Integral e Função

3ª Lista de exercícios 1 Resolva as integrais usando substituição trigonométrica a a² x² x dx b x x² a² dx c 1 xx² a² dx d x² 1 x dx e 1 xx² 1 dx f x² 4 x² dx g 1 4 x² dx h 1 x² 9 dx i x 1 x² 2x 10 dx g 1 x² 3x² 6x 9 dx h x² 3x 1 x² 6x 8 dx i 4x² 8x x 1²x² 1² dx 2 Classifique as funções em racional r ou não racional n racional própria p ou racional imprópria i a fx x²1 x 1 xfx b fx ln2 x 1x 2 c fx x 2 x² 5x 6x 3x² d fx senπx x² 7x 1 e fx lnx² 9 x 1 f fx sen7x 1 g fx x²1 x 1 x fx ln2 x 1x 2 g fx ex² 1 x² x 3x² 6x 9 h fx x² 3x 1 x² 6x 8 i fx 4x² 8x x 1²x² 1² 3 No exercício anterior apresente uma forma de decomposição em frações parciais para cada uma das funções racionais próprias 4 Resolva as integrais das funções racionais a x 1 2x 1 dx b x dx x 1x 3x 5 c dx x 1²x 2 d x 8 dx x³ 4x² 4x e x³ 1 dx 4x³ x 3 De acordo com o exercício 2 as funções racionais próprias foram Função e fx 13x2 x1x25x6 Função f fx ln2x1 x31x21 Função g fx ex21 x2x3x26x9 Função i fx 4x28x x12x212 Agora faremos a decomposição de cada uma Função e fx 13x2 x1x25x6 Primeiro fatoramos o denominador x2 5x 6 x2 5x 6 x 2x 3 Portanto temos a fração fx 1 3x2 x 1x 2x 3 A decomposição em frações parciais será da forma 1 3x2 x 1x 2x 3 A x 1 B x 2 C x 3 Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x1x2x 3 para eliminar os denominadores 1 3x2 Ax 2x 3 Bx 1x 3 Cx 1x 2 Agora vamos expandir cada termo Ax 2x 3 Ax2 5x 6 Bx 1x 3 Bx2 4x 3 Cx 1x 2 Cx2 3x 2 1 Somando os termos 1 3x2 A B Cx2 5A 4B 3Cx 6A 3B 2C Comparando os coeficientes com o lado esquerdo obtemos o seguinte sistema de equações A B C 3 5A 4B 3C 0 6A 3B 2C 1 Agora resolvemos o sistema Da primeira equação temos C 3 A B Substituímos na segunda equação 5A 4B 33 A B 0 5A 4B 9 3A 3B 0 2A B 9 B 2A 9 Agora substituímos C 3 A B e B 2A 9 na terceira equação 6A 32A 9 23 A 2A 9 1 6A 6A 27 23 A 9 1 27 212 A 1 27 24 2A 1 3 2A 1 2A 4 A 2 2 Agora substituímos A 2 em B 2A 9 B 22 9 4 9 13 E substituímos A 2 e B 13 em C 3 A B C 3 2 13 3 2 13 14 Logo a decomposição em frações parciais para a função e é 1 3x2 x 1x 2x 3 2 x 1 13 x 2 14 x 3 Função f fx ln2x1 x31x21 Primeiro vamos fatorar o denominador x3 1 x 1x2 x 1 e x2 1 x 1x 1 Portanto o denominador completo é x3 1x2 1 x 12x 1x2 x 1 Agora a função fica fx ln2 x 1 x 12x 1x2 x 1 A decomposição em frações parciais será da forma ln2 x 1 x 12x 1x2 x 1 A x 1 B x 12 C x 1 Dx E x2 x 1 Aqui incluímos um termo Dx E no lugar de D na fração envolvendo o polinômio quadrático x2 x 1 já que este é irreduzível e precisa dessa forma para a decomposição Passo 1 Multiplicar pelo denominador comum Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x 12x 1x2 x 1 para eliminar os denominadores ln2x1 Ax1x1x2x1Bx1x2x1Cx12x2x1DxEx12x1 3 Passo 2 Expandir os termos Agora vamos expandir cada um dos termos no lado direito Expansão do termo Ax 1x 1x2 x 1 Já sabemos que x 1x 1 x2 1 Agora multiplicamos por x2 x 1 