Introdução à Matemática Financeira: Fundamentos e Conceitos

TEXTO RETIRADO INTEGRALMENTE DO LIVRO PUCCINI A de L Matemática financeira objetiva e aplicada 10 ed São Paulo Saraiva 2017 Pág 1 a 16 Devido a dificuldade de alguns alunos no acesso ao Portal Minha Biblioteca 11 Introdução e enfoque adotado A Matemática Financeira pode ser estudada com ênfase nos seus aspectos teóricos e nesse caso o leitor precisa ter um bom embasamento de matemática para poder acompanhar o desenvolvimento da matéria e entender as notações algébricas complexas comumente adotadas por diversos autores O enfoque adotado neste livro é totalmente prático exigindo do leitor um conhecimento de matemática mais básico Os conceitos são ilustrados com problemas práticos que ocorrem frequentemente no mercado Quando necessário somente após o entendimento desses exemplos numéricos fazse o estudo teórico para a obtenção de fórmulas genéricas A nomenclatura adotada visa à simplicidade e à aplicação abrangente Assim não se utiliza nenhuma nomenclatura matemática mas sim uma nomenclatura mnemônica simples e de fácil assimilação que é a mesma adotada pela consagrada calculadora HP 12C Neste capítulo introduziremos os principais fundamentos que norteiam o estudo da Matemática Financeira e apresentaremos os conceitos de juros e de fluxo de caixa a definição dos regimes de juros simples e compostos as nomenclaturas e convenções adotadas O valor do dinheiro no tempo e a existência dos juros são elementos interligados e indispensáveis ao estudo da Matemática Financeira que se desenvolve com base na hipótese de moeda estável representada genericamente pelo símbolo e os aspectos da inflação são abordados no Capítulo 8 12 Juros 121 Conceito Os juros podem ser remuneratórios ou moratórios mas trataremos exclusivamente dos juros remuneratórios que representam a remuneração do capital do credor por este ficar privado do seu uso não podendo usar o capital financiado até o dia do recebimento com o risco de não receber o capital de volta inadimplência custo do capital financiado pelo tomador do financiamento para este ter o direito de usar o capital emprestado até o dia do pagamento a remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicado Apesar de os juros moratórios não serem abordados neste livro informamos que eles constituem a indenização pelo prejuízo resultante do retardamento do pagamento por parte do devedor 122 Unidade de medida Os juros são fixados por meio de uma taxa percentual que sempre se refere a uma unidade de tempo ano semestre mês dia etc Exemplos 1200 ao ano 1200 aa 400 ao semestre 400 as 100 ao mês 100 am A obtenção do valor dos juros do período em unidades monetárias é sempre feita pela aplicação da taxa de juros sobre o capital aplicado Assim por exemplo um capital de 100000 aplicado a uma taxa de juros de 8 aa proporciona no final de um ano um valor de juros igual a 800 100000 8100 100000 8000 13 Valor do dinheiro no tempo Do ponto de vista da Matemática Financeira 100000 de hoje não são iguais a 100000 em qualquer outra data futura pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos devido à taxa de juros por período Assim um capital de 100000 aplicado hoje com uma taxa de juros de 800 aa implicará um rendimento anual de 8000 proporcionando um montante de 108000 no final de um ano Para uma taxa de juros de 800 aa é indiferente termos 100000 hoje ou 108000 daqui a um ano Um capital de 100000 na data de hoje somente será equivalente a 100000 daqui a um ano na hipótese de a taxa de juros ser considerada igual a zero A Matemática Financeira está diretamente associada ao valor do dinheiro no tempo que por sua vez está interligado à existência da taxa de juros Os mandamentos da Matemática Financeira que obrigatoriamente precisam ser observados são os seguintes somente valores monetários da mesma data podem ser comparados e somados algebricamente valores monetários de datas diferentes são grandezas que não podem ser somadas algebricamente ou comparadas entre si a menos que sejam previamente movimentadas para a mesma data com a correta aplicação de uma taxa de juros A comparação de várias propostas de parcelamento do pagamento de um bem ou serviço só pode ser feita corretamente se elas forem transformadas em propostas equivalentes à vista com a utilização de uma taxa de juros adequada 14 Fluxo de caixa Conceitos e convenções Denominase