Equaçoes Diferenciais de Segunda Ordem: Definições e Exemplos

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM Prof Carlos Mometti Definição de equação diferencial de segunda ordem Existência de soluções Alguns exemplos O que vamos estudar O que é uma equação diferencial de segunda ordem Conforme estudamos na unidade 4 a ordem de uma equação diferencial é determinada pela ordem da derivada ali contida Deste modo precisamos inicialmente saber qual é derivada na equação Fique atento Por meio do grau da derivada determinamos o grau da equação diferencial Exemplo 1 segunda ordem 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2 4𝑦 5 Exemplo 2 segunda ordem equação do oscilador harmônico 𝒅𝟐𝒙 𝒅𝒕𝟐 𝝎𝟐𝒙 𝟎 As soluções das equações de segunda ordem são dadas a priori Isso significa que precisamos supor a existência de tais soluções determinar quais seriam para posteriormente verificarmos se este conjunto proposto satisfaz a equação dada Vamos resolver como exemplo a equação do oscilador harmônico muito presente nos modelos físicos Encontre um conjunto de soluções para a equação abaixo 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝜔2𝑥 0 Supondo a solução geral abaixo temos 𝑥 𝑡 𝐴 sin𝜔 𝑡 𝐵 cos𝜔𝑡 Derivando duas vezes a equação acima temos que Um exemplo de resolução 𝑥 𝑡 𝐴𝜔 cos 𝜔𝑡 𝐵𝜔sin𝜔𝑡 𝑥 𝑡 𝐴𝜔2 sin 𝜔𝑡 𝐵𝜔2cos𝜔𝑡 Reconhecendo a equação proposta como solução geral temos 𝑥 𝑡 𝜔2𝑥 𝑡 O que verifica a equação do oscilador harmônico