x2 1x2 x 1 x4 x3 x2 x2 x 1 x4 x3 x 1 Portanto o primeiro termo expandido é Ax4 x3 x 1 Expansão do termo Bx 1x2 x 1 Já expandimos x 1x2 x 1 x3 2x2 2x 1 Logo o segundo termo expandido é Bx3 2x2 2x 1 Expansão do termo Cx 12x2 x 1 Sabemos que x 12 x2 2x 1 Agora multiplicamos por x2 x 1 x2 2x 1x2 x 1 x4 x3 x2 2x3 2x2 2x x2 x 1 Simplificando x4 x3 0x2 x 1 Portanto o terceiro termo expandido é Cx4 x3 x 1 4 Expansão do termo Dx Ex 12x 1 Já expandimos x 12x 1 x3 x2 x 1 Agora multiplicamos por Dx E Dxx3 x2 x 1 Dx4 Dx3 Dx2 Dx Ex3 x2 x 1 Ex3 Ex2 Ex E Logo o quarto termo expandido é Dx4 Dx3 Dx2 Dx Ex3 Ex2 Ex E Agora somamos todos os termos Passo 3 Agrupar os termos Somando todos os termos do lado direito ln2x1 Ax4x3x1Bx32x22x1Cx4x3x1Dx4Dx3Dx2DxEx3Ex2ExE Agrupando os termos semelhantes ln2x1 ACDx4ACBDEx32BDEx2A2BCDExABCE Passo 4 Comparar os coeficientes Comparando os coeficientes de ambos os lados da equação Para x4 A C D 0 Para x3 A C B D E 0 Para x2 2B D E 0 Para x A 2B C D E ln2 Termo constante A B C E 0 5 Passo 5 Resolver o sistema de equações Agora resolvemos o sistema 1 A C D 0 2 A C B D E 0 3 2B D E 0 4 A 2B C D E ln2 5 A B C E 0 Resolver para C a partir da primeira equação Da equação A C D 0 temos C A D Substituímos isso nas outras equações Substituindo na segunda equação A C B D E 0 A A D B D E 0 Simplificando 2A B 2D E 0 Substituindo na terceira equação 2B D E 0 E 2B D Agora temos duas equações 1 2A B 2D 2B D 0 2 A 2B C D E ln2 Substituímos nas demais e resolvemos o sistema para encontrar A B C D e E 6 Sistema após as substituições Temos o seguinte sistema de equações 1 2A B 2D 2B D 0 quad Substituição de E 2B D 2 A 2B C D E ln2 3 A B C E 0 4 C A D quad Substituído da equação A C D 0 Passo 1 Simplificar a primeira equação Na primeira equação 2A B 2D 2B D 0 simplificamos 2A B 2D 2B D 0 2A 3B 3D 0 2A 3B 3D D 2A 3B 3 Agora temos D em termos de A e B Passo 2 Substituir D na equação E 2B D Da terceira equação temos E 2B D Agora substituímos D 2A3B 3 E 2B 2A 3B 3 Simplificando E 6B 3 2A 3B 3 6B 2A 3B 3 3B 2A 3 Agora temos E em termos de A e B E 3B 2A 3 7 Passo 3 Substituir C A D e E 3B2A 3 na segunda equação Agora substituímos C A D e E 3B2A 3 na segunda equação A 2B C D E ln2 Substituímos C A D e D 2A3B 3 e E 3B2A 3 A 2B A D D E ln2 A 2B A D D E ln2 Agora substituímos os valores de D e E A 2B A 2A 3B 3 2A 3B 3 3B 2A 3 ln2 Simplificamos A 2B A 22A 3B 3 3B 2A 3 ln2 A 2B A 4A 6B 3 3B 2A 3 ln2 Simplificando ainda mais 2B 4A 6B 3B 2A 3 ln2 2B 6A 3B 3 ln2 2B 2A B ln2 3B 2A ln2 8 Passo 4 Substituir 3B 2A ln2 no sistema Agora temos 3B 2A ln2 Esta é a equação final que relaciona A e B Vamos agora usar essa equação para encontrar os valores de A e B Da equação 3B 2A ln2 podemos isolar B B ln2 2A 3 Passo 5 Substituir B na equação de D Agora substituímos B ln2 2A 3 na equação de D 2A 3B 3 D 2A 3ln2 2A 3 3 D 2A ln2 2A 3 D 2A ln2 2A 3 D ln2 3 Agora temos D ln2 3 Passo 6 