Lista de Exercícios Resolvidos sobre Geometria Analítica e Circunferência

Questão 01 A circunferência cuja equação geral é x²y² 2x10y22 0 tem raio igual a 2 1 5 3 4 Questão 02 A equação geral da circunferência de centro C31 e raio 6 é da forma x²y²axbxc 0 O valor de 2b c é 13 32 14 7 22 Questão 03 A equação geral da circunferência concêntrica com a circunferência x²y²2x6y60 e tangente à reta que passa pelos pontos A24 e B21 é X x²y²7x6y180 x²y²2x6y150 x²y²3x4y10 x²y²2x8y100 x²y²4x9y120 Questão 05 As retas r x7 y9 1 e s x9 y7 são Coincidentes Perpendiculares Paralelas Nenhuma das alternativas anteriores Concorrentes e não perpendiculares Questão 04 Um ponto Pxy se move de tal modo que sua distância ao ponto C23 é igual a 4 O lugar geométrico do ponto P tem equação x²y²2x2y80 x²y²3x2y120 x²y²3x8y70 x²y²4x2y100 x²y²4x6y30 Questão 05 O valor positivo de k para que a distância entre a reta 5x12y3k0 e o ponto 32 seja igual a 4 é 35 88 24 57 129 Questão 04 O baricentro de um triângulo de vértices AxA yA BxB yB e CxC yC é G4343 o ponto médio do lado BC é N521 e o ponto médio do lado AB é M012 O valor de xA xB yC é 4 3 5 2 1 Questão 01 Considere o triângulo ABC de vértices A11B41 e C32 Sejam rs e t as retas formadas pelos lados ABAC e BC do triângulo respectivamente e mrms e mt seus respectivos coeficientes angulares O valor de mr2ms3mt é CLIQUE NA SUA RESPOSTA ABAIXO 0 3 4 5 2 Questao 04 O valor de k na equação 2x 3y k0 de modo que esta forme com os eixos coordenados um triângulo de 27 unidades de área é 42 20 13 18 51 Questão 02 Sabendo que x é não nulo determine seu valor para que os pontos Ax2 B31 e C16 formem um triângulo isósceles de base AB x3 x0 x1 x1 x8 61 Aqui basta completarmos quadrado Com efeito de x² y² 2x 10y 22 0 termos 0 x² y² 2x 10y 22 x² 2x 1 y² 10y 21 x1² y² 10y 25 4 x1² y5² 4 x1² y5² 4 Logo temos uma circunferência de centro 15 e raio r 2 62 Com efeito para uma circunferência de raio r6 e centro C31 temos a eq x3² y1² 36 Desenvolvendo temos x² 6x 9 y² 2y 1 36 x² y² 6x 2y 26 0 Com relação a equação x² y² ax by c 0 temos por inspeção que a 6 b 2 e c 26 Logo 2b c 22 26 4 26 22 e temos que 2b c 22 65 n x7 y9 1 e S x9 y7 Vamos isolar y Com efeito n x7 y9 1 y 9 97 x S x9 y7 y 79 x As retas n e s são perpendiculares Basta ver que os coeficientes angulares mn e ms são tais que mn 97 e ms 79 Logo mn 97 79 791 ms1 1ms mn 1ms E temos de fato que as retas são perpendiculares 64 Vamos ter o ponto C 23 e a distância 4 cuja x y r Pxy C n4 2 x Logo temos aqui dPC 9 Portanto dPC 9 9 x 22 y 32 16 x 22 y 32 16 x2 4x 9 y2 6y 9 x2 y2 4x 6y 3 0 E o lugar geométrico é x2 y2 4x 6y 3 0 25 Vamos achar x em r 5x 12y 3 k 0 de modo que a distância entre a reta e o ponto A 3 2 seja igual a 4 Logo temos que d rA 4 4 5x0 12y0 3 k 52 122 x0 y0 3 2 4 5 3 12 2 3 k 25 144 4 13 15 24 3 k 36 k 52 36 k 52 k 88 Portanto k 88 24 As coordenadas Gx e Gy do Baricentro são Gx xa xb xc 3 e Gy ya yb yc 3 Dos pontos médios dadas nós temos BC N 52 1 xb xc2 yb yc2 e AB M 0 12 xa xb2 ya yb2 Logo temos para os x xa xb 0 xb xc 5 i xa xb xc 3 43 xa xb ii xb xc 5 iii xa xb xc 4 iii Então pondo i em iii temos que xa xb xc 4 xb xb xc 4 xc 4 Agora de ii temos que xb xc 5 xb 4 5 xb 1 Por i xa xb 1 1 Logo xa 1 xb 1 e xc 4 Para y teremos ya yb yc 4 yb yc 1 ya yb 2 12 1 Logo veja que ya 1 yb Com efeito ya yb yc 4 1 yb yb yc 4 1 yc 4 yc 3 Com isso temos que xa xb yc 1 1 3 3 Então xa xb yc 3 63 Da eq da Circunferência temos x² y² 2x 6y 6 0 0 x² 2x 1 y² 6y 9 16 x 1² y 3² 16 Logo o centro da circunferência é C 1 3 Ademais dos pontos A 2 4 e B 2 1 temos a reta r 0 x y 1 2 4 1 x 4 1 y 2 1 1 2 9 2 1 1 2 8 2 1 3x y2 2 1 2 8 4y 3x 10 Portanto 4y 3x 10 0 Vamos então calcular a distância do centro C até a reta na qual será o raio da circunferência Com efeito temos d 4y 3x 10 4² 3² x₀ y₀ 1 3 4 3 3 1 10 25 12 3 10 25 25 5 25 5 5 d 5 Então a equação procurada é x 1² y 3² 5² x² 2x 1 y² 6y 9 25 Portanto x² y² 2x 6y 15 0 que é a resposta Questão 1 A 21 B 42 e C 32 Vamos calcular os coeficientes dos coeficientes angulares Com efeito reta mₚ temos mₚ 11 41 0 mₚ 0 reta mₛ temos mₛ 21 31 12 mₛ 12 reta t temos mₜ 21 34 1 1 1 Logo temos que mₚ 2mₛ 3mₜ 0 212 3 4 mₚ 2mₛ 3mₜ 4 Questão 4 Vamos determinar k de modo que a circunferência do triângulo de 2x 3y k 0 seja 27 Então 2x 3y k 0 y 23 x k3 Aqui teremos um gráfico do tipo Note que a área do triângulo será dada por A yk xk 2 27 yk xk 54 Então vamos achar os pontos 0 yk e xk 0 com efeito 0 yk nos dá yk k 3 xk 0 nos dá 0 23 xk k 3 yk k 2 Então nós teremos 54 yk xk k 3 k 2 k² 6 k² 654 k² 324 k 324 18 Então para nosso caso temos que k 18 Questão 2 No plano temos Essencialmente queremos que dAB dAC dBC Com isso temos dBC 2 3² 6 4² 16 99 65 Da igualdade dBC dAC temos Então dAC 62² x1² 65 62² x1² 65 16 x1² 65 x1² 49 x1 7 x1 7 x 8 x1 7 x 6 Logo a solução é x 8