fluxo de caixa o conjunto de entradas e saídas de dinheiro caixa ao longo do tempo Podemos ter fluxos de caixa de empresas investimentos projetos operações financeiras etc Eles são indispensáveis na análise de custos e da rentabilidade de operações financeiras e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos O fluxo de caixa e a taxa de juros são as duas matériasprimas mais importantes da Matemática Financeira A representação do fluxo de caixa é feita por meio de tabelas e quadros ou esquematicamente como na Figura 11 Na Figura 11 foram respeitadas as seguintes convenções a escala horizontal representa o tempo dividido em períodos descontínuos podendo ser expresso em dias meses semestres anos etc Os pontos 0 1 2 3 n substituem as datas de calendário e são fixados em função da necessidade de se indicar as posições relativas entre as diversas datas Assim o ponto 0 representa a data inicial hoje o ponto 1 indica o final do 1o período e assim por diante utilizamos a letra n para representar genericamente a variável tempo isto é o número de períodos de contagem de juros importante registrar que os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais Assim se a unidade de tempo corresponde a meses todos os meses deverão ter o mesmo número de dias Portanto os meses terão 30 dias os trimestres 90 dias e assim por diante os valores monetários só podem ser colocados no início ou no final de cada período dependendo da convenção adotada Nenhum valor pode ser inserido ao longo dos períodos uma vez que estes não são contínuos Assim quando os períodos correspondem a trimestres não há condição de se indicar um valor ao longo do trimestre Uma solução possível nesse caso é diminuir a unidade de tempo dos períodos por exemplo para meses saídas de caixa correspondem aos pagamentos têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo entradas de caixa correspondem aos recebimentos têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima As fórmulas utilizadas nos cálculos financeiros a partir do fluxo de caixa e da taxa de juros obedecem às seguintes premissas a unidade referencial de tempo da taxa de juros deve ser idêntica àquela adotada na medida do tempo os intervalos de tempo entre os períodos devem ser sempre iguais a taxa de juros por período deve ser a mesma em todos os períodos Portanto se a taxa de juros é fornecida em ao mês o tempo deve ser medido em meses todos com 30 dias o que corresponde à adoção do ano comercial de 360 dias Os exemplos a seguir mostram a elaboração de fluxos de caixa com o uso do ano comercial 360 dias e do ano civil 365 dias Exemplo com ano comercial de 360 dias Um fluxo de caixa que tem um pagamento de 200000 em 2004XXXX um recebimento de 100000 no final de um mês 30 dias e um recebimento de 120000 no final de 2 meses 60 dias será esquematicamente representado de acordo com a Figura 12 Observe que neste caso podemos realizar os cálculos com a taxa diária e o tempo medido em dias ou com a taxa mensal e o tempo medido em meses sendo que a conversão da taxa diária para a taxa mensal ou viceversa deve ser feita corretamente de acordo com os conceitos apresentados no Capítulo 4 Taxas de juros Exemplo com ano civil Um fluxo de caixa que tem um pagamento de 200000 em 2004XXXX um recebimento de 100000 em 2005XXXX e um recebimento de 120000 em 2006XXXX será esquematicamente representado de acordo com a Figura 13 Observe que nesse caso só podemos realizar os cálculos com a taxa diária e o tempo medido em dias Se a taxa de juros for fornecida em ao mês ela terá de ser corretamente convertida em diária de acordo com os conceitos apresentados no Capítulo 4 Taxas de juros A medida do tempo em meses não poderá ser utilizada uma vez que um mês terá 30 dias e outro 31 dias 15 Objetivo da Matemática Financeira A Matemática Financeira tem como principal objetivo a realização de cálculos em fluxos de caixa com a aplicação de taxas de juros para obter valores equivalentes que permitam uma correta tomada de decisão do ponto de vista financeiro levando em consideração o valor do dinheiro no tempo 16 Regimes de juros Neste item vamos mostrar os principais conceitos adotados pela Matemática Financeira nos cálculos de juros pelos regimes de juros simples e de juros compostos 161 Juros simples No regime de juros simples apresentado de forma detalhada no Capítulo 2 apenas o capital inicial também conhecido