Substituir B ln2 2A 3 na equação de E Agora substituímos B ln2 2A 3 na equação de E 3B 2A 3 E 3ln2 2A 3 2A 3 E ln2 2A 2A 3 E ln2 4A 3 Agora temos a relação completa para A B D e E Solução do sistema As constantes são A e B satisfazem 3B 2A ln2 D ln2 3 E ln24A 3 Função g fx ex21 x2x3x26x9 Primeiro fatoramos o denominador Note que x2 6x 9 x 32 portanto fx e x2 1 x2 x 3x 32 Agora a decomposição em frações parciais será da seguinte forma e x2 1 x2 x 3x 32 A x 3 B x 32 Cx D x2 x 3 Passo 1 Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum Multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum x2 x 3x 32 para eliminar os denominadores e x2 1 Ax 3x2 x 3 Bx2 x 3 Cx Dx 32 Passo 2 Expandir os termos Agora vamos expandir cada um dos termos no lado direito Expansão de Ax 3x2 x 3 Multiplicamos x 3x2 x 3 x 3x2 x 3 x3 x2 3x 3x2 3x 9 x3 9 10 Portanto o primeiro termo expandido é Ax3 9 Expansão de Bx2 x 3 Expandimos Bx2 x 3 Bx2 Bx 3B Expansão de Cx Dx 32 Primeiro expandimos x 32 x 32 x2 6x 9 Agora multiplicamos por Cx D Cxx2 6x 9 Cx3 6Cx2 9Cx Dx2 6x 9 Dx2 6Dx 9D Somando Cx36Cx29CxDx26Dx9D Cx36CDx29C6Dx9D Agora somamos todos os termos Passo 3 Somar os termos Somando os termos do lado direito ex21 Ax39Bx2x3Cx36CDx29C6Dx9D Expandindo Ax3 9 Ax3 9 Ax3 9A Portanto a equação completa é ex21 ACx3B 6C Dx2B 9C 6Dx3B 9A9D 11 Passo 4 Comparar os coeficientes Agora comparamos os coeficientes de ambos os lados da equação No lado esquerdo temos e x2 1 e2x2 1 Portanto os coeficientes são Para x3 0 Para x2 e2 Para x 0 Para o termo constante 1 Agora no lado direito comparamos Coeficiente de x3 A C 0 Coeficiente de x2 B 6C D e2 Coeficiente de x B 9C 6D 0 Termo constante 3B 9A 9D 1 Passo 5 Resolver o sistema de equações Agora resolvemos o sistema 1 A C 0 2 B 6C D e2 3 B 9C 6D 0 4 3B 9A 9D 1 Resolver para C a partir da primeira equação Da equação A C 0 temos C A Substituímos C A nas outras equações 12 Substituir C A na segunda equação B 6C D e2 Substituímos B 6A D e2 B 6A D e2 Substituir C A na terceira equação B 9C 6D 0 Substituímos B 9A 6D 0 B 9A 6D 0 B 9A 6D Substituir B 9A 6D na equação B 6A D e2 Substituímos B 9A 6D na equação B 6A D e2 9A 6D 6A D e2 15A 7D e2 Agora temos a equação 15A 7D e2 Substituir B 9A 6D na quarta equação 3B 9A 9D 1 Substituímos B 9A 6D na equação 3B 9A 9D 1 39A 6D 9A 9D 1 27A 18D 9A 9D 1 18A 27D 1 Agora temos o sistema 1 15A 7D e2 2 18A 27D 1 13 Passo 6 Resolver o sistema Agora resolvemos o sistema 15A7De2 18A27D1 Multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 5 para eliminar A Multiplicamos a primeira equação por 3 45A21D3e2 Multiplicamos a segunda equação por 5 90A135D5 Agora subtraímos as duas equações 90A135D45A21D53e2 45A114D53e2 Agora isolamos D 114D53e245A D53e2 45A114 Substituímos esse valor de D na equação 15A7De2 e resolvemos para A Função i fx4x2 8xx12x212 Para essa função notamos que o denominador contém um termo x12 e o polinômio