Aula 6: Processo de Cross - Método da Distribuição de Momentos

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 6 Processo de Cross Método da Distribuição de Momentos Apresentacgao Nas aulas anteriores vimos como calcular uma estrutura hiperestatica pelo Método das Forgas e Método da Deformagao Outra maneira de calcular uma estrutura hiperestatica pelo Processo de Cross Método da Distribuicao de Momentos Tal Processo um meétodo relativamente simples para o calculo de momentos fletores em vigas continuas pdrticos planos grelhas e até em porticos espaciais Nesta aula vocé aprendera a calcular uma estrutura hiperestatica pelo Processo de Cross Objetivos e Reconhecer um dos métodos classicos para analise de estruturas hiperestaticas o Processo de Cross e Calcular uma estrutura hiperestatica aplicando o Processo de Cross e Tracar os diagramas Solicitantes de uma estrutura hiperestatica usando o Processo de Cross Processo de Cross Método da Distribuigao de Momentos oo nae 4 Aa a a yy Sars Fe Be ois anes BS kis Pi ie at fale 3 3 Lae E um método relativamente simples para o calculo de momentos fletores em vigas continuas porticos planos grelhas e ate em porticos espaciais Este processo é baseado no Método dos Deslocamentos Criado por Hardy Cross na déecada de 1930 ainda e utilizado para o calculo de estruturas SUSSEKIND sd v 3 O metodo desenvolvido por Cross é inspirado em um processo matematico de resoludo por aproximagdes sucessivas dos sistemas lineares Supdese inicialmente que os nds da estrutura estao blogueados e nao podem sofrem nenhuma rotacao Depois da aplicacao das cargas os nos sao liberados sucessivamente OS quais sofrem rotacao Em seguida 0 no liberado é bloqueado antes de passar ao no seguinte Estas operacdes sao repetidas até que a liberagao dos nos nao provoque mais rotacodes Isto significa que o estado de equilibrio foi atingido Segundo Cross a ideia principal do processo de resolução de estruturas hiperestáticas resumese a simples operações aritméticas o que não é inteiramente verdadeiro O processo de Cross para vigas de seção constante depende da solução de três problemas a determinação dos momentos de engastamento perfeito da rigidez de cada viga e do fator de distribuição de carga de cada membro da estrutura em consideração Sobre o Método de Distribuição de Momentos Cross escreveu que deveria ser imaginado que todos os nós da estrutura não pudessem girar e que os momentos de engastamento perfeito nas extremidades das barras fossem calculados para esta condição Para cada nó da estrutura distribuemse os momentos de engastamento perfeito desequilibrados entre os membros conectados na proporção de cada rigidez Multiplicase o momento distribuído para cada membro para o nó pelo fator de distribuição de carga Distribuise somente a carga recebida Repetese este processo até que os momentos transportados sejam tão pequenos que possam ser negligenciados Somamse todos os momentos das extremidades das barras de cada membro a fim de obter o momento verdadeiro Para uma estrutura com um único nó a solução é exata mas para mais de um nó a solução é aproximada Processo Iterativo MORAES e ROVERE 2005 O trabalho de Cross teve um impacto inicial muito grande porque possibilitou a solução manual de estruturas hiperestáticas em um momento no qual estruturas de concreto armado estavam se tornando muito comuns O concreto armado propicia a criação de pórticos com ligações contínuas com alto grau de hiperestaticidade A aplicação prática do Processo de Cross diminuiu bastante pois atualmente fazse uso de programas de computador para a análise de estruturas que em geral utilizam o Método dos Deslocamentos embora alguns programas usem o Processo de Cross como procedimento de análise de vigas contínuas Apesar de o uso do Método da Distribuição de Momentos ter caído nas últimas décadas a sua apresentação tem um objetivo acadêmico pois tem um apelo intuitivo muito forte e por isso serve para uma melhor compreensao do comportamento a flexao de estruturas reticuladas MARTHA sd cap 12 Vejamos agora trés conceitos importantes Rigidez das Barras e Coeficientes de Transmissao Convengao de sinais a 0 Coeficientes de distribuigao Clique nos botées para ver as informagées Ja visto em Método da Deformacao vejamos agora em resumo A rigidez de uma barra k em nd o valor do momento aplicado nesse no capaz de provocar um giro unitario nesse no a Barra biengastada A B A rigidez da barra biengastada é dada por 4EJ 2EJ M e Mz b Barra engastadarotulada A B A rigidez da barra engastadarotulada é dada por Sera utilizada a convencao de Grinter No calculo de equilfbrio dos nos sera considerado positivo o momento que atua no no no sentido hordrio mantendo a convengao de esforco positivo na extremidade da barra no sentido antihordario q 4 7 ql 12 ql12 Seja o portico plano indeslocavel mostrado na figura abaixo O unico grau de liberdade da estrutura é a rotacdo j do no A Devido a atuacdo do binario M figura abaixo as barras irao se deformar e os esforcos internos nas extremidades serao proporcional a rigidez das mesmas e a rotacao sofrida pelo no A Seja um momento m aplicado no no A na estrutura abaixo Assim para girar 0 nd Oo momento deve deformar todas as barras ligadas ao