Slide Matriz Inversa Usando a Matriz Adjunta e Alguns Exemplos Adicionais de Determinantes-2022 1

Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Professora: Adriana Juzga Le´on UFSC - Campus Blumenau Departamento de Matem´atica Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Definic¸˜ao Seja A = (aij)n×n. Se A ´e invert´ıvel sua matriz inversa esta dada por: A−1 = 1 det(A)adj(A) Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Da express˜ao A−1 = 1 det(A)adj(A) temos que A´e invers´ıvel ↔ det(A) ≠ 0 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Usando a matriz adjunta calcular a matriz inversa de A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Como A−1 = 1 det(A)adj(A) procedemos a calcular o determinante da matriz A: Notemos que, A ´e uma matriz triangular inferior logo det(A) = (2)(−1)(3) = −6 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Usando a matriz adjunta calcular a matriz inversa de A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Como A−1 = 1 det(A)adj(A) procedemos a calcular o determinante da matriz A: Notemos que, A ´e uma matriz triangular inferior logo det(A) = (2)(−1)(3) = −6 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Usando a matriz adjunta calcular a matriz inversa de A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Como A−1 = 1 det(A)adj(A) procedemos a calcular o determinante da matriz A: Notemos que, A ´e uma matriz triangular inferior logo det(A) = (2)(−1)(3) = −6 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Usando a matriz adjunta calcular a matriz inversa de A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Solu¸c˜ao: Como A−1 = 1 det(A)adj(A) procedemos a calcular o determinante da matriz A: Notemos que, A ´e uma matriz triangular inferior logo det(A) = (2)(−1)(3) = −6 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Procedemos a calcular os cofatores da matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Notemos que, os trˆes primeiros cofatores s˜ao: c11 = (−1)1+1M11 = (−1)2 ∣−1 0 4 3∣ = −3 c12 = (−1)1+2M12 = (−1)3 ∣−1 0 2 3∣ = −(−3) = 3 c13 = (−1)1+3M13 = (−1)4 ∣−1 −1 2 4 ∣ = −2 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Procedemos a calcular os cofatores da matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 0 0 −1 −1 0 2 4 3 ⎞ ⎟ ⎠ Notemos que, os trˆes primeiros cofatores s˜ao: c11 = (−1)1+1M11 = (−1)2 ∣−1 0 4 3∣ = −3 c12 = (−1)1+2M12 = (−1)3 ∣−1 0 2 3∣ = −(−3) = 3 c13 = (−1)1+3M13 = (−1)4 ∣−1 −1 2 4 ∣ = −2 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Os outros cofatores s˜ao: c21 = (−1)2+1M21 = (−1)3 ∣0 0 4 3∣ = −(0) = 0 c22 = (−1)2+2M22 = (−1)4 ∣2 0 2 3∣ = 6 c23 = (−1)2+3M23 = (−1)5 ∣2 0 2 4∣ = −(8) = 8 c31 = (−1)3+1M31 = (−1)4 ∣ 0 0 −1 0∣ = 0 c32 = (−1)3+2M32 = (−1)5 ∣ 2 0 −1 0∣ = −(0) = 0 c33 = (−1)3+3M33 = (−1)6 ∣ 2 0 −1 −1∣ = −2 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, a matriz de cofatores de A ´e: C = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −2 0 6 8 0 0 −2 ⎞ ⎟ ⎠ E, portanto, a matriz adjunta de A ´e adj(A) = C T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, a matriz de cofatores de A ´e: C = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −2 0 6 8 0 0 −2 ⎞ ⎟ ⎠ E, portanto, a matriz adjunta de A ´e adj(A) = C T = ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, A−1 = 1 det(A) adj(A) = 1 −6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = −1 6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 1/2 0 0 −1/2 −1 0 1/3 −4/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, A−1 = 1 det(A) adj(A) = 1 −6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = −1 6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 1/2 0 0 −1/2 −1 0 1/3 −4/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, A−1 = 1 det(A) adj(A) = 1 −6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = −1 6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 1/2 0 0 −1/2 −1 0 1/3 −4/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, A−1 = 1 det(A) adj(A) = 1 −6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = −1 6 ⎛ ⎜ ⎝ −3 0 0 3 6 0 −2 8 −2 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 1/2 0 0 −1/2 −1 0 1/3 −4/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Portanto, A−1 = ⎛ ⎜ ⎝ 1/2 0 0 −1/2 −1 0 1/3 −4/3 1/3 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ No exemplos da aula passada mostramos que det(A) = 1 e adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Logo, A−1 = 1 det(A)adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ No exemplos da aula passada mostramos que det(A) = 1 e adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Logo, A−1 = 1 det(A)adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 −1 1 2 0 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎠ No exemplos da aula passada mostramos que det(A) = 1 e adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Logo, A−1 = 1 det(A)adj(A) = ⎛ ⎜ ⎝ −3 3 −1 2 −2 1 6 −5 2 ⎞ ⎟ ⎠ Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Finalizamos nossa aula de hoje apresentando alguns exemplos adicionais de determinantes: Exemplo Sejam A = ( 2 5 −8 2) e B = (5 0 1 2). Calcular det(BTA−1) Solu¸c˜ao: Temos duas op¸c˜oes i) Podemos calcular BT e A−1, depois o produto BTA−1 e finalizar calculando o det(BTA−1). ii) Usando o fato que as duas matrizes s˜ao quadradas pode- mos usar as propriedades dos determinantes e simplificar as opera¸c˜oes. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Finalizamos nossa aula de hoje apresentando alguns exemplos adicionais de determinantes: Exemplo Sejam A = ( 2 5 −8 2) e B = (5 0 1 2). Calcular det(BTA−1) Solu¸c˜ao: Temos duas op¸c˜oes i) Podemos calcular BT e A−1, depois o produto BTA−1 e finalizar calculando o det(BTA−1). ii) Usando o fato que as duas matrizes s˜ao quadradas pode- mos usar as propriedades dos determinantes e simplificar as opera¸c˜oes. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Finalizamos nossa aula de hoje apresentando alguns exemplos adicionais de determinantes: Exemplo Sejam A = ( 2 5 −8 2) e B = (5 0 1 2). Calcular det(BTA−1) Solu¸c˜ao: Temos duas op¸c˜oes i) Podemos calcular BT e A−1, depois o produto BTA−1 e finalizar calculando o det(BTA−1). ii) Usando o fato que as duas matrizes s˜ao quadradas pode- mos usar as propriedades dos determinantes e simplificar as opera¸c˜oes. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Finalizamos nossa aula de hoje apresentando alguns exemplos adicionais de determinantes: Exemplo Sejam A = ( 2 5 −8 2) e B = (5 0 1 2). Calcular det(BTA−1) Solu¸c˜ao: Temos duas op¸c˜oes i) Podemos calcular BT e A−1, depois o produto BTA−1 e finalizar calculando o det(BTA−1). ii) Usando o fato que as duas matrizes s˜ao quadradas pode- mos usar as propriedades dos determinantes e simplificar as opera¸c˜oes. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Vamos proceder com a op¸c˜ao ii): det(BTA−1) = det(BT) det(A−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) Por outro lado, ∣A∣ = ∣ 2 5 −8 2∣ = (2)(2) − (5)(−8) = 4 + 40 = 44 e ∣B∣ = ∣5 0 1 2∣ = (5)(2) = 10 Portanto, det(BTA−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) = 10 ⋅ ( 1 44) = 10 44 = 5 22 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Vamos proceder com a op¸c˜ao ii): det(BTA−1) = det(BT) det(A−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) Por outro lado, ∣A∣ = ∣ 2 5 −8 2∣ = (2)(2) − (5)(−8) = 4 + 40 = 44 e ∣B∣ = ∣5 0 1 2∣ = (5)(2) = 10 Portanto, det(BTA−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) = 10 ⋅ ( 1 44) = 10 44 = 5 22 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Vamos proceder com a op¸c˜ao ii): det(BTA−1) = det(BT) det(A−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) Por outro lado, ∣A∣ = ∣ 2 5 −8 2∣ = (2)(2) − (5)(−8) = 4 + 40 = 44 e ∣B∣ = ∣5 0 1 2∣ = (5)(2) = 10 Portanto, det(BTA−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) = 10 ⋅ ( 1 44) = 10 44 = 5 22 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Vamos proceder com a op¸c˜ao ii): det(BTA−1) = det(BT) det(A−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) Por outro lado, ∣A∣ = ∣ 2 5 −8 2∣ = (2)(2) − (5)(−8) = 4 + 40 = 44 e ∣B∣ = ∣5 0 1 2∣ = (5)(2) = 10 Portanto, det(BTA−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) = 10 ⋅ ( 1 44) = 10 44 = 5 22 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Vamos proceder com a op¸c˜ao ii): det(BTA−1) = det(BT) det(A−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) Por outro lado, ∣A∣ = ∣ 2 5 −8 2∣ = (2)(2) − (5)(−8) = 4 + 40 = 44 e ∣B∣ = ∣5 0 1 2∣ = (5)(2) = 10 Portanto, det(BTA−1) = det(B) ⋅ 1 det(A) = 10 ⋅ ( 1 44) = 10 44 = 5 22 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A ´e uma matriz quadrada de ordem n. Suponha que A invers´ıvel e prove que det(A−1) = 1 det(A) Solu¸c˜ao: Como A ´e invers´ıvel, temos que existe A−1 e AA−1 = I e A−1A = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A ´e uma matriz quadrada de ordem n. Suponha que A invers´ıvel e prove que det(A−1) = 1 det(A) Solu¸c˜ao: Como A ´e invers´ıvel, temos que existe A−1 e AA−1 = I e A−1A = I onde I ´e a matriz identidade de ordem n. Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, de AA−1 = I obtemos det(AA−1) = det(I) det(A)det(A−1) = 1 como A ´e invers´ıvel, temos que det(A) ≠ 0 Logo, da ´ultima igualdade obtemos det(A−1) = 1 det(A) Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, de AA−1 = I obtemos det(AA−1) = det(I) det(A)det(A−1) = 1 como A ´e invers´ıvel, temos que det(A) ≠ 0 Logo, da ´ultima igualdade obtemos det(A−1) = 1 det(A) Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Logo, de AA−1 = I obtemos det(AA−1) = det(I) det(A)det(A−1) = 1 como A ´e invers´ıvel, temos que det(A) ≠ 0 Logo, da ´ultima igualdade obtemos det(A−1) = 1 det(A) Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes Exemplo Seja A uma matriz quadrada de ordem n invers´ıvel. Deduzir uma f´ormula para det(A−3) Solu¸c˜ao: Notemos primeiro que, A−3 = (A−1)3 = A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1 Logo, det(A−3) = det(A−1 ⋅ A−1 ⋅ A−1) = det(A−1)det(A−1)det(A−1) = (det(A−1))3 = ( 1 det(A)) 3 = 1 (det(A))3 = (det(A))−3 Professora: Adriana Juzga Le´on Matriz inversa usando a matriz adjunta e Alguns exemplos adicionais de determinantes