Mecanica dos Solidos - Projeto de Vigas e Diagramas de Esforcos Internos

Mecânica dos sólidos 2ME76H Prof Felipe Ruivo Fuja Aula 2 Projeto de vigas Revisão de diagramas de esforços internos A fórmula da flexão Viga Elemento estrutural sujeito a esforços internos de força cortante V e momento fletor M com uma dimensão muito maior que as demais Exemplo Caso geral com h a e b arbitrários Esforços internos e campo de tensões tridimensionais h a e h b Placa h a e b a viga A viga possui campo de tensões tridimensional também mas os esforços internos de força cortante e momento fletor são função de uma variável Diagrama de esforços internos σxy Viga no plano Mx Px Vx Mx Vx Px Viga no espaço Exercício Traçar os diagramas de esforços internos Solução DCL px é uma reta px a x b x 0 p 0 b 0 X L p po px po x L Reações Fy 0 Ay 0L px dx 0 Ay 0L po x L dx Ay po L2 2L Ay po L 2 MA 0 MA 0L px x dx 0 MA 0L po x2 L dx MA po L3 3L MA po L2 3 Esforços internos po L 2 po L2 3 px Mx A x Fy0 po L 2 0x px dx Vx 0 Vx po L 2 0x po x L dx Vx po 2 x2 L L MA0 Vxx Mx 0x pxx dx po L2 3 0 Mx po L2 3 0x po x2 L dx po 2 x3 L L x Mx po L2 3 po x3 3L po x3 2L po L x 2 Mx po 6L x3 3 x L2 2 L3 Vx Mx x x L L po L 2 po L2 6 Vx dM dx A fórmula da flexão Deformação varia linearmente ao longo de y Hipótese cinemática de Bernoulli ε ky Pela Lei de Hooke σ E ε Portanto σ E k y ou k σ ε y Momento fletor dM σy dA y M 0y σy y dA Substituindo σ E k y M E k y2 dA M E k y2 dA Izz Momento de inércia de área Portanto M E I k const Além disso M E Izz σ ε y σ M y Izz Mecânica dos Sólidos 2 ME761 Prof Felipe Ruivo Fupa Aula 3 Projeto de vigas Exercício Tensão de flexão σ M y I Maior distancia da linha neutra Para projeto baseado em resistência desejase obter as dimensões da seção transversal que satisfaçam σmax σadm Portanto M c I σadm I c Mmax σadm Sreq Módulo de resistência à flexão Sreq I c mm4 mm cm3 O módulo de resistência de alguns perfis comerciais está tabelado apêndice B Hibbeler Perfil de abas largas Exemplo W610 x 155 Abas largas 155 kgm d 610 mm C 380 x 74 Contornino d 380 mm 74 kgm L 203 x 203 x 254 Cont de alas iguais Tamanho Espessura Exercicio Solucao DCL Reaçoes Σ Fy 0 Ay 120 By 60 0 Ay By 180 kN Σ MA 0 120 2 By 4 60 6 0 By 360 240 4 By 150 kN Ay 30 kN Esforços Internos Σ Fy 0 Vx 30 kN Σ MA 0 30 x Mx 0 Mx 30 x Σ Fy 0 30 120 Vx 0 Vx 90 kN Σ MA 0 120 2 90 x Mx 0 Mx 90 x 240 Σ Fy 0 30 120 150 Vx 0 Vx 60 kN Σ MA 0 120 2 150 4 60 x Mx 0 Mx 60 x 360 Diagrama de esforços internos V 90 kN 30 kN 60 kN M 60 kNm 120 kNm Vmax 90 kN Mmax 120 kNm Modulo de resistencia Sreq Mmax Wodm 120 6 103 Nmm 170 Nmm2 Sreq 706 103 mm3 Solucao W 410 x 46 Tensao cisalhante τ VQ It Qmax no centroide Simplificação para viga de abas largas Tmax V Aalma w 410 x 460 Aalma talma d2tabae Aalma 699 403 2 112 Aalma 26562 mm2 Tmax