Volume de Sólidos de Revolução - Método das Arruelas e Anilhas - Exercícios Resolvidos

Modelagem Matemática VOLUME DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO MÉTODO DAS ARRUELAS ANILHAS 1 Introdução 2 Dados um plano a uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semiplanos de a determinado por r vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação a reta r Um sólido de revolução se forma da seguinte maneira Dada uma região R plana e x uma linha reta que pode tocar ou não em R e que esteja no mesmo plano de R Girandose R em torno de x formase uma região chamada de sólido de revolução 5 Quando a região A está entre os gráficos de duas funções fx e gx de a até b Supondo fx gx para qualquer x que pertença ao intervalo a b o volume do sólido B gerado pela rotação de R em torno do eixo x é dado por 2 2 g x f x A x dx g x f x x V b a 2 2 6 2 2 g x f x A x dx g x f x x V b a 2 2 7 𝑉 𝑥𝜋 𝑎 𝑏 𝑅𝑦 2 𝑟𝑦 2𝑑𝑥 Exercícios Propostos 1 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo indicado a Em torno do eixo x 8 b Em torno do eixo x c Em torno do eixo y Exercício 2 A partir da figura indicada abaixo determine o volume do sólido de revolução formado pela rotação da região sombreada ao redor do eixo x 11 12 Exercício 2 Calcule o volume do sólido que se obtém por rotação da região limitada por x2 y 2 2y x 2 0 e x 0 em torno do eixo x 13 Exercício 3 Calcule o volume do sólido obtido a partir da rotação da região do plano delimitada pelo eixo x o gráfico de y para 0 x 2 sendo girada ao redor do eixo y 0 2 2 0 Aplicações 14 1 Um recipiente tem um formato que pode ser obtido pela revolução em torno do eixo x do gráfico de entre Determine o volume do recipiente 2 Uma empresa precisa determinar o custo de produzir um vaso a partir de uma região limitada pelas curvas y x e y x² sendo x e y dados em centímetro cm A rotação dessa região ao redor da reta x 0 gera um sólido de revolução na forma de um vaso Considerando que o custo do material utilizado para produzir o vaso é R 050 por centímetro cúbico e que π 314 determine o custo total para produzir o vaso Resposta R 047