Aula 2: Método das Forças em Estruturas Hiperestáticas

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 2 Método das Forças Apresentação A partir desta aula começaremos a sedimentar e ampliar os conceitos da estática das estruturas analisando sistemas hiperestáticos por meio dos métodos clássicos forças e deslocamentos para introduzir o estudo de análise matricial de estruturas Nesta aula apresentaremos o Método das Forças um dos clássicos utilizado para análise de estruturas hiperestáticas Objetivos Reconhecer um dos métodos clássicos para análise de estruturas hiperestáticas o Método das Forças Calcular uma estrutura hiperestática aplicando o Método das Forças Estabelecer os diagramas solicitantes de uma estrutura hiperestática usando o Método das Forças Estruturas hiperestáticas são aquelas em que o número de reações de apoio é superior ao de equações da estática X 0 Y 0 e M 0 portanto essas equações são insuficientes para a determinação das reações de apoio A determinação das reações de apoio que atuam nessas estruturas são geralmente calculadas pelo Método das Forças ou pelo Método dos Deslocamentos No Método das Forças as variáveis são os esforços No método dos deslocamentos as deformações O grau de hiperestaticidade de uma estrutura é determinado pelo número de reações de apoio excedentes àquelas necessárias para o seu equilíbrio Relembrando como calcular o grau de hiperestaticidade a fim de descobrir se a estrutura é restringida Usando umas das fórmulas existentes na literatura A fórmula a seguir foi tirada do autor Sussekind sd G Ge Gi Ge I E R Gi 3 x N Onde G grau hiperestático das estruturas Ge grau hiperestático externo Gi grau hiperestático interno I o número de reações de apoio incógnita da estrutura E as equações fundamentais da estática ΣFx 0 ΣFy 0 ΣM 0 R as rótulas existentes na estrutura ou seja o número de momentos liberados 3 o número de esforços liberados V H e M no corte N o número de cortes Observação G 0 estruturas isostáticas G 0 estruturas hiperestáticas G 0 estruturas hipostáticas sem equilíbrio Método das forças A metodologia utilizada pelo Método das Forças também conhecido como Método da Flexibilidade e Método dos Esforços para analisar uma estrutura hiperestática é 1 Usar uma estrutura auxiliar isostática não haverá nenhuma alteração do ponto de vista estático se mantemos os mesmos vínculos chamada de Sistema Principal que é obtida da estrutura original hiperestática pela eliminação de vínculos 2 Somar uma série de soluções básicas chamadas de estados que satisfazem às condições de equilíbrio Essa eliminação de vínculos pode ser impedimentos de apoio ou vínculos de continuidade interna e os deslocamentos e as rotações são sempre calculados nas direções dos vínculos eliminados A Figura 1 demostra a passagem do pórtico I hiperestático para o pórtico II isostático observase que não houve nenhuma alteração no ponto de vista estático Rompeuse a quantidade de vínculos os engastes que se transformou em apoio de 1º e 2º gêneros introduzindo no local os esforços X1 X2 e X3 Imagem não contém texto Nenhuma alteração ocorreu ao adotar a estrutura isostática pórtico II foram aplicados os esforços quanto ao grau de hiperestaticidade Assim a determinação de X1 X2 e X3 implicará na resolução da estrutura Quando rompido um vínculo é aplicado um esforço No sistema principal serão liberadas deformações que não existem e assim a solução exige que os deslocamentos provocados pelos hiperestáticos sejam nulos No caso acima temos Rotação para X2 e X3 Translação para X1 Com uma equação para deslocamento nulo o problema será resolver o sistema nxn Será utilizado o princípio da superposição dos efeitos separando o carregamento externo e os hiperestáticos O primeiro índice é o local e o segundo a causa δ10 δ11 X1 δ12 X2 δ13 X3 0 translação de X1 δ20 δ21 X1 δ22 X2 δ23 X3 0 rotação de X2 δ30 δ31 X1 δ32 X2 δ33 X3 0 rotação de X3 A solução do sistema fornece o valor de Xi Na hora de escolher um sistema principal isostático há infinitos e o mais lógico é procurar um sistema que forneça diagramas de momento flotores mais simples possíveis Essa metodologia de solução de uma estrutura hiperestática pelo Método das Forças será explicada detalhadamente pelos exercícios a seguir Nos exemplos a seguir a nomenclatura de Momento de Inércia será a letra J Dados Seção da viga 40 cm