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Cálculo 3

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Conteúdo 1 Integrais de Superfícies em Campos Vetoriais 3 11 Superfícieis Orientáveis 3 12 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais 5 1 CONTEÚDO Capítulo 1 Integrais de Superfícies em Campos Vetoriais Superfícies De forma intuitiva dizemos que as superfícies são objetos de R3 que possuem área mas têm espessura irrelevante Podemos dizer também de uma maneira mais formal que são objetos que embora estejam em R3 espaço tridimensional possuem dimensão 2 A partir das superfícies podese modelar folhas de papel membranas ou lâminas de metal Para desenvolver essa teoria de aplicações das integrais de superfícies é importante de nir a noção de orientação em uma superfície visto que trabalharemos com campo de vetores e vetores são denidos a partir de comprimento direção e sentido Assim abaixo desenvolveremos rapidamente a ideia de superfícies orientáveis 11 Superfícieis Orientáveis Denição Uma superfície S é dita orientável se S possui dois lados Em cada ponto de S temos dois vetores normais unitários n n Em cada ponto de S é possível escolher um vetor n x y z que varie continua mente sobre ela Nessas condições a escolha de n dene uma orientação para S Convencionase que o vetor normal apontando para fora da superfície dena a oritentação positiva Analogamente o vetor que aponta para dentro da superfície dene a orientação negativa Observe as guras abaixo Exemplo de uma superfície não orientável Faixa de Mobius A faixa de Mobius é uma superfície não orientável Observe que ela possui apenas um lado É construtível a partir de uma faixa retangular onde os lados são ligados depois de 3 Figura 11 Orientação positiva Figura 12 Orientação Negativa uma torção em um deles Nessas condições se uma formiga entra na faixa ela consegue percorrer toda a extensão o lado de detnro e o de fora da superfície e chegar ao mesmo ponto de início do percurso sem que precise perfurála Vejamos a figura Figura 13 Retângulo de origem Figura 14 Faixa de Mobius Exemplos Superfície dada por um gráfico orientação positiva Se a superfície é um gráfico da função de ℝ² em ℝ z fx y temos a parametrização canônica σx y x y fx y Nesse caso o vetor normal unitário que define a orientação positiva da superfície é dado por n fx fy 11 fx² fy² Para a orientação negativa basta considerar o vetor n 12 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE CAMPOS VETORIAIS 5 Orientação da esfera Considerando a esfera de raio a dada pela equação x2 y2 z2 a2 temos usando as coordenadas esféricas a seguinte parametrização σΨ θ asenΨcosθ asenΨsenθ acosΨ 0 Ψ π 0 θ 2π temos que o vetor normal unitário que dene a orientação positiva da esfera é dado por n σΨ σθ σΨ σθ Para a orientação negativa basta considerar o vetor n Vejamos geometricamente a orientação da esfera Observe que os veotres que saem da esfera dene a orientação positiva Aqueles que entram no interior da esfera deem a orientação negativa Se você está no exterior da esfera não consegue passar para o lado interno sem perfurar a superfície Analogamente caso esteja no lado interno só perfurando a superfície podese passar para o lado externo Figura 15 Orientação positiva Figura 16 Orientação negativa Essa orientação da superfície esférica serve como base para todas as superfícies fechadas que são fronteiras de uma regiões sólidas e limitadas Isso signica que a orientação positiva se dá com os vetores saindo da superfície para o meio externo A orientação negativa se dá com os vetores entrando no interior da superfície 12 Integrais de Superfície de Campos Vetoriais Imagine uma superfície S por onde passa o uxo de algum uído Alguma coisa como uma rede de pesca por exemplo Se o uido tem densidade dada por uma função real com domínio no R3 δx y z e a velocidade é causada por um campo de forças Gx y z então a taxa de uxo massa por unidade de tempo é dada por Gδ que é também um campo vetorial com domínio em R3 Se dividirmos S em pequenos retalhos Sij conforme gura abaixo temos que cada um desses retalhos é aproximadamente plano de modo que podemos aproximar a