialmente transformar os investimentos em valor de energia em função da taxa de juros Para isto usando as equações 29 e 56 temse U TP P FRC 30 i R kW por ano Para a UTE tem que acrescentar a manutenção e o combustível Acrescentando a manutenção na UHE vem Colocando as duas equações em uma planilha obtemse o gráfico a seguir da figura A22 i Apêndice 2 Lista de Exercícios Figura A22 Comparação de UHE com UTE E interessante notar que a partir de uma taxa anual de juros de 35 aa com estas hipóteses a UTE é mais barata que a UHE Tel 061 2263033 Este livro foi feito para os profissionais interessados nos conceitos básicos de matemática financeira e em comparação de alternativas de investimentos Na forma de um estudo dirigido cada novo conceito é acompanhado de um exemplo São mais de cem exemplos resolvidos O último capítulo enfoca uma aplicação específica destes conceitos em uma análise simplificada de custos em um sistema de energia elétrica