Aula 3: Método das Forças e Variações de Temperatura em Estruturas Hiperestáticas

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 3 Método das Forças Temperatura Recalque nos apoios Apresentação Nesta aula veremos que a variação de temperatura d eou os recalques de apoios d provocam deformações e esforços internos em estruturas hiperestáticas Usaremos o Método das Forças para resolver essa estrutura Em uma estrutura isostática as variações de temperatura e recalque só acarretam deformações da estrutura sem gerar esforços internos já nas hiperestáticas as vinculações adicionais impediriam esse deslocamento livre gerando esforços internos e reações diferentes de zero iT ir Objetivos Resolver estruturas hiperestáticas devido a variações de temperaturas d eou recalques de apoios d usando o Método das Forças Traçar os diagramas solicitantes devido a variações de temperaturas d eou recalques de apoios d iT ir iT ir Variação de temperatura recalques de apoio No caso de querermos resolver uma estrutura hiperestática para uma variação de temperatura eou para recalques de apoios teremos tão somente que substituir ou somar os d deformações no estado zero só carga por d eou d i0 iT ir Temperatura A variação de temperatura provoca deformação e esforços internos em estrutura hiperestática As solicitações térmicas são de grande importância para o dimensionamento de uma estrutura Vejamos a seguir a fórmula para calcular a variação de temperatura δiT EJc α ΔT h Ami α tg Ani Onde E Módulo de elasticidade longitudinal do material J c Momento de inércia da seção transversal em relação a seu eixo neutro uma inércia arbitrária chamada inércia de comparação que usualmente é arbritada à menor das inércias das barras a Módulo de elasticidade longitudinal do material h Altura da seção transversal tite Dt ti temperatura nas fibras internas te temperatura nas fibras externas tg Variagao de temperatura no centroide da secao transversal Tg teti2 Ami Area do diagrama do momento fletor DMF Ani Area do diagrama do esforco normal DEN Recalques de apolos A solicitagao de recalque de apoio semelhante a de variacao de temperatura Cujo 0 apoio sofra um recalque conhecido indicado na estrutura Se quisermos calcular a estrutura temos Onde E Modulo de elasticidade longitudinal do material 3 Momento de inércia da secdo transversal em relacdo a seu eixo neutro uma inércia arbitraria c chamada inércia de comparacdo que usualmente é arbritada a menor das inércias das barras r recalques Será explicado detalhadamente pelos exercícios resolvidos a seguir Exercícios resolvidos Nestes exemplos a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J Exemplo 1 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio da viga abaixo conforme mostra a Figura 1 Dados Seção da viga de 6m de comprimento barra 1 20cm x 50cm b x h Seção da viga de 8m de comprimento barra 2 40cm x 80cm b x h E 8 x 10 kNm a 10 C 6 2 5 Figura 1 Viga com temperatura externa de 16ºC e temperatura interna de 8ºC 1º Passo Calcular o grau hiperestático g da viga G I E R G 5 3 0 2 estrutura duas vez hiperistática que desejamos resolver X1 e X2 Logo o sistema será e e d1t d11 X1 d12 X2 0 d2t d21 X1 d22 X2 0 2º Passo Sistema Principal SP Escolher uma estrutura isostática Colocar os nomes nas barras e nos apoios para facilitar os cálculos e indicar X1 e X2 conforme a Figura 2 Figura 2 Sistema Principal Uma estrutura