E mc2 Origem e Significado_rbef_2001

Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, no. 1, Março, 2001\n\nE=mc2: Origem e Significado\n\nNivaldo A. Lemos\nnivaldo@if.uff.br\n\nDepartamento de Física, Universidade Federal Fluminense\nAv. Litorâneas s/n, Boa Viagem, 24210-340, Niterói, RJ, Brasil\n\nRecebido em 29 de setembro de 2000. Aceito em 22 de dezembro de 2000.\n\nExaminamos a origem histórica da equação E = mc2 e sua interpretação. Tratamos com especial cuidado uma questão polêmica: a massa de uma partícula é simplesmente um escalar (invariável) ou uma quantidade variável, dependente da velocidade?\n\nI Introdução\n\nSeguramente E = mc2 é a equação mais famosa da física, conhecida mesmo por pessoas sem formação científica. Essa equação é obrigatória em qualquer introdução à teoria da relatividade. Tendo se tornado um elemento da cultura de massa, costuma constituir, também, o primeiro contato – efetivamente o único – do público leigo com a relatividade.\n\nQualquer teoria física consiste num conjunto de leis descritas por equações matemáticas acompanhadas de uma interpretação. A interpretação se modifica à medida que a teoria se desenvolve e a compreensão do seu conteúdo se torna mais profunda. A equação E = mc2 fornece um bom exemplo do significado dos conceitos em Física e está sujeita a um processo evolutivo. No presente artigo recordamos a origem dessa equação e discutimos a evolução do seu significado, que tem dado margem a controvérsias interessantes.\n\nII A origem da relação entre massa e energia\n\nEm 1905, mesmo ano em que Einstein publicou a teoria especial da relatividade com o seu artigo com o modesto título \"Sobre a Eletrodinâmica dos Corpos em Movimento\", Einstein publicou um trabalho intitulado \"A Inércia de um Corpo Depende do seu Conteúdo Energético?\". A resposta de Einstein foi positiva e o resultado deduzido imaginando um corpo que emite simultaneamente dois pulsos de radiação idênticos em direções diametralmente opostas. Com base na teoria relativística do efeito Doppler, desenvolvida no artigo anterior, Einstein [1] chegou à seguinte conclusão:\n\nSe um corpo emite a energia E na forma de radiação, sua massa diminui de E/c2.\n\nEm consonância com a ousadia, a genial simplicidade e o espírito generalizador que sempre caracterizaram sua atividade científica, Einstein considerou irrelevante o fato de a energia ter sido emitida pelo corpo na forma de radiação; e sentiu-se impelido a concluir que:\n\nA massa de um corpo é uma medida do seu conteúdo energético; e sua energia sofrer uma variação igual a E, a sua massa sofrerá, no mesmo sentido, uma variação igual a E/9×1020, a energia sendo medida em ergs e a massa em gramas.\n\nO resultado foi demonstrado de outro modo por Einstein, em 1906, desta vez imaginando um cilindro como aquele que emite um pulso luminoso numa extremidade e o reabsorve na outra, e simplesmente exigindo que o centro de massa mantenha-se estável. Apresentamos a seguir os argumentos de Einstein na forma que nos parece a mais elementar possível.\n\nIII Massa e energia na relatividade especial\n\nUma análise honesta do significado de massa na teoria especial da relatividade exige considerar as expressões relativísticas do momento linear,\n\np = mv√1 - v2/c2,\n\ne da energia,\n\ne = mc2√1 - v2/c2.\n\nExceto pelo primeiro termo, o lado direito desta última equação coincide com a expressão usual da energia cinética newtoniana. O primeiro termo, contudo, mostra que no referencial próprio da partícula, isto é, aquele no qual ela se encontra em repouso (v = 0), sua energia não é zero, mas é dada por E = mc2. Assim, vale a relação de Einstein: a massa m corresponde a energia E = mc2, ambas medidas no referencial de repouso da partícula.\n\nVeremos, a seguir, que, no caldo de cultura em que a teoria especial da relatividade emerge, era uma tentativa quase irresistível introduzir a chamada massa relativística\n\nmr = m√1 - v2/c2\n\ne escrever o momento linear relativístico na forma newtoniana\n\np = mv.