Vmax Aalma Tmax 339 MPa Seções circulares σmax Mmax c I c d 2 I π r4 4 π d4 64 Substituindo σmax Mmax d 2 π d4 64 σmax 32 Mmax π d3 σadm Portanto d ³32 Mmax π σadm D diâmetro calculado para resistência à flexão somente Exemplo Para a viga da aula 2 determinar a altura hx da seção transversal necessária para garantir que a tensão máxima seja de σadm em todo o comprimento Mx Po 6L x3 3 x L2 2 L3 p0 L hx Mx Po L2 6 Seção transv Tensão de flexão máxima σx Mx c I funções de x Ix b hx3 12 Cx hx 2 Substituindo σx Po 6L x3 3 x L2 2 L3 6 b h2x σadm Ou seja hx Po x3 3 x L2 2 L3 σadm b L Para Po 1 Nmm L 2000 mm b 50 mm σadm 200 MPa Para otimizar ainda mais podese projetar para σadm em todos os pontos da seção não somente nas bordas externas Solução bxy Mecânica dos Sólidos 2 M E 761 Prof Felipe Ruivo Fyta Aula 4 Deflexão de vigas A linha elástica Projeto de resistência CAP 11 σ MyI σmax McI Módulo de resistência Sreq IC Mmaxσadm IC cte viga prisma IC x viga totalm solicitada Viga prismático Viga totalmente solicitada Deflexão de vigas CAP 12 Relação momento curvatura Ind deformado Deformado Deformação de um ponto na seção ε lim Δs0 Δs ΔsΔs ds dsds Comprimento original ds dx pdθ Comprimento deformado ds p y dθ Substituindo ε p ydθ p dθp dθ ε yP Na aula 2 εy k y k 1P Lei de Hooke σ Eε Substituindo σ EP y Equilibro σ MyI Portanto MyI EP y 1P MEI raio de curvatura Mom fletor Rigidez à flexão Na aula 2 k MEI Raio de curvatura Para uma viga no plano xy Deflexão de LN vx Portanto a curvatura da LN 1 ρx d²vdx² 1 dvdx² 32 vx 1 vx²32 Porém Mx EI 1 ρx Substituindo Mx EI vx 1 vx²32 Eq diferencial Relação momento x curvatura não linear de 2ª ordem Hipótese pequenos gradientes vx 0 Mx EI vx Eq diferencial de 2ª ordem linear Modelo de viga de EulerBernoulli Teoria clássica de viga Viga de engenharia Ângulo de rotação vx representa o ângulo de rotação da seção plana Portanto vx θx Solução vx Mx EI vx Mx EI dx C₁ vx Mx EI dx dx C₁x C₂ Constantes de integração A solução da deflexão vx depende das constantes de integração Condições de contorno Extremidade Fixa em vx Livre em vx Pino v 0 θ 0 Fixa em vx Fixa em vx Engaste v 0 θ 0 Se a rigidez à flexão for constante ao longo da viga Prismática EI vx Mx EI vx Mx dx C₁ EI vx Mx dx dx C₁x C₂ Exemplo EI constante Determinar vx e o deslocamento máximo Sulução DCL Reações ΣFy0 Ay P ΣMA0 MA PL Esforços Internos P ΣFy0 Vx Vx P A Mx ΣMAx 0 PL x Vxx Mx PL 0 Mx Px L Relação momento x curvatura vx MxEI Substituindo EI vx Px L Integrando EI vx P x²2 PLx C1 Integrando EI vx P x³6 PL x²2 C1 x C2 Condições de contorno v0 0 v0 0 substituindo v0 0 C1 0 v0 0 C2 0 Portanto vx 1EI Px³6 PLx²2 y Cubica L x vmax vmax vL 1EI P L³6 P L³2 1EI P L³6 3 P L³6 vmax P L³3 EI Constante de mola k Pv 3 EIL³ Pore vigas engatadas livre com força no ponto Mecânica dos Sólidos 