Cálculo de Volume por Cascas Cilíndricas

3 3 Volumes por Cascas Cilíndricas Vamos considerar o problema de encontrar o volume de um sólido obtido pela rotação em torno do eixo y da região delimitada por y 2x2 x3 e y 0 Veja a Figura 1 Se a fatiarmos perpendicularmente ao eixo y obteremos uma arruela Figura 1 4 4 Volumes por Cascas Cilíndricas No entanto para calcularmos os raios interno e externo da arruela teríamos de resolver a equação cúbica y 2x2 x3 para x em termos de y o que não é fácil Felizmente existe um método chamado método das cascas cilíndricas que é mais fácil de usar em casos como esse A Figura 2 mostra uma casca cilíndrica com raio interno r1 raio externo r2 e altura h Figura 2 Volumes por Cascas Cilindricas Seu volume V é calculado subtraindo 0 volume V do cilindro interno a partir do volume V do cilindro externo VVV ar2h arth ar 172h tg MN tp Fh 22 2 hry 1 5 Volumes por Cascas Cilindricas Se fizermos Arrr a espessura da casca e r r r 0 raio medio da casca entao a formula para o volume de uma casca cilindrica se torna e pode ser memorizada como V circunferéncia altura espessura 6 Volumes por Cascas Cilindricas Agora considere S o solido obtido pela rotagao em torno do eixo y da regiao delimitada por y fx onde fx O y0xaexb onde b az20 Veja a Figura 3 y fx y Fx Figura 3 Dividimos o intervalo a 6 em n subintervalos x x da mesma largura Ax e consideramos x 0 ponto medio do iesimo subintervalo 7 Volumes por Cascas Cilindricas Se o retangulo com base x x e altura fx é girado ao redor do eixo y entao o resultado uma casca cilindrica com raio medio x altura fx e espessura Ax veja a Figura 4 assim pela Formula 1 seu volume e Vi 27x Lf xi Ax y fix yfix y fix 4 San P Figura 4 8 Volumes por Cascas Cilindricas Portanto uma aproximagao para o volume V de S e dada pela soma dos volumes dessas cascas V Vi d 20x fx Ax i i Essa aproximacgao parece tornarse cada vez melhor quando n oo Mas pela definigao de uma integral sabemos que lim 27x fx Ax 2 ax fx dx NP jp a 9 10 10 Volumes por Cascas Cilíndricas Então a seguinte definição parece plausível Volumes por Cascas Cilindricas A melhor maneira para se lembrar da Formula 2 pensar em uma Casca tipica cortada e achatada como na Figura 5 com ralo x circunferéncia 27x altura fx e espessuraAx Ou AX m a y crc unde of mc aa aera a 35 a fx Fx Dar Ax Figura 5 Esse tipo de argumento sera util em outras situacoes tais como quando giramos em torno de outras retas alem do IxO Y y 11 Exemplo 1 Encontre o volume do solido obtido pela rotagao em torno do eixoy da regiao delimitada por y 2x xe y0 SOLUCAO Do esboco da Figura 6 vemos que uma casca tipica tem raio x circunferéncia 27x e altura fx 2x x x xX Figura 6 12 13 13 Exemplo 1 Solução Então pelo método das cascas o volume é Podese verificar que o método das cascas fornece a mesma resposta que o método das fatias continuação Exercício 1 Calcule o volume do sólido obtido a partir da revolução da região sombreada a em torno do eixo x b Em torno da reta y 1 Resp a 𝑢 𝑣 b 𝑢 𝑣 Exercício 2 Calcule o volume do sólido obtido a partir da revolução da região sombreada a em torno do eixo x b Em torno da reta y 2 Resp a 𝑢 𝑣 b 𝑢 𝑣