Aula 4: Método do Deslocamento e Método da Deformação em Estruturas Hiperestáticas

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 4 Método do Deslocamento Método da Deformação Apresentação Na segunda e terceira aula vimos como calcular uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças Outra maneira de calcular uma estrutura hiperestática é pelo Método da Deformação método do deslocamento No método das forças as incógnitas do problema hiperestático eram esforços simples reação de apoio eou rótulas colocadas que quando determinados permitiam o conhecimento imediato dos diagramas de esforços solicitantes para a estrutura em estudo SUSSEKIND sd Pelo Método da Deformação a resolução da estrutura hiperestática será abordada inversamente isto é determinandose primeiro as deformações sofridas pelos nós das diversas barras da estrutura para a partir desses valores obter os diagramas de esforços solicitantes da estrutura Objetivos Compreender um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas o Método das Deformações Calcular uma estrutura hiperestática com o método das deformações Traçar os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática usando o método das deformações Método das Deformações método do deslocamento ou método da rigidez Por ser amplamente utilizado em programações automáticas é o mais importante de análise de estruturas Nele as incógnitas são os ângulos de rotação e os deslocamentos lineares sofridos pelos nós das diversas barras Em seu cálculo serão desprezadas as deformações das barras que compõem a estrutura devido a esforços normais e também a esforços cortantes não se constituindo em nenhum erro especial peculiar ao método pois também no estudo do Método das Forças foi usual desprezar essas deformações a não ser no caso de peças trabalhando basicamente ao esforço normal barras de treliças escoras tirantes arcos pilares esbeltos peças pretendidas em geral etc quando do cálculo dos SUSSEKIND sd Número de incógnitas deslocabilidade interna e externa Deslocabilidade interna di placa O número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de nós internos rígidos que ela possui Não se coloca placa no fim da estrutura lá o momento fleto é 0 Vejamos o cálculo do número de deslocabilidades internos no pórtico abaixo Figura 1 Figura 1 Pórtico com 2 placas duas deslocabilidade internas Cálculo do número de deslocabilidaddes internas no pórtico Nó A não precisa de placa pois o engaste não sofre deformação Nó B precisa de placa para saber a rotação em B Nó C não precisa de placa pois há uma rótula em C não há deslocabilidade interna a considerar Nó D precisa de placa para saber a rotação em D Nó E não precisa de placa nó extremo esse trecho de E até F é isostático Logo di 2 Concluise que o número de incógnitas do pórtico é igual a 2 números de nós internos não rotulados da estrutura Dizemos que o número de deslocabilidades internas de uma estrutura é igual ao número de rotações de nós que precisamos conhecer para poder resolvêla Saiba mais Fique atento aos seguintes fatos Nas estruturas espaciais existem componentes de rotação em torno de 3 eixos ortogonais logo o número de deslocabilidades internas é igual ao triplo de nós rígidos que a estrutura possui No caso de grelhas existem componentes de rotação em torno dos 2 eixos que contém a grelha logo o número de deslocabilidades internas é igual ao dobro do número de nós internos rígidos Deslocabilidade Externa de apoio de 1º gênero Cálculo do número de deslocabilidades externa e interna no pórtico abaixo Figura 2 Figura 2 Pórtico com 3 placas e 3 apoios adicionais Cálculo do número de deslocabilidades internas e externa no pórtico Nó A não precisa de placa pois o engaste não sofre deformação Nó B não precisa de placa pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna Há um deslocamento horizontal em B Nó C não precisa de placa pois apoio de 1º e 2º gênero não há deslocabilidade interna Não precisa de apoio adicional não há deslocamento linear em C Nó D precisa de placa para saber a rotação em D Precisa de apoio adicional há deslocamento linear na horizontal em D Nó E precisa de placa para saber a rotação em E Não precisa de apoio adicional pois há um apoio adicional em D Nó F não precisa de placa pois há uma rótula em F não há deslocabilidade interna a considerar para saber a rotação em F Não precisa de apoio adicional pois há um apoio adicional em D Nó G precisa de placa para saber a rotação em G Precisa de apoio adicional há deslocamento linear inclinado em G Logo di 3 de 3 Concluise que o número de incógnitas do pórtico é igual a 6 números de nós internos não rotulados da estrutura 3 e números de nós externos deslocamento linear da estrutura 3 Número total de Deslocabilidades d Como as incógnitas do problema são as rotações rígidas da estrutura di e os deslocamentos lineares independentes de seus nós de dizemos que o número total de deslocabilidade d de uma estrutura é a soma de di de É importante estar atento aos seguintes itens Estrutura indeslocáveis de 0 Estrutura deslocáveis de 0 O número de incógnitas do sistema será d Vamos ver agora como obter o número total de deslocabilidades para as estruturas planas abaixo A Resposta d 4 B Resposta d 2 C Resposta d 1 D Resposta d 3 E Grandezas fundamentais Para a determinação dos diagramas de momento fletores atuantes numa barra de uma estrutura hiperestática precisamos conhecer além do diagrama de momento fletores que teria z barra se fosse biengastada ou engastada e rolutada para carregamento externo atuante e