Atividade ao Vivo - Dinamica

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA UNIDADE DE ENSINO DESCENTRALIZADA DE NOVA IGUAÇU Sistemas Dinâmicos PR 2º Semestre de 2023 Nome Igor Reis nota 20100 Questão 1 No sistema da figura a barra horizontal gira em torno do eixo vertical Z inercial com velocidade angular Ω constante Ao mesmo tempo o disco gira em relação à barra com velocidade angular ρ também constante A base XYZ é inercial enquanto xyz é móvel fixa em B Para o instante da figura faça o que se pede expressando sempre a resposta na base móvel a A velocidade angular de D no inercial 10 pt b A aceleração angular de D no inercial 10 pt c A velocidade linear de A no inercial 10 pt d A aceleração linear de A no inercial 10 pt Questão 2 A figura apresenta um arame em formato de quarto de círculo que gira em torno do eixo vertical Z inercial com velocidade angular φ A barra B pode girar em torno de A e o cursor P pode deslizar em relação a B Dado que Q tem massa M e P tem massa m calcule a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao ponto O ou seja calcule H L so 20 pt Questão 3 O projétil A de massa mA é solto do ponto B com velocidade inicial y0 gr e desliza sem atrito no plano curvo Ele se encaixa no corpo C de massa mC e o conjunto avança sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito dinâmico µk e percorre uma distância s até parar completamente Calcule o valor de s 20 pt Questão 4 Um pêndulo simples de comprimento L e massa m está conectado a uma parábola de equação y x2 por meio de uma argola que pode deslizar sem atrito por ela Admita que a massa m não encoste na parábola Utilize a formulação de Lagrange para encontrar as equações de movimento do sistema 20 pt 2023 QUESTÃO 1 a R B D ωReD ωRb ωBb ωRz ΩZ ρy ωR ρy Ωz b αR αBe αB ωBe ωBe ρ 2ωB VE r 03Ωy Ωz ρy 01z VA 03z 01ρx 01ρx 03Ωy ωBe ωBe ρ ΩZ Ωz 0Z 0 z2 ωBe VA 2 Ωz 01ρx 02 ρy αBe 03Ω2 x 01ρ2 ωBe αB 03x 2 01ρz2 02 ρy αR 03x2 02 ρy 01 ρ2 z QUESTÃO 2 H L so H L Po H L Po Po GL Po GL H L so μb1 m v Rb1 m v H L so μb1 m inb1 rb2 r cos θ b3 Rb1 M Rb2 r cos θ b3 H L so mm2 θ b3 mφ r cos θ b2 MRθb3 r cos θ b2 mμ2 MR2θb3 r cos θb2 QUESTÃO 3 DEVIDO À FALTA DE ATRITO QUANDO O PROJÉTIL DESLIZA DE B PARA C HÁ CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA LOGO EB EC mAgH 12 mA gr 2 12 mA vt 2 mAgH 12 mAgH 12 mA vt 2 vt 3gH ESSA É A VELOCIDADE COM QUE O PROJÉTIL ATINGE O BLOCO C APÓS A COLISÃO O CONJUNTO PROJÉTIL BLOCO COMEÇA A SE MOVER COM VELOCIDADE V2 COMO A QML É CONSERVADA POR COLISÕES TEMOS G1 G2 mA vt mA mC V2 V2 mA mA mC vt A ENERGIA DO CONJUNTO É DISSIPADA PELO ATRITO QUE PRODUZ TRABALHO NEGATIVO TTRAB µk Na µk mA mC gB DADO QUE TTRAB E2 E1 TEMOS E2 0 CONJUNTO PARADO µk mA mC gB 0 12 mA mC mA mA mC 3gH 2 µk D 12 mA mA mC 2 3gH D 3H 2µk mA mA mC 2 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA UNIDADE DE ENSINO DESCENTRALIZADA DE NOVA IGUAÇU Sistemas Dinâmicos P2 2º Semestre de 2023 Nome Igor Reis nota 98100 Questão 1 As pequenas esferas de massa m cada podem se mover livremente sem atrito no interior das câmaras esféricas que giram com velocidade angular constante Ω a Faça o DCL da partícula da direita 05 pt e calcule o valor de Ω para a posição mostrada 10 pt b Posicione uma base cilíndrica em cada partícula e calcule a quantidade de movimento angular do sistema 05 pt Questão 2 A barra B gira com velocidade angular simples de módulo constante ω em relação ao referencial inercial A A base x é móvel e gira com a barra O cursor C de massa m pode deslizar sem atrito sobre o trecho horizontal d barra B de comprimento R partindo com velocidade inicial ωR8 e posição inicial R4 Faça o que se pede a Calcule a posição de r em função do tempo 15 pt b Se ω 10 rpm calcule o tempo t necessário para o cursor C ser ejetado da barra 10 pt c Discorra a respeito das conservações para esse sistema 15 pt Questão 3 Determine as equações de movimento do sistema massa mola por NewtonEuler Expresse a resposta na forma matricial 15 pt Questão 4 Use a formulação de Lagrange para obter as equações de movimento do pêndulo invertido 25 pt QUESTÃO 4 CANO PÊNDULO Tc 12 Mẋ² P0 xRɶmθ i l cosθ j Vc 0 Po x lθ cosθ i lθ senθ j TP 12 P0 P0 12 m ẋ lθ cosθ² lθ ɶmθ² 12 m ẋ² 2x l θ cosθ l² θ² cos²θ l² θ² sen²θ 12 m ẋ² 2x l θ cosθ l² θ² cos²θ sen²θ 12 m ẋ² 2x l θ cosθ l² θ² Vp mg l cosθ L T V L Tp Tc Vp Vc0 L 12 Mẋ² 12 mẋ² mx l θ cosθ 12 ml² θ² mg l cosθ L 12 M mẋ² mx l θ cosθ 12 ml² θ² mg l cosθ COORDENADA x Lẋ M mẋ ml θ cosθ ddt Lẋ Mmẍ ml θ cosθ ml θ² senθ Lx 0 ddt Lẋ Lx 0 Mmẍ ml θ cosθ ml θ² senθ 0 CORRELAÇÃO QUESTÃO 4 COORDENADA θ Lθ ml