\n\nAo contrário do m, que é um escalar, a massa relativística mr varia com a velocidade e depende do observador inercial. Como m, reduz-se a m no referencial em que a velocidade da partícula é zero, também se costuma chamar de massa de repouso e denotá-la por mo. Além disso, com m, denotada simplesmente por m, a equação E = mc2 parece não mais se aplicar somento a quantidades medidas no referencial próprio da partícula; ela parece afirmar que a massa e energia são universalmente equivalentes, sendo c2 meramente o fator de conversão entre as unidades de massa e energia.\n\nIV A massa varia com a velocidade?\n\nA noção de massa dependente da velocidade não nasce em torno da teoria especial da relatividade. Na primeira década do século XX desenvolveu-se uma visão do movimento eletromagnético, a qual a massa do elétron teria origem puramente eletromagnética. Pesquisas teóricas sobre os fundamentos da eletrodinâmica, subtraídas do max Abraham e da grande físico holandês Hendrik Anton Lorentz, previam que a massa do elétron deveria depender da velocidade.\n\nNas teorias clássicas do elétron de Abraham e Lorentz as massas dependentes da velocidade entre os dois tipos e os mesmos ocorrem na teoria especial de relatividade, conforme passamos a demonstrar. E para signific novamente a diferenciação relativa ao tempo na Eq. (8) obtém-se igualmente\n\nmrya +mrya3v2/c2 = F,\n\nde onde\n\nmry1 = F,\n\nmrya3 = F1,\n\na = a·v\n\nsubstituindo (14) em seguida a identificação das componentes paralela e perpendicular a velocidade em ambos os lados da equação resultante conduz imediatamente a\n\nmrya1 = F1,\nmrya3 = F1.\n\nAs quantidades\n\nmr = m/(1 - v2/c2)1/2\n\ne ml = \\gamma m = \\frac{m}{\\sqrt{1 - \\beta^2}} \\quad (17)\n são chamadas de massa transversal e massa longitudinal, respectivamente. Como se vê, a massa transversal m_t coincide com a massa relativística m_r.\n\n O modelo de Abraham de 1903 supunha que o elétron era uma esfera rígida, que preservava sua forma quando em movimento, com densidade superficial col volumétrica de carga uniforme. A massa transversal prevista pelo modelo de Abraham era [6,7]\n\n m_l^{(A)} = \\frac{3}{4 \\pi \\epsilon_0} \\left[ 1 + \\frac{\\beta^2}{2} \\ln \\left( \\frac{1 + \\beta}{1 - \\beta} \\right) - 1 \\right] \\quad (18)\n onde\n \\beta = \\frac{v}{c} \\quad (19)\n\n O fator 3/4 que antecede m_l (18) aplica-se ao caso do elétron com carga uniformemente distribuída na superfície. Admitindo-se densidade volumétrica de carga constante o referido fator será diferente, mas a dependência funcional permanece na relação v / velocidade, de modo que o que está em jogo, não mudaria. Já o modelo de Lorentz de 1904 advogava a hipótese de que o elétron era deformável; segundo o estado de repouso, tornava-se esferoidal quando em movimento devido a uma contracção pelo fator \\sqrt{1 - \\beta^2} ao longo da direção do movimento (a célebre contracção de Lorentz-Fitzgerald). A massa transversal prevista pelo modelo de Lorentz era [6,7]\n\n m_t^{(L)} = \\frac{m_0}{(1 - \\beta^2)^{1/2}} \\quad (20)\n\n As massas transversal e longitudinal do modelo de Lorentz coincidiam com as previstas pela teoria especial da relatividade. Eqs. (16) e (17). Havia, ainda, o modelo de Bucherer, que não discutiremos aqui, de um elétron deformável cujo volume permanecia constante durante a deformação causada pelo movimento [6].\n\n Diversas experiências foram realizadas por Walter Kaufmann para determinar de forma a massa do elétron dependeria de sua velocidade. Ao contrário do que alguns livros-texto sugerem [8], as experiências de Kaufmann no período 1901-1905 foram interpretadas como evidência contra a relatividade e favoreceram ao modelo de Abraham. Num artigo de revisão sobre a relatividade publicado em 1907, Einstein afirmou que a [...] Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, no. 1, Março, 2001\n\n um Feyman tenha escapado da armadilha de interpretar m_r como rígido [10]. Nas teorias clássicas do elétron de Abraham e Lorentz, a variação da massa com a velocidade é um efeito dinâmico, produto da interação da carga elétrica com o campo eletromagnético criado por ela própria. A introdução da \"massa relativística\" na teoria especial da relatividade gera confusão entre um efeito aparente de interação dinâmica (aumento da massa) em um efeito realmente dinâmico (aumento da massa) em uma partícula, mas é consequência da transformação de Lorentz do referencial próprio para aquele em que é vista movendo-se com velocidade v; reflete, portanto, as propriedades geométricas do espaço-tempo, sendo independente daquilo que deseja submeter.