como principal rende juros Juros e capital não se misturam são tratados isoladamente Nesse regime os juros de cada período que não são pagos periodicamente não são somados ao capital para o cálculo dos juros nos períodos subsequentes Consequentemente esses juros não pagos não são capitalizados nem rendem juros pois não participam da base de cálculo dos juros apesar de estarem retidos pelas instituições financeiras para serem pagos de uma só vez no final do prazo da operação 162 Juros compostos No regime de juros compostos apresentado de forma detalhada no Capítulo 3 os juros de cada período que não forem pagos no final do período são somados ao capital e passam a fazer parte da base de cálculo dos juros para os períodos subsequentes Nesse caso as parcelas de juros que não forem pagas são automaticamente capitalizadas e passam a render juros nos próximos períodos Importante ressaltar que nesse regime a capitalização ou não de juros só existe quando os juros do período não são integralmente pagos pois havendo o pagamento integral deles no fim do período correspondente não existe a possibilidade fática de serem capitalizados Portanto o regime de juros compostos não é um sistema de cálculo que implica obrigatoriamente juros sobre juros ou anatocismo que é legalmente proibido no Brasil em períodos inferiores a um ano Um exemplo simples e elucidativo quanto à diferença desses dois regimes de cálculos de juros é o sistema de amortização americano que obedece ao regime de juros compostos Nesse sistema os juros de cada período são integralmente pagos no final desses períodos e o principal é integralmente pago no final do prazo da operação conforme pode ser verificado no exemplo numérico a seguir Exemplo numérico Sistema americano de amortização Considere a situação de um cidadão que aplicou 10000000 a juros de 100 am pelo prazo de 4 meses sendo que a instituição financeira realiza o pagamento dos juros no final de cada mês Os juros do 1º mês são iguais a 10000000 x 100 100000 elevando o saldo devedor no final do 1º mês para 10100000 Como os juros do 1º mês integralmente pagos o saldo do 2º mês volta a ser de 10000000 10100000 100000 Os juros do 2o mês são iguais a 10000000 100 100000 elevando o saldo devedor para o início do 2º mês para 10100000 Como o pagamento integral dos juros O processo se repete até o último mês quando o cidadão recebe os juros dos meses integralmente o saldo volta a 10000000 Importante observar que os juros mensais são calculados sobre o saldo inicial de cada mês à disposição da instituição financeira rigorosamente dentro do conceito do regime de juros compostos Entretanto não houve incidência de juros sobre juros pois os juros periódicos foram integralmente pagos impossibilitando sua capitalização 17 Nomenclaturas e convenções adotadas Tal como nas edições anteriores as nomenclaturas e as convenções utilizadas em todo o livro para representar os diversos elementos de um fluxo de caixa são idênticas àquelas adotadas pela calculadora HP 12C de amplo uso no mercado As grandezas monetárias podem ser representadas no fluxo de caixa de acordo com as convenções de final e de início de período apresentadas a seguir 171 Convenção de final de período Série PMT postecipada A representação dos fluxos de caixa de acordo com essa convenção fazse segundo o diagramapadrão indicado na Figura 14 Pela convenção de final de período todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no final dele Os elementos do diagramapadrão do fluxo de caixa da Figura 14 estão definidos a seguir Calculadora HP 12C teclas n i PV PMT e FV A calculadora HP 12C adota as convenções e nomenclaturas a seguir para definir os elementos do diagramapadrão do fluxo de caixa Em relação aos elementos do diagramapadrão são relevantes os seguintes comentários os intervalos de tempo de todos os períodos são iguais Assim por exemplo todos os meses têm duração de 30 dias a unidade referencial de tempo da taxa de juros i deve necessariamente coincidir com a unidade referencial de tempo utilizada para definir o número de períodos n os problemas comuns de Matemática Financeira envolvem em geral apenas quatro elementos sendo que dois deles são obrigatoriamente a taxa de juros i e o número de períodos n Os outros dois elementos a serem relacionados podem ser PV com FV PV com PMT e FV com PMT as fórmulas desenvolvidas neste livro envolvem apenas esse