Integrais de Superfície Parametrização e Aplicações

Conteúdo 1 Integrais de Superfície 3 11 Superfícies Parametrizadas 4 12 Tipos gerais de parametrização 4 13 Vetor normal à uma Superfície Parametrizada 6 14 Áreas de Superfícies Parametrizadas 7 15 Integrais de Superfícies 10 1 Capítulo 1 Integrais de Superfície Denição de Superfície Uma superfície é uma variedade de duas dimensões imersa em um espaço de dimensão maior ou igual a 3 No nosso caso estará inserida dentro do R3 As superfícies dentro do espaço tridimensional se apresentam mais frequentemente das seguintes formas 1 Como o gráco de uma função f A R2 R z fx y Figura 11 Superfície que representa o gráco de fx y x2 a2 y2 b2 Figura 12 Superfície que re presenta o gráco de fx y x2 a2 y2 b2 2 Superfícies cilíndricas dadas por expressões em R3 onde uma das variáveis é livre Figura 13 Superfície que representa a igualdade y2 z2 1 Figura 14 Superfície que re presenta o gráco de z fx y x2 3 4 CAPÍTULO 1 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE 3 Superfícies quádricas Representadas por polinômios de grau dois nas variáveis x y z Figura 15 Superfície repre sentada por z2 c2 x2 a2 y2 b2 Figura 16 Superfície represen tada por x2 a2 y2 b2 z2 c2 1 11 Superfícies Parametrizadas Uma superfície σ parametrizada em R3 é um conjunto de pontos da seguinte forma σu v f1u v f2u v f3u v onde fi A R2 R i 1 2 3 são funções reais a duas variáveis reais 12 Tipos gerais de parametrização Superfícies dadas por grácos de funções Quando a superfície é dada pelo gráco de uma função de duas variáveis do tipo z fx y a parametrização é bem simples Vejamos z fx y σx y x y fx y Nesse caso se a superfície é limitada teremos a x b c y d Observe que qualquer uma das três variáveis pode ser dependente das outras duas Exemplos 1 fx y 3x2 seny3 σx y x y 3x2 seny3 2 fx z x3 2z σx z x x3 2z z 3 fy z y5 2z σy z y5 2z y z Uso de coordenadas cilíndricas As coordenadas cilíndricas são usadas normalmente para superfícies cilíndricas sejam elas dadas ou não como grácos de funções 12 TIPOS GERAIS DE PARAMETRIZAÇÃO 5 As coordenadas cilíndricas são da forma x rcost y rsent z z a r b c t d Vejamos como utilizála nas superfícies cilíndricas 1 x2 y2 1 x cost y sent z z σt z cost sent z 2 x2 z2 1 x cost z sent y y σt z cost y sent 3 z2 y2 1 y cost z sent x x σt z x cost sent 4 z 4 x2 y2 x rcost y rsent z 4 r2 σr t rcost rsent 4 r2 5 z2 x2y2 z 0 x rcost y rcost z r σr t rcost rsent r Uso de coordenadas Esféricas As coordenadas esféricas são usadas normalmente quando as superfícies são ou têm porções esféricas São da forma x ρsenΨcosθ y ρsenΨsenθ z ρcosΨ 0 Ψ π 0 θ 2π 0 ρ k Exemplos 1 Parametrize a superfície esférica de raio 3 centrada na origem Vejamos x2 y2 z2 9 x 3senΨcosθ y 3senΨsenθ z 3cosθ σΨ θ 3senΨcosθ 3senΨsenθ 3cosΨ 0 Ψ π 0 θ 2π 2 Parametrize a superfície dada por x2 y2 z2 8x 0 Vejamos x2 y2 z2 8x 0 x 42 y2 z2 16 Logo tratase de uma esfera centrada em 4 0 0 e de raio 4 Dessa forma σΨ θ 4senΨcosθ 4 4senΨsenθ 4cosΨ 0 Ψ π 0 θ 2π 13 Vetor normal à uma Superfície Parametrizada O vetor normal à uma superfície parametrizada em um ponto P0 qualquer é o vetor normal ao plano que tangencia a superfície nesse ponto Vale lembrar que esse plano existe desde que a função que determina como gráfico essa superfície é diferenciável em P0 No caso de uma superfície parametrizada sigmau v f1u v f2u v f3u v uma condição para que esse plano exista é que as derivadas parciais das funções componentes f1 f2 f3 