\n\n Em novembro de 1907, o matemático alemão Hermann Minkowski, que havia sido professor de Einstein, apresentou um modo na Universidade de Göttingen que causou um grande impacto no desenvolvimento da teoria especial da relatividade [10]. Além de dar ênfase a grandezas absolutas (independentes de referenciais inerciais considerados) e introduzir vetores e tensores no espaço-tempo quadri-dimensionais, Minkowski deu uma roupagem geométrica à teoria especial da relatividade, causando uma primeira impressão ao nerd pedantismo. Ele informou que a criação de espaço-tempo como ferramenta era apenas uma das inovações relevantes que essa teoria estava trazendo [11]. Na formulação minkowskiana, a energia e o momento linear são relativos formam um quadrivetor (vetor no espaço-tempo quadridimensional) chamado de quadrivetor. A massa de uma partícula é uma grandeza escalar que, multiplicada pelo quadrivetor velocidade, produziu o quadrimomento. Os maiores estudos relativos da teoria especial da relatividade e da Minkowskiana foram feitos por partículas elementares, onde as que não são uma quantidade escalar positiva característica de cada partícula [12]. A posição de Einstein sobre a noção de massa relativística não deixa margem para dúvidas. Em 1948, numa carta dirigida a Lincoln Barnett, Einstein dizia (ver Fig. 2): \"Não é próprio da massa M = m/(1 - v^2/c^2) que eu tenha mencionado porque não se pode definir M claramente. É preferível registrá-la\" a mesma forma de se fazer movimento linear e gerar referência ao comportamento inercial de corpos em movimento rápido.\" Mesmo assim, a massa relativística tem seus defensores [13] e pode ser encontrada nos escritos didáticos de autores de peso de Feyman [10] ou Rindler [14]. A nossos ver, defensores abordados na relatividade como Sandin [13] equivocam-se ao tentar interpretar a teoria especial da relatividade como emprego de categorias explicativas newtonianas, como, por exemplo, o momento linear está na forma (11). Por isso iremos nos referir a essa concepção como pré-relativística. Em contraste, chamemos de visão relativística aquela segundo a qual há somente uma massa, o escalar m_e e que não precisa ser chamada de massa de repouso uma vez que não há outra.\n\n Segundo Sandin, com o emprego de m_r, a fórmula E = m c^2 afirma com elegância e simplicidade que massa e energia são equivalentes, sendo c^2 mensurável de forma a considerar várias unidades de massa para unidades de energia. A visão relativística não teria na mesma beleza a generalidade, ao restringir E = m c^2 simplesmente a massa e energia em repouso. A concepção de Sandin reduz massa remanente a energia, elimina a massa como um conceito independente, afirma que a conservação da massa como conservação de energia na teoria especial da relatividade e, consequentemente, exclui a possibilidade de transformação de massa em energia. De fato, a inexistência de uma conexão de Sandin continua a ser um reflexo de uma insistente inabilidade em aceitação à visão prelativa que estabelece a segunda lei da termodinâmica e evidenciando essa conexão ao mundo experimental dos modelos de energia e momento linear a energia de um fóton depende do estado de movimento do observador em relação a fonte emissora, criando uma asserção conflitante: no caso de partículas com massa de repouso saltas aos olhos, pois, de acordo com efeito Doppler e a relação de Planck E = hv, a energia de um fóton depende do estado de movimento do observador. Pela lógica que preside a introdução da massa relativística, como explicar que a massa de um fóton seja variável enquanto sua velocidade seja invariável, sem regra explícita? Em contrapartida, com a mecânica newtoniana, essas partículas indestrutíveis, a falta de conservação da massa de partículas em um fenômeno extremamente relativístico que permite a