no A SUSSEKIND sd O momento em cada barra 2 M4 A 2 pe M2 M4 3 Pp 4 M3 Ma m mo m3 ma Mas M Ka Mz Ka oy M3 Kap Ka Ms Ka Somando temse M 9 Ka Ka Ka Ka p M Ka Substituindo o angulo p nas equagdes dos momentos temse M K4 OS K4m Mz Ka Kam M3 Ka SKam 4 My K4 Kam Adotando o coeficiente de distribuicao Os momentos serão obtidos por dA i KAi KA m mAi dA i Atenção A soma dos coef de distribuição em um nó é igual à unidade 1 dA Número de incógnitas deslocabilidade interna e externa Análise de planta Fonte Dragon Images Shutterstock O cálculo do número de deslocabilidade é igual ao explicado na Aula 4 Método da Deformação Saiba mais Acesse a tabela 1 galeriaaula6anexodoc02pdf Momento de engastamento perfeito viga com inércia constante Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir Exercícios resolvidos Materiais de escritório Fonte ArthurStock Shutterstock Nesses exercícios exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J Exemplo Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo conforme mostra a Figura 1 Dados J 001 m4 para 0 trecho AD J 0006 m para 0 trecho DE E 21 x 10 kNm 20 KNm Cc fa 3 my Se 3 mm Sf 5 a 5 m In 001 ee 0006 mse oO Figura 1 Viga hiperestatica 1 Passo Sistema Principal S P No sistema principal temos que colocar as placas e 0 apoio adicional caso precise na estrutura hiperestatica Colocar os nomes nas barras nomes nos apoios e numerar as placas e OS apoilos adicionais Temos que excluir o balanco e redesenhar a viga hiperestatica sem o balango e com as cargas de 50KN e 50 x 3 150 KNm de momento fletor Figura 2 Colocar placa e apoio adicional de 0 apoio adicional d 1 placa x x in 20 kNm 150 kNm TTT barra 1 barra 2 B D E oO Figura 2 Sistema principal para calcular a viga hiperestatica pelo método da deformagao 2 Passo Momento de engaste perfeito tabela 1 Barra 1 apoio e engaste z 2 S 150 kNm D 3m 5m Calcular o momento fletor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito tabela 1 Carga momento de 150kNm M 3a M 150 Mp 4 48 1 7 2 75kNm Carga pontual de 100kN Mp 2 i a 10e85 8 3 12891kNm Carga pontual de S5OkN Pab 50r0x8 Mp i a ae 8 0 0 kNm Barra 2 engaste e apoio 20 KNm pe 6 Sh Calcular o momento fletor em D usando a tabela de Momento de engastamento perfeito tabela 1 Carga distribuída de 20kNm 3º Passo Rigidez nas barras Barra 1 apoio e engaste 90kNm MD ql2 8 20 x 62 8 Barra 2 engaste e apoio 4º Passo Distribuição d Ki K 78750 141750 0 5556 dB1 63000 141750 0 4444 dB2 Atenção O somatorio dos di de cada placa é 1 05556 04444 5 Passo Processo de Cross k oo os oO misyy m Para comegar 0 processo de Cross 1 Escolher uma placa placa 1 2 Somar oS momentos dessa placa escolhida 5391 90 3609 3 Trocar o sinal 3609 4 Multiplicar pelo di 3609 x 05556 2005 3609 x 04444 1604 1 Passar a metade para a extremidade da barra caso a extremidade receba momento 2 Ir para outra placa nado tem outra placa logo finaliza a viga somando os momentos fletores k 141750 k 78750 k 63000 esse 5391 9000 2005 7 1604 a Figura 3 Viga com o Processo e Cross Figura 4 Viga com os valores dos momentos fletores Figura 5 Viga com as reações de apoios Figura 7 Viga com diagrama de momentos fletores kNm Saiba mais Acesse outros 8 Exercicios resolvidos exemplos galeriaaula6anexodoc01pdf Dessa forma vocé dara continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliara seu conhecimento Atividade 1 Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestatica e desenhar os diagramas de esforcos internos cuja rigidez a flexdo EJ constante Adotar EJ1 3000 kNm 3000 kNm Lom a 2 Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestatica e desenhar os diagramas de esforcos internos cuja rigidez a flexao EJ constante Adotar EJ1 3000 KNm 1500 kNm l 300 m a 800 m re 3 Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestatica e desenhar os diagramas de esforcos internos cuja rigidez a flexao EJ constante Adotar EJ1 35 kNm 35 KNm 35 KNm Le 569 m sl 00 m safe 409 m 4 Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestatica e desenhar os diagramas de esforcos internos cuja rigidez a flexao EJ constante Adotar EJ1 S al 5400 kNm 3000 KNm THT i Cae ee 9 m 20m1 20m 30 m 1 530 m 5 Calcular pelo Processo de Cross a estrutura hiperestatica e desenhar os diagramas de esforcos internos cuja rigidez a flexao EJ constante Adotar EJ1 6 Recalcular todas as estruturas da aula 1 e 2 pelo Processo de Cross Notas Referências MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 10 Rio de Janeiro Elsevier sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 11 a 13 Rio de Janeiro LTC sd MORAES Poliana Dias de e ROVERE Henriette Lebre la Análise Estrutural II Santa Catariana UFSC 2005 SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural v 3 cap 1 Rio de Janeiro Globo sd Próxima aula Cálculo das reações de apoio em estruturas hiperestáticas Os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas Explore mais Para aprofundar seus conhecimentos leia mais sobre Aula 01 Processo de Cross passo a passo httpswwwyoutubecomwatchvjEGGQ76thg Aula 02 Processo de Cross Exercício 1 httpswwwyoutubecomwatchv44Dy1iTps9A Processo de Cross parte 1 Engenharia Fácil httpswwwyoutubecomwatchv9LgsAQYgw7c Teoria das Estruturas Processo de Cross AULA 02 httpswwwyoutubecomwatchvmkPBldG9vds