cosθ ml² θ ddt Lθ ml cosθ ml θ senθ ml² θ Lθ mẍ l θ senθ mg l senθ ddt Lθ Lθ 0 mẍ l cosθ ml θ senθ ml² θ ml θ senθ mg l senθ 0 mẍ l cosθ ml² θ mg l senθ 0 Questão 3 m1ẍ1 Kx1 Kx2x1 5Kx3 x1 m1ẍ1 7Kx1 Kx2 5Kx3 0 m2ẍ2 Kx2 x1 Kx3 x2 m2ẍ2 Kx1 2Kx2 Kx3 0 m3ẍ3 5Kx3 x1 Kx3 x2 Kx3 m3ẍ3 5Kx1 Kx2 7Kx3 0 m1 0 0 ẍ1 7K K 5K x1 F1 0 m2 0 ẍ2 K 2K K x2 F2 0 0 m3 ẍ3 5K K 7K x3 F3 a GR GnW²nx₂2nωx₁m Rₙ Fc x₁Nmgx₃ FcForça de contato entre a barra e o cursor Equação de movimento direção x₂ n W²n0 ntC₁ ew tC₂ ew t n0R4C₁C₂ ntC₁ w ew t C₂ w ew t n0wR8GwC₂w C₁C₂R4 C₁C₂R8 C₁3R16 C₂R16 nt 3R16 ew t R16 ew t b w10 rpm 10 2π60 rads π3 rads Seja l tal que nlR temos R3R16 ew l R16 ew l no 1 316 ew l 116 ew l Faça yew l então 1 3y16 116 1y no 163y 1y 16y3y² 1 no 3y² 16y 10 no y 527 00633 Para y527 ew l527 w l ln527 no l ln527π3 Para y00633 ew l00633 no w l ln00633 0 no não serve Logo lln527π3 1587 s a Vamos transladar a base x₁ x₂ vetores lineares para o ponto O inercial P 0 m₁ m10 cosθ m₃ m10 cosθ m₃2 m 10 cosθ m₃ x p 10 θ sinθ m₃ m₃0 Logo Gs G M v 20 m θ sinθ m₃ b Como m₁ é uma base cilindrica temos vₙp 3 10 sen θ N m₂ 10 θ cosθ m₁ 10 θ sinθ m₃ Rotação em relação a vertical Decomposição de 10 θ Derivado aₙp 10 θ cosθ N m₂ 3 10 senθ N m₂ 3 10 senθ N m₂ N m₁ 10 θ cos θ m₁ 10 θ² sinθ m₁ 10 θ cos θ m₁ N m₂ 10 θ sinθ m₃ 10 θ² cos θ m₃ Logo aₙp 10 θ cosθ 10 θ² sinθ 3 10 senθ N² m₁ 20 θ N cosθ 3 10 senθ N m₂ 10 θ sinθ 10 θ² cosθ m₃ R Tanθ m₁ T cos θ mg m₃ A análise do DCL nos permite concluir que não existe forças atuando em m₂ Como GR Para a componente m₂ temos 3 10 senθ N 20 θ N cosθ0 Logo θcte θ0 3 10 senθ N0 N0 Ncte Por outro lado Ncte N0 θ N0 θ0 θcte a De GR temos 3 10 senθ N² m T senθ m₁ 0 T cosθ mg m₃ T senθ 3 10 senθ N² m T cosθ mg Tgθ 3 10 senθ N²g N g Tgθ 310 senθ Como θcte seguindo item c que θ θ0 N0 Q2 a Ẋ R Ẋ n ω²n x z 2 𝑖𝑾𝑿1m R Fc x1 N mg X3 Fc Força de contato entre a barra e o cursor Equação de movimento direção xz n w² n 0 nt C₁ eᵂᵗ C₂ eᵂᵗ n0 R4 ṅt C₁ w eᵂᵗ C₂ w eᵂᵗ ṅ0 WR8 C₁W C₂w C₁ C₂ R4 C₁ C₂ R8 C₁ 3R16 C₂ R16 nt 3R16 eᵂᵗ R16 eᵂᵗ b W 10 rpm 10 2π60 rads π3 rads Seja l tal que nl R temos R 3R16 eᵂl R16 eᵂl 1 316 eᵂl 116 eᵂl Faça γ eᵂᶫ então λ 3γ16 116γ 16 3γ 14 164 3γ² 1 λ 3γ² 164γ 1 0 γ 16 16² 126 527 00633 Para γ 527 eᵂᶫ 527 wᶫ ln527 l ln527π3 Para γ 00633 eᵂᶫ 00633 wᶫ ln00633 não serve 0 Logo l ln527π3 1587 s Questão 3 kX1 5kx₃x₁ 5kx₃x₁ kX₃ Kx₂ x₁ Kx₃ x₂ m₁ x₁ kX1 kx₂x₁ 5kx₃x₁ m₂ x₂ kx₂x₁ kx₃x₂ m₃ x₃ 5kx₃x₁ kx₃x₂ kX₃ m₁ 0 0 0 m₂ 0 0 0 m₃ x₁ x₂ x₃ 7k k 5k k 2k k 5k k 7k x₁ x₂ x₃ F₁ F₂ F₃ Questão 4 Cano Tc 12 M x² Vc 0 Pêndulo P x l senθ 𝑖 l cosθ 𝑗 P x l θ cosθ 𝑖 l θ senθ 𝑗 Tp 12 m PP 12 m x l θ cosθ² l θ senθ² 12 m x² 2l x θ cosθ l θ² cos² θ l θ² sen² θ 12 m x² 2l x θ cosθ l² θ² Vp mg l cosθ L 12 m M x² 12 m 2l x θ cosθ l² θ² mg l cosθ Condenada x ddtLx Lx 0 m M x m l θ cosθ m l θ² senθ μ Lx m M x 12 m 2l θ cosθ m M x m l θ cosθ ddtLx m M x m l θ cosθ m l θ² senθ x x 0 CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA CELSO SUCKOW DA FONSECA UNIDADE DE ENSINO DESCENTRALIZADA DE NOVA IGUAÇU Sistemas Dinâmicos PR 2º Semestre de 2023 Nome Icon Reis nota 20100 Questão 1 No sistema da figura a barra horizontal gira em torno do eixo vertical Z inercial com velocidade angular Ω constante Ao mesmo tempo o disco gira em relação à barra com velocidade angular p também constante A base XYZ é inercial enquanto xyz é móvel fixa em B Para o instante da figura faça o que se pede expressando sempre a resposta na base móvel a A velocidade angular de D no inercial 10 pt b A aceleração angular de D no inercial 10 pt c A velocidade linear de A no inercial 10 pt d A aceleração linear de A no inercial 10 pt Questão 2 A figura apresenta um arame em formato de quarto de círculo que gira em torno do eixo vertical Z inercial com velocidade angular φ A barra B pode girar em torno de A e o cursor P pode deslizar em relação a B Dado que Q tem massa M e P tem massa m calcule a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao ponto O ou seja calcule HLSO 20 pt Questão 3 O projétil A de massa mA é solto do ponto B com velocidade inicial y0 gr𝑒 e desliza sem atrito no plano curvo Ele se encaixa no corpo C de massa mC e o conjunto avança sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito dinâmico μk e percorre uma distância s até parar completamente Calcule o valor de s 20 pt Questão 4 Um pêndulo simples de comprimento L e massa m está conectado a uma parábola de equação y x² por meio de uma argola que pode deslizar sem atrito por ela Admita que a massa m não encoste na parábola Utilize a formulação de Lagrange para encontrar