criação e destruição de partículas. Na visão pré-relativística, a conservação da massa (energia) recebe a indestrutibilidade da massa e reviste esta concepção de um perfil newtoniano. Na visão relativística, partículas de massa zero ou massa diferente de zero são tratadas em pé de igualdade por meio de E = \\sqrt{p^2c^2 + m^2c^4}. Ao contrário do que argumento Sandin, é para os adeptos da massa relativística que o fóton se apresenta como um problema. Para eles não há, na verdade, partículas da massa zero, uma vez que um fóton de energia E é atribuído a massa E/c^2. A ineficiência no tratamento de partículas com sua massa de repouso saltas aos olhos, pois, de acordo com energia de um fóton, a energia do fóton depende do estado de movimento do observador. Pela lógica que preside a introdução da massa relativística, como explicar que a massa de um fóton seja variável enquanto sua velocidade seja invariável, sem regra explícita? Em contrapartida, a mecânica newtoniana, essas partículas indestrutíveis, receberam a polêmica ao impacto da referência de conservação da massa em emergências gravitacionais. Ainda assim, fica evidenciado que a visão pré-relativística caracteriza-se por um apelo anacrônico. Revista Brasileira de Ensino de Física, vol. 23, no. 1, Março, 2001\n\nV Conclusão\n\nUma nova teoria é fortemente influenciada pelo ambiente histórico em que surge; mas, com o passar do tempo, sua interpretação vai sendo desvelada, certas concepções vão sendo eliminadas ou modificadas e conceitos novos introduzidos. Embora, a rigor, seja um respaldo o processo de desenvolvimento histórico da teoria especial da relatividade, a massa relativística, desde usada com parcimônia e cautela, pode ser útil como apoio heurístico em introduções elementares, embora o melhor seja simplesmente omiti-la. A interpretação da massa relativística com inércia deve ser evitada. O “aumento” da massa com a velocidade é apenas aparente, uma partícula muda “engorda” quando posta em movimento. Na formulação mais fundamental da teoria especial da relatividade, em termos do tensor espaço-tempo quadridimensional, a massa de uma partícula é um escalar determinado pela magnitude do quadrinormativo, logo não varia com a velocidade. Finalmente, E = mc² exprime a equivalência entre massa e energia, com a energia medida no referencial de repouso momento da partícula.\n\nAgradecimentos\n\nOs autores agradecem ao apoio dos Professores Maria Teresa Thomaz, Antonio Delfino Jr. e Rubens Amaral, todos do Departamento de Física da UFF, por uma leitura crítica de versões preliminares do presente artigo.\n\nReferências\n\n[1] H.A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowski, O Princípio da Relatividade, Fundação Calouste Gulbenkian, Lisboa (1983).\n[2] M. Born, Einstein's Theory of Relativity, Dover, New York (1965), pp. 283-286.\n\n[3] F. Rohrlich, Am. J. Phys. 58, 348 (1990).\n\n[4] E.T. Whittaker, A History of the Theories of Aether and Electricity: The Modern Theories (1900-1996), Thomas Nelson and Sons, London (1953).\n\n[5] L. Sartori, Am. J. Phys. 62, 280 (1994).\n\n[6] J.T. Cushing, Am. J. Phys. 49, 1133 (1981).\n\n[7] A.I. Miller, Albert Einstein's Special Theory of Relativity: Emergence (1905) and Early Interpretation (1905-1911), Addison-Wesley, Reading, MA (1981).\n\n[8] M. Alonso e E.J. Finn, Física: Volume I - Mecânica, Edgard Blücher, SP (1972), Seção 11.4.\n\n[9] C.J. Adler, Am. J. Phys. 55, 739 (1987).\n\n[10] R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands, The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, Reading, MA (1963), Vol. I, Seções 15-8 e 16-4.\n\n[11] A. Pais, \"Subtle is the Lord ...\": The Science and Life of Albert Einstein, Oxford University Press, Oxford (1982), Seção 7.\n\n[12] L.V. Okun, Physics Today 42(6), 31 (1989).\n\n[13] T.R. Sandin, Am. J. Phys. 59, 1032 (1991).\n\n[14] W. Rindler, Introduction to Special Relativity, Clarendon Press, Oxford (1982), pp. 79-80; W. Rindler, Essential Relativity, Springer, New York (1977), 2ª Edição Revisita, Seção 5.3.\n\n[15] E.F. Taylor e J.A. Wheeler, Spacetime Physics, W. H. Freeman & Co., New York (1992), 2ª Edição, pp. 246-251.