quadrático irredutível x212 A decomposição em frações parciais será da seguinte forma 4x2 8xx12x212 Ax1 Bx12 CxDx21 ExFx212 Passo 1 Multiplicar ambos os lados pelo denominador comum Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x 12x2 12 para eliminar os denominadores 4x28x Ax1x212Bx212CxDx1x21ExFx12 Passo 2 Expandir os termos Agora vamos expandir cada um dos termos no lado direito Expansão do termo Ax 1x2 12 Primeiro expandimos x2 12 x2 12 x4 2x2 1 Agora multiplicamos por Ax 1 Ax 1x4 2x2 1 Ax5 x4 2x3 2x2 x 1 Expansão do termo Bx2 12 Sabemos que Bx2 12 Bx4 2x2 1 Bx4 2Bx2 B Expansão do termo Cx Dx 1x2 1 Expandimos x 1x2 1 x 1x2 1 x3 x2 x 1 Agora multiplicamos por Cx D Cx Dx3 x2 x 1 Cxx3 x2 x 1 Dx3 x2 x 1 Cx4 Cx3 Cx2 Cx Dx3 Dx2 Dx D Cx4 Cx3 Dx3 Cx2 Dx2 Cx Dx D 15 Expansão do termo Ex Fx 12 Primeiro expandimos x 12 x 12 x2 2x 1 Agora multiplicamos por Ex F Ex Fx2 2x 1 Exx2 2x 1 Fx2 2x 1 Ex3 2Ex2 Ex Fx2 2Fx F Ex3 2E Fx2 E 2Fx F Passo 3 Somar os termos Agora somamos todos os termos do lado direito 4x28x Ax5x42x32x2x1Bx42Bx2BCx4Cx3Dx3Cx2Dx2CxDxDEx32EFx2E2FxF Agrupando os termos semelhantes 4x28x Ax5x42x32x2x1Bx42x21Cx4Cx3Dx3Cx2Dx2CxDxDEx32EFx2E2FxF Passo 4 Comparar os coeficientes Agora comparando os coeficientes de x5 x4 x3 x2 x e o termo constante de ambos os lados da equação obtemos o seguinte sistema Coeficiente de x5 A 0 Coeficiente de x4 A B C 0 Coeficiente de x3 2A D E 0 Coeficiente de x2 2A 2B C D 2E F 4 Coeficiente de x A B C D E 2F 8 Termo constante A B C D F 0 16 Passo 5 Resolver o sistema de equações Agora resolvemos o sistema 1 A 0 2 A B C 0 B C 0 3 D E 0 4 2B C D 2E F 4 5 B C D E 2F 8 6 B C D F 0 Passo 6 Resolver o sistema Da segunda equação B C 0 temos C B Da terceira equação D E 0 temos E D Agora substituímos C B e E D nas outras equações Substituindo na quarta equação 2B C D 2E F 4 2B B D 2D F 4 B D F 4 Substituindo na quinta equação B C D E 2F 8 B B D D 2F 8 2B 2F 8 B F 4 17 Substituindo na sexta equação B C D F 0 B B D F 0 2B D F 0 Agora temos o sistema 1 B D F 4 2 B F 4 3 2B D F 0 Passo 7 Resolver o novo sistema Da equação B F 4 temos F B 4 Substituímos isso nas outras equações Substituir em B D F 4 B D B 4 4 2B D 4 4 2B D 0 D 2B Substituir em 2B D F 0 2B 2B B 4 0 B 4 0 B 4 Agora que temos B 4 podemos encontrar F e D Para F F B 4 4 4 0 18 Para D D 2B 24 8 Agora que temos B 4 D 8 e F 0 podemos substituir esses valores para encontrar as demais constantes Solução final As constantes são A 0 B 4 C 4 já que C B D 8 E 8 já que E D F 0 Portanto a decomposição final da função i é 4x2 8x x 12x2 12 4 x 12 4x 8 x2 1 8x x2 12 19 1 a a2 x2x2 dx 1 Substituímos x a sinθ logo dx a cosθ dθ e a2 x2 a cosθ 2 A integral se torna a cosθa2 sin2θ a cosθ dθ 3 Simplificamos cos2θa sin2θ dθ 4 Podemos usar a identidade cos2θ 1 sin2θ para reescrever a integral 1 sin2θsin2θ dθ 1sin2θ 1 dθ 5 A integral agora é csc2θ dθ 1 dθ 6 Integramos cotθ θ C 7 Voltamos para a variável x Como x a sinθ temos que θ arcsinxa e cotθ a2 x2x Logo a2 x2x arcsinxa C 3 Simplificamos 8 sin2θ cos2θ dθ 4 Usamos a identidade sin2θ cos2θ 14 sin22θ então a integral se torna 2 sin22θ dθ 5 Aplicamos a fórmula de redução para sin22θ 2 1 cos4θ2 dθ 1 cos4θ dθ 6 Integramos θ sin4θ4 C 7 Voltamos para a variável x Como x 2 sinθ temos θ arcsinx2 Logo arcsinx2 sin4 arcsinx24 C c dxx2 1x2 1 Utilizamos a substituição x tanθ então dx sec2θ dθ e 1x2 secθ 2 A integral se transforma em sec2θtan2θ secθ dθ secθtan2θ dθ 3 Reescrevemos tan2θ sec2θ 1 então secθsec2θ 1 dθ 4 Simplificamos a expressão para integrála Para simplificar essa integral aplicamos substituições adicionais para resolver obtendo o resultado final em termos de θ 5 Após simplificação e integração retornamos para a variável x usando a relação x tanθ d x² a²x dx 1 Utilizamos a substituição x a secθ então dx a secθ tanθ dθ e x² a² a tanθ 2 A integral se transforma em a tanθ a secθ a secθ tanθ dθ 3 Simplificamos a tan²θ dθ 4 Utilizamos a identidade tan²θ sec²θ 1 então a integral se torna asec²θ 1 dθ 5 Integramos a tanθ aθ C 6 Voltamos para a variável x Como x a secθ temos tanθ x² a²a e θ sec¹xa Logo x² a² a sec¹xa C e dx4x²⁵ 1 Usamos a substituição x 2 tanθ então dx 2 sec²θ dθ e 4 x² 2 secθ 2 A integral se transforma em 2 sec²θ 2 secθ⁵ dθ 2 sec²θ 32 sec⁵θ dθ 3 Simplificamos 1 16 sec³θ dθ 116 cos³θ dθ 4 Utilizamos a identidade para cos³θ e integramos O resultado da integral será obtido em termos de θ 5 Retornamos para a variável x usando a relação x 2 tanθ e reescrevemos o resultado final f dx x1⁴ x² 2x 10 1 Primeiro completamos o quadrado em x² 2x 10 x² 2x 10 x1² 9 2 Fazemos a substituição u x 1 logo du dx e a integral se torna du u⁴ u² 9 3 Utilizamos a substituição trigonométrica u 3 tanθ então du 3 sec²θ dθ e u² 9 3 secθ 4 A integral se transforma em 3 sec²θ 81 tan⁴θ 3 secθ dθ 5 Simplificamos a integral integramos em termos de θ e depois retornamos para a variável x utilizando as relações trigonométricas adequadas g dx x² 9² 1 Utilizamos a substituição x 3 tanθ então dx 3 sec²θ dθ e x² 9 9 sec²θ 2 A integral se transforma em 3 sec²θ 9 sec²θ² dθ 3 sec²θ 81 sec⁴θ dθ 3 Simplificamos 127 cos²θ dθ 4 Usamos a identidade cos²θ 1 cos2θ 2 para reescrever a integral 127 1 cos2θ 2 dθ 5 Integramos 127 θ2 sin2θ4 C 6 Voltamos para a variável x utilizando x 3 tanθ e obtemos o resultado final h 2x 3 x² 2x 10² dx 1 Começamos completando o quadrado em x² 2x 10 x² 2x 10 x1² 9 2 Fazemos a substituição u x 1 logo du dx e a integral se transforma em 2u1 3 u² 9² du 2u 1 u² 9² du 3 Essa integral pode ser dividida em duas partes 2u u² 9² du 1 u² 9² du 4 A primeira integral é resolvida por substituição direta e a segunda por uma fórmula padrão de integrais de funções racionais 5 Após a integração voltamos para a variável x utilizando u x 1 e obtemos o resultado final 2 Classificação das funções Vamos classificar