Exercicio Resolvido Mecanica Geral-2023 1

Ac = \frac{\pi R^2}{4} = \frac{\pi20^2}{4} \Rightarrow Ac = 100\pi mm^2 Temos que, para um quarto de circunferência, X_{cmc} = \frac{4R}{3\pi} e Y_{cmc} = \frac{4R}{3\pi} , (tabelado) Analisando esses valores, na figura do problema, temos a seguinte localização do centróide de um quarto de circunferência. X_{cmc} = 10 + (20 - \frac{4R}{3\pi}) = 30 - \frac{4.20}{3\pi} = \frac{90\pi - 80}{3\pi} mm Y_{cmc} = \frac{4R}{3\pi} = \frac{4.20}{3\pi} = \frac{80}{3\pi} mm. As coordenadas \bar{X} e \bar{Y} do centróide são dadas por: \bar{X} = \frac{\sum Ai.x_{cmi}}{\sum Ai} \quad \bar{Y} = \frac{\sum Ai.x_{cmi}}{\sum Ai} \bar{X} = \frac{20 . 150 + 15 . 900 - (\frac{90\pi - 80}{3\pi} \times 100\pi)}{150 + 900 - 100\pi} \bar{X} = \frac{3000 + 13500 - 6758,11}{935,84} \bar{X} = 13,24 mm 1. \boxed{3,5 \text{ pontos}} Para a figura plana ilustrada, determine as coordenadas \bar{x} e \bar{y} do centróide: 2. \boxed{3,0 \text{ pontos}} Para a figura plana ilustrada, determine os momentos de inércia em relação aos eixos apresentados. CM=CG para um corpo gravitacional uniforme. A figura pode ser repartida em um triângulo e um retângulo, e um quarto de circunferência é uma "área retirado" do retângulo onde, nas cálculos, é subtraído em relação as outras áreas. A_T = \frac{10 \times 30}{2} = 150\ mm^2 X_{CMT} = 20 mm Y_{CMT} = (30 + \frac{10}{3}) \Rightarrow Y_{CMT} = \frac{100}{3} mm O cálculo do CM do triângulo pode ser encontrado através do baricentro do triângulo. \underline{A}(30,40) \quad X_{CMT}= \frac{30+30+0}{3} = \frac{60}{3} = 20 mm B(30,30) C(0,30) \quad X_{CMT} = \frac{40+30+30}{3} = \frac{100}{3} mm. Para o retângulo temos: A_R = 30 \times 30 = 900 mm^2 X_{CMR} = 15 mm \quad e \quad Y_{CMR} = 15 mm \{\text{centro do retângulo}\} \overline{Y} = \frac{\frac{100}{3} \times 150 + 15 \times 900 - \frac{80}{3 \pi} \times 100 \pi}{150 + 900 - 100 \pi} \overline{Y} = \frac{5000 + 13500 - 2666,67}{935,84} \overline{Y} = 21,52 mm Então temos que o centróide é localizado em -> \overline{X} = 13,24mm e \overline{Y} = 21,52mm (2) Usaremos o teorema dos eixos paralelos para o cálculo de Ix e Iy da figura em questão. I = \frac{1}{12} \times b \times h^3 + d^2 \times b \times h momento de inércia para retângulo. Ix1 = \frac{2 \times 8^3}{12} + 0^2 \times 8 \times 2 \Rightarrow para parte 1 Ix2 = \frac{4 \times 2^3}{12} + 0^2 \times 2 \times 4 \Rightarrow para parte 2 <- esse 0 significa que o eixo x ‘passa em cima’ do centróide da parte analisada. Então temos que: Ix = \frac{2 \times 8^3}{12} + \frac{4 \times 2^3}{12} = 88mm^4 Para o cálculo de Iy, o termo d do teorema dos eixos paralelos assume valor, pois o centróide das partes 1 e 2 estão localizados fora do eixo y. Iy1 = \frac{8 \times 2^3}{12} + 8 \times 2 \times 2^2 = 69,33 Iy2 = \frac{2 \times 4^3}{12} + 2 \times 4 \times 1^2 = 18,67 Iy = Iy1 + Iy2 Iy = 88mm^4 -> Então os seguintes valores para os momentos de inércia da figura são: Ix = 88mm^4 e Iy = 88mm^4