Aula 8: Matrizes de Flexibilidade e Rigidez

Disciplina Teoria das Estruturas II Aula 8 Matrizes Flexibilidade e Rigidez Apresentacgao Esta aula sera a continuagao da Aula 7 pois aqui vamos calcular as reagdes de apoio usando as matrizes de flexibilidade e rigidez Serao apresentados os coeficientes de rigidez locais os principios dos deslocamentos virtuais a matriz de rigidez local no sistema global e a estrutura composta por duas hastes com solicitagao axial Objetivos e Calcular reacao de apoio a uma estrutura hiperestatica aplicando a matriz de flexibilidade e Calcular reacao de apoio a uma estrutura hiperestatica aplicando a matriz de rigidez Introducgao ao método da flexibilidade e do método da rigidez malin ae 4 3q50304 Rae Oy eye a el K 28 240m a 4 are axel pa as In OA 4 z2 a4 2 el a i eae Xe wl f 7 5 Oo Cc a y A Pe Aq TD ecacees da fsca Fonte sputestoc O método da flexibilidade também conhecido como método das forcas determina um conjunto de reagdes Ou esforcos seccionais superabundantes ao equilibrio estatico de uma estrutura hiperestatica permitindo que as outras reagdes ou esforcos seccionais sejam calculados com as leis da estatica Eo método das forcas apresentado em forma matricial Uma superposicao de solucdes faz com que o método da rigidez tenha uma discretizagao do comportamento continuo de uma estrutura Os que formam a base do processo de discretizagao do método da rigidez direta sao as configuragoes deformadas de barras isoladas sao as solugoes fundamentais para 0 método MARTHA sd cap 5 Ha dois tipos de solucdes fundamentais de barras isoladas segundo Martha sd cap 5 Coeficientes de rigidez locais Correspondem forca e momento que Reagoes de engastamento perfeito de uma barra isolada devem atuar nas extremidades de uma provocadas por solicitagoes externas barra para equilibrala quando sao impostos isoladamente deslocamentos As reacgoes de apoio para uma barra com as extremidades ou rotacées unitérias nas suas engastadas resultantes da aplicagao de uma solicitagao extremidades externa Os tipos de solicitagdes externas sao forgas concentradas momentos concentrados foras distribuidas e variagao de temperatura Nesta aula sao deduzidos coeficientes de rigidez locais para barras com segao transversal que nao variam ao longo do seu comprimento As propriedades de materiais de comprimento de barra e geometricas de secao transversal utilizadas pelas solugdes fundamentais de rigidez sao E modulo de elasticidade do material FL L comprimento de uma barra L A area da secdo transversal L momento de inércia a flexdo da seco transversal L Jt momento de inércia a tordo da secdo transversal L Coeficientes de rigidez locais Sao momentos e foras que devem atuar nas barra isolada suas extremidades para equilibrala quando é imposto um deslocamento ou rotaao unitario em uma das suas extremidades Figura 1 El constante i M pf M ee 7 8 Q L i Oo Figura 1 Viga biapoiada com deslocamento nos nds Fonte McCORMAC sd Os momentos M e Mz nas extremidades produzem as rotagdes 7 naquelas extremidades Usando o procedimento do método das inclinagdes nessas expressoes k igual a L o denominado coeficiente de rigidez 4EI 2EI M 2EK 20 62 0 2EI 4EI Mz 2EK2 202 6 65 Em forma matricial temos 4EI 2EI M r orl lf M 2EI AEI Os coeficientes 4ElL e 2EIL podem ser escritos simbolicamente como Kj onde os subscritos definem a linha e a coluna do local dos coeficientes na matriz de rigidez Ye a Kip ih Mp Ko Ko 02 O coeficiente de rigidez K pode ser interpretado como o momento que deve ser aplicado a extremidade 1 a fim de produzir uma rotacao unitaria 1 1 enquanto a extremidade oposta da viga permanece fixa 5 0 conforme a figura abaixo O coeficiente Kz o momento resultante na extremidade 2 da viga para essa situagao De modo semelhante temos os coeficientes Kj2 Ko2 Como podem ser vistos na Figura 2 Fixo ae mia aa aE Me ke Mia Sokns UAE j a r I Se M oH kj2 M k foe oe Fixo Si ee nee ga Ayn oO Figura 2 Viga biapoiada com deslocamento nos nds Fonte McCORMAC sd Veja a seguir mais tres abordagens importantes Principio dos deslocamentos Matriz de rigidez local no sistema Introdugao da Matriz de virtuais global Flexibilidade Para dar uma condicao de A influéncia de uma barra na Esse 6 na realidade o método das