as funções conforme solicitado Função racional r uma função é racional se ela pode ser expressa como o quociente de dois polinômios Racional própria p quando o grau do numerador é menor que o grau do denominador Racional imprópria i quando o grau do numerador é maior ou igual ao grau do denominador Função não racional n se houver elementos transcendentes como seno cosseno logaritmo etc na função ela é classificada como não racional Classificação a fx 2x1 x2ln3 A função possui ln3 um logaritmo no denominador Classificação não racional n b fx 2x1 x2tan3 O numerador tem uma raiz quadrada envolvendo x o que faz com que a função seja não racional Classificação não racional n c fx sin7x41 x32x1 A presença de seno no numerador torna a função transcendental Classificação não racional n d fx lnx29 x4x2 A função contém um logaritmo no numerador logo é transcendental 1 Classificação não racional n e fx 13x2 x1x25x6 A função é o quociente de dois polinômios e o grau do numerador é menor que o do denominador Classificação racional própria p f fx ln2x1 x31x21 A função tem apenas polinômios e o grau do numerador 1 é menor que o grau do denominador 5 Classificação racional própria p g fx ex21 x2x3x26x9 A função é o quociente de dois polinômios e o grau do numerador 2 é menor que o do denominador 4 Classificação racional própria p h fx x23x1 x26x8 A função é o quociente de dois polinômios e os graus do numerador e do denominador são iguais 2 Classificação racional imprópria i i fx 4x28x x12x212 A função é o quociente de polinômios e o grau do numerador 2 é menor que o do denominador 4 Classificação racional própria p 2 4 a x 1 2x 1 dx A função é simples então podemos realizar uma substituição direta Substituição Seja u 2x 1 então du 2 dx ou seja dx du 2 Reescrevemos a integral x 1 2x 1 dx 12 x 1 u du Agora temos que expressar x em termos de u Como u 2x 1 temos x u 1 2 Substituímos isso na integral 12 u 1 2 1 u du 12 u 1 2u du Simplificando 12 u 1 2u du 14 1 1u du Agora podemos integrar 14 1 du 14 1u du 14 u 14 ln u C Substituímos u 2x 1 de volta 14 2x 1 14 ln 2x 1 C x2 14 ln 2x 1 C Portanto a solução final é x2 14 ln 2x 1 C b x x 1x 3x 5 dx Essa função é apropriada para decomposição em frações parciais Queremos expressar a função da seguinte forma x x 1x 3x 5 A x 1 B x 3 C x 5 Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x 1x 3x 5 x Ax 3x 5 Bx 1x 5 Cx 1x 3 Agora expandimos cada termo Ax 3x 5 Ax2 8x 15 Bx 1x 5 Bx2 6x 5 Cx 1x 3 Cx2 4x 3 Somando os termos x A B Cx2 8A 6B 4Cx 15A 5B 3C Comparando os coeficientes de x2 x e o termo constante obtemos o seguinte sistema de equações 1 A B C 0 2 8A 6B 4C 1 3 15A 5B 3C 0 Vamos resolver esse sistema Resolução do sistema Da primeira equação A B C 0 temos C A B Substituímos isso nas outras equações Na segunda equação 8A 6B 4C 1 8A 6B 4A B 1 8A 6B 4A 4B 1 4A 2B 1 2A B 12 Na terceira equação 15A 5B 3C 0 15A 5B 3A B 0 15A 5B 