isostática com X1 e X2 3º Passo Calcular o comprimento elástico das barras O comprimento elástico das barras L L Jc J Onde L comprimento elástico L comprimento da barra Jc menor momento de inércia de toda a estrutura J menor momento de inércia de toda a estruturaAltura da seção transversal Calculando o momento de inércia das barras Iviga barral bh12 02 x 05912 0002083m Sviga barra2 N12 04 x 08912 0017067m Calculando o L das barras Barral Ly 6 x 00020830002083 6m Barra 2 L28x00020830017067 09764m 4 Passo Estado 1 sé X1 Carga de 1 kN no X1 no hiperestatico Figura 3 600 1400 kKNm X41 1kN g 140 bia oO Figura 3 Diagrama de momento fletor M1 com a carga de 1kN no X1 5 Passo Estado 2 so X2 Calcular as reacdes de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor com a carga de 1KN no X2 no hiperestatico Figura 4 800 kNm z X2 1kKN 80 o oO Figura 4 Diagrama de momento fletor M2 com a carga de 1kN no X2 6 Passo Calcular as EJ d Fazemos a multiplicagdo dos momentos fletores de cada barra usando a Tabela de Kurt Beyer Barra 1 U de 6m com triangulo 6kNm x triangulo 6kNm Barra 2 U de 09764m com trapézio 6kNm a 14kNm x trapézio 6kNm a 14kNm di2 d21 Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 2 Barra 1 0 Barra 2 de 09764m com trapézio 6kNm a 14kNm x tridngulo 8kNm d22 Multiplicar o momento fletor do Estado 2 com o momento fletor do Estado 2 Barra 1 0 Barra 2 L de 09764m com triângulo 8kNm x triângulo 8kNm 1 3LM ˉM 1 3x 0 9764x8x8 20 83δ22 20 83 δ1t Temperatura para o estado 1 δ1T E Jc aΔT h Ami a tg Ani Δt 8 16 24ºC Am 18m2 barra1 80m2 barra2 𝛼 𝑡𝑔 𝐴𝑛𝑖 0 esse trecho é igual a 0 porque não tem esforço normal h 05m h 08m barra1 barra2 Barra 1 δ1T 8x106x0 002083 10 5x24 0 5 x18 143 98 Barra 2 δ1T 8x106x0 002083 10 5x24 0 8 x80 399 94δ1T 543 92 d2t Temperatura para o estado 2 δ1T E Jc aΔT h Ami a tg Ani At 8 16 24C Am 0 m2 barra1 32m2 barra2 0 esse trecho é igual a 0 porque nao tem esforco normal h barral 05m h barra2 08m Barra 1 0 Barra 2 652T8x106 x 0002083 x 105 x 2408 x 3215997 62T15997 7 Passo Sistema Montar o sistema para achar X1 e X2 Resolvendo X1 253kKN X2 231kKN deu negativo significa que o sentido de X1 e X2 esta contrdrio 6 para baixo Voltamos a estrutura hiperestatica e colocamos os valores de X1 e X2 conforme a Figura 5 Pi ae ae oO Figura 5 Estrutura original hiperestatica com os valores de X1 e X2 Agora calculamos as reacdes de apoio Figura 6 e Figura 7 e desenhamos os diagramas solicitantes Figura 6 Diagrama de Esforços Cortantes DEC na estrutura original hiperestática Figura 7 Diagrama de Momento Fletor DMF na estrutura original hiperestática Exemplo 2 Obter os diagramas solicitantes e as reações de apoio do pórtico abaixo conforme mostra a Figura 8 Dados Temperatura externa Te 35ºC Temperatura interna Ti 10ºC Seção da viga 20cm x 40cm b x h Seção dos pilares 20cm x 30cm b x h E 3000MPa a 10 5 C 35 C Oo nae ONS a a re L wi A oO Lm Qa 10 Qa Ww oF 4 of 5 o a m es oO Figura 8 Portico com temperatura externa de 35C e temperatura interna de 10C 1 Passo Calcular o grau hiperestatico g da viga GeIER Ge4301 estrutura uma vez hiperistatica que desejamos resolver X1 Logo o sistema sera ditd11X10 2 Passo Sistema Principal SP Escolher uma estrutura isostatica Colocar os nomes nas barras nos apoios para facilitar os calculos e indicar X1 conforme a Figura 9 J Figura 9 Sistema Principal Uma estrutura isostática com X1 3º Passo Calcular o comprimento