Teorema de Stokes-Conceitos Exemplos e Aplicações

Conteúdo 1 Teorema de Stokes 3 Capítulo 1 Teorema de Stokes Teorema de Stokes Esse teorema nos possibilitará calcular uma integral de linha de um campo vetorial ou a circulação sobre sobre uma curva fechada no R3 que é o bordo de uma superfície utilizando para isso uma integral dupla Ou seja é o análogo do teorema de Green para curvas no espaço com a ressalva que esta seja o bordo de uma superfície orientada positivamente Para tanto precisamos da seguinte definição Definição Bordo de uma sperfície Bordo de uma superfície naturalmente se ela é aberta é uma curva γt imersa no R3 fronteira da superfície Essa curva tem orientação positiva se seu vetor normal for o produto vetorial γt k onde k001 Exemplos Figura 11 Paraboloide Figura 12 Cilindro Teorema de Stokes Seja S uma superfície S de classe C1 orientada de tal forma que a fronteira de S ou bordo de S S é uma curva suave por partes de classe C1 orientada positivamente Se F xyz for uma campo de vetores de classe C1 em um aberto U tal que S U então S RotF ndS S F T ds Assim o teorea de Stokes estabelece que o fluxo do rotacional de um campo de vetores F em R3 de classe C1 através de uma superfície orientável S é igual ao trabalho circulação CONTEÚDO 2 realizado por F ao longo da curva S com orientação compatível com a de S Exemplos 1 Verifique o Teorema de Stokes para a superfície S dada por x1y2z2 com x 0 onde Fxyz xz zex y e a circulação na fronteira se dá no sentido antihorário Solução Para usar Stokes seguimos os seguintes passos Temos que definir a região onde calcularemos a integral de superfície dada por S RotF ndS Observe que essa superfície tem como domínio o círculo de raio 1 no plano yz Logo essa é a região sobre a qual calcularemos a integral de superfície acima Ou seja integraremos sobre o círculo y2 z2 1 Agora vamos calcular o RotF RotF i j k x y z xz zex y 1 ex x zex Agora vamos parametrizar a superfície σyz 1 y2 z2 y z 0 y2 z2 1 Temos agora que calcular o vetor normal à superfície Para tanto temos que usar a regra da mão direita para saber o sentido do vetor normal Como a superfície é um parabolóide invertido e a curva segue no sentido antihorário temos que o vetor normal a ser calculado é o que sai da superfície em direção ao exterior Assim N i j k 2y 1 0 2z 0 1 1 2y 2z Agora calculamos o produto interno RotF N 1 ex 2y x 2z2 ex Para integrarmos temos que substituir a variável x do Rotacional por x 1y2z2 logo RotF 1 e1y2z2 2y1 y2 z2 2z2 e1y2z2 Montamos então a integral dupla y2z21 1 e1y2z2 2y1 y2 z2 2z2 e1y2z2 dy dz 6 CAPÍTULO 1 TEOREMA DE STOKES Em primeiro lugar calculamos o campo rotacional do campo F Vejamos RotF i j k x y z y2 z2 x2 2z 2x 2y Agora vamos parametrizar a superfície σxy xy1 x y 0 x 1 0 y 1 Calculamos o vetor normal à superfície considerando que a circulação se dá no sentido positivo e então o vetor normal é aquele que aponta para o exterior do triângulo N i j k 1 0 1 0 1 1 111 Façamos agora o produto interno entre RotF avaliado nos pontos da superfície e o vetor normal N RotFσxy 21xy 2x 2y RotF N 2 2x 2y 2x 2y 2 Agora montamos e resolvemos a integral de superfície S RotF ndS 2 01 01x dy dx 2 01 1x dx 2x x2201 21 12 1 3 Calcule a circulação realizada no sentido positivo