Aula 9: Mensuração da Atividade Econômica e Método da Rigidez Direta

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 9 Mensuração da atividade econômica Apresentação Essa aula será a continuação da Aula 8 Aqui vamos estudar o processo da rigidez direta Como calcular as reações de apoios e desenhar os diagramas solicitantes usando esse método Esta aula trata de montagem e solução do sistema de equações do problema global do método da rigidez direta Objetivos Calcular as reações de apoios de uma estrutura hiperestática Calcular as deformações de uma estrutura hiperestática Calcular os esforços solicitantes de uma estrutura hiperestática Método da Rigidez Direta A solução completa de um modelo estrutural pelo método da rigidez direta é obtida pela superposição de uma solução global do modelo com soluções locais em cada barra do modelo Martha sd Relembrando Clique nos botões para ver as informações Os sistemas de coordenadas referentes aos elementos desmontados Coordenada Local O sistema de coordenada referente ao longo de toda a estrutura montado Coordenada Global Saiba mais A disposição das coordenadas locais nos fornece a matriz abaixo Chamaremos de Br1 para a barra 1 e assim sucessivamente para as outras barras Fazendo a multiplicação das matrizes temos a matriz global da estrutura Onde Br1T é a matriz transposta de Br1 Em Matemática a matriz transposta é a que se obtém da troca de linhas por colunas de uma dada matriz Desta forma transpor uma matriz é a operação que leva à obtenção de sua transposta Matriz para a barra 1 Br1 1000 0100 0010 0001 0000 0000 0000 0000 K Br1 KBr1 T SM1 Br1 K Br1 T 7 5 x 103 1 5 x 104 7 5 x 103 1 5 x 104 0 0 0 0 1 5 x 104 4 0 x 104 1 5 x104 2 0 x 104 0 0 0 0 7 5 x 103 1 5 x 104 7 5 x 103 1 5 x104 0 0 0 0 1 5 x 104 2 0 x 104 1 5 x 104 4 0 x 104 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 A disposição das coordenadas locais nos fornece a matriz abaixo Matriz para a barra 2 Br2 00100000 00010000 00001000 00000100 SM2 Br2 K Br2 T 000 000 007 5 x 103 001 5 x 104 00 7 5 x 103 001 5 x 104 000 000 0 0 1 5 x 104 4 0 x 104 1 5 x104 2 0 x 104 0 0 0 0 7 5 x 103 1 5 x 104 7 5 x 103 1 5 x 104 0 0 0 0 1 5 x 104 2 0 x104 1 5 x 104 4 0 x 104 0 0 00 00 00 00 00 00 00 00 O sistema de coordenada referente ao longo de toda a estrutura montado A disposição das coordenadas locais nos fornece a matriz abaixo Matriz para a barra 3 Br3 0000 0000 0000 0000 1000 0100 0010 0001 SM3 Br3 K Br3 T 0000 0000 0000 0000 00007 5 x 103 00001 5 x 104 0000 7 5 x 103 00001 5 x 104 0 0 0 0 1 5 x 104 4 0 x 104 1 5 x 104 2 0 x 104 0 0 0 0 7 5 x 103 1 5 x 104 7 5 x 103 1 5 x 104 0 0 0 0 1 5 x 104 2 0 x 104 1 5 x 104 4 0 x 104 3º Passo Somar todas as matrizes das barras SM1 SM2 SM3 Sj 4º Passo Rearranjar as linhas da matriz Sj Nos pontos 1 2 e 3 os momentos podem se deslocar Temos que trocar de lugar esses pontos porque eram 2 4 e 6 Respeitandose sempre a sequência cortante momento cortante momento cortante momento Rearranjando as linhas da matriz Sj temos Onde era 2 passa para 1 onde era 4 passa para 2 e onde era 6 passa para 3 A sequência será a seguinte S S S S S S S S j2 j4 j6 j1 j3 j5 j7 j8 5º Passo Rearranjar as colunas da matriz Sjl Rearranjando as colunas da matriz Sjl temos Onde era 2 passa para 1 onde era 4 passa para 2 e onde era 6 passa para 3 A sequência será a seguinte Sjl2 Sjl4 Sjl6 Sjl1 Sjl3 Sjl5 Sjl7 Sjl8 Logo a matriz de rigidez global da estrutura Sj será 6º Passo Matriz dos deslocamentos desconhecidos Agora fazer a matriz SFF onde todos os nós livres se interpolam Ela é uma submatriz da matriz Sj que vai da linha 1 à linha 3 e da