diagramapadrão com a convenção de final de período Os problemas que se enquadram nessa situação têm solução imediata Os demais são enquadrados nesse diagramapadrão mediante desdobramentos e pequenos artifícios que não alteram o enunciado do problema o Apêndice disponível no site wwwsaraivaunicombr9788547220259 mostra como essa calculadora deve ser usada para resolver os problemas que se enquadram nesse diagramapadrão com a convenção de final de período Ressaltamos os seguintes pontos na utilização da HP 12C para que a calculadora utilize a convenção de final de período é necessário que a função END esteja ativa acionar as teclas g e END e devese confirmar que a palavra BEGIN não esteja indicada no visor uma taxa de juros de 800 por exemplo deve ser registrada com a colocação do número 8 na tecla correspondente a i A calculadora internamente faz as operações com 800 isto é com 8100 008 os valores do número de períodos n podem ser registrados como números inteiros ou fracionários Por exemplo n pode ser registrado em anos fração de ano fração de mês etc quando o número de períodos n é a incógnita do problema a HP 12C arredonda o valor encontrado para o primeiro número inteiro imediatamente superior ao resultado obtido Assim se o valor correto de n for 215 ou 295 a HP 12C indicará n 3 como resposta a calculadora deve ter sempre a letra C indicada no visor para que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos independentemente de o valor de n ser um número inteiro ou fracionário A inserção ou retirada da letra C no visor da calculadora é feita pelo acionamento sucessivo das teclas STO e EEX é altamente recomendado deixar a letra C sempre visível no visor da HP 12C pois quando ele não mostra a letra C e o valor de n é fracionário os cálculos são realizados a juros compostos na parte inteira de n e a juros simples na parte fracionária de n os valores monetários PV FV e PMT devem ser registrados na calculadora sempre de acordo com a convenção de sinal isto é as entradas de caixa recebimentos devem ter sinal positivo e as saídas de caixa pagamentos sinal negativo a calculadora sempre interliga os cinco elementos n i PV PMT e FV Por exemplo no caso de obtenção do PV a HP 12C calcula a seguinte relação PV valor presente de FV valor presente das prestações PMT os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com o registro do número zero para o parâmetro monetário PV FV ou PMT que não participa do problema os cinco parâmetros n i PV PMT e FV podem ser revistos na HP 12C a qualquer tempo Para isso basta acionar a tecla RCL e em seguida a tecla do parâmetro cujo valor se quer rever Por exemplo RCL PV traz para o visor da HP 12C o valor contido na memória da tecla PV Planilha eletrônica Excel A planilha eletrônica Excel dispõe de funções financeiras básicas apresentadas no site wwwsaraivaunicombr9788547220259 que têm exatamente as mesmas definições e convenções da HP 12C Na versão em português a planilha Excel batiza os elementos financeiros do diagramapadrão do fluxo de caixa Figura 14 de forma diferente da HP 12C conforme mostramos na Tabela 13 Essas funções da planilha eletrônica Excel tal como a calculadora HP 12C resolvem com facilidade os problemas que se enquadram no diagramapadrão do fluxo de caixa com a convenção de final de período Figura 14 Destacamos os seguintes pontos para que as funções financeiras da planilha Excel utilizem a convenção de final de período é necessário que o parâmetro TIPO seja igual a zero Na ausência dessa informação as funções financeiras do Excel assumem essa condição e as operações são realizadas segundo essa convenção os valores do número de períodos NPER podem ser registrados como números inteiros ou fracionários os valores monetários VP VF e PGTO devem ser registrados na planilha de acordo com a convenção de sinal também adotada pela HP 12C as funções financeiras do Excel tal como na HP 12C sempre interligam os cinco elementos NPER TAXA VP PGTO e VF Por exemplo a função financeira VP sempre calcula a seguinte relação VP valor presente de VF valor presente das prestações PGTO os problemas que envolvem apenas quatro elementos devem ser resolvidos com o registro do número zero para o elemento monetário VP PGTO ou VF que não participa do problema tal como na HP 12C 172 Convenção de início de período Série PMT antecipada A representação dos fluxos de caixa de acordo com essa