Listas de Exercícios 9 à 11 e Tarefa 5 Geoanalitica e Algebra Linear-2022 2

3 Ah be Ministério da Educacao ©\2)@ Universidade Tecnologica Federal do Parana TPR Ss ‘pi s Campus Apuca rana UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Lista de atividades 9 (Revisao de matrizes) RA3-ID1: Resolve sistemas de equacoes lineares a partir do emprego de operagoes matriciais, interpretando a solucao final determinada. 1. Sejam as matrizes 12 8 201 I ae[$? 8). we[ 282). cn[2], papa 4 (a) A+B (c) D-A (e) —A (b) A-C (d) D-B 2. Determine x,y,z e w se ey} }2 3); _]1 0 zw 3 4} |]0 1 2 ; 2 1 3. Se A* = A- A, calcule 3 | . th . Ministério da Educacao = <2) @ Universidade Tecnolégica Federal do Parana TPR NY Pa Ca mM pus Apuca rana UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Lista de atividades 10 RA3-ID1: Resolve sistemas de equacoes lineares a partir do emprego de operagoes matriciais, interpretando a solucao final determinada. 1. Reduza as matrizes abaixo a forma escada reduzida por linhas. 1 -2 3 -l 01 3 -2 0 2 2 (a) | 2 -1 2 8 (b) | 2 1 -4 3 w |i 4 3 3 1 2 3 23 2 -1 7 13 4 -2 2-3 1 2. Calcule o posto e a nulidade das matrizes do exercicio anterior. 3. Resolva os seguintes sistemas lineares, determinando a matriz ampliada linha re- duzida a forma escada em cada caso, dando seus postos e os postos das matrizes dos coeficientes, e, se o sistema for possivel, o seu grau de liberdade (nulidade). (a) tty+z=4 x+2y+3z=0 Qa + 5y —2z=3 (c) 24+y+3z=0 e+ytz=4 ju + 2y bz = 0 (b) ¢ 24+ 5y—2z=3 () x—2y+3z=0 x+Ty—7Tz=5 2xr + Sy + 6z = 0 —4dr + 3y = 2 4. Determine & para que o sistema ¢ 52—4y=0 — admita solucao. 24 —y=k 5. Resolva os seguintes sistemas lineares, utilizando adequadamente o método de eli- minacao de Gauss. 2e+y+z=5 rty+tz=-2 (a) « 4x —6y = —-2 (c) 4 30+ 3y—-z7=6 —24%+7y+2z=9 xr-yt+z=-1 2x + 3y = 0 T+y+tz=2 (b) 4 4e+5y+2=3 (d) 4 «+3y+3z=0 2x -—y-—3z=5 ut+3y+5z=2 6. Determine as inversas da matrizes abaixo, utilizando adequadamente o método de Gauss-Jordan. 1 0 0 111 (a) A=] 2 1 3 (b) A=]1 2 2 00 1 1 2 3 Lista de atividades 10 RA4-ID1: Representa geometricamente e algebricamente diferentes tipos de trans- formações lineares. 1. Considere a aplicação T : R2 → R3 definida por T(x, y) = (x + ky, x + k, y). Para cada escolha de k nos itens abaixo, verifique se a aplicação T é uma transformação linear. (a) k = x (b) k = 1 (c) k = 0 2. Determine a matriz associada a cada uma das transformações lineares abaixo e represente-as geometricamente. (a) T(x, y) = (y, x) (b) T(x, y) = (−y, −x) (c) T(x, y) = (x, 0) 3. Considere a aplicação T : R3 → R3 definida por T(x, y, z) = (x − 3y, x − z, z − x) (a) Determine o núcleo de T. (b) Determine a imagem de T. 4. Seja T : R3 → R3 uma transformação linear, onde T(v1) = (1, 0, −1), T(v2) = (1, 1, 1) e T(v3) = (3, 1, −2), para v1 = (0, 1, 0), v2 = (1, 0, 1) e v3 = (1, 2, 0). (a) Determine a transformação linear e o valor de T(v), onde v = (2, −1, 9). (b) Determine o núcleo de T. (c) Determine a imagem de T. Tarefa 5 - Sistemas Lineares RA3-ID1: Resolve sistemas de equações lineares a partir do emprego de operações matriciais, interpretando a solução final determinada. Problema Determine k para que o sistema    −4x + 3y = 2 5x − 4y = 0 2x − y = k admita solução. Perguntas Sim Não Representou o sistema linear por meio da matriz aumentada? Determinou a forma escada reduzida da matriz aumentada, utilizando apenas as operações possíveis entre as linhas da matriz? Interpretou corretamente a expressão "admite solução", relacionando-a com os postos da matriz dos coeficientes e da matriz aumentada? Calculou corretamente os postos das matrizes envolvidas? Determinou o valor de k a partir da definição de posto e do valor encontrado no item anterior? Determinou o total de soluções do sistema, relacionando o posto calculado com número de incógnitas do sistema? Tabela 1: Checklist de correção da tarefa. Ht A Ministério da Educacao ©\2)@ Universidade Tecnologica Federal do Parana TPR NY Dc Ca m pus Apuca rana UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL DO PARANA Lista de atividades 11 RA4-ID2: Determina corretamente autovalores e autovetores de uma transforma- cao linear. 1. Determine os autovalores e os autovetores das seguintes matrizes. 1 3 3 -1 38 @) =| 3 : | (b) A=|0 2 3 0 0 -1 2. Determine os autovalores e os autovetores da matriz abaixo. Para cada autovalor \, os seus autovetores correspondentes geram um subespaco chamado de subespago proprio. Determine uma base para cada um desses subespacos. 1 1 =O A=|0 -2 1 0 0 38 3. Para cada uma das transformacoes lineares abaixo, determine os autovetores e autovalores, caso existam. (a) T: R* > R* tal que T(z, y) = (42 + 5y, 2 + y). (b) T: R® > R? tal que T(z, y, z) = (—2, -y, —2). (c) T: R? > R? tal que T(z, y) = (x + 4y, 2x + 3y). (d) T: R? > R? tal que T(z, y) = (a@+ y, 32 — y).