equilibrio a um sistema de forca matriz de rigidez global tem que foreas aulas 2 e 3 consistente imposto o principio dos transformar as propriedades colocado na forma matricial deslocamentos virtuais PDV mecanicas da barra para o Arbitrase uma configuracao sistema de coordenadas deformada chamada virtual da generalizadas globais qual se sabe que satisfaz as condicdes de compatibilidade A principal utilidade do PDV a determinacao de forcas e momentos que sao necessarios para garantir o equilibrio da configuracao de um modelo estrutural Ainda sobre a introdugao da Matriz de Flexibilidade veja o roteiro de calculo Kase bb See Se st SS Figura 3 Estrutura hiperestática viga oO Figura 4 Sistema principal com 3 x Neste contexto 0 6 importante saber os seguintes passos e Devese iniciar transformando a estrutura hiperestatica Figura 3 rompendose tantos vinculos quantos necessarios para se obter um modelo isostatico sistema principal Figura 4 e Osistema principal devera ser compatibilizado com a estrutura original através da aplicagao de acdes x nos locais e nas diregdes onde houve cortes de vinculos e Um valor unitdrio é aplicado a estrutura principal no local e na direcdo onde foi rompido o vinculo E calculada a deflexdo devida a uma carga unitaria no ponto 1 e denominada aquide 44 a deflexao no ponto 2 devido a carga unitaria devido ao ponto 1 é denominada 54 assim por diante Os deslocamentos devidos a carga unitaria sao chamados de coeficientes de flexibilidade O deslocamento real no no 1 devido a redundante estatica X1 vale X1 vezes a deflexao por uma carga unitaria agindo ali isto 6 X1 74 o deslocamento transversal no no 2 devido a Xq vale X1 2 assim por diante e Finalmente sao escritas as equagdes simultaneas de compatibilidade de deformacoes no local de cada uma das redundantes estaticas As incognitas dessas equagdes sao as forcas redundantes As equacdes sao expressas na forma matricial e resolvidas a fim de fornecerem o valor das redundantes Para ilustrar esses procedimentos observe as figuras abaixo Figura 5 Estrutura hiperestática com carregamento qualquer Figura 6 Sistema Principal com 3 grau de hiperestaticidade Figura 7 Deformação com o carregamento Estado 0 só carga Figura 8 Deformação aplicando a carga de X Estado 1 só X 1 1 Figura 9 Deformação aplicando a carga de X Estado 2 só X 2 2 Figura 10 Deformação aplicando a carga de X Estado 3 só X 3 3 Somando as deformacoes do ponto 1 temos 1ot 1X1 42X24 13X3 0 Somando as deformacoes do ponto 2 temos 20 21X1 22X2 23X30 Somando as deformacoes do ponto 3 temos 30 31X1 32X2 33X30 Essa equacao indica que os deslocamentos devidos as cargas mais a matriz de flexibilidade vezes as redundantes estaticas sao iguais a deformagao final nos apoios Ela pode ser escrita na forma compacta como a seguir x FR 2 Onde éum vetor de deslocamento devido a carga imposta F 6 a matriz dos coeficientes de flexibilidade R 6 um vetor das forcas redundantes rR 6um vetor das deformacées finais nos apoios todos iguais a zero aqui Essa equacao pode ser escrita de outra forma a fim de serem encontrados os valores das redundantes 1 RPFlo eal ol O simbolo F representa a matriz inversa de F Agora veja um exemplo de como determinar as reacdes de apoios da viga galeriaaula8anexodoc01pdf Exemplo da estrutura composta de 2 hastes com solicitagao axial Para identificar e ordenar matricialmente as agdes mecanicas forgcas e momentos seguir o exemplo abaixo Figura 12 EA Z L EAL 1K lk b t13 I rt he 4 Ken as r0 I r R1 R O fn fa 4 R0 Rel f f Oo Figura 12 Estrutura composta de 2 hastes com solicitagao axial a Sistema de coordenadas globais 1 e 2 b e c Coeficientes de rigidez d e e Coeficientes de flexibilidade Neste contexto ainda temos os conceitos de Clique nos botões para ver as informações Da resisténcia dos materiais obtémse as relagdes da haste com solicitagao normal EA F ee wT o Ee oat FFA u A L EA u e L A matriz de flexibilidade da estrutura pode entao ser montada a partir do conceito de seus coeficientes f17 0 deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicacao de uma fora unitaria também na coordenada 1 R1 L L fu i fq4 lt R 0 EA EA fo 0 deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicagao de uma forga unitaria na coordenada 1 R 1 f f 21 