facilmente tabelável para os carregamentos usuais da prática Tabela 1 galeriaaula4anexodoc2pdf SUSSEKIND sd Rigidez de uma barra Denominamos rigidez de um nó ao valor do momento que aplicado nesse nó supostamente livre para girar provoca uma rotação unitária do mesmo a Barra biengastada Seja a barra biengastada AB cuja rigidez está no nó A Tratase de determinar o Momento MA que deve ser aplicado em A para produzir a rotação ϕ 1 Supondo a barra com inércia constante J e módulo de elasticidade E a obtenção do diagrama de momentos fletores pode ser feita pelo processo de Mohr Temos MA 4EJl e ME 2EJl Onde E módulo de elasticidade J momento de inércia L comprimento da barra Resumindo para uma barra biengastada de inércia constante temos rigidez em um nó K 4EJl ou trabalhando com rigidez relativa para uma barra biengastada de inércia e módulo de elasticidade E constantes podemos usar a fórmula reduzida de rigidez em um nó K α 60l Onde α é JJc momento de inércia da barra menor momento de inércia de toda a estrutura a Convenção de sinais que serão adotados no método das deformações Consiste em chamar de positivos aos momentos e de rotação aos extremos das barras quando os momentos tiverem o sentido antihorário Atenção Não existe nenhuma relação entre esta convenção de sinais e a convenção às vezes adotada na estática chamar de positivos aos momentos fletores que traçionam suas fibras inferiores e de negativos em caso contrário Esse método será explicado detalhadamente pelos exercícios a seguir Exercícios resolvidos Veja agora alguns exemplos de exercícios importantes Aqui nos exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J Exemplo 1 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo conforme mostra a Figura 3 Dados J 001 m4 para o trecho AD J 0006 m4 para o trecho DE E 21 x 107 kNm2 1 Passo Sistema Principal SP No sistema principal temos que calcular o número total de deslocabilidades di de para a estrutura hiperstática Colocar nomes nas barras nomes nos apoios e numerar as placas e os apoios adicionais Temos que excluir o balanço e redesenhar a viga hiperstática sem o balanço e com as cargas de 50 kN e 50 x 3 150 KNm de momento fletor Figura 4 Colocar placa e apoio adicional de 0 apoio adicional di 1 placa d de di 1 Logo o sistema será β10 β11 Δ1 0 2 Passo Estado 0 só carga Barra 1 apoio e engaste Cálculo do momento fletor em D usando a tabela de momento de engastamento perfeito tabela 1 Terceira coluna Carga momento de 150 kNm MD M2 3a²l² 1 M2 1502 75 kNm Carga pontual de 100 kN Carga pontual de 50 kN Cálculo do momento fletor em D Usando a tabela de Momento de engastamento perfeito tabela 1 Figura 6 Viga com as reações de apoios Figura 7 Viga com diagrama de esforços cortante kN Figura 8 Viga com diagrama de momentos fletores kNm Saiba mais Acesse Exercícios resolvidos exemplos galeriaaula4anexodoc3pdf para dar continuidade aos seus estudos sobre o assunto e ampliar seu conhecimento Atividade 1 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 2 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 3 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 4 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 5 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 6 Calcular pelo Método das Deformações a estrutura hiperestática e desenhar os diagramas de esforços internos Dados EI 00001 kNm E 1x10 kNm x J 1 mm 2 8 2 4 Notas Deformação1 É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento Calcular deslocamentos2 Seja calcular determinado deslocamento por exemplo o deslocamento vertical no ponto C em uma estrutura isostática sujeita a um sistema de cargas qualquer Fonte cadtecdeesufmgbrnucleoeadforumarquivosapostilaptvpdf cadtecdeesufmgbrnucleoeadforumarquivosapostilaptvpdf MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 10 Rio de Janeiro Elsevier sd SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural v 3 cap 1 Rio de Janeiro Globo sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 11 a 13 Rio de Janeiro LTC sd Próxima aula Explore mais Caducar as ligações de apoio em estruturas hiperestáticas Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas Para saber mais acesse httpswwwyoutubecomwatchvvzVJISTQ0S0 httpswwwyoutubecomwatchvvzVJISTQ0S0 Acesso em 22 jan 2019 httpswwwyoutubecomwatchv40xpZs2kGiY httpswwwyoutubecomwatchv40xpZs2kGiY Acesso em 22 jan 2019 httpswwwyoutubecomwatchveRfynt1xBu8 httpswwwyoutubecomwatchveRfynt1xBu8 Acesso em 22 jan 2019 httpswwwyoutubecomwatchvMhlSe60gA4I httpswwwyoutubecomwatchvMhlSe60gA4I Acesso em 22 jan 2019 httpswwwyoutubecomwatchvkxvSxS7EZQ httpswwwyoutubecomwatchvkxvSxS7EZQ Acesso em 22 jan 2019 httpswwwprofilliancomstructurasListas03HiperestaticaMetododosDeslocamentospdf httpswwwprofilliancomstructurasListas03HiperestaticaMetododosDeslocamentospdf Acesso em 22 jan 2019 httpswwwprofilliancomestruturastabelasMomentosdeEngastamentoPerfeitopdf httpswwwprofilliancomestruturastabelasMomentosdeEngastamentoPerfeitopdf Acesso em 22 jan 2019 httpswwwprofilliancomestruturastabelasTabeladeDeformacaoUnitariapdf httpswwwprofilliancomestruturastabelasTabeladeDeformacaoUnitariapdf Acesso em 22 jan 2019 professorpucgiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload3922materiailfmcap06métododosdeslocamentospdf professorpucgiasedubrSiteDocenteadminarquivosUpload3922materiailfmcap06métododosdeslocamentospdf Acesso em 22 jan 2019 httpsecivillfesfileswordpresscom201104anc3a1liseestruturalapostilacev5220pdf httpsecivillfesfileswordpresscom201104anc3a1liseestruturalapostilacev5220pdf Acesso em 22 jan 2019