convenção fazse segundo o diagrama da Figura 15 Pela convenção de início de período todos os valores monetários que ocorrem durante um período são indicados no início dele Em relação ao diagrama da Figura 15 destacamos que os cinco elementos do fluxo e caixa n i PV FV e PMT têm definições idênticas às do diagramapadrão exceto com relação ao posicionamento dos valores monetários PMT que agora são colocados no início de cada período São portanto válidos todos os comentários anteriores a respeito do relacionamento dessas grandezas exceto com referência aos pontos destacados a seguir a convenção de início de período não altera as posições relativas de PV e FV usadas no diagramapadrão Observe que nas duas convenções início e final de períodos a distância relativa entre PV e FV é sempre igual a n períodos de acordo com essa convenção a prestação PMT passa a ser antecipada pois as prestações ocorrem no início de cada período de capitalização de juros a HP 12C está preparada para resolver os problemas que envolvam a série antecipada bastando para isso que ela esteja com a função BEG ativa acionar as teclas g e BEG e certificarse de que a palavra BEGIN esteja indicada no visor a planilha Excel também resolve com facilidade os problemas que envolvem a série antecipada bastando para isso definir o parâmetro TIPO1 para as funções financeiras Na ausência dessa informação as funções financeiras assumem a condição de série postecipada TIPO0 173 Simulador da HP 12C com o Excel O simulador da HP 12C para o diagramapadrão foi desenvolvido com as funções financeiras básicas NPER TAXA VP PGTO e VF da planilha Excel e seu arquivo eletrônico pode ser encontrado no site wwwsaraivaunicombr9788547220259 Esse arquivo Excel pode ser colocado no desktop do seu computador e ao acionálo uma HP 12C simulada estará disponível sem custo para realizar as operações usuais do mercado financeiro Esse simulador tem as funções financeiras básicas do Excel e seus respectivos parâmetros colocados de uma forma horizontal predefinida na mesma sequência das teclas da HP 12C conforme mostra o esquema a seguir Em relação a esse simulador da HP 12C destacamos os pontos a seguir Ele foi desenvolvido com as funções financeiras da planilha Excel atendendo às mesmas condições do diagramapadrão da Figura 14 A representação do fluxo de caixa respeita a convenção de final do período e portanto o simulador só considera a série postecipada Os dados a serem inseridos pelos usuários ou seja os valores correspondentes a cada um dos respectivos elementos do fluxo de caixa são colocados nas células de fundo branco na linha inferior e podem ser registrados em qualquer ordem de entrada Os parâmetros financeiros PV PMT e FV devem ser registrados de acordo com a convenção de sinal Quando a incógnita do problema for a taxa i ou o número de períodos n a HP 12C e a planilha Excel indicam erro se essa convenção não for obedecida O parâmetro financeiro PV PMT ou FV que não fizer parte do problema deve ter seu valor registrado como zero para não interferir no resultado A célula em destaque com fundo sombreado é sempre aquela que contém a função financeira do Excel e que dispara o cálculo da operação desejada É nessa célula que aparece o valor da solução do problema no exemplo anterior essa célula corresponde ao parâmetro PMT É nela que inserimos a função PGTO do Excel para realizar o cálculo da prestação postecipada a partir dos demais parâmetros localizados horizontalmente ao seu lado O parâmetro TIPO não é informado e passa a ser assumido como ZERO como exigido no cálculo da prestação postecipada adotamos a nomenclatura PMT na parte superior do simulador para corresponder à tecla PMT da HP 12C apesar de o Excel utilizar a nomenclatura PGTO O número de períodos de capitalização é representado por n na linha superior do simulador para corresponder à tecla n da HP 12C O número de períodos de capitalização é representado por n na linha superior do simulador para corresponder à tecla n da HP 12C quando esse parâmetro é um dado do problema pode ser registrado como um número inteiro ou fracionário o que facilita a tarefa de compatibilizar as unidades referenciais de tempo para a taxa de juros e para o número de períodos quando é a incógnita do problema seu valor é calculado pela função NPER do Excel colocada na célula correspondente que é apresentada em destaque com fundo sombreado O