Cálculo de Momentos Fletores e Esforços Cortantes em Estruturas

02062022 1 UNIVERSIDADE VEIGA DE ALMEIDA UVA GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL EXERCÍCIO PROPOSTO Obtenha o momento fletor e esforço cortante da estrutura a seguir usando o Método dos deslocamentos Considere E 1 I109 EI 109 A 020 m² 2 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 2 ROTEIRO 1 Determinar o grau de hiperestaticidade da estrutura 2 Identificar as deslocabilidades da estrutura 3 Montar o sistema hipergeométrico 4 Identificar e montar o n de casos necessários para resolver a estrutura 5 Calcular os coeficientes de rigidez de cada caso 6 Montar as equações de equilíbrio do problema 7 Obter os valores das deslocabilidades 8 Calcular os esforços da estrutura 3 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Cálculo do Grau de Hiperestaticidade da estrutura g n de componentes de reação n de aneis 3 3 nº de eq vindas de articulações internas g 32 30 30 2 2x hiperestático 4 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 3 RESOLUÇÃO Identificação das deslocabilidades da estrutura 7 Deslocabilidades 5 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Definição do Sistema hipergeométrico SH Os apoios fictícios são definidos em função das deslocabilidades existentes 6 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Deslocabilidades restritas 02062022 4 RESOLUÇÃO Caso 0 Solicitação externa aplicada no SH Obtenção dos parâmetros de termos de carga 𝛽10 0 𝛽20 100 𝑘𝑁 𝛽30 6667 𝑘𝑁 𝑚 𝛽40 0 𝛽50 100 𝑘𝑁 𝛽60 6667 𝑘𝑁 𝑚 𝛽70 400 𝑘𝑁 𝑚 7 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Caso 1 Deslocamento unitário 𝐷1 1 aplicado na direção 1 Solicitação externa aplicada no SH 8 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝒌𝟏𝟏 𝒌𝟐𝟏 𝒌𝟑𝟏 02062022 5 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟏𝟏 𝑘11 𝐸𝐴 𝐿 12 𝐸𝐼 𝐿³ 9 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟐𝟏 Não há parcela de rigidez axial Ou de flexão nas barras 𝒌𝟐𝟏 𝟎 10 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 6 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟑𝟏 𝒌𝟑𝟏 𝟔𝑬𝑰 𝑳² 11 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Caso 2 Deslocamento unitário 𝐷2 1 aplicado na direção 2 12 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝒌𝟐𝟐 𝒌𝟑𝟐 02062022 7 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟐𝟐 13 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Componente axial da rigidez 𝒌𝟐𝟐 a barra se desloca no sentido vertical RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟐𝟐 k22 𝐸𝐴 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿³ 14 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Barra horizontal 02062022 8 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟏𝟐 O deslocamento 𝐷2 é vertical logo Não haverá rigidez axial Em 𝒌𝟏𝟐 𝒌𝟏𝟐 𝟎 15 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar A rigidez é na direção de eixo da barra RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟏𝟐 O deslocamento 𝐷2 é vertical logo Não haverá rigidez à flexão Em 𝒌𝟏𝟐 Logo o coeficiente de rigidez final é 𝒌𝟏𝟐 𝟎 16 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Não há rigidez À flexão na direção do eixo 02062022 9 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟑𝟐 O deslocamento 𝐷2 é vertical logo Logo o coeficiente de rigidez final é 𝒌𝟑𝟐 𝟔𝑬𝑰 𝑳² 17 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Caso 3 Deslocamento unitário 𝐷3 1 aplicado na direção 3 18 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝐤𝟐𝟑 𝐤𝟑𝟑 𝐤𝟏𝟑 02062022 10 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟑𝟑 19 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k33 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟏𝟑 20 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k13 6𝐸𝐼 𝐿² 0 6𝐸𝐼 𝐿² 02062022 11 