elástico das barras O comprimento elástico das barras L L Jc J Onde L comprimento elástico L comprimento da barra Jc menor momento de inércia de toda a estrutura J menor momento de inércia de toda a estruturaAltura da seção transversal Calculando o momento de inércia das barras PILAR bh 12 02 x 03 12 000045m 3 3 4 Svica bh812 02 x 04812 0001067m4 Calculando o L das barras Barral Ly 3 x 000045000045 3m Barra 2 Uo 6 x 0000450001067 253m Barra3 33x000045000045 3m 4 Passo Estado 1 sé X1 Carga de 1KN no X1 no hiperestatico Figura 10 e Figura 11 300 o o 2 o cry om 100 KN 100 KN oO Figura 10 Diagrama de momento fletor M1 com a carga de 1kKN no X1 A area do diagrama de momento fletor é de 45m 18m 45m2 100 14 X1 100 kN 100 KN oO Figura 11 Diagrama de esforcgo normal DEN com a carga de 1kN no X1 A area do diagrama de esforco normal é de 6m2 5 Passo Calcular as E Jc d Fazemos a multiplicagao dos momentos fletores de cada barra usando a Tabela de Kurt Beyer o11 Barra 1 U de 3m com triangulo 8kNm x triangulo 83kNm Barra 2 U de 253m com retangulo 8kNm x retangulo 3kNm Barra 3 U de 3m com triangulo 8kNm x triangulo 8kKNm LMM x3x3x3 96 4077 dit Temperatura para o estado 1 aAt Oj7 ES 5 Ami a tg Ani At 10 35 25C Tg te ti 2 35 10 2 225C h pilar 0 h viga 04m 07 3x1010x 25 Te PE VY 105422 5x 6 5 234 ir V2 7 104 7 08 03 Mae ONY POT 20 TT 6 Passo Sistema Montar o sistema para achar X1 e X2 ditd11X10 23490 4077 X1 0 Resolvendo X1 576kN Se deu negativo significa que o sentido de X1 esta no sentido contrario é para outro lado Voltamos a estrutura hiperestatica e colocamos o valor de X1 conforme a Figura 12 Figura 12 Estrutura original hiperestática com o valor de X1 Após colocar o valor de X1 calculamos as reações de apoio e desenhamos os diagramas solicitantes Figura 13 Diagrama de Esforços Normais DEN na estrutura original hiperestática Figura 14 Diagrama de Esforços Cortantes DEC na estrutura original hiperestática Figura 15 Diagrama de Momento Fletor DMF na estrutura original hiperestática Saiba mais Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos galeriaaula3anexodoc1pdf Atividade 1 Calcular pelo Método das Forças as estruturas abaixo e desenhar os diagramas de esforços internos EI 100000MPa Te 25ºC e Ti 10ºC a 105ºC 2 Recalque nos apoios A e B de rV 2 cm para baixo 3 Recalque no apoio A rV 3cm para baixo Notas 4 Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal SP A Tabela de Kurt Beyer na Figura 49 Figura 49 Fonte httpsengcivil20142fileswordpresscom201703tabelakurtbeyerjpg Notas Referências MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 7 Rio de Janeiro Elsevier sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 11 a 13 Rio de Janeiro LTC sd SUSSEKIND J C Curso de análise estrutural v 2 cap 1 Rio de Janeiro Globo sd Próxima aula Calcular as reações de apoio em estruturas hiperestáticas Traçar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas Explore mais Para aprimorar seus conhecimentos acesse PAlaA AVINTIUMIG SGeUS VUTITICUI TIT ALES e Método das forcas Exemplos de aplicacgao em vigas httpsecivilufes files wordpresscom201104mc3a9tododas forc3a7asexemplodeaplicac3a7c3a30emvigaspdf e Andlise das estruturas II 1 semestre webserver2tecgrafpucriobrftppubIfmciv1127p1012pdf e Andlise das estruturas II 2 semestre webserver2tecgrafpucriobrftppubIfmciv1127p1041pdf e Aprenda usar o FTOOL em 10 minutos httpswwwyoutubecomwatchv5qmz4Zvdx5g