as equações de movimento do sistema 20 pt QUESTÃO 2 Hso HA0 HBo GAe PA0 GBe PBo PA0 n er HA n er m n dot heta1 e heta m n2 dot heta1 k vAR n dot heta1 e heta PB0 n er n cos heta2 er n sen heta2 e heta vBR TEOREMA CINEMÁTICO R L1 L2 cos heta2 er sen heta2 e heta WeL2 WeL1 WuL2 dot heta1 k dot heta2 k dot heta1 dot heta2 k R L2 vBR vBe veL1 WL2R PBA A n dot heta1 e heta dot heta1 dot heta2 k n cos heta2 er n sen heta2 e heta n dot heta1 e heta dot heta1 dot heta2 n cos heta2 e heta dot heta1 dot heta2 n sen heta2 er dot heta1 dot heta2 n sen heta2 er n dot heta1 dot heta1 dot heta2 n cos heta2 e heta EQUAÇÃO HB0 n 1 cos heta2 er n sen heta2 e heta m dot heta1 dot heta2 n sen heta2 er dot heta1 dot heta2 n cos heta2 e heta m n2 1 cos heta2 dot heta1 dot heta2 cos heta2 m n2 dot heta1 dot heta2 sen2 heta2 k m n2 dot heta1 dot heta1 dot heta2 cos heta2 dot heta cos heta2 dot heta1 dot heta2 cos2 heta2 dot heta1 dot heta2 m2 dot heta1 dot heta2 k m n2 dot heta1 1 cos heta2 dot heta1 dot heta2 1 cos heta2 k m n2 2 dot heta1 dot heta2 1 cos heta2 k LOGO HsoL m n2 dot heta1 2 dot heta1 dot heta2 1 cos heta2 k HsoL HAL HBL PA0 GRL PB0 GeL HP0L PP0 GeL pP0 r b1 vPL i b1 r dot heta b2 n cos heta dotphi b3 HP0L m b1 m i b1 n dot heta b2 n cos heta dotphi b3 m n2 dot heta b3 m n2 cos heta dotphi b2 HQ0L pP0 GeL PQ0 R b1 GeL M veL M R dot heta b2 R cos heta dotphi b3 veL R dot heta b2 R cos heta dotphi b3 HQ0L R b1 M R dot heta b2 R cos heta dotphi b3 M R2 dot heta b3 M R cos heta dotphi b2 HsoL HPL HQL m n2 dot heta b3 m n2 cos heta dotphi b3 M R2 dot heta b3 M R cos heta dotphi b2 HsoL m n2 M R2 cos heta dotphi b2 dot heta b3 QUESTÃO 4 pP0 x l sen heta i y l cos heta y x l sen heta i x2 l cos heta y dotpP0 dotx l dot heta cos heta i 2 x dotx l dot heta sen heta y x x t T 12 m dotp dotp 12 m dotx l dot heta cos heta2 2x dotx l dot heta sen heta2 12 m dotx2 2 dotx l dot heta cos heta l2 dot heta2 cos2 heta 4 x2 dotx2 4 x dotx l dot heta sen heta l2 dot heta2 sen2 heta 12 m 1 4 x2 dotx2 2 x l dot heta cos heta 4 x dotx l dot heta sen heta l2 dot heta2 V mg h mg x2 l cos heta L 12 m 1 4 x2 dotx2 2 x l dot heta cos heta 4 x dotx l dot heta sen heta l2 dot heta2 mg x2 l cos heta COORDENADA heta Delta L Delta heta m dotx l dot heta sen heta 2 m x dotx l dot heta cos heta mg l sen heta Delta L Delta dot heta m dotx l cos heta 2 m x dotx l sen heta m l2 dot heta ddt Delta L Delta dot heta m dotx l cos heta m dotx l dot heta sen heta 2 m dotx2 l sen heta 2 m l x ddotx sen heta 2 m l dotx dot heta cos heta m l2 ddot heta m ddotx l cos heta 2 m x dotx2 l sen heta 2 m l x ddotx sen heta m l2 ddot heta mg l sen heta 0 ddt Lẋ Lx 0 ΔLΔx 4 m x ẋ² 2 m ẋ l θ sinθ 2 mgx ΔLΔx mẋ 4 m x² ẍ m l θ cosθ 2 m x l θ sinθ m14 x² ẍ m l θ cosθ 2 m x l θ sinθ ddt Lẋ m14 x² ẍ 8 m x ẋ² m l θ cosθ m l θ² sinθ 2 m l ẋ θ cosθ 2 m l x θ sinθ 2 m l ẋ θ² cosθ ddx Lẋ Lx 0 m14 x² ẍ 4 m x ẋ² m l θ cosθ m l θ² sinθ 2 m l ẋ θ sinθ 2 m l x θ² cosθ 2 m g 0 ddt Lẋ Lx 0 ΔLΔx 4 m x ẋ² 2 m ẋ l θ sinθ 2 mgx ΔLΔx mẋ 4 m x² ẍ m l θ cosθ 2 m x l θ sinθ m14 x² ẍ m l θ cosθ 2 m x l θ sinθ ddt Lẋ m14 x² ẍ 8 m x ẋ² m l θ cosθ m l θ² sinθ 2 m l ẋ θ cosθ 2 m l x θ sinθ 2 m l ẋ θ² cosθ ddx Lẋ Lx 0 m14 x² ẍ 4 m x ẋ² m l θ cosθ m l θ² sinθ 2 m l ẋ θ sinθ 2 m l x θ² cosθ 2 m g x 0 Q2 MLso MLpo MLθo PLpo GLp PLθo GLθ PLpo n b1 GLp m p vLp m n b1 n θ b2 φ r cosθ b3 PLθo R b1 b é BASE ESFERICA GLθ m r θ² M R θ b2 φ r cosθ b3 EQUAÇÃO MLso m b1 n b1 n θ b2 φ r cosθ b3 m R b1 R θ b2 φ r cosθ b3 M θ n² b3 φ r² cosθ b1 m θ R² b3 φ r² cosθ b2 M φ cosθ m n² M R² b2 θ m n² M R² b3 m n² M R² φ cosθ b2 θ b3 Devido a falta de atrito quando o projetil desliza de B para C há conservação de energia mecânica logo Eb Ec mAgn 12 mAgn2 12 mAv12 32 mAgn 12 mAv1 v1 3gn Essa é a velocidade que o projetil atinge o bloco C Após a colisão o conjunto projetil bloco começa a se mover com velocidade v2 Como a QML é conservada por colisões temos G1 G2 mA3gn mA mCv2 v2 mAmA mC 3gn A energia do conjunto é dissipada pelo atrito que produz trabalho negativo τfat MkNδ MkmA mCgδ Dado que τfat Ez Ei temos Ez 0 conjunto parado MkmA mCgδ 0 12 mA mC mAmA mC 3gn δ 3H2Mk mAmA mC2 pp0 x lcosθ i x2 lcosθ j Coordenadas generalizadas x e θ ZGDL Conservativo xxt pp0 x lθ cosθ i 2xx lθ senθ j T 12 m p p 12 m x lθ cosθ2 2xx θ senθ2 12 m x2 2lxθ cosθ l2θ2 cos2θ 4x2 x2 4lx x θ senθ l2θ2 sen2θ 12 m 1 4x2 x2 2lx θ cosθ 4lx x θ senθ l2θ2 V mgh mgx2 lcosθ L 12 m 1 4x2 x2 2lx θ cosθ 4lx x θ senθ l2θ2 mgx2 lcosθ Coordenada θ ddtLθ Lθ 0 Lθ 12 m 2l x θ senθ 4lx θ cosθ mg l senθ Lθ 12 m 2l x cosθ 4lx x senθ 2l2θ m l x cosθ 2ml x x senθ ml2 θ ddtLθ m l x cosθ m l x θ senθ 2ml x senθ 2ml x θ cosθ m l2 θ ddtLθ Lθ 0 m l x cosθ 2ml x senθ 2 m l x2 senθ ml2 θ mg l senθ 0 δx 12 m 2 1 4x2 x 2 l θ cosθ 4 l x θ senθ m 1 4x2 x m l θ cosθ 2ml x θ senθ 2ml x θ cosθ ddtLx m 1 4x2 x 8 m x x2 m l θ cosθ m l θ2 senθ 2ml x θ senθ 2ml x θ cosθ Lx 12 m 8 x x2 4 l x θ senθ 2 m g x 4 m x x2 2 m l x θ senθ 2 m g x ddtLx Lx 0 m1 4x2 x 4 m x x2 m l θ cosθ m l θ2 senθ 2ml x θ senθ 2mgx 0 p x Lθ cos θ i L θ sin θ j Tm 12 M v v 12 M x Lθ cos θ2 L θ sin θ 2 12 M x2 2L x θ cos θ L2 θ2 cos2 θ L2 θ2 sen2 θ 12 M x2 2L x θ cos θ L2 θ2 Vm M g L cos θ L Tm Ta Vm Vm L 12 m M x2 12 M 2L x θ cos θ L2 θ2 K x2 M g L cos θ Coordinate x ddt L x L x Ed x 0 Ed x 2 c x Lx 2 K x Lx m M x M L θ cos θ ddt L x m M x M L θ cos θ M L θ2 sen θ Logo m M x M L θ cos θ M L θ2 sen θ 2 K x 2 c x 0 Coordinate θ ddt L θ L θ K θ Lθ M L x θ sen θ Lθ M L x cos θ M L2 θ ddt Lθ M L x cos θ M L x θ sen θ M L2 θ Logo M L x cos θ M L2 θ M g L sen θ K θ Lista 07 Q9 Matrix 3 x 3 M m1 0 0 0 m2 0 0 0 m3 K 7 K K 5 K K 2 K K 5 K K 7 K M x K x 0 Ex M m1 0 0 0 0 m2 0 0 0 0 m3 0 0 0 0 m4 K 5 K K 3 K 0 K 5 K K 3 K 3 K K 5 K K 0 3 K K 5 K Exemplo Duas esferas A e B estão em movimento unidimensional com velocidades VA 10 ms e VB 6 ms Após a colisão elas têm velocidades vA 3 ms e vB 9 ms a Calcule a razão mAmB b Classifique a colisão em elástica parcialmente elástica ou inelástica VA 10 ms VB 6 ms antes vA 3 ms vB 9 ms depois a Como a QML se conserva para colisões temos Gantes Gdepois mA10 mB6 mA3 mB9 13 mA 15 mB mA mB 15 13 b e 9 3 10 6 12 16 1 Parcialmente elástica Obs Para colisões elásticas e parcialmente elásticas não há conservação de energia cinética Isso explica que Kantes Energia total do sistema Kdepois Energia que resta no sistema Kantes Kdepois Kantes Kdepois Energia Perdida pelo sistema Kantes Kdepois Kantes X 100 Percentual de energia Perdida pelo sistema Exercício Com relação ao exemplo acima calcule o percentual de perda de energia cinética Kantes 12 mA VA2 12 mB VB2 12 1513 mB 100 mB 36 mB2 196813 Kdepois 12 mA VA2 12 mB VB2 12 1513 mB 1 mB 81 mB2 118813 ΔK 1968 1188 1968 x 100 396 Exercício Pêndulo Balístico Um projétil é disparado em uma caixa com areia que forma um pêndulo simples Após a colisão o conjunto sobe um ângulo θ Se o projétil tem massa m e a caixa tem massa M calcule a velocidade v do projétil Como a QML se conserva para qualquer tipo de colisão temos Qantes Qdepois m v m M vf vf mm M v Após a colisão na ausência de resistência do ar a energia mecânica se conserva Logo Eantes Edepois 12 m M vf2 m M g H 12 mmM2 v2 g L 1 cosθ v m M m 2 g L 1 cosθ Exercício O carro de massa 2kg pode deslizar sem atrito no guia representado na figura Ele é solto em repouso do ponto A Dados que k 600 Nm lo 200 mm lo 02 m Calcule a a velocidade no ponto B b a normal no ponto B a Fvc E2 E1 E1 E2 0 Superfície lisa Peso e força elástica não conservativas EA EB 12 K xA lo2 12 m VB2 mg 04 02 sin 60 12 K xB lo2 xA 042 042 05657 m xB 022 022 20202 cos 120 0346 m vB 474 ms b Fk cos 30 mg cos 30 N m vB2 KxB lo cos 30 mg cos 30 N m vB2 R R 202 N 1318 N Exercício 1 Rio 11062025 Sistema de partículas Um conjunto com 2 ou mais partículas é denominado sistema de partículas Sistemas clássicos i Pêndulo Duplo ii Massa mole Centro de massa P1 x1 i y1 j P2 x2 i y2 j Considere P o vetor posição do centro de massa cm P x i y j x m1 x1 m2 x2 m1 m2 mi xi mi y m1 y1 m2 y2 m1 m2 mi yi mi Média Ponderada das massas Obs Se for um plano cartesiano tridimensional z mi zi mi Então temos P x i y j mi xi mi i mi yi mi j mi xi i yi j mi mi Pi mi Logo P mi Pi mi Exemplo P m1 i 3 j 2 m 4 i 2 j m 2 m 9 m i 7 m j 3 m 3 i 73 j Velocidade do Centro de Massa Derivado por p r temos r v mi vi mi v mi vi mi Exemplo v mv1 2 m v2 3 m 2 m i 6 m j 3 m 23 i 2 j p mv1 2 m v2 3 m 12 m i 6 m j 3 m 4 i 2 j Quantidade de movimento linear A QML de um sistema de partículas é a soma vetorial da QML de cada partícula G Gi mi vi Gi mi vi Propriedades G Σ mi vi a Posição do Centro de massa p Σ mi pi m L n2 2 m 3 L n2 7 m L n2 7L3 m n2 Σ mi m 2 m 3 m Logo 19 m L2 θ 7 m g L sen θ K θ 0 Ex Determine os equações de movimento do motormola abaixo m1 m2 D L m1 m2 Forma matricial Obs De maneira geral para um sistema motormola de n graus de liberdade temos Mx Cx Kx F M matriz de inércia C matriz de amortecimento K matriz de rigidez Ex Matriz de Rigidez Matriz tridiagonal Ex Pêndulo elástico Esfera com massa m l₀ comprimento natural da mola n distensão da mola n 0 Alongando n 0 Comprimento Dos parâmetros que variam com o tempo θ θt e n nt Igualando n1 m r θ² l0 n