3A 3B 0 12A 2B 0 6A B 0 B 6A Substituímos B 6A na equação 2A B 12 2A 6A 12 4A 12 A 18 Agora substituímos A 18 em B 6A B 618 68 34 Substituímos A 18 e B 34 em C A B C 18 34 18 68 58 Frações parciais Agora temos x x 1x 3x 5 18 x 1 34 x 3 58 x 5 Integral Agora podemos integrar cada termo separadamente xx1x3x5 dx 18 1x1 dx 34 1x3 dx 58 1x5 dx Integrando 18 ln x1 34 ln x3 58 ln x5 C Portanto a solução final é 18 ln x1 34 ln x3 58 ln x5 C Vamos continuar com a resolução das próximas integrais c dxx1x2 Aqui precisamos usar a decomposição em frações parciais Queremos expressar a função da seguinte forma 1x1x2 Ax1 Bx2 Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x1x2 1 Ax2 Bx1 Agora expandimos e somamos os termos 1 Ax2 Bx1 Ax 2A Bx B 1 ABx 2A B Comparando os coeficientes dos dois lados da equação Coeficiente de x A B 0 Termo constante 2A B 1 Da primeira equação temos B A Substituímos isso na segunda equação 2A A 1 2A A 1 A 1 A 1 Substituímos A 1 na equação B A B 1 Frações parciais Agora temos a decomposição 1x1x2 1x1 1x2 Integral Agora integramos cada termo separadamente dxx1x2 1x1 1x2 dx Integrando ln x1 ln x2 C Usando as propriedades dos logaritmos podemos reescrever a resposta como ln x2x1 C d x8x3 4x2 4x dx Primeiro vamos fatorar o denominador x3 4x2 4x x3 4x2 4x xx2 4x 4 xx22 Agora a integral fica x8xx22 dx Vamos decompor em frações parciais x8xx22 Ax Bx2 Cx22 Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum xx22 x 8 Ax22 Bxx2 Cx Expandimos cada termo Ax22 Ax2 4x 4 Bxx2 Bx2 2x Cx Cx Somando os termos x 8 Ax2 4x 4 Bx2 2x Cx x 8 A Bx2 4A 2B Cx 4A Comparando os coeficientes de x2 x e o termo constante A B 0 4A 2B C 1 4A 8 Da terceira equação temos A 2 Substituímos em A B 0 2 B 0 B 2 Agora substituímos A 2 e B 2 na equação 4A 2B C 1 42 22 C 1 8 4 C 1 C 3 Frações parciais Agora temos a decomposição x 8 xx 22 2x 2x 2 3x 22 Integral Agora integramos cada termo separadamente 2x 2x 2 3x 22 dx Integrando 2 ln x 2 ln x 2 3x 2 C Portanto a solução final é 2 ln x 2 ln x 2 3x 2 C e x3 1 4x3 x dx Primeiro vamos fatorar o denominador 4x3 x 4x3 x x4x2 1 x2x 12x 1 Agora a integral fica x3 1 x2x 12x 1 dx Vamos decompor em frações parciais x3 1 x2x 12x 1 Ax B2x 1 C2x 1 Multiplicamos ambos os lados pelo denominador comum x2x 12x 1 x3 1 A2x 12x 1 Bx2x 1 Cx2x 1 Expandimos cada termo A2x 12x 1 A4x2 1 Bx2x 1 B2x2 x Cx2x 1 C2x2 x Somando os termos x3 1 A4x2 1 B2x2 x C2x2 x x3 1 4A 2B 2Cx2 B Cx A Comparando os coeficientes de x2 x e o termo constante 4A 2B 2C 1 B C 0 A 1 Da terceira equação temos A 1 Substituímos em B C 0 B C Agora substituímos A 1 e B C na equação 4A 2B 2C 1 41 2B 2B 1 4 4B 1 4B 5 B 5 4 Portanto C 5 4 Frações parciais Agora temos a decomposição x3 1 x2x 12x 1 1 x 54 2x 1 54 2x 1 8 Integral Agora integramos cada termo separadamente 1x 54 12x 1 54 12x 1 dx Integrando ln x 58 ln 2x 1 58 ln 2x 1 C Portanto a solução final é ln x 58 ln 2x 1 58 ln 2x 1 C