Exercícios Resolvidos de Geometria Analítica - Equações de Plano, Colinearidade e Cônicas

1 Determine a equação do plano que contém a reta r x t 1 y 2t 3 z t e o ponto 3 3 3 2 Determine se os pontos A1 2 3 B1 1 1 e C0 1 2 são colineares ou não 3 No plano xy esboce o gráco de 12x228y29xy60x290y550 0 4 Determine o centro e raio da circunferência interseção do plano x3y 2z 1 com a esfera x 42 y 12 z 12 36 5 Determine a distância entre as retas r x 3t y t z 3t 1 e s x t 1 y 4t z t 1 Determine a equação do plano que contém a reta r x t 1 y 2t 3 z t e o ponto 333 Tome t 0 logo o ponto P 1 3 0 pertence a reta r Além disso v 1 2 1 é o vetor direção da reta r Portanto para construir a equação do plano basta de mais um vetor para isso basta tomar u 333 130 403 Defina o plano π xyz 1 3 0 t 1 2 1 k 4 0 3 De fato tome k 0 e teremos a reta r tome t 0 e k 1 teremos o ponto 3 3 3 Então como pedido π é um plano que contém r e o ponto 3 3 3 Determine se os pontos A1 2 3 B1 1 1 e C0 1 2 são colineares ou não Se A B e C são colineares então deve existir uma reta que contém os três pontos Note que essa reta coincide com a reta que passa por dois desses pontos isto é se construirmos a reta que passa por A e B tal reta deve conter C caso contrário nos são colineares Vamos construir a reta r que passa por A e B note que v A B 0 1 2 serve de vetor direção da reta Logo r xyz 1 1 1 t 0 1 2 com t R C r 0 1 2 1 1 1 t 0 1 2 0 1 Absurd0 1 1 t 2 1 2t C não pode estar na reta r logo A B e C não são colineares No plano xy esboce o gráfico de 12x2 28y2 9xy 60x 290y 550 0 cos 2θ A CB cos 2θ 12 289 cos 2θ sen 2θ 409 tg 2θ 940 tg 2θ 940 tg 2π 2θ 940 sen 2θ 941 cos 2θ 4041 cos a2 cos a 12 sen a2 1 cos a2 cos δ 4041 12 cos δ 8182 982 sen δ 1 40412 sen δ 182 sen π θ 182 sen θ 182 cos π θ 982 cos θ 982 Devemos fazer a substituição x 982 X 182 Y e y 182 X 982 Y Teremos 12982 X 182 Y2 28182 X 982 Y2 9982 X 182 Y182 X 982 Y 60982 X 182 Y 290182 X 982 Y 550 0 Abrindo as contas e completando quadrado temos Y 445219412 50192 X 52412 103192 1 4 Determine o centro e raio da circunferência interseção do plano x 3y 2z 1 com a esfera x42 y12 z12 36 Note que C 4 1 1 é o centro da esfera O plano Π x 3y 2z 1 Logo dC Π 14 31 21 1 12 32 22 dC Π 4 3 1 194 6 14 6 raio da Esfera Teremos Assim a interseção da esfera com o plano será um círculo de centro C e raio r Construa a reta s que passa por C e de vetor direção η 1 3 2 logo C s Π e r 62 dC Π2 s xyz 411 t132 s Π 14 t 31 3t 21 2t 1 4 t 3 9t 2 4t 1 6 14t 0 t 614 37 C 4 37 1 97 1 67 257 27 137 Além disso dC Π 6 14 r 62 dC Π2 36 3614 46814 r 2347 5 Determine a distância entre as retas r x 3t y t z 3t 1 e s x t 1 y 4t z t r s 3t t 3t 1 k 1 4k k 3t k 1 t 4k 3t 1 k 34k k 1 34k 1 k 11k 1 13k 1 não existe k Portanto r s Como v 3 1 3 u 1 4 1 são os vetores direção de r e s respectivamente Portanto r e s são reversas pois v e u são LI Tome P0 0 1 Q 1 0 0 e QP 1 0 1 Assim drs v u QP v u v u QP dt 3 1 3 1 4 1 1 0 1 12 1 0 12 1 0 24 v u dt î ĵ k 3 1 3 1 4 1 u 3ĵ 12k k 3ĵ 12û 13î 6ĵ 11k v u 13² 6² 11² 326 Portanto drs 24326