resultado obtido pelo simulador por essa função não é arredondado para o primeiro número inteiro superior como faz a HP 12C A taxa de juros por período de capitalização é representada por i na linha superior do simulador para corresponder à tecla i da HP 12C quando esse parâmetro é um dado do problema 800 por exemplo a taxa deve ser informada pelo registro do número 8 Internamente o simulador tal como a HP 12C converte esse número para 8100 8 quando esse parâmetro é a incógnita do problema seu valor é calculado pela função TAXA do Excel colocada na célula correspondente que é apresentada em destaque com fundo sombreado a função TAXA que realiza o cálculo da taxa de juros tem um parâmetro adicional denominado ESTIMATIVA que corresponde à estimativa inicial para valor da taxa de juros obtida por um processo interativo No simulador o parâmetro ESTIMATIVA não é informado e passa a ser assumido como ZERO O valor presente é representado por PV na parte superior do simulador para corresponder à tecla PV da HP 12C quando esse parâmetro é a incógnita do problema seu valor é calculado pela função VP do Excel colocada na célula correspondente que é apresentada em destaque com fundo sombreado O valor futuro é representado por FV na linha superior do simulador para corresponder à tecla FV da HP 12C quando esse parâmetro é a incógnita do problema seu valor é calculado pela função VF do Excel colocada na célula correspondente que é apresentada em destaque com fundo sombreado Este simulador pode ser considerado uma representação esquemática da própria calculadora pois apresenta em sua linha superior as teclas n i PV PMT e FV e na inferior o visor da HP 12C Destacamos que esse visor só mostra o último elemento digitado ou calculado ao passo que o simulador mostra todos os elementos do problema o que facilita uma permanente revisão dos dados Assim esse simulador é utilizado como uma forma didática de representar os dados dos problemas seja na solução pela HP 12C seja pelas funções financeiras do Excel O uso sistemático do simulador fará com que o usuário de maneira espontânea associe a teoria aos conceitos com a utilização prática da calculadora HP 12C eou da planilha eletrônica Excel Para o usuário que estiver utilizando sua HP 12C para o acompanhamento dos exemplos e problemas propostos pelo livro ou seja utilizando o simulador como uma mera representação gráfica da sua calculadora destacamos os seguintes comentários a HP 12C deve estar operando com a função END para realizar os cálculos somente com a prestação postecipada e com a letra C no visor para que todos os cálculos sejam realizados a juros compostos conforme explicado no Apêndice A os parâmetros financeiros PV PMT e FV devem ser registrados de acordo com a convenção de sinal o parâmetro financeiro PV PMT ou FV que não faz parte do problema deve ter seu valor registrado como zero para não interferir no resultado a célula em destaque com fundo sombreado indica que a tecla do parâmetro correspondente é a última a ser acionada para disparar o cálculo da operação desejada e mostra a solução do problema 18 Moeda estável e inflação Conforme foi dito no início deste capítulo a matéria está desenvolvida na hipótese de moeda estável representada pelo símbolo que mantém o mesmo poder aquisitivo ao longo do tempo O Capítulo 8 mostra os reflexos da inflação na análise dos fluxos de caixa segundo os modelos prefixado e pósfixado No modelo pósfixado os cálculos são inicialmente realizados com taxa de juros reais sem a parcela da inflação e a preços constantes isto é com o poder aquisitivo da moeda na data inicial do fluxo de caixa Posteriormente é feita a conversão de preços constantes para preços correntes através de um índice que reflete a perda do poder aquisitivo da moeda No modelo prefixado os cálculos são realizados com o fluxo de caixa expresso em preços correntes e com uma taxa de juros nominal que inclui uma parcela de inflação sendo assim superior à taxa de juros reais Os conceitos de Matemática Financeira entretanto são integralmente aplicáveis tanto nos fluxos de caixa a preços constantes sem inflação como nos fluxos de caixa a preços correntes com inflação A diferença básica entre os dois modelos consiste no valor da taxa de juros a ser adotada em cada caso É evidente que nenhum conceito de Matemática Financeira sofre qualquer alteração pela mera variação da taxa de juros