Aula 1: Análise Estrutural de Estruturas Isostáticas

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 1 Isostática Apresentação A análise estrutural é a fase do projeto na qual é feita a idealização do comportamento da estrutura Nesta aula apresentaremos o método de análise para calcular as deformações em estruturas isostáticas Reconheceremos o Método da Carga Unitária e o Método do Princípio dos Trabalhos Virtuais por meio de suas duas formulações Princípio das Forças Virtuais e Princípio dos Deslocamentos Virtuais O objetivo é dar subsídios para os Métodos das Forças e o Método dos Deslocamentos A capacidade de uma estrutura de resistir às solicitações que lhe são impostas é limitada pois pode ocorrer a ruptura quando o carregamento for excessivo É necessário reconhecer esta capacidade para que se projete com segurança Objetivos Aplicar o princípio dos trabalhos virtuais aos corpos elásticos Reconhecer o Método da Carga Unitária Resistência dos materiais Relembrando alguns conceitos básicos Este item é para relembrar o conceito de deformação estudado em Resistência dos Materiais como pode ser visto nas Figuras 1 e 2 1 Figura 1 Viga isostática biapoiada com carregamento distribuído q em toda a viga A tendência da estrutura de voltar a forma original devido à carga representa a elasticidade do material da estrutura Quanto mais uma estrutura tende a voltar à sua forma original mais elástico é seu material Toda a estrutura sofre uma deformação mesmo que imperceptível A maior parte da deformação é provocada pela flexão Momento Fletor A deformação pode ser de dois tipos vejamos Deformação elástica Quando submetemos uma viga a um carregamento qualquer ela se deforma mudando a posição de seu eixo A forma que a viga toma é descrita pela sua elasticidade e pelas suas deformações Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta à sua forma original conforme pode ser visto na Figura 4 Os esforços normais e cortantes não dão muita deformação elástica A flexão pura sim Logo é o momento fletor que causa a deformação na estrutura Quando a viga é flexionada ocorrem em cada ponto ao longo do eixo uma deflexão u e uma rotação α As deduções das fórmulas de deformações estão bem explicadas nas disciplinas de Resistência dos Materiais logo temos Deformação devido a uma rotação fracd hetadx fracMEI fracMEI Deformação linear fracd2ydx2 fracMEI A maioria dos projetos será tratada no regime elástico do material Comentário Seja um ponto material m em equilíbrio isto é submetido a um conjunto de forças P tais que sua resultante R é nula Imaginemos que seja dado a este ponto um deslocamento δ sem introdução de nenhuma força no sistema ou seja mantendo R 0 Este deslocamento não pode ser atribuído a nenhuma causa física real pois para haver deslocamento real do ponto seria necessária a introdução de uma nova força ao sistema que possibilitasse este deslocamento real do ponto m Então teremos este deslocamento δ dado nestas condições R 0 como uma entidade puramente matemática à qual chamaremos de deslocamento virtual O trabalho virtual W realizado pelo conjunto de forças P reais que atuam sobre o ponto m quando ele sofre o deslocamento virtual δ vale W δ R 0 Dizemos então que para um ponto material em equilíbrio R 0 o trabalho virtual realizado pelo sistema de forças reais em equilíbrio que atua sobre o ponto quando este sofre um deslocamento virtual arbitrário qualquer é nulo o que constitui o princípio de dAlembert SUSSEKIND v 2 cap 1 sd i i Deformação linear Principio dos trabalhos virtuais PTV Dizse virtual algo que não é real imaginário portanto Um deslocamento virtual ou uma força virtual são respectivamente um deslocamento imaginário ou uma força imaginária arbitrariamente impostos sobre um sistema estrutural O trabalho virtual pode ser considerado como aquele produzido em uma das duas situações Trabalho realizado por forças reais durante um deslocamento virtual Trabalho realizado por forças virtuais durante um deslocamento real Podese considerar aqui como deslocamento virtual o provocado por alguma outra ação que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura Esse princípio só permite calcular deslocamentos para o caso de solicitação de uma força concentrada e o deslocamento calculado tem que ser no ponto de aplicação e na direção da força O PFV utiliza um sistema auxiliar chamado sistema virtual completamente independente do sistema real sendo este a estrutura da qual se quer calcular um deslocamento ou uma rotação A aplicação do PFV para o cálculo de deslocamentos em estruturas que trabalham a flexão resulta no cálculo de uma integral que combina diagramas de momentos fletores nos sistemas real e virtual A Tabela Kurt Beyer mostra expressões para avaliar essa integral para diagramas usuais em uma barra Temse pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais O trabalho virtual nesse caso é devido a forças virtuais e deslocamentos reais O trabalho virtual externo será dado pela carga virtual unitária aplicada no ponto em que se deseja obter o deslocamento δ Wext δ Wint δ U P Δ 1 Δ Δ Assim fedu mdθ qdλ td ext ext ext ext Substituindose as expressões das deformações nos elementos de barra dadas anteriormente na equação geral do MCU acima temse dx dx fs dx d ext fF EA ext mM EI ext vV GA ext tT Gj Exemplos de exercícios O estudo dos Princípios dos Trabalhos Virtuais PTV e do Método da Carga Unitária MCU será explicado detalhadamente por meio do exemplo de exercício a seguir Exemplo 1 Como determinar a deformação em uma viga isostática em qualquer trecho da viga Figura 5 Dados Seção da viga 40 cm x 80 cm b x h E 3 x 10 kNm 7 2 1 Passo Calcular as reações de apoios da viga Como a viga é simples não precisamos determinar as reações de apoio para desenhar o diagrama de momento fletor a viga é simétrica Lembrandose de que para calcular a deformação por esse método que é a multiplicação dos momentos fletores temos que desenhar momentos fletores para o caso real e virtual 3 Passo calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais Para calcular pelo Princípios dos Trabalhos Virtuais na mesma viga tirando a carga real colocando uma força virtual de valor de P 1 kN método da carga unitária no ponto onde queremos saber a deformação linear no exemplo será no meio da viga e desenhar o diagrama de momento fletor da viga Figura 7 M fracPabl frac12 cdot 2 cdot 2 cdot frac24 1kNm frac13 L left1 fracalphaL5right MM delta frac1E I leftfrac13 L left1 frac2x2L2right MMright TABELA DE KURT BEYER VALORES DAS INTEGRAIS Midx PARA RETAS DE COMPRIMENTO L e INÉRCIA CONSTANTE L fracEI Esse conhecimento não se esgota por aqui Para saber mais sobre outros exemplos desta construção acesse a leitura Exemplo de Exercícios galeriaaula1anexodoc01pdf Atividade 1 Calcular a deformação na seção A Considerar EI 63800 kNm 2 2 Calcular a deformação na seção C Considerar E 20e07kNm2 e a seção da viga 030 x 050m 3 Calcular a deformação no meio do pórtico 250m Considerar EI 10e08kNm2 4 Calcular o deslocamento vertical no meio do vão da viga biapoiada Dados Seção da viga 250mm x 500mm b x h E 20 x 10 kNm 6 2 5 Calcular a deformação no meio do vão da viga seção S Considerar 520833kNm2 Dados Seção da viga 250mm x 500mm b x h E 20 x 10 kNm 6 2 Notas Método da Carga Unitária Cálculo de deslocamento em vigas isostáticas Lista de Exercícios Disponível em wwwprofwilliancomestruturasMCUListaVigaspdf Acesso em 03 dez 2018