coluna 1 à coluna 3 que são os três deslocamentos desconhecidos por isso uma matriz 3 x 3 Inverter essa matriz SFF pois vamos precisar mais lá na frente Agora criar uma matriz SRF que são os deslocamentos restritos em função dos deslocamentos livres os nós restritos em função dos nós livres Essa matriz SRF será uma submatriz da matriz Sj da linha 4 à 8 e da coluna 1 à 3 SFF 4 0 x 104 2 0 x 104 0 2 0 x 104 8 0 x 104 2 0 x 104 0 2 0 x 104 8 0 x 104 SFF 1 2 885 x 105 7 692 x 106 1 923 x 106 7 692 x 106 1 538 x 105 3 846 x 106 1 923 x 106 3 846 x 106 1 346 x 105 SRF 1 5 x 104 1 5 x 104 0 0 0 1 5 x 104 0 1 5 x 104 0 0 0 1 5 x 104 0 1 5 x 104 2 0 x 104 7º Passo Vetor de carregamento Encontrar uma matriz ou um vetor de carregamento Ac Vetor Aj forças aplicadas nos nós nó apoio nesse exercício as forças aplicadas nos nós são 600 kNm no apoio A e 150kN no apoio C O momento de 600kNm está no sentido antihorário logo é positivo e a força 150kN está para baixo logo é negativo Criar um vetor de 8 posições Só terá força na 2ª linha 600 e na 5ª linha 150 o resto é zero O que é vetor AML Vetor AML são forças nodais aplicadas nas barras 150kN na barra 1 300kN na barra 2 e 300kN na barra 3 Fazer a barra 1 barra 2 e barra 3 Aj 0 600 0 0 150 0 0 0 P 150kN L 4m Tendo agora os vetores AML1 AML2 e AML3 podemos montar o vetor AE invertendo o sinal O vetor de carregamento AC AE Aj Rearranjar as linhas desse vetor AC porque foi feito na matriz global A sequência será a seguinte AE AM AM AM L1 L2 L3 75 75 225 75 300 0 150 150 A A A A A A A e A C 2 C 4 C 6 C 1 C 3 C 5 C 7 C 8 AC 525 75 0 75 225 450 150 150 Clique nos botões para ver as informações Vetor AFC é a submatriz de AC da linha 1 até a linha 3 e coluna 1 Essa matriz é a soma de todas as forças relativas dos deslocamentos desconhecidos que ocupam as posições 2 4 e 6 Vetor AFC AFC 525 75 0 Vetor ARC é a submatriz de AC da linha 4 até a linha 8 e coluna 1 Vetor ARC ARC 75 225 450 150 150 8º Passo Cálculo dos deslocamentos desconhecidos DF DF SF x AFC F 1 9º Passo Cálculo das reações de apoio AR AR ARC SRF x DF 10º Passo Cálculo dos esforços solicitantes nas extremidades das barras Calcular o vetor deslocamento em cada barra Na matriz DF pegamos os deslocamentos onde estão atuando e fazemos a matriz DM para cada barra DF 0 0157 0 0052 0 0013 Agora tirando os zeros nos vetores AML Calcular a matriz AM esforços solicitantes das extremidades Barra 1 Barra 2 Atividades 1 Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo usando o método rigidez direta Dados E 200GPa 200 x 10 kNm I 200 x 10 mm 00002 m 6 2 6 4 4 2 Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo usando o método rigidez direta Dados E 200GPa 200 x 10 kNm I 200 x 10 mm 00002 m 6 2 6 4 4 3 Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo usando o método rigidez direta Dados E 200GPa 200 x 10 kNm I 200 x 10 mm 00002 m 6 2 6 4 4 4 Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo usando o método rigidez direta Dados E 200GPa 200 x 10 kNm I 200 x 10 mm 00002 m 6 2 6 4 4 5 Obter as reações de apoio e os esforços solicitantes da viga abaixo usando o método rigidez direta Dados E 200GPa 200 x 10 kNm I 200 x 10 mm 00002 m 6 2 6 4 4 Notas Referências ARAGÃO Filho Luiz A C Moniz de Notas de aula Disponível em aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm Acesso em 27 fev 2019 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 9 Rio de Janeiro Elsevier sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 22 Rio de Janeiro LTC sd SORIANO Humberto Lima Análise de estruturas formulação matricial cap 1 Rio de Janeiro Ciência Moderna sd Próxima aula