x 80 cm b x h E 1 x 10 kNm 8 2 1º Passo Calcular o grau hiperestático g da viga Ge I E R Ge 3 2 0 1 estrutura hiperestática que desejamos resolver X1 Logo o sistema será δ10 δ11 X1 0 Figura 3 Exemplos de três tipos de sistema principal isostático Para o nosso exercício vamos adotar o primeiro exemplo colocando x no balanço direito conforme a Figura 4 3º Passo Calcular o comprimento elástico das barras Para usar a Tabela de Kurt Beyer estruturas compostas por barras retas com inércia constante devemos calcular o comprimento elástico das barras A deformação δ devido ao trabalho à flexão vale δ M ME J dx Sendo Jc uma inércia arbitrária chamada de inércia de comparação usualment 4º Passo Estado 0 só carga Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor M0 com as cargas externas 5º Passo Estado 1 só X1 Calcular as reações de apoio e desenhar o diagrama de momento fletor M1 com a carga de 1kN no X1 no hiperestático Fazse a multiplicação dos dois momentos fletores de cada barra Usamos a Tabela de Kurt Beyer e vemos a equação da multiplicação dos dois momentos Onde L 3 m comprimento da barra 1 M 375 kNm momento fleto da parábola 2º grau M 5 kNm momento fleto do triângulo M 3375 kNm momento fleto do qI²8 Multiplicar o momento fletor do Estado 1 com o momento fletor do Estado 1 E J c δ11 M1 x M1 Figura 5 Viga com o valor de X1 Dados Valores de inércia Nos pilares J 1 e na viga J 2 E 1 x 108 kNm2 Figura 9 Pórtico com carregamento distribuído de 20kNm 1º Passo Calcular o grau hiperestático g da viga G I E R G 5 3 0 2 estrutura duas vezes hiperistática desejamos resolver X1 e X2 Logo nosso sistema será δ10 δ11 X1 δ12 X2 0 δ20 δ21 X1 δ22 X2 0 2º Passo Sistema Principal SP Escolher uma estrutura isostática Indicar X1 e X2 conforme a Figura 10 e e Figura 10 Sistema Principal Uma estrutura isostática com X1 e X2 3º Passo Calcular o comprimento elástico das barras O comprimento elástico das barras 𝐿 𝐿 𝐽 𝑐 𝐽 Onde L comprimento elástico L comprimento da barra Jc menor momento de inércia de toda a estrutura J momento de inércia da barra em estudo 4º Passo Estado 0 só carga Cargas externas conforme pode ser visto na Figura 11 Figura 11 Diagrama de momento fletor M0 com o Sistema Principal 5º Passo Estado 1 só X1 Carga de 1kN no X1 no hiperestático Figura 12 Figura 12 Diagrama de momento fletor M1 com a carga de 1kN no X1 6º Passo Estado 2 só X2 Carga de 1kN no X2 no hiperestático Figura 13 Figura 13 Diagrama de momento fletor M2 com a carga de 1kN no X2 7º Passo Calcular as E J δ Usamos a Tabela de Kurt Beyer δ10 c 𝛿10 𝑀1 𝑥 𝑀0 Barra 1 L de 3 m com retângulo 360 kNm x retângulo 6kNm 𝐿 𝑀𝑀 3 𝑋 6 𝑋 360 6480 Barra 2 L de 3 m com par 2º grau 360 kNm x triângulo 6kNm 1 4 𝐿 𝑀 𝑀 1 4 𝑋 3 𝑋 6 𝑋 360 1620 Barra 3 0 𝛿10 8100 δ11 𝛿11 𝑀1 𝑥 𝑀1 Barra 1 L de 3 m com retângulo 6kNm x retângulo 6kNm 𝐿 𝑀𝑀 3 𝑥 6 𝑥 6 180 Barra 2 L de 3 m com triângulo 6kNm x triângulo 6kNm 1 3 𝐿 𝑀 𝑀 1 3 𝑥 3 𝑥 6 𝑥 6 36 𝛿11 144 δ12 δ21 𝛿12 𝛿21 𝑀1 𝑥 𝑀2 Barra 1 L de 3 m com triângulo 3kNm x retângulo 6kNm 1 2 𝐿 𝑀 𝑀 1 2 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 6 27 Barra 2 L de 3 m com triângulo 6kNm x retângulo 3kNm 1 2 𝐿 𝑀 𝑀 1 2 𝑥 3 𝑥 3 𝑥 6 27 Barra 3 0 𝛿12 𝛿21 54 𝛿20 2700 Figura 6 Reação de apoio após achar X1 Voltamos à estrutura hiperestática e colocamos os valores de X1 e X2 conforme a Figura 14 Figura 14 Estrutura original hiperestática com os valores de X1 e X2 Agora calculamos as reações de apoio Figura 15 e desenhamos os diagramas solicitantes Figura 15 Estrutura original hiperestática com as reações de apoios Diagrama solicitantes Figura 16 Diagrama de Esforços Normais DEN na estrutura original hiperestática Figura 17 Diagrama de Esforços Cortantes DEC na estrutura original hiperestática Figura 18 Diagrama de Momento Fletor DMF na estrutura original hiperestática Saiba Mais Continue esse estudo analisando outros Exercícios Resolvidos galeriaaula2anexodoc1pdf Atividade 1 Calcular pelo Método das Forças as estruturas hiperestáticas abaixo Desenhar os diagramas de esforços internos EI 100000MPa 2 Recalcular todas as estruturas vistas nesta aula com outro Sistema Principal SP Notas Deformação1 É a alteração da forma de uma estrutura devido ao seu carregamento Figura 8 Diagrama de momento fletor GUIA do engenheiro Aprenda usar o FTOOL em 10 minutos Disponível em httpswwwyoutubecomwatchv5qmz4Zvdx5g Acesso em 04 dez 2018