existam e sejam contínuas Para determinar o vetor tangente à superfície parametrizada S sigmau v f1u v f2u v f3u v em um ponto P0 in S subseteq mathbbR3 da forma sigmau0 v0 P0 consideramos u u0 constante e fazemos v variar obtendo a curva C1v sigmau0 v O vetor tangente à curva C1 em P0 é obtido tomandose a derivada parcia de sigma em relação a v fracpartial sigmapartial v leftfracpartial f1partial vu0 v0 fracpartial f2partial vu0 v0 fracpartial f3partial vu0 v0right Analogamento matemos v v0 constante obtemos a curva C2 dada por sigmau v0 Nessas Figura 17 Região da superfície S projetada no plano uv Figura 18 Representação de C1 C2 em S e os vetores tangentes condições o vetor tangente à C2 em P0 será da forma fracpartial sigmapartial u leftfracpartial f1partial uu0 v0 fracpartial f2partial uu0 v0 fracpartial f3partial uu0 v0right Esses dois vetores pertencem ao plano tangente à S sigmau v em P0 Assim para calculamos o vetor normal à esse plano tangente e então à superfície S fazemos o produto vetorial entre esses dois vetores O resultado é o vetor normal procurado Assim se o produto vetorial for distinto de zero o que implica que a superfície é suave temos que o 14 ÁREAS DE SUPERFÍCIES PARAMETRIZADAS vetor normal N é dado por N beginvmatrix i j k fracpartial f1partial u fracpartial f2partial u fracpartial f3partial u fracpartial f1partial v fracpartial f2partial v fracpartial f3partial v endvmatrix Exemplos 1 Encontre a vetor normal à superfície cilíndrica z y2 Podemos parametrizar essa superfície de duas formas distintas com coordenadas cartesianas e ou coordenadas cilíndricas Façamos com coordenadas cartesianas primeiramente z y2 implies sigmax y x y y2 implies N beginvmatrix i j k 1 0 0 0 1 2y endvmatrix 0 2y 1 2 Façamos agora com coordenadas cilindricasNesse caso z y2 implies sigmar heta x rcos heta r2 cos2 heta Observe que temos 3 variáveis A parametrização admite apenas duas variáveis logo temos que substituir r ou heta Vejamos as variáveis são y rcos heta z rsen heta x x Por outro lado z r2 cos2 heta assim z rsen heta r2 cos2 heta implies r fractang hetacos heta implies sigmax heta x tang heta tang2 heta N beginvmatrix i j k 1 0 0 0 sec2 heta 2tang hetasec2 heta endvmatrix 0 2tang hetasec2 heta sec2 heta 3 Encontre o vetor normal à superfície da esfera centrada na origem e de raio 2 A esfera é parametrizada por coordenadas esféricas logo x2 y2 z2 4 implies sigma2senPsicos heta 2senPsisen heta 2cosPsi 0 leq heta leq 2pi 0 leq Psi leq pi Nessas condições o vetor normal é calculado da seguinte forma N beginvmatrix i j k 2cosPsisen heta 2cosPsicos heta 2senPsi 2senPsisen heta 2senPsicos heta 0 endvmatrix N 4 sen2Psi cos heta 4 sen2Psi sen heta 8 senPsi cosPsi sen heta cos heta Observação Importante A norma do produto vetorial entre dois vetores não paralelos representa numericamente a área do paralelogramo definido por esses dois vetores 14 Áreas de Superfícies Parametrizadas Vamos definir a área de uma superfície parametrizada Consideramos inicialmente uma superfície cujo domínio dos parâmetros D é um retângulo que será dividido em subretângulos Rij Vamos escolher ui vj como o canto inferior esquerdo do retângulo Rij A parte Sij da superfície S que corresponde a Rij é chamada de retalho e tem um ponto Pij com vetor posição σui vj como um dos seus cantos Veja a figura abaixo Figura 19 O subretângulo Rij é levado no retalho Sij Figura 110 O retalho Sij é a imagem de Rij Considere agora os vetores tangentes às