mg cos θ Kr n n2 m θ l0 n 2 r θ mg sen θ Ex calcula quantidade de movimento angular do sistema abaixo Rio 23062025 Formulação de Lagrange Metodologia para deduzir equações de movimento baseado apenas nas energias Para a Mecânica basicamente as energias são Cinética Elástica e Gravitacional Coordenadas Generalizadas Pode mesclar sistemas cartesianos com coordenadas polares etc O Lagrangiano é definido por L T V onde L Lagrangiano T Energia Cinética V Energia Potencial Caso 1 Sistemas conservativos Se q é uma coordenada generalizada então ddtLq Lq 0 L Lq q Ex F ma mg k ma a g k PanAmericano Por Lagrange coordenada generalizada h 1 Eq de movimento L Posição L Velocidade L Aceleração T 12 m L2 V m g h L T V 12 m L2 m g h L L L L Desprezando qualquer resistência do ar temos sistema conservativo ddtLL LL 0 LL m g Força LL m L ddtLL ddtm L m L massa x aceleração Logo m L m g 0 L g Ex 2 Massamola m x k x 0 coordenada generalizada x T 12 m x2 V 12 k x2 L 12 m x2 12 k x2 Sistema conservativo ddtLx Lx 0 Lx kx Lx m x ddt m x m x Logo m x kx 0 m x kx 0 Ex 3 Pêndulo simples θ g sen θ 0L Coordenada generalizada θ x θ L na T 12 m vr vr 12 m θ L2 12 m L2 θ2 V mg L cos θ L 12 m L2 θ2 mg L cos θ L Lθθ Sistema conservativo ddtLθ Lθ 0 Lθ mg L sen θ Torque Restaurador Lθ m L2 θ QMA H PanAmericano ddt mL2 θ mL2 θ H Logo mL2 θ mgL sen θ 0 θ gL sen θ 0 Lista 7 Q5 θ ω cte θ dt ω dt θt ωt ctecte0 θt ωt Coordenada generalizada r rP r n₁ θ n₂ r n₁ ωr n₂senωt hr h r sen ωt T 12 m r r 12 m r2 ωr2 r ωr2 V m g h m g r sen ωt L 12 m r2 ωr2 m g r senωt ddt Lr Lr 0 Lr 12 m 2 r ω2 m g sen ωt m ω2 r m g sen ωt Lr m r ddt m r m r Logo m r m ω2 r m g sen ωt 0 r ω2 r g sen ωt R m g sen θ n₁ m g cos θ N n₂ Ğ m r ω2 r n₂ 2 r θ n₂ Ğ R nq r ω2 r m g sen θ c₁ eωt c₂ eωt xt xₕ t xₚ t xₚ t A cos ωt B sen ωt xₚ t xₚ t Rio 25062025 Lagrange L T V Energia Potencial Energia Cinética Sistema Conservativo ddt Lq Lq 0 Sistemas Conservativos com 2 graus de liberdade Ex 1 Pêndulo Elástico l₀ comprimento nominal do mola r deformação do mola r 0 alonga r 0 comprime v r n₁ θ r l₀ n₂ T 12 m v v 12 m r2 θ2 r l₀2 V m g r l₀ cos θ 12 K r2 L 12 m r2 θ2 r l₀2 m g r l₀ cos θ 12 K r2 L Lr r θ θ Sistema conservativo 2 coordenadas generalizadas r e θ 2 Equações de movimento ddt Lr Lr 0 e ddt Lθ Lθ 0 ddt Lr Lr 0 Coordenada r Lr 12 m 2 θ² rl01 mg cos θ Kl m θ² rl0 mg cos θ Kl Lr m r ddt m r m r Logo m r m θ² rl0 mg cos θ Kl 0 Coordenada θ ddt Lθ Lθ 0 Lθ mg rl0 sen θ Lθ 12 m 2 θ rl0² m θ rl0² ddt Lθ ddt m θ rl0² m θ rl0² θ 2 rl0 r m θ rl0² 2m θ rl0 r Logo m rl0² θ 2m r θ rl0 sen θ 0 m rl0 rl0 θ 2 r θ g sen θ 0 2 Sistemas com Forças ou torques não conservativos ddt Lq Lq Qnc onde Qnc Forças ou Torques não conservativos Exc 1 F0 m x K x 0 F 0 m x K x F ddt Lx Lx Qnc Exc 2 θ gL sen θ 0 θ gL sen θ Kθ ddt Lθ Lθ Qnc Exc 3 Um bloco de massa m sobre um plano inclinado com atrito μ Newton Euler Fy 0 N mg cos θ Fx ma fat mg sen θ ma μ mg cos θ mg sen θ ma a g sen θ μ cos θ Coordenada generalizada x T 12 m x² V m g sen θ x L 12 m x² mg x sen θ Não conservativo ddt Lx Lx fat Lx mg sen θ Lx m x ddt Lx m x Logo m x mg sen θ μ mg cos θ x g sen θ μ cos θ 3 Sistema não conservativo com energia Viscor dissipate Para o nosso curso esta formulação se enquadra apenas para motomoto com amortecedor ddt Lq Lq Edq Qnc onde Ed 12 c q² Carga dissipada Ex DCL Fma kx cx F mx m x c x Hx F El 12 c x 2 E x T 12 m x 2 V 12 k x L 12 m x 2 12 k x 2 L x k x L x m x d dt mx m x Logo d dt L x L x Ed x Q nc m x kx c x F m x c x kx F Rio 30062025 Lagrange d dt L q L q E d q Q nc D Forces or Torques no conservative Ex P m µ 0 mole d torque No tido no Pêndulo Coordanadas generalizadas x e θ coordenada x d dt L x L x E d x 0 E d d12 c x 2 c x 2 E d x 2 c x coordenada θ d dt L θ L θ kθ L T V Massamol Tm 12 m x 2 V m 2 12 m x 2 k x Pêndulo P x Lmo i L cos θ j Sistemas Dinâmicos Lista 07 Impulso Exercício resolvido O jato de 12 𝑀𝑔 é capaz de decolar verticalmente do convés de um navio Seus jatos exercem uma força vertical constante de 150 𝐾𝑁 sobre o plano Calcule a velocidade e a respectiva altura que o jato atinge em 𝑡 6 𝑠 partindo do repouso Despreze a perda de combustível durante o processo Solução Obs 12 𝑀𝑔 12 106 𝑔 12 103 𝑘𝑔 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑗𝑎𝑡𝑜 Pelo teorema do impulso temos 𝐼 𝑅𝑡 𝑚𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑚𝑣𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 0 150 103 𝐸𝑚𝑝𝑢𝑥𝑜 12 103981 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑜 𝑗𝑎𝑡𝑜 6 12 103𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑣𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 