pelo campo de forças Fxyz 2xyz 2x x2 z x2 y sobre a curva γ que é a intersecção da superfície z 4 x2 y2 com o plano x y 2 Use Stokes Primeiramente observe que a superfície dada por z 4 x2 y2 é a calota superior da esfera de raio 2 Fazendo a intersecção com o plano obtemos a seguinte curva z 4 x2 2 x2 4 x2 4 4x x2 4x 2x2 logo z2 2x2 4x 0 z22 x 12 1 que é uma elipse no plano zx Observe que essa intersecção é para pontos onde z 0 pois estamos tratando da calota superior da esfera Dessa forma essa curva não determina o bordo de uma superfície pois Usando coordenadas polares temos 01 02π 1 e1r2 2r cost1 r2 2r2 sen2t e1r2 r dtdr Que pode ser escrita como 01 02π 1 e1r2 2r cost 1 r2 2r2 1 cos2t2 e1r2 r dtdr Integrando em t obtemos 2π 01 1 e1r2 r2 e1r2 r dr 2π 01 r r e1r2 dr 2π 01 r2 e1r2 r dr Resolvendo a primeira integral do lado direito temos 2π 01 r r e1r2 dr 2π r2201 e1r2201 2π12 12 e12 2π π e1 Resolvemos agora a segunda integral do lado direito 2π 01 r2 e1r2 r dr π 10 u 1 eu du π euu 1 eu01 2π 01 r2 e1r2 r dr π 1 1 2e1 e1 π e1 Somando as duas integrais do lado direito temos S RotF ndS 2π π e1 π e1 2π Observe que essa integral de superfície é um pouco difícil de ser resolvida Contudo esse problema pode ser resolvido por uma integral de linha pelo teorema de Stokes Para tanto observe que o bordo da superfície é a circunferência de raio 1 y2 z2 1 que tem como parametrização γt 0 cost sentt 0 t 1 e como vetor tangente γt 0 sent cost Além disso Fγt 0 sent cost Dessa forma S RotF ndS γ Fγt T ds 02π sen2t cos2t dt 02π 1 dt 2π Essa última integral é muito mais fácil de ser resolvida 2 Calcule usando Stokes a circulação realizada pelo campo de forças Fxyz y2z2x2 sobre a curva que é a fronteira do triangulo formado pelo interseção do plano xyz1 com o primeiro octante do espaço ℝ3 Observe que a superfície triangular define um sólido no primeiro octante logo ao invés de calcular a integral de linha sobre os três segmentos de retas que compõem o bordo da superfície calculamos a integral dupla na região triangular definida por 0 x 1 e 0 y 1x não é fechada Portanto temos que fechála com o segmento de reta que liga os pontos 200e020 Com esse bordo podemos usar o teorema de Stokes da seguinte forma chamaremos a curva formada pela metade da elipse de γ1 e o segmento de reta chamaremos de γ2 Dessa forma temos γ1FTds γ2FTds SRotF ndS Observe que a primeira integral do lado esquerdo é a circulação pedida pelo problema Contudo vamos resolver a integral de superfície do Rotacional de F Vejamos Vamos calcular o Rotacional de Fxyz2xyz2xx2zx2y RotF i j k x y z 2xyz2x x2z x2y 000 Como esse Rotacional é um vetor nulo o integrando de S RotFndS 0 o que implica que essa integral de superfície é nula e então γ1FTds γ2FTds Bastanos então apenas calcular a integral de linha sobre o segmento de reta e multiplicalo por 1 Vejamos Primeiro parametrizamos o segmento de reta ligando os pontos 200020 obtendo r 200 t220 x 2 2t dx 2dt y 2t dy 2dt 0 t 1 z 0 dz 0 Agora avaliamos F nos pontos dessa curva Fxyz 2xyz2xx2zx2y Fγ2 4 4t02 2t22t 4 4t08t 16t2 8t3 Fazemos o produto interno Fγ2γ2 Fγ2γ2 8 8t Montamos e resolvemos a integral de linha sobre o segmento de reta γ1FTds 018t 1dt 4t2 8t10 4 Exercícios 8 CAPÍTULO 1 TEOREMA DE STOKES Exercícios