2 ME7611 Prof Felipe Ruivo Fyga Aula 5 Métodos de Solução Linha elástica Relação Momento x Curvatura EI vx Mx Modelo de viga de EulerBernoulli Descontinuidades EIx vx Mx Descont na rigidez à flexão Descont no esforço interno ① Descontinuidade de esforço interno Exemplo 123 P EI cte Determinar vx solução DCL Ax Ay By 2a e P Reações Fy0 ΣFx0 AyPBy0 Ax0 Ay P3 MA 0 P2a By 3a 0 By 2P3 Esforços Internos Vx Mx Vx P3 0 Vx P3 MA 0 P3 x Mx 0 Funções válides em Mx Px3 0 x 2a Fy0 P3 P Vx 0 Vx 2P3 MA 0 P2a 2P3 x Mx 0 Mx 2P3 3a x Relação Momento x Curvatura EI d²ϑdx² Mx Para 0 x 2a EI ϑ₁x Px3 EI ϑ₁x Px²6 C₁ EI ϑ₁x Px³18 C₁ x C₂ Para 2a x 3a EI ϑ₂x 2P3 3a x EI ϑ₂x 2P3 3ax x²2 C₃ EI ϑ₂x 2P3 3a x²2 x³6 C₃ x C₄ 4 constantes de integração à serem determinadas Condições de contorno x0 x3a ϑ₁0 0 ϑ₂3a 0 EI 0 0 0 C₂ EI 0 2P3 3a³2 3a³6 3a C₃ C₄ 0 C₂ 0 0 2P3 27a³2 27a³6 3a C₃ C₄ 3a C₃ C₄ 6Pa³ Equações de compatibilidade continuidade Para vx ser contínua ϑ₁ 2a ϑ₂ 2a ϑ₁ 2a ϑ₂ 2a Substituindo 8Pa³18 2a C₁ 2P3 3a4a²2 8a³6 2a C₃ C₄ P 4a²6 C₁ 2P3 6a² 4a²2 C₃ Simplificando C2 0 3a c3 c4 6 Pa³ 2a c1 2a c3 c4 8 Pa³3 c1 c3 2 Pa² c4 8 Pa³3 4 Pa³ c4 12 Pa³3 8 Pa³3 4 Pa³3 3a c3 18 Pa³3 4 Pa³3 3a c3 22 Pa³3 c3 22 Pa²9 c1 82 Pa²9 22 Pa²9 c1 4 Pa²9 Resposta vx PEI x³18 4 a² x9 for x 2a PEI x³9 x² a 22 a² x9 4 a³3 for x 2a vx vmax 0484 Pa³EI em x 1633 a ② Descontinuidade de geometria Exercício 129 A B C IAB l IBC Determinar vL DCL Ay P MA Reações Σ Fy 0 Ay P Σ MA 0 MA PL 0 MA PL Esforços Internos Σ M0 0 Mx Px PL 0 Mx Px L Rel momento x curvatura Σ EI v Mx EIAB v1 Px L EIAB v1 Px²2 Lx C1 EIAB v1 Px³6 Lx²2 C1 x C2 EIBC v2 Px²2 Lx C3 EIBC v2 Px³6 Lx²2 C3 x C4 Condições de contorno vs0 0 C2 0 vs0 0 C1 0 Condições de compatibilidade vsLl v2Ll C3 P2l²L²IBCIAB1 vLl vLl C4 Resposta vL P3EIABL³ 1 IABIBCl³ Se IAB IBC I vL PL³3EI Mecânica dos Sólidos 2 ME761 Prof Felipe Ruivo Fuga Aula 6 Funções Singulares Relação momento x curvatura EulerBernoulli EI v M Derivando em relação à x ddxEI d²vdx² dMdx d²dx²EI d²vdx² d²Mdx² Esforços internos da viga Σ Fy 0 Vx wx dx Vx dV 0 dV wx dx ou dVdx wx Σ M₀ 0 Mx Vx dx wx dxdx2 Mx dM 0 dM Vx dx wx dx²2 0 Tende à zero mais rapidamente ou seja dM Vx dx ou dMdx Vx Portanto dMdx Vx d²udx² wx Substituindo na relação momento x curvatura d²dx²EI d²vdx² wx EI d⁴vdx⁴ wx ddxEI d²vdx² Vx EI d³vdx³ Vx EI d²vdx² Mx EI d²vdx² Mx Funções de descontinuidade singularidade Objetivo descrever todos os esforços externos por uma única função wx Funções de Macauley xan 0 xa xan xa n0 xan 0 xa 1 xa n0 Exemplo x32 0 se x3 x3 se x3 x31 0 se x3 1 se x3 Integrais n0 xan dx xan1n1 C n0 xan dx xan1n1 carga wx V w dx M V dx Mo xa2 Mo xa1 Mo xa0 P xa1 P xa0 P xa1 W0 xa0 W0 xa1 W02 xa2 m xa1 m2 xa2 m6 xa3 Inclinação m Adotando dVdx w e dMdx V Exemplo 25 Determinar Vx usando funções de descontinuidade Solução