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟐𝟑 21 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k23 6𝐸𝐼 𝐿² RESOLUÇÃO Caso 4 Deslocamento unitário 𝐷4 1 aplicado na direção 4 22 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝐤𝟓𝟒 𝐤𝟔𝟒 𝐤𝟒𝟒 02062022 12 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟒𝟒 𝑘44 𝐸𝐴 𝐿 12 𝐸𝐼 𝐿³ 23 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟒 Não há parcela de rigidez axial Ou de flexão nas barras 𝒌𝟓𝟒 𝟎 24 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 13 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟔𝟒 𝒌𝟔𝟒 𝟔𝑬𝑰 𝑳² 25 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar RESOLUÇÃO Caso 5 Deslocamento unitário 𝐷5 1 aplicado na direção 5 26 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝐤𝟑𝟑 𝐤𝟏𝟑 𝐤𝟓𝟓 𝐤𝟔𝟓 02062022 14 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟓 27 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Componente axial da rigidez 𝒌𝟐𝟐 a barra se desloca no sentido vertical RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟓 k55 𝐸𝐴 𝐿 12𝐸𝐼 𝐿³ 28 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar Barra horizontal 02062022 15 RESOLUÇÃO O deslocamento 𝐷5 é vertical logo Não haverá rigidez axial Em 𝒌𝟒𝟓 𝒌𝟒𝟓 𝟎 29 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar A rigidez é na direção de eixo da barra RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟔𝟓 O deslocamento 𝐷5 é vertical logo Logo o coeficiente de rigidez final é 𝒌𝟔𝟓 𝟔𝑬𝑰 𝑳² 30 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 16 RESOLUÇÃO Caso 6 Deslocamento unitário 𝐷6 1 aplicado na direção 6 31 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝐤𝟓𝟔 𝐤𝟔𝟔 𝐤𝟒𝟔 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟔𝟔 32 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k66 4𝐸𝐼 𝐿 4𝐸𝐼 𝐿 02062022 17 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟒𝟔 33 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k46 6𝐸𝐼 𝐿² 0 6𝐸𝐼 𝐿² RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟔 34 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k56 6𝐸𝐼 𝐿² 02062022 18 RESOLUÇÃO Caso 7 Deslocamento unitário 𝐷7 1 aplicado na direção 7 35 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 𝐤𝟕𝟕 𝐤𝟒𝟕 𝐤𝟓𝟕 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟕𝟕 36 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k77 4𝐸𝐼 𝐿 02062022 19 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟔𝟕 37 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k67 2𝐸𝐼 𝐿 0 6𝐸𝐼 𝐿 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟕 38 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k57 0 02062022 20 RESOLUÇÃO Cálculo do coeficiente 𝒌𝟓𝟔 39 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar k56 6𝐸𝐼 𝐿² 𝐸𝐴 𝐿 RESOLUÇÃO Aplicase as condições de equilíbrio neste caso as reações são nulas nos apoios fictícios 𝛽1 𝑘11𝐷1 𝑘12𝐷2 𝑘13𝐷3 𝑘14𝐷4 𝑘15𝐷5 𝑘16𝐷6 𝑘17𝐷7 0 𝛽2 𝑘21𝐷1 𝑘22𝐷2 𝑘23𝐷3 𝑘24𝐷4 𝑘25𝐷5 𝑘26𝐷6 𝑘27𝐷7 0 𝛽3 𝑘31𝐷1 𝑘32𝐷2 𝑘33𝐷3 𝑘34𝐷4 𝑘35𝐷5 𝑘36𝐷6 𝑘37𝐷7 0 𝛽4 𝑘41𝐷1 𝑘42𝐷2 𝑘43𝐷3 𝑘44𝐷4 𝑘45𝐷5 𝑘46𝐷6 𝑘47𝐷7 0 𝛽5 𝑘51𝐷1 𝑘52𝐷2 𝑘53𝐷3 𝑘54𝐷4 𝑘55𝐷5 𝑘56𝐷6 𝑘57𝐷7 0 𝛽6 𝑘61𝐷1 𝑘62𝐷2 𝑘63𝐷3 𝑘64𝐷4 𝑘65𝐷5 𝑘66𝐷6 𝑘67𝐷7 0 𝛽7 𝑘71𝐷1 𝑘72𝐷2 𝑘73𝐷3 𝑘74𝐷4 𝑘75𝐷5 𝑘7𝐷6 𝑘77𝐷7 0 40 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 21 EXEMPLO Cálculo das reações de apoio 41 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar EXEMPLO Cálculo do Momento fletor 42 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 22 EXEMPLO Cálculo do Esforço cortante 43 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar EXEMPLO Cálculo do Esforço cortante 44 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar 02062022 23 EXERCÍCIO PROPOSTO Obtenha o momento fletor e esforço cortante da estrutura a seguir usando o Método dos deslocamentos Considere E 109 I1 EI 109 A 020 m² 45 CIV 8316 TEORIA DAS ESTRUTURAS II Professor Túlio Cezar