11 R 0 f 0 deslocamento na coordenada 1 provocado pela aplicagao de uma forga unitaria na coordenada 2 R0 L L R 1 EA EA fo9 0 deslocamento na coordenada 2 provocado pela aplicagao de uma forca unitaria também na coordenada 2 teat L L L L f u 14 1 R 1 EA EA EA EA Logo obtémse L L fy fig EA EA F f f L L L EA EA EA A viga abaixo esta sujeita a uma carga normal Determinar as reacdes de apoios da viga Dados E1x 10 kNm 0002604 m4 seco da viga 025 x 050 A 0125 m El 260400 kN 1 700 kN 500 kN 2 le 150 ee eye 1 Passo Sistema Principal SP 1 2 A A x4 le 150 a er n dle 150 n 2 Passo Diagrama de momento fletor no Estado 0 sé carga 3 Passo Diagrama de momento fletor no Estado 1 sd Xj TKN J 700 kN 500 kN x4 Um elemento sujeito a uma carga axial varia de comprimento segundo valor de LPLAE assim sendo 1200 500 620 ge ZL Fp Z 1200 500 20 0125 260400 1 5 T 0125 260400 2 0 0 08602 m 71 a en b22 1 ts 1 wae sion 0 0001536 m A seguir 6 calculada a reacgao em 2 20 11R20 0028602 00001536 R2 0 R2 560 kN R1 700 500 560 640 KN 640kN A moll 500 kN 560 kN A Introdugao a Matriz de Rigidez A matriz de rigidez pode ser obtida pela simples inversao da matriz flexibilidade obtendose Ll oL Ly LL 1 1 2 1 12 cote lew ea ex EEAA ty tb EA EA ky Li bs ea EAs EA EA EA EA feh m4 1 22 by L L KF F detf EA ELA L L 2 L L L L LL dette EA lex EA lex EEAA lt EA EA ob ex tea EA EaAs EA EA EA EA lehiT M4 4 22 t bi L L IKI IFT detF ELA EA L L r 1 1 kF EA EA k1 é a forga na coordenada 2 decorrente da imposicao de um deslocamento unitario na coordenada 1 mantendose as demais coordenadas restringidas r EA kK 5 r 0 L ky2 ky2 a forga na coordenada 1 decorrente da imposigao de um deslocamento unitario na coordenada 2 mantendose as demais coordenadas restringidas r O EA r 1 L ko9 a forga na coordenada 2 decorrente da imposicgao de um deslocamento unitario na coordenada 2 mantendose as demais coordenadas restringidas r 0 EA 1 2h2 k r1 L Obtendose por fim a mesma matriz de rigidez EA EA EA K L L L EA EA L L Saiba mais Agora veja um exemplo de como deduzir a matriz de rigidez de uma viga barra com dois nés galeriaaula8anexodoc02pdf Matrizes de Rigidezes Nas matrizes abaixo foram definidos os coeficientes de rigidez a partir das relagdes de agoes e deslocamentos Saiba mais Veja a definigao completa em Analise Matricial de Estruturas aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm 2 ef 12 6L 7 2esf2 1 Y rN 6L fl Z mw Oo Y A 4 FA oo 2PY ae 88s L Y aEy 26 ar td 5 REI 46 ee ee 1 0 7 a oe o 2a 46 EE o 0 oO 0 4 EA 0 EA 0 o ee o ee aa L L 3 5 6 gE ES ééy HE 0 0 0 0 so a om Pa 2S 2 2 Panis S by Ye Da 0 o 6 0 9 1281 66 9 126d eeu ee re LE L Lf L Saiba mais Agora veja um exemplo de como determinar a rotagao e as reacdes de apoios da viga galeriaaula8anexodoc03pdf Atividades 1 Obter as reagdes de apoio da viga abaixo usando a matriz de flexibilidade Dados E1x 10 kNm Secao da viga 035m x 050m 4000 kNm 2000 kNm l300 msJer 300 m 2 Obter as reacdes de apoio da viga abaixo usando a matriz de flexibilidade Dados E1x 10 kNm Secao da viga 025m x 060m E 3 2000 KNm 050 m 150 m 300 m 3 Obter as reagdes de apoio da viga abaixo usando a matriz de rigidez Dados E 1 x 10 kNm Seção da viga 025m x 045m 8 2 4 Obter as reações de apoio da viga abaixo usando a matriz de rigidez Dados E 1 x 10 kNm Seção da viga 025m x 045m 8 2 5 Obter as reações de apoio da viga abaixo usando a matriz de rigidez Dados E 1 x 10 kNm Seção da viga 025m x 045m 8 2 Notas Referências ARAGÃO Filho Luiz A C Moniz de Notas de aula Disponível em aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm aquariusimeebbrmoniznotasdeaulahtm Acesso em 27 fev 2019 MARTHA Luiz Fernando Análise de estruturas cap 9 Rio de Janeiro Elsevier sd McCORMAC Jack C Análise estrutural cap 22 Rio de Janeiro LTC sd SORIANO Humberto Lima Análise de estruturas formulação matricial cap 1 Rio de Janeiro Ciência Moderna sd Próxima aula O método da matriz de rigidez direta sendo aplicada para desenhar os diagramas solicitantes e calcular as reações de apoio Desenhar os diagramas solicitantes em estruturas hiperestáticas usando o método das matrizes rigidez direta Explore mais Para saber mais sobre os assuntos estudados nesta aula acesse Aquarius IME aquariusimeebbrmonizpdf Aquarius IME aquariusimeebbrmoniz