1614 𝑚 𝑠 Para calcular a altura primeiro temos que encontrar a aceleração de subida 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝑎 269 𝑚 𝑠2 Por fim encontramos o deslocamento 𝑠 𝑠0 0 𝑣0 0 𝑡 1 2 𝑎𝑡2 𝑠 484 𝑚 Q1 O motor 𝑀 puxa o caixote exercendo uma tração que varia segundo o gráfico Se originalmente o caixote de massa 𝑚 20 𝑘𝑔 está em repouso com tração zero em 𝑡 0 calcule a sua velocidade quando 𝑡 6 𝑠 Sugestão Primeiro calcule o tempo que leva para a tração conseguir elevar o caixote Use o teorema do impulso a área do gráfico corresponde ao impulso de 𝐹 e não esqueça de descontar o impulso provocado pelo peso do caixote R 414 𝑚 𝑠 𝑅 resultante Q2 Em um teste de colisão um automóvel de 1500kg colide frontalmente com uma parede de tijolos A velocidade do automóvel anterior ao impacto era de 15ms Imediatamente após o impacto o veículo é jogado no sentido contrário ao do movimento inicial com velocidade de 3ms Se a colisão teve duração de 015s calcule a força média exercida sobre o automóvel durante a colisão R 18 104 𝑁 Exercício resolvido A esfera 𝐵 de massa 10 𝑘𝑔 está unida a um eixo de massa desprezível sujeito a um momento 𝑀 2𝑡2 4 𝑁 𝑚 onde 𝑡 é dado em segundos No início do movimento 𝑡 0 𝐵 tem velocidade 2 𝑚 𝑠 Calcule a velocidade ao final de 2 segundos Solução Sabemos que para movimento circular plano 𝑯 𝑚𝑟2𝜔 𝑚𝑟𝑣 Integrando a equação de movimento 𝑯 𝑴 obtemos uma relação importante 𝐻 𝑀 𝐻𝑡2 𝐻𝑡1 𝑀 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 Logo 𝐻𝑡2 𝑚𝑟𝑣2 𝐻𝑡1 𝑚𝑟𝑣1 05102 10 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠 𝑀 𝑑𝑡 𝑡2 𝑡1 2𝑡2 4 𝑑𝑡 2 0 2𝑡3 3 4𝑡 0 2 40 3 Portanto 𝑣2 14 3 𝑚 𝑠 Q3 A esfera de massa 3 𝑘𝑔 está fixa a um eixo de massa desprezível Este eixo está acoplado a um motor e o sistema está inicialmente em repouso Em 𝑡 0 𝑡 em segundos é aplicado o torque 𝑀 6𝑒02𝑡 ao motor Calcule o tempo necessário para a esfera atingir a velocidade de 10 𝑚 𝑠 R 168 s QML QMA e Energia Cinética Q4 No sistema apresentado na figura o disco 𝐷 gira em relação ao referencial inercial 𝐴 com velocidade angular Ω constante A partícula 𝑃 de massa 𝑚 está fixa na extremidade da barra 𝑃𝐺 que tem comprimento 4𝑟 e está pivotada em 𝐺 podendo girar em relação a 𝐷 A base 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 está fixa em 𝐷 no ponto 𝐺 Calcule a 𝑮𝐴 𝑃 b 𝐾𝐴 𝑃 c 𝑯𝐷 𝑃 𝐺 R a 𝑮𝐴 𝑃 𝑚𝑟Ω4 cos 𝜃 1 𝒙𝟏 4𝜃 sin 𝜃 𝒙𝟐 4𝜃 cos 𝜃 𝒙𝟑 b 𝐾𝐴 𝑃 𝑚𝑟2 2 Ω24 cos 𝜃 12 16𝜃 2 c 𝑯𝐷 𝑃 𝐺 16𝑚𝑟2𝜃 𝒙𝟏 Equação de movimento Q5 O tubo da figura está inicialmente parado na horizontal Uma esfera de massa 𝑚 se encontra em repouso no ponto 𝑂 O tubo então começa a descer com velocidade angular constante 𝜔0 Determine a distância 𝑟 entre a esfera e o ponto 𝑂 em função do tempo R 𝑟𝑡 𝑔 2𝜔0 2 sinh𝜔0𝑡 sin𝜔0𝑡 Conservação e Colisão Q6 O pêndulo de massa 𝑚 tem velocidade 𝑣𝐴 5𝑔𝑟 na posição 𝐴 Quando atinge o ponto 𝐵 ele passa a girar em torno do pino 𝑃 passando a descrever um giro menor Se 𝑥 2𝑟 3 calcule a velocidade da esfera e a tração na corda no ponto 𝐶 R 𝑣𝐶 7𝑔𝑟 3 𝑇 6𝑚𝑔 Q7 O plano inclinado 𝐵 está sobre uma superfície horizontal lisa A esfera 𝐴 cai do repouso de uma altura ℎ 08 𝑚 e após a colisão sai na orientação indicada perdendo 75 da sua energia cinética Sabendo que as massas de 𝐴 e 𝐵 valem respectivamente 𝑚 e 𝑚 2 calcule as velocidades de 𝐴 e 𝐵 após a colisão Despreze a resistência do ar e adote 𝑔 10 𝑚 𝑠2 R 4 𝑚 𝑠 e 2 𝑚 𝑠 Q8 A esfera A de massa 2kg e velocidade 10ms colide com outra B de 1kg que se encontra inicialmente em repouso Em seguida B colide com a parede P Os choques entre as esferas e entre a esfera B e a parede P são perfeitamente elásticos Despreze os atritos e o tempo de contato nos choques Calcule a distância percorrida pela esfera A entre o primeiro e o segundo choque com a esfera B R 16 m Sistema de Partículas Q9 Determine as equações de movimento do sistema massa mola por NewtonEuler Expresse a resposta na forma matricial R 𝑚1 0 0 0 𝑚2 0 0 0 𝑚3 𝑥1 𝑥2 𝑥3 7𝑘 𝑘 5𝑘 𝑘 2𝑘 𝑘 5𝑘 𝑘 7𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝐹1 𝐹2 𝐹3 Exercício resolvido Três esferas estão conectadas por fios e molas ideais e o conjunto está em cima de uma mesa horizontal lisa Se a força 𝐹 64 𝑁 é aplicada no ponto indicado na figura calcule a aceleração inicial do centro de massa do conjunto Solução 𝑮 𝑀𝒂 𝑮 𝑹 𝑹 𝑀𝒂 Como o sistema está sob uma mesa horizontal os pesos das esferas estão equilibrados pelas respectivas normais Assim a única força externa aplicada ao sistema é a 𝐹 Note que não importa a configuração do sistema nem a existência da mola Logo 64 03 08 05𝑎 𝑎 4 𝑚 𝑠2 Q10 Duas esferas de massa 𝑚 cada estão