Volume de Sólidos de Revolução Metodo dos Discos - Aula de Modelagem Matematica

MODELAGEM MATEMÁTICA Semana 10 Aula 02 Teoria Sólidos de Revolução Método dos discos Volume de sólidos de revolução Método dos discos Introdução 3 Dados um plano a uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semiplanos de a determinado por r vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação a reta r Volumes Método dos discos Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volume de um sólido de revolução obtido pela rotação em torno ao eixo x ou y de um conjunto A Cálculo do volume Seja f uma função contínua num intervalo ab sendo fx 0 para todo x tal que a x b Considere o conjunto A delimitado pelo eixo x o gráfico de f e as retas x1 a e x2 b Seja B o sólido obtido através da rotação do conjunto A em torno do eixo x A x1a x2b B Volumes Método dos discos Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume Considerando uma partição P do intervalo ab P a x0 x1 x2 xn b tal que a x0 x1 x2 xn b seja Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume Seja ainda xi xi xi1 o comprimento do intervalo xi1 xi Para cada intervalo xi1 xi escolhemos um ponto qualquer ci Para cada i i 1 n construímos um retângulo Ri de base xi e altura fci Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x o sólido de revolução obtido é um cilindro cujo volume é dado por i i base x f c V altura A V 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A soma dos volumes dos n cilindros que representaremos por Vn é dada por n i i i n n n n x f c V x f c x f c x f c V 1 2 2 2 2 2 1 2 1 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A medida que n cresce muito e cada xi tornase muito pequeno a soma dos volumes dos n cilindros aproximase do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B Definição Seja y fx uma função contínua não negativa em ab Seja R a região sob o gráfico de f de a até b O volume do sólido B gerado pela revolução de R em torno do eixo x é definido por n i i i máx x n x f c V i 1 2 0 lim Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Cálculo do volume A soma que aparece no slide anterior pode ser substituída pelo símbolo de integral uma vez que a função é contínua no intervalo e o limite existe Logo A x1 a x2b B dx f x V b a n 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 1 Se fx x2 determine o volume do sólido gerado pela revolução em torno do eixo x da região sob o gráfico de f no intervalo 1 2 De acordo com a definição Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 2 Se fx x2 1 determine o volume do sólido gerado ela revolução em torno do eixo x da região sob o gráfico de f no intervalo 1 1 De acordo com a definição 15 56 1 3 2 5 1 1 3 2 5 1 3 2 5 1 1 2 1 1 1 3 5 1 1 2 4 1 1 2 2 x x x dx x x dx x V Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Quando ao invés de girar ao redor do eixo dos x a região A gira em torno do eixo dos y Neste caso temos dy g y V d c 2 Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 1 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo y Resposta Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercício 2 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo y Resposta Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Aplicação Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos Exercícios Propostos 1 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo indicado a Em torno do eixo x c Em torno do eixo x b Em torno do eixo y d Em torno do eixo y Modelagem Matemática Aula 09 Volume de Sólidos de Revolução Volumes Método dos discos 2