Funcao de Transferencia de Malha Fechada - Conceitos e Aplicacoes em Sistemas de Controle

Um sistema de controle é composto por diversos componentes e uma forma de representálo é por meio do Diagrama de Blocos conforme ilustrado na Figura 1 Esse diagrama indica mais realisticamente os fluxos de sinal do sistema real e como cada componente irá atuar sobre estes sinais Uma das formas mais usuais de se estudar o comportamento desses sistemas de controle sistemas lineares invariantes no tempo com condições iniciais nulas é por meio da obtenção da função de transferência que é definida como sendo a relação entre a transformada de Laplace do sinal de saída pela transformada de Laplace do sinal de entrada função excitação No Diagrama de Blocos ilustrado na Figura 1 Xs representa a transformada de Laplace do sinal de entrada Ys a transformada de Laplace do sinal de entrada e H1 H2 e G as transformadas de Laplace dos componentes que compõem o sistema de controle 2 4 Em OGATA 2011 é possível verificar a diferença entre sistemas de controle de malha aberta e de malha fechada Quanto aos sistemas de controle em malha aberta podem ser destacados os seguintes itens são aqueles em que o sinal de saída não exerce nenhuma ação de controle no sistema Em resumo o sinal de saída não é medido para comparação com a entrada sistemas realimentados Em outra vertente existem os sistemas de controle em malha fechada Neste contexto são destacadas as seguintes características são aqueles em que existe o uso da realimentação fazendo com que a resposta do sistema seja relativamente insensível a distúrbios externos No presente caso existe um elemento sensor que envia a resposta da saída para ser comparada com a entrada Essa comparação resulta no chamado erro OGATA Katsuhiko Engenharia de controle moderno 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao2376 Acesso em 28 maio 2023 Logo de acordo com as premissas apresentadas saber diferenciar e determinar a Função de Transferência de Malha Fechada FTMF é de suma importância para o engenheiro eletricista que atua diretamente na área de controle e automação A partir dessas informações qual é FTMF para o diagrama de blocos representado na sequência Adote a saída como Ys e a entrada como Rs Além disto o valor de K é igual a 2 Também o sistema possui realimentação unitária positiva H 1 MAYA Paulo LEONARDI Fabrizio Controle essencial 2 Ed São Paulo Pearson 2014 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrAcervoPublicacao5674 Acesso em 28 maio 2023 5 Um sistema dinâmico pode ser caracterizado por um conjunto de equações matemáticas que descrevem seu comportamento ao longo do tempo Neste contexto é imperativo destacar que diversos sistemas tais como mecânicos elétricos térmicos econômicos e biológicos podem ser representados por equações diferenciais OGATA Katsuhiko Engenharia de controle moderno 5 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrLeitorPublicacao2376 Acesso em 28 maio 2023 Como exemplo de modelagem pode ser citado o Servomotor de Corrente Contínua controlado por um circuito de campo modelado por um resistor de resistência Rc em série com um indutor de indutância Lc MAYA Paulo LEONARDI Fabrizio Controle essencial 2 Ed São Paulo Pearson 2014 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrAcervoPublicacao5674 Acesso em 28 maio 2023 Dito isto a seguir está a figura que representa o Servomotor de cc controlado pelo circuito de campo MAYA Paulo LEONARDI Fabrizio Controle essencial 2 Ed São Paulo Pearson 2014 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrAcervoPublicacao5674 Acesso em 28 maio 2023 Para esse motor o modelo matemático para o circuito de campo está de acordo com a equação que segue 7 De acordo com MAYA 2014 existe uma condição necessária e suficiente para que um sistema seja estável Segundo essa definição é necessário que todos os polos de sua função de transferência estejam situados no semiplano esquerdo do plano s Ou seja possuam parte real negativa MAYA Paulo LEONARDI Fabrizio Controle essencial 2 Ed São Paulo Pearson 2014 Ebook Disponível em httpsplataformabvirtualcombrAcervoPublicacao5674 Acesso em 28 maio 2023 Sob essa ótica o sistema representado pela função de transferência abaixo é estável ou instável Além disto quais são os polos da mesma Gs s 10s 4s 3s 2 O Sistema estável com polos iguais a 2 3 e 4 O Sistema instável com polos iguais a 2 3 e 4 O Sistema estável com polos iguais a 10 4 e 3 O Sistema instável com polos iguais a 2 3 e 10 O Sistema estável com polos iguais a 2 3 e 4 8 O controlador de temperatura é um equipamento utilizado em frigoríficos com a finalidade de manter o valor da temperatura de uma câmara de frios por exemplo em um dado valor predeterminado O Diagrama de Blocos mostrado na Figura 1 representa uma malha de controle no qual foi utilizado um controlador do tipo proporcional para manter uma câmara frigorífica em uma temperatura especificada O sistema de controle mostrado na Figura 1 possui um entrada xt e uma saída yt e as correspondentes transformadas de Laplace dos sinais a saber Xs YS e Es que representa o erro além das constantes K e M que são maiores que zero Figura 1 Diagrama de Blocos Sistema de Controle de Temperatura Calcule o erro do sistema mostrado na Figura 1 em regime permanente no qual foi aplicado um sinal de entrada do tipo degrau unitário Xs 1s 9 Na teoria dos sistemas de controle o critério de estabilidade de RouthHurwitz O teste de Routh é um algoritmo recursivo eficiente que o matemático inglês Edward John Routh propôs em 1876 para determinar se todas as raízes do polinômio característico de um sistema linear apresenta partes reais negativas O matemático alemão Adolf Hurwitz propôs de forma independente em 1895 organizar os coeficientes do polinômio em uma matriz quadrada chamada de matriz de Hurwitz e mostrou que o polinômio é estável se e somente se a sequência dos determinantes de suas submatrizes principais é positiva Os dois procedimentos são equivalentes com o teste de Routh fornecendo uma maneira mais eficiente de calcular os determinantes de Hurwitz do que informálos diretamente Um polinômio que satisfaz o critério de RouthHurwitz é chamado de polinômio de Hurwitz Informações para montagem da tabela de Routh Equação característica de nésima ordem an sn an1 sn1 a1 s1 a0 0 b1 an1an2anan3an1 b2 an1an4anan5an1 c1 b2b1an1b2 b1 c2 b2an5an1b2 b1 s3 an an2 s2 an1 an3 s1 b1 b2 s0 c1 c2 Assim dada a equação característica representada pelo polinômio ps 2s3 2s2 3s 6 Verificase que pelo critério da estabilidade o sistema é Estável pois existe apenas uma transição de sinal na primeira coluna da tabela de Routh Instável pois existem duas transições de sinal na primeira coluna da tabela de Routh Instável pois existe apenas uma transição de sinal na primeira coluna da tabela de Routh Estável pois todas as raízes da equação característica estão no semiplano da direita Estável pois não existe transição de sinal na primeira coluna da tabela de Routh A resposta ao degrau de um sistema que apresenta tempo de subida ts 14 s tempo de pico tp 33 s tempo de acomodação ts 79 s critério de 5 e sobrepasso de 31 Dentre os gráficos abaixo o que corresponde à resposta ao degrau do sistema é 14 105 095 09 05 01 0 054 2 36 5 10 117 15 20 Tempo s Tempo s 14 129 12 105 095 09 08 06 04 02 01 0 09 34 5 61 10 143 20 25 Tempo s 1 e 2 d 3 c 4 b 5 d 6 c 7 b 8 e 9 b 10 c