conectadas por uma mola e ligadas por hastes de massas desprezíveis conforme ilustra a figura Elas podem se locomover sem atrito na guia inclinada devido à ação da fora 𝐹 Calcule a aceleração do centro de massa 𝐶 Sugestão Insira um sistema de coordenadas alinhado com a guia R 𝑎 𝐹 2𝑚 𝑔 sin 𝜃 Sistemas Dinâmicos Lista 06 DCLIntrodução Q1 No sistema da figura o bloco 𝑚0 está descendo Considere os fios e a polia como ideais O coeficiente de atrito dinâmico da mesa vale 𝜇 Faça um esboço do DCL do sistema e calcule a aceleração dos blocos e a tração que liga os blocos 𝑚1 e 𝑚2 R 𝑎 𝑚0 𝜇𝑚1 𝑚2𝑔 𝑚0 𝑚1 𝑚2 𝑇 1 𝜇𝑚1 𝑚2𝑚0𝑔 𝑚0 𝑚1 𝑚2 Q2 Calcule o valor da força 𝐹 para que não haja movimento relativo entre os blocos 𝑚1 e 𝑚2 em relação à 𝑀 Todas as superfícies são lisas Sugestão Faça o DCL 𝑚1 deve ter a mesma aceleração do conjunto e 𝑚2 fica estático 𝐹 𝑚2𝑔 𝑚1 𝑀 𝑚1 𝑚2 Força centrípeta Q3 Uma atração muito comum em circos é o Globo da Morte onde uma pessoa fica dando voltas em um globo com uma moto Dada a ilustração faça um esboço do DCL para os pontos 𝐴 𝐵 𝐶 e 𝐷 e calcule os respectivos valores da força centrípeta R 𝐴 𝐹𝐶 𝑁 𝑃 𝐵 𝐹𝐶 𝑁 𝐶 𝐹𝐶 𝑁 𝑃 𝐷 𝐹𝐶 𝑁 Q4 O globo da morte apresenta um motociclista percorrendo uma circunferência O raio da circunferência é igual a 40m É dado que o módulo da velocidade da moto no ponto B é 12ms e o sistema motopiloto tem massa igual a 160kg Determine a força normal entre o sistema motopiloto e o globo no ponto 𝐵 R 49752 N Q5 Um bloco de massa 𝑀 5 𝑘𝑔 está preso a uma corda e gira em torno de uma superfície cônica lisa com velocidade angular constante 𝜔 𝜋 3 𝑟𝑎𝑑 𝑠 Calcule o valor da tração e da normal Sugestão Transforme o sistema para a forma matricial e use o método da adjunta ou regra de Cramer R 𝑇 2656 𝑁 𝑁 4125 𝑁 Q6 Uma esfera de massa 𝑚 é presa à extremidade de um fio ideal A esfera é abandonada do repouso na posição a Dado que na posição b a velocidade linear da esfera vale 𝑣0 calcule a tração no fio como função do ângulo 𝜃 R 𝑇 𝑚𝑔 sin 𝜃 𝑚𝑣0 2 𝑟3 𝜃 05052025 P A B a ap a a w w p α 2 w v Translação centrípeta Tangencial coriols A A R A R A R A R R B A R A R B R B R B R B P P P P Qa A R B D D A R D A R D A R D A R D A R D a a a w w p α 2 w w b w w w w 0 0 0 R D D w R a 0 0 w w p w p ² 01 p 01 01 ² 1 p y p p y 01 2 p y 01 R ² 0 0 01 p y Exercício 2 Lista 5 Q 6 P n x 2 cos x 2 n O x ² OGA n 1 2 cos x 2 n x a a a w w p α 2 w w 0 0 0 G D a 2 cos x n x 2 x x cosx w a 4 1 2x x ² 1 2 cos x ² ² 0 G 2 x 2 x cos 4 0 0 0 G ² 0 2 x 2 x cos 4 ² ² 0 0 4 0 0 1 2 x x5 Rio 07052025 Rolamento P R P 0 Pote sem deslizar vA vB ωA RA ωB RB r R n ø R θ π ø R θ r n ø s R θ π ø R ø Rio 12052025 M P α F Para equilíbrio estático M s F L F cos ø L M Fy não produz momento Exemplo Momento de uma Força P10 01 x1 03 x2 F 40 x1 M s 03 x2 01 x3 a 40 x1 12 x3 4 x2 Equilíbrio estático Reações Σ F x 0 Σ F y 0 Σ M 0 Σ F x 0 Cx B sen ø 0 Cx B sen ø Σ M o 0 R Cx RP 0 Cx P B P sen ø Σ F y 0 C y B cos ø P 0 Cy P B cos ø P P x m o cos ø P 1 1 5 ø P 1 cotg ø Exercício 1 F m a F mA mB a a F mA mB NA NB Fc Fc PC mB a Os blocos A B tem a mesma aceleração do conjunto Fc mB F mA mB Bloco A F Fc m a mA F mA mB Força aplicada no bloco A Exercício 2 ΣFy 0 ΣFx m a 0 N2 W N1 N2 W 0 N1 N2 W N1 2 W F fat2 fat 0 fat μ N μ N2 2 μ W fat μ N μ N1 μ m W F 3 μ W Exercício 3 F mA mBa Fc mB a mBg fat Cg extosen no Vertical mBg μFc μmB a g μa μF mA mB fat μN μ Fc F mA mB g μ Exercício 4 M m1 g N m1 m2 g Mg T2 M1 a T2 T1 fat m2 a T1 fat m1 a Mg 2 fat m1 m2 M a T2 2 fat m2 a m1 a m1 m2 a fat μ N μ m g T2 2 μ m g m1 m2 Mg 2 μ m g m1 m2 M 2 μ m g m M m1 Mg m2 Mg 2 μ m1 m g 2 μ m1 Mg Mg m1 m2 m1 m2 M Mg 2 μ m1 m1 m2 Mg m1 2 μ 1 m2 m1 m2 M Rio 14052025 Pêndulo Simples a Cinemático a θ L e θ θ L e θ b Forças DCL As únicas forças que agem no Pêndulo são o Peso e a Tensão Se R representa a força resultante então R m g cos θ T e r m g sen θ e θ Σ F m a Σ F e r m a r m g cos θ T m θ L Força centrípeta Σ F e θ m a θ m g sen θ m θ L θ g sen θ 0 L EDO não linear Rse 19052025 Dinâmica da Partícula Todo corpopartícula carrega consigo uma quantidade de movimento devido à sua movimentação Essas quantidades são classificadas em 2 tipos Quantidade de movimento linear QML Quantidade de movimento angular QMA Quantidade de movimento linear QML G m v Unidade G55 Kgms 2a lei de Newton Derivando a relação do QML Temse G m R Q m a R Forca Resultante R G R F ma Impulso Se F é uma força constante I F Δt Δt Tempo O impulso é caracterizado por uma força muito intensa aplicada em um curto intervalo de tempo Se F varia com o tempo I t1 a t2 F dt Unidade ISI Ns Kgms Impulso e QML estão relacionados