curvas da superfície definidos anteriormente σu σuui vj e σv σvui vj A figura a seguir mostra como os dois lados do retalho que se encontram em Pij podem ser aproximados por vetores Esses vetores por sua vez podem ser aproximados por Δuσu Δvσv Assim aproximamos o retalho Sij pelo paralelogramo definido por esses vetores A área desse paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial entre os dois vetores Δuσu Δvσv σu σvΔuΔv Dessa forma uma aproximação para a área de S é Σ1m Σ1n σu σvΔuΔv Observe que essa aproximação fica melhor na medida em que os retângulos diminuem ou seja quando a partição é refinada Isso nos leva ao processo de integração de Riemann para o cálculo da área da superfície Nessas condições temos a seguinte definição Definição Se uma superfície parametrizada suave S é dada pela equação σu v f1u v f2u v f3u v u v D R2 e S é coberta uma única vez quando as variáveis u v percorre todo o domínio D então a área da superfície S é dada por AS D σu σv dA onde σu f1u f2u f3u σv f1v f2v f3v Exemplos 1 Calcule a área da esfera de raio a centrada na origem Como vimos anteriormente a parametrização da esfera por coordenadas esféricas é a seguinte x a senΨ cosθ y a senΨ senθ 0 Ψ π 0 θ 2π z a cosΨ Agora temos que calcular o produto vetorial entre σΨ acosΨ cosθ acosΨ senθ a senΨ σθ a senΨ senθ a senΨ cosθ 0 Dessa forma N i j k acosΨ cosθ acosΨ senθ a senΨ a senΨ senθ a senΨ cosθ 0 Logo N a2 sen2Ψ cosθ a2 sen2Ψ senθ a2 senΨ cosΨ E ainda N a4 sen4Ψ cos2θ a4 sen4Ψ sen2θ a4 sen2Ψ cos2Ψ a2 senΨ Agora projetamos a superfície esférica no plano xy obtendo o círculo D x2 y2 a2 e calculamos a integral dupla D a2 senΨ dD 02π 0π a2 senΨ dΨ dθ 02π a2 cosΨ0π dθ 02π 2a2 dθ 4πa2 2 Determine a área do parabolóide z x2 y2 que está abaixo do plano z 9 Observe que essa superfície é o gráfico de uma função logo parametrizamos de forma canônica com as variáveis cartesianas x y Vejamos x x y y z x2 y2 x y D x yx2 y2 9 Agora temos que calcular o produto vetorial entre σx 1 0 2x σy 0 1 2y Ou seja N σx σy 1 0 2x 0 1 2y N i j k 1 0 2x 2x 2y 1 0 1 2y N 4x2 4y2 1 Agora temos que calcular a integral dupla D 4x2 4y2 1 dD Para resolver essa integral dupla utilizaremos coordenadas polares x r cost y r sent dx dy r dr dt 0 r 3 0 t 2π Substituindo na integral dupla temos D 4x2 4y2 1 dD 02π 03 4r2 1 r dr dt Considerando na última integral 4r2 1 u 8r dr du r dr 18 du r 0 u 1 r 3 u 37 temos D 4x2 4y2 1 dD 02π 18 137 u du dt 02π u312137 dt π6 3737 1 15 Integrais de Superfícies Quando deduzimos a integral de linha de primeira espécie calculamos o comprimento de arco para integrar uma função que estivesse no mesmo domínio em que a curva nos pontos da curva O resultado era quando a função fosse positiva em R2 a área de um lençol com base dada pelo comprimento da curva A ideia agora é a mesma Temos uma superfície S imersa no R3 e uma função f D R3 R com S D Assim a integral dessa função sobre essa superfície resulta no volume de um sólido cuja base é a superfície S Por tisso tivemos que aprender a calcular a área de uma superfície Dessa forma suponha que a superfície S tenha a seguinte parametrização σu v f1u v f2u v f3u v u v D R3 Consideramos inicialmente que D seja um retângulo que dividimos em subretângulos Rij com dimensões Δu Δv Assim a superfície S é dividida em retalhos Sij como esquematizado acima Nessas condições calculamos f D ℝ3 ℝ em um ponto Pij de cada retalho multiplicamos pela área ΔSij e formamos a soma de Riemman Σi1m Σj1n fPijΔSij