DCL Reações ΣFy 0 Ay 05 8 dx 12 0 Ay 12 85 Ay 52 kN ΣMa 0 05 8x dx 50 12 9 MA 0 MA 108 50 452 MA 258 kNm Funções de descontinuidades Mx 258x0 52x1 50x50 12x91 2 wx O carregamento distribuído inicia em xa0 porém termina em x5 Nesse caso o carregamento é estaticamente equivalente a Portanto Mx 258x0 52x1 50x50 12x91 82x2 82x52 0 x9 Relação momento curvatura EI v Mx EI v 258x1 522x2 50x51 43x3 43x53 C1 EI v 2582x2 526x3 502x52 412x4 412x54 C1 x C2 Condições de contorno v0 0 EI v0 0 258202 52603 50201 41204 4120 C10 C2 C2 0 v0 0 EI v0 0 2580 5220 500 4303 430 C1 0 C1 0 Portanto vx 1EI 2582x2 526x3 412x4 25x52 412x54 Mecânica dos Sólidos 2 ME760H Prof Felipe Ruivo Fuga Aula 7 Exercícios 1248 Determinar vx em função de EI e vmax Solução Reações ΣMB 0 15024 150322 Ay3 0 Ay 1200 4503 Ay 550 kN ΣFy 0 Ay By 1502 15032 0 By 25 kN Carga a mento equivalente Mx 1502 x2 550 x21 25 x51 506 x23 Relação momento x curvatura EI v Mx EI v 1502 x2 550 x21 506 x23 EI v 1506 x3 5502 x22 5024 x24 C1 EI v 15024 x4 5506 x23 50120 x25 C1 x C2 Condições de contorno v20 v50 Substituindo 0 15024 24 2C1 C2 2C1 C2 100 EQ I 0 15024 54 5506 33 50120 35 5C1 C2 5C1 C2 1330 EQ II Resolvendo o sistema C1 450 C2 720 Resposta vx 1EI 625 x4 450 x 720 9167 x23 0417 x25 Deslocamento máximo Opção 1 Opção 2 O deslocamento máximo será em x0 ou entre A e B Ponto X m EI vx 1 0 720 2 25 723 3 35 897 4 45 351 Exercício 1229 Carga externa de peso próprio Determinar deslocamento máximo Solução A força peso é uma força de volume ρ densidade kgm³ γ gρ peso específico Nm³ Portanto cada volume infinitesimal exerce uma força dW dW γdV Para a viga dV dx dy dz Seção infinitesimal dV hbxdx Portanto o peso de cada seção dW γhbxdx ou dWdx γhbx wx Nm Em resumo Função bx é uma reta bx b1 xL x0 bxb xL bx0 Portanto wx γbh 1 xL DCL Reações ΣFy0 Ay ₀ᴸ wxdx γbh L L2 Ay γbhL2 ΣMA 0 MA ₀ᴸ wxx dx γbh L²2 L²3 MA γbhL²6 ₀ˣ wx dx γbh x x²2L ₀ˣ wxx dx γbh x²2 x³3L Esforços internos ΣFy0 ₀ˣ wxdx Vx 0 Vx γbhl2 γbh x x²2L Vx γbh x²2L x l2 ΣMA0 ₀ˣ wxx dx Vxx Mx 0 γbhl²6 γbh x²2 x³3L γbh x³2L x²2 xl2 My0 0 Mx γbhl6 x³L 3x² 3xL L² Relação momento x curvatura EI v bh6 x3l3 3x2 3xL L3 I bxh312 bh312 1 xl EIv bh6 bh312 x3l 3x2 3xL L3L x v 2 Eh2 x3 3x2L 3xL2 L3L x v 2 Eh2 x L2 2 Eh2 x2 2xL L2 v 2 Eh2 x33 x2L xL2 C1 v 2 Eh2 x412 x3L3 x2L22 C1x C2 Condições de contorno v0 0 C2 0 v0 0 C1 0 vx 2 Eh2 x412 x3L3 x2L22 vL lh4 2Eh2 Mecânica dos sólidos 2 ME7611 Prof Felipe Ruivo Fuga Aula 8 Superposição linear Relação momento x curvatura EI d2vdx2 Mx constante EI d3vdx3 Vx EI d4vdx4 wx Esta equação diferencial satisfaz dois requisitos para a aplicação da superposição linear 1 Tensões são proporcionais às corpos wx 2 A condição deformada é aproximadamente igual a condição original s s Pequenos deslocamentos 1p d2vdx2 Portanto a solução vx de um