através de um teorema Considere que F seja uma força resultante agindo em uma partícula Então I t1 a t2 F dt t1 a t2 R dt t1 a t2 Ḡ dt Gt2 Gt1 I Gt2 Gt1 Quantidade de movimento angular QMA R é um referencial Q é um ponto que pode ou não percorrer uma trajetória P é uma partícula com velocidade em relação a R A quantidade de movimento angular de P em Q no referencial R é o momento de QML de P em R HAR Pa x G Unidade HSI Kgm²s Análise dimensional O que posso esperar da divisão temporal do QMA H Ht Kgm²s s Kgm²s² Kgms²m Nm momento Considere o ponto O fixo no referencial R Então o QMA de P em O no referencial R é dado por HAR Pa x G Pa x G Derivando no tempo HAR Pa x G Pa x G M momento de uma força 0 Logo Temos que HAR Pa x R Como Pa x R M temos a 2ª equação dinâmica H M T Iα τ Torque I momento de inércia do corpo α aceleração angular Exemplo Pêndulo simples i Gᴿ m rᴿ m L ėθ eθ ii Hᴿᴾa Pa x G L eᵢₙ x m L ėθ eθ m L² ėθ k I θ k iii Hᴿᴾa m L² θ k I α k Para calcular M precisamos do DCL R m g cos θ T eᵢₙ m g sen θ eθ M m g L sen θ k Torque restaurador Como H M temos m L² θ m g L sen θ θ gL sen θ 0 Para pequenos ângulos sen θ θ de forma que θ gL θ 0 ωgL Função natural de oscilação do pêndulo Fs ma Kx ma mẍ mẍ Kx 0 ẍ km x 0 wkm w rads freq angular f Hz s1 frequência w 2π f 2π T T período T s Rio 26052025 Estática Dinâmica ΣE 0 ΣF ma Ġ R ΣM 0 ΣM Ḣ T Iα Momento de Inércia de Massa I m r2 I22 kgm2 Obs Quantidade de movimento angular também é muito conhecida pela letra H H ρ e c ρ m r 2 H ρ m r 2 H mr2 ω Iω H I ω Ḣ I α T I α Se θ 90º e v w r H m r w r m r 2 ω H I w H I α T I α Energia Cinética K 12 m v v ESCALAR Produto Interno Exemplo u u1 î u2 ĵ v v1 î v2 ĵ Escola N real u v u1 u2 v1 v2 u1 v1 u2 v2 v x e n ω x e ɵ K 12 m x2 ω x2 ζŶẊɨ de Newton Ġ R Ḣ T 1 Consider o Pêndulo esférico com base cilíndrica Mostre que se Ṗ for constante então Ṗ também é ꙓ θ L n₃ n₂ P n₁ i PCL θ n₃ n₁ mg R Tₙₙ θ n₁ T cosθ mg n₃ x I 𝑖 m W H ii R Referencial Inercial w Plano auxiliar ȧ a a wᵡ w x a α x ρ 2 w x v ȧ θ L cos θ n₁ sin θ n₃ θ2 L sin θ n₁ cos θ n₃ wᵡ w ρ wᵡ θ n₃ x L sin θ n₃ cos θ n₁ θ n₃ θ L sin θ n₃ θ L sin θ n₁ α x ρ θ n₃ x L sin θ n₁ cos θ n₃ θ L sin θ n₂ 2 w x v 2 θ n₃ x θ L cos θ n₁ sin θ n₃ 2 θ θ L cos θ n₂ Logo ȧ θ L cos θ θ Lₙ θ θ L m θ n₁ θ Lₙ θ 2 θ L cos θ n₂ θ L m θ θ L cos θ n₃ iii Conclus Como não tem forças atuando uma n₂ a componente da aceleração será nula θ L m θ 2 θ L cos θ 0 θ cte θ 0 2 θ θ L cos θ 0 θ 0 θ cte Sistemas Dinâmicos Lista 08 Sistema de Partículas Q1 O sistema apresentado é rígido as barras são leves e o movimento é no plano vertical Posicione um sistema cartesiano no ponto 𝑂 com 𝑥 para a direita e 𝑦 para cima Se o sistema está girando com velocidade angular 𝜃 constante no sentido anti horário calcule a QML do sistema na base inercial R 𝑮𝒔 𝜃02272 𝒊 03272 𝒋 Q2 Duas partículas estão em movimento no plano cartesiano horizontal com 𝑚1 3 𝑘𝑔 𝒗𝟏 4 𝑚 𝑠 𝑷 1 0 0 02 𝑚 𝑚2 2 𝑘𝑔 𝒗𝟐 2 𝑚 𝑠 e 𝑷 2 0 05 02 𝑚 a Calcule a posição e a velocidade iniciais do centro de massa R 𝑷 02 𝒊 02 𝒋 𝒗 4 5 𝒊 12 5 𝒋 b Calcule a quantidade de movimento angular do sistema em relação ao ponto 𝑂 R 08 𝒌 𝑘𝑔 𝑚2 𝑠1 Q3 O halter 𝐻 é composto por duas esferas de massa 𝑚 cada conectadas por uma haste rígida leve e de comprimento 3𝑟 O conjunto desliza sobre uma mesa horizontal lisa com velocidade 𝑣 até colidir com o pino 𝑃 na posição indicada Após a colisão o halter gira em torno de 𝑃 sem se desconectar dele Calcule a velocidade angular do conjunto após a colisão R 𝜔 𝑣 5𝑟 Formulação de Lagrange Q4 Uma esfera de massa 𝑚 desliza sem atrito sobre um arame na forma de uma parábola de equação 𝑦 𝑎𝑥2 sendo 𝑎 constante Use a formulação de Lagrange para determinar a equação de movimento da esfera quando ela estiver em uma posição genérica 𝑥 𝑦 𝑥 𝑎𝑥2 R 𝑚1 4𝑎2𝑥2𝑥 4𝑚𝑎2𝑥𝑥 2 2𝑚𝑎𝑔𝑥 0 Q5 A partícula de massa 𝑚 pode girar sem atrito pelo anel 𝐴 que por sua vez tem velocidade angular constante 𝜔 em relação ao referencial inercial eixo vertical 𝑍 Use a formulação de Lagrange para determinar a equação de movimento da partícula Sugestão Posicione uma base esférica na partícula R 𝑚𝑟2𝜃 𝑚𝜔2𝑟2 sin 𝜃 cos 𝜃 𝑚𝑔𝑟 sin 𝜃 0 Q6 A massa 𝑀 está fixa na estrutura rígida em forma de 𝑇 de massa desprezível A barra de comprimento 𝑙 pode fazer um movimento pendular plano em torno do seu suporte enquanto a massa 𝑚 pode deslizar sem atrito Use a formulação de Lagrange para obter as equações de movimento do sistema Sugestão Utilize 𝜃 e 𝑥 como coordenadas generalizadas R 𝑀 𝑚𝑙2𝜃 𝑚𝑥2𝜃 𝑚𝑙𝑥 2𝑚𝑥𝑥𝜃 𝑀 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃 𝑚𝑔𝑥 cos 𝜃 0 𝑚𝑥 𝑚𝑙𝜃 𝑚𝑥𝜃 2 𝑚𝑔 sin 𝜃 0