massa de uído que passa por cada retalho Sij na direção n por unidade de tepo pela quantidade GδnASij onde Gδn é avaliado em algum ponto no retalho e ASij é a área do retalho Somando esses valores para cada retalho e tomando o limite obtemos a integral de superfície da função Gδn sobre S S GδndS que deve ser interpretada fisicamente como a vazão através de S Se escrevermos Gδ F então a integral dupla acima se torna S FndS Deinição Se F for um campo vetorial contínuo definido sobre uma superfície orientada S com vetor normal unitário n então a superfície integral de F sobre S é dada por S FndS Essa integral é também denominada de fluxo de F sobre S Observe agora que se a superfície S orientada for dada parametricamente por σuv temos que o veotro normal unitário à superfície é dado por n σu σvσu σv Além disso escrevemos dS σu σvdA onde A é a área do retângulo correspondente no ℝ² Nessas condições temos que S FndS D Fσu σvσu σv dS D Fσuv σu σvσu σv σu σv dA onde D é o domínio dos parâmetro e dA sua área infinitesimal Assim S FndS D FNdA D Fσu σvdA 12 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE CAMPOS VETORIAIS Exemplos Exemplo 1 Determine o fluxo de um fluído que sobre a ação do campo vetorial F x y z z y x atravessa a esfera unitária de equação x2 y2 z2 1 conforme figura abaixo Solução Vamos seguir o seguinte roteiro 1 A primeira coisa a fazer é parametrizar a superfície No caso em questão vamos usar as coordenadas esféricas Portanto σΨ θ senΨcosθ senΨsenθ cosΨ com 0 Ψ π e ainda 0 θ 2π 2 Agora calculamos o vetor normal não precisa ser unitário à superfície N σu σv i j k cosΨcosθ cosΨsenθ senΨ senΨsenθ senΨcosθ 0 Logo N sen2Ψcosθ sen2Ψsenθ senΨcosΨ 3 Agora temos que avaliar o campo nos pontos da superfície parametrizada FσΨ θ cosΨ senΨsenθ senΨcosθ 4 Agora calculamos o produto interno de FσΨ θσψ σθ sen2ΨcosΨcosθ sen3Ψsen2θ sen2ΨcosΨcosθ 2sen2ΨcosΨcosθ sen3Ψsen2θ 5 Agora montamos a integral a ser calculada D Fσψ σθdA 02π 0π 2sen2ΨcosΨcosθ sen3Ψsen2θ dΨ dθ Como 02π cosθdθ 0 precisamos apenas calcular a integral dupla 02π 0π sen3Ψsen2θ dΨ dθ 02π sen2θdθ 0π sen3Ψ dΨ Dessa forma 0π sen3Ψ dΨ 0π senΨ1 cos2Ψ dΨ 11 1 u2 du 11 1 u2 du u u3311 1 13 1 13 43 Por outro lado 02π sen2θdθ 02π 1 cos2θ2 dθ 2θ sen2θ4 02π π Finalmente D Fσψ σθdA 02π 0π sen3Ψsen2θ dΨ dθ 43 π Exemplo 2 Determine o fluxo do campo vetorial F x y z y x z onde S é o limite da região sólida E delimitada pelo parabolóide z 1 x2 y2 e o plano z 0 conforme figura abaixo Solução Vamos seguir o roteiro 1 Observe que a superfície é constituídapela superfície parabólica superior S1 e pelo círculo S2 Como a superfície total é fechada usaremos a convenção positiva usual dos vetores normais apontando para fora Vamos então parametrizar as duas superfícies que compõem o sólido e para tanto vamos usar as coordenadas cartesianas Vejamos Parametrização de S1 Como S1 é dada por z 1 x2 y2 temos σ1x y x y 1 x2 y2 com 0 x2 y2 1 Parametrização de S2 Como S2 é dada por z 0 temos σ2x y x y 0 com 0 x2 y2 1 12 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIE DE CAMPOS VETORIAIS 2 Agora calculamos os vetores normais não precisa ser unitário às superfícies Primeiramente calculamos n1 n1 σ1x σ1y i j k 1 0 2x 0 1 2y n1 2x 2y 1 Agora calculamos n2 n2 σ2x σ2y i j k 1 0 0 0 1 0 n2 0 0 1 E como nessa superfície a orientação positiva é dada pela direção negativa do eixo z temos n2 0 0 1 3 Agora temos que avaliar o campo F x y z y x z nos pontos das superfícies parametrizadas Primeiramente calculamos nos pontos de S1 F σ1x y y x 1 x2 y2 Agora nos pontos de S2 F σ2x y y x 0 4 Agora calculamos os produtos internos F σ1x yn1 e F σ2x yn2 F σ1x yn1 4xy 1 x2 y2 F σ2x yn2 0 5 Agora montamos as integrais a serem calculadas lembrando que a referente a superfície S1 é nula D Fσ1x σ1y dA 0 x2 y2 1 4xy 1 x2 y2 dx dy Para resolver essa integral dupla usaremos coordenadas polares x r cosθ y r senθ dx dy r dr dθ 0 r 1 0 θ 2π Logo D Fσ1x σ1y dA 02π 01 r34 cosθ senθ 1 r dr dθ D Fσ1x σ1y dA 02π r44 4 cosθ senθ 1 r2201 dθ D Fσ1x σ1y dA 02π 14 4 cosθ senθ 1 12 dθ D Fσ1x σ1y dA θ4 02π π2 10 CAPÍTULO 1 INTEGRAIS DE SUPERFÍCIES EM CAMPOS VETORIAIS Exercícios Propostos