problema de viga pode ser de composta em parcelas v1x e v2x com as mesmas condições de contorno vx v1x v2x Apêndice C Hibbeler apresenta soluções vx para casos simples de vigas simplesmente apoiadas e em balanço vx Px 3L2 4x2 48EI x L vL2 PL3 48EI vx vL2 5wL4 768EI Deslocamento total em x L2 vL2 8 103 83 48EI 5 2 103 84 768EI vL2 1387 103 EI Exemplo 1215 Apêndice C vmax w0 L4 30EI θmax w0 L3 24EI Como calcular deslocamentos a partir de B DeCL wo 4kNm Reações ΣFy0 Ay 4 10 2 Ay 20kN ΣMA0 MA 20 103 0 MA 6667 kNm Esforços internos 6667 kNm 20kN EJ v M Mx 0 EJ v2 0 6667 kNm 20kN Portanto ϑ0 entre B e C Ou seja não há curvatura A viga deflete seguindo uma linha reta com ϑ cte EJϑ₂0 EJϑ₂c₁ EJϑ₂ c₁x c₂ Constantes ϑ₁10 ϑ₂10 ϑ₁10 ϑ₂10 A partir do ponto B o ângulo de giro é constante image diagram Portanto ϑ𝑐 ϑ𝐵 3 tgθ𝐵 ϑ𝐵 3θ𝐵 ϑ𝑐 450⁴ 30 EJ 3 410³ 24 EJ ϑ𝑐 9610⁵ 3610⁵ 720 EJ ϑ𝑐 18333EI Exemplo 1216 I 4687510⁶ m⁴ A C B k k 1m 2m k 45 kNm E 200 GPa DCL diagram Reações Fᵧ0 Ay By 3 kN Ay 2 kN Mₐ0 31 By3 0 By 1 kN Deflexão caso 1 ϑ₁x0 Ayk 2 kN45 kNm ϑ₁x0 4444 mm ϑ₁x3 B₁k 1 kN45 kNm ϑ₁x3 2222 mm Como nesse caso a viga é rígide ϑ₁x ax b 4444 10³ a0 b b 4444 10³ m 2222 10³ a3 4444 10³ a 74067 10³ Portanto ϑ₁x 74067 10³ x 4444 10³ ϑ₁x1 3703 mm Reflexão caso 2 ϑ₂x1 32113² 2² 1² 6EI3 ϑ₂x1 1333EI kN m³ ϑ₂x1 133310³ N10³ mm³ 20010³ Nm² 4687510⁶ 10³ mm⁴ ϑ₂x1 142 mm Portanto vx1 3703 142 mm vc 3845 mm Mecânica dos Sólidos 2 MET614 Prof Felipe Ruivo Fuga Aula 9 Vigas estaticamente indeterminadas Sistema estrutural determinado Esforços externos e internos são determinados pelas equações de equilíbrio A p B Reações DCL Fx 0 Ax Pseca 0 Ax Pseca Fy 0 Ay Pcos α By 0 Ay Pcos α Para 2 Ay Pcos α 2 MA 0 Pcos αL2 ByL 0 By Pcos α 2 Como os esforços externos Vx e Mx são determinados Es wx Mx vx e vx são determinados Portanto n equações de equilíbrio m esforços de reação n m Sistema estaticamente indeterminado Esforços externos e internos são determinados ao resolver Eq de equilíbrio Condição Relação def x deslocamento de compatibilidade Constitutiva Exemplo Inicógnitas Ay Ax MA e By 4 Eq de equilíbrio ΣFx ΣFy ΣM 3 Grau de indeterminação 431 Sistema estaticamente indeterminado de grau 1 Requer uma equação extra Procedimento de solução Um dos esforços de reação será tratado como uma força externa conhecida Seu valor será determinado por meio das condições de contorno Portanto Determinar quais esforços são redundantes Determinar esforços internos Calcular deflexões Substituir condições de contorno Exemplo 129 Determinar reações Solução DCL Wx w0 x L Reações Ay By Bx e MB 4 Equações de Equilíbrio ΣFx ΣFy ΣM 3 Grau de indeterminação 1 Esforço redundante Ay Ou Adotando Ay como redundante wx Reações ΣFx0 Bx0 ΣFy0 Ay 0L w0 xL dx By0 By w0 L2 Ay ΣMA0 0L w0 x²L dx By L MB0 MB w0 L²2 Ay L w0 L²3 MB w0 L²6 Ay L