Introdução às Equações Diferenciais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Prof Carlos Mometti Definição de equação diferencial Existência de soluções Alguns exemplos O que vamos estudar O que é uma equação diferencial Uma equação é toda relação matemática entre grandezas evidenciada pelo sinal de igual Tal relação estabelece a existência de uma equivalência entre grandezas e valores 𝑥 1 0 A relação acima estabelece uma equivalência chamada de equação Quando nesta relação de equivalência existir derivadas dizemos que tal relação é uma equação diferencial Exemplos 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝐹 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖çã𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟ç𝑎 𝑛𝑎 𝑓í𝑠𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4 0 Assumindo que todas as funções envolvidas na equação diferencial sejam diferenciáveis no intervalo dado dizemos que a existência de solução para esta equação a caracteriza como ordinária Deste modo as equações diferenciais ordinárias EDO são aquelas em que teremos um conjunto de soluções de modo a satisfazêlas Para tal conjunto de soluções chamamos de solução geral Abaixo temos o exemplo do oscilador harmônico e sua solução geral 𝑑2𝑥 𝑑𝑡2 𝜔2𝑥 0 Como solução geral temos 𝑥 𝑡 𝐴 sin 𝜔𝑡 𝐵𝑐𝑜𝑠𝜔 𝑡 Se derivarmos duas vezes a equação acima vamos chegar na equação do oscilador Um exemplo de solução geral Exemplo Considerando a definição de momento de uma massa temos 𝑝 𝑚 𝑣 Como dito a força é dada por 𝑑𝑝 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑚 𝑣 𝑚 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑚 𝑎 Portanto por meio de uma equação diferencial chegamos na segunda lei de Newton