A seguir tomamos o limite quando o número de retalho aumenta e definimos a integral de superfície S como S fxyz dS limmn Σi1m Σj1n fPijΔSij Como mostramos anteriormente que ΔSij σu σv Δu Δv onde σu f1u f2u f3u σv f1v f2v f3v são os vetores tangentes em um dos cantos de Sij Assim mesmo quando D não é um retângulo pode ser mostrado que a integral da função f sobre S é dada por S fxyz dS D fσuv σu σv dA onde A é a área de D Exemplos 1 Calcule a integral de superfície da função fxyz x2 sobre a esfera de raio 1 centrada na origem Para calcular essa integral seguimos o seguinte roteiro Parametrização da Superfície Como S se trata de uma esfera usamos as coordenadas esféricas x senΨ cosθ y senΨ senθ 0 Ψ π 0 θ 2π z cosΨ Em seguida calculamos o vetor normal à esfera e sua norma Para isso calculamos os vetores tangentes σΨ cosΨ cosθ cosΨ senθ senΨ σθ senΨ senθ senΨ cosθ 0 e o vetor normal N produto vetorial entre os dois vetores tangentes N i j k cosΨ cosθ cosΨ senθ senΨ senΨ senθ senΨ cosθ 0 Logo N sen2Ψ cosθ sen2Ψ senθ senΨ cosΨ Agora calculamos sua norma N sen4Ψ cos2θ sen4Ψ sen2θ sen2Ψ cos2Ψ senΨ Agora projetamos a superfície esférica no plano xy obtendo o círculo D x2 y2 1 O próximo passo é avaliarmos fxyz nos pontos da superfície parametrizada Nesse caso como fxyz x2 temos fσuv sen2Ψ cos2θ Finalmente montamos e calculamos a integral D fσuv N dA 0π 02π sen3Ψ cos2θ dθ dΨ 0π 02π sen3Ψ 12 1 cos2θ dθ dΨ 0π sen3Ψ 12 θ 12 sen2θ02π dΨ 0π πsen3Ψ dΨ 0π πsenΨ1 cos2Ψ dΨ 0π πsenΨ dΨ 0π πsenΨ cos2Ψ dΨ π cosΨ0π π3 cos3Ψ0π 2π 23 π 43 π 2 Calcule a integral de superfície da função fxyz y sobre a superfície definida por z x y2 com 0 1 0 y 2 Para calcular essa integral seguimos o seguinte roteiro Parametrização da Superfície Como S se trata de uma função parametrizamos com as mesmas variáveis x x y y 0 x 1 0 y 2 z x y2 Em seguida calculamos o vetor normal à superfície e sua norma Para isso calculamos os vetores tangentes σx 1 0 1 σθ 0 1 2y e o vetor normal N produto vetorial entre os dois vetores tangentes N i j k 1 0 1 0 1 2y Logo N 1 2y 1 Agora calculamos sua norma N 2 4y2 Agora projetamos a superfície no plano xy obtendo o retângulo 0 x 1 0 y 2 O próximo passo é avaliarmos fxyz nos pontos da superfície parametrizada Nesse caso como fxyz y temos fσxy y Finalmente montamos e calculamos a integral D fσuv N dA 01 02 y 2 4y2 dy dx 01 28 3 2 4y23 02 dx 112 01 254 2 dx 266 2 133 2 A superfície pode ser dividida em subsuperfícies suaves Nessas condições a integral dupla se torna uma soma de integrais duplas sobre as subsuperfícies Exercícios 14 CAPÍTULO 1 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE Parametrização da Superfície Como S se trata de uma função parametrizamos com as mesmas variáveis x x y y 0 x 1 0 y 2 z x y2 Em seguida calculamos o vetor normal à superfície e sua norma Para isso calculamos os vetores tangentes σx 101 σθ 012y e o vetor normal N produto vetorial entre os dois vetores tangentes N i j k 1 0 1 0 1 2y Logo N 12y1 Agora calculamos sua norma N 2 4y2 Agora projetamos a superfície no plano xy obtendo o retângulo 0 x 1 0 y 2 O próximo passo é avaliarmos fxyz nos pontos da superfície parametrizada Nesse caso como fxyz y temos fσxy y Finalmente montamos e calculamos a integral D fσuv N dA 01 02 y 2 4y2 dy dx 01 28 3 24y2³ 02 dx 112 01 2542 dx 266 2 133 2 A superfície pode ser dividida em subsuperfícies suaves Nessas condições a integral dupla se torna uma soma de integrais duplas sobre as subsuperfícies Exercícios