Movimento Harmônico Simples e Oscilações Amortecidas

Considerem um ponto P que descreve um movimento circular uniforme com velocidade angular ω A projeção do ponto P no eixo x é um ponto P cujo movimento pode ser descrito pela equação xt xm cosωt φ que é a equação do MHS O MHS é portanto a projeção do movimento circular uniforme no diâmetro da circunferência na qual acontece o movimento circular Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 14 t A A x cos cos Em uma oscilação amortecida o movimento do oscilador é reduzido por uma força externa Exemplo Um bloco de massa m oscila verticalmente preso a uma mola de constante elástica k Uma barra liga o bloco a uma placa imersa em um líquido O líquido exerce uma força de arrasto sobre a placa e portanto sobre todo o sistema VELOCIDADE t A v v v T x sin sin max Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 15 Ondas 2ª aula ACELERAÇÃO t A a a a c x cos cos max 2 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 16 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 18 Tratase de uma EDO linear homogênea de 2ª ordem a coeficientes constantes 𝑚𝑥 𝑏𝑥 𝑘𝑥 0 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 19 Repare que se propusermos 𝑥 𝑒𝑟𝑡 a exponencial irá fatorar e ficaremos com uma equação algébrica 𝑚𝑟2 𝑏𝑟 𝑘 𝑒𝑟𝑡 0 𝑚𝑟2 𝑏𝑟 𝑘 0 pois sempre 𝑒𝑟𝑡 0 A eq acima denominase equação característica da EDO dada Para que tudo funcione precisamos resolvêla Estudaremos apenas o caso em que o discriminante Δ desta equação é negativo que corresponde ao que se denomina de oscilações subamortecidas Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 20 Caso 𝚫 𝟎 subamortecimento ou amortecimento subcrítico Então as duas raízes 𝑟1 e 𝑟2 da eq característica serão complexas conjugadas e a solução geral da EDO será 𝑥 𝑡 𝑐1𝑒𝑟1𝑡 𝑐2𝑒𝑟2𝑡 onde agora 𝑟1 𝜆 𝑖𝜔 e 𝑟2 𝜆 𝑖𝜔 com 𝜆 𝑏2𝑚 e 𝜔 4𝑚𝑘𝑏2 2𝑚 𝑘 𝑚 𝑏 2𝑚 2 As constantes 𝑐1 e 𝑐2 como de praxe são obtidas a partir das duas condições iniciais dadas 𝑥0 e 𝑥0 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 21 𝑥𝑡 𝑥𝑡 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 22 𝑥𝑡 𝑥𝑡 𝑥 Prof Ricardo Paschoal CEFETRJ 23 Resumindo apesar de as raízes da equação característica serem complexas temos 𝑥𝑡 real 𝑥 𝑡 𝑒𝑏𝑡2𝑚 𝐴 cos 𝜔𝑡 𝐵 sen 𝜔𝑡 ou 𝑥 𝑡 𝑥𝑚𝑒𝑏𝑡2𝑚 cos 𝜔𝑡 𝜙 onde 𝜔 𝜔0 2 𝑏2𝑚 2 e 𝜔0 2 𝑘𝑚 𝑥𝑚𝑒𝑏𝑡2𝑚 𝑥𝑚𝑒𝑏𝑡2𝑚 𝑥𝑚 cos 𝜙 𝑥 𝑡 xt xm ebt2m cosωt φ At xm ebt2m Et E0 ebtm Quando um oscilador é submetido a uma força externa que é periódica passa a apresentar oscilações forçadas Exemplo Um balanço empurrado por uma força periódica de frequência angular ωe O comportamento de um oscilador submetido a oscilações forçadas envolve duas frequências I ω a frequência angular natural do oscilador II ωe a frequência angular da força aplicada A ressonância acontece quando a frequência das oscilações forçadas ωe é igual à frequência natural ω Essa é a situação na qual a amplitude da velocidade é máxima e também aproximadamente a amplitude para a deslocamento é máxima A figura ao lado mostra a amplitude do deslocamento em função da razão deslocamento entre as duas frequências Exemplo Em setembro de 1985 muitos edifícios da Cidade do México desabaram quando a cidade foi sacudida por um terremoto Isso aconteceu porque a frequência natural desses edifícios estava próxima da frequência das ondas sísmicas Um carro de 1000 kg com quatro ocupantes de 82 kg viaja em uma estrada de terra com costelas separadas por uma distância média de 40 m O carro trepida com amplitude máxima quando está a 16 kmh Quando o carro para e os ocupantes saltam de quanto aumenta a altura do carro