Gabarito P2 Sinais e Sistemas CEFETRJ 2024-1 Resolucao Detalhada

CEFETRJ GELE7303 SINAIS E SISTEMAS 20241 GABARITO DA PROVA P2 Professor ROBERTO ADES QUESTÃO 1 Como se trata de um sistema linear discreto e causal a resposta pode ser obtida por meio de convolução ou seja 𝑦𝑛 ℎ𝑛 𝑥𝑛 em que ℎ𝑛 é a sequência de resposta ao impulso desejada Note que a sequência finita 𝑥𝑛 possui 6 elementos e a resposta 𝑦𝑛 apresenta 10 elementos Em função disso é possível concluir que a sequência ℎ𝑛 apresentará 5 elementos Assim ℎ𝑛 ℎ1 ℎ2 ℎ3 ℎ4 ℎ5 Invertendo 𝑥𝑛 e deslocando por ℎ𝑛 obteremos as seguintes equações 1 ℎ1 3 ℎ1 3 4 ℎ5 4 ℎ5 1 4 ℎ4 2 ℎ5 10 ℎ4 2 1 ℎ3 2 ℎ2 5 ℎ1 21 ℎ3 2 ℎ2 6 1 ℎ4 2 ℎ3 5 ℎ2 1 ℎ1 12 2 ℎ3 5 ℎ2 13 Resolvendo o sistema de equações ℎ2 1 e ℎ3 4 Portanto ℎ𝑛 3 1 4 2 1 QUESTÃO 2 Item a Note que 𝐻𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 3𝑧 1 𝑧2 12𝑧 02 Multiplicando de forma cruzada e aplicando a transformada z inversa 𝑧2 12𝑧 02𝑌𝑧 3𝑧 1𝑋𝑧 𝑦𝑘 2 12𝑦𝑘 1 02𝑦𝑘 3𝑥𝑘 1 𝑥𝑘 𝑦𝑘 2 12𝑦𝑘 1 02𝑦𝑘 3𝑥𝑘 1 𝑥𝑘 Item b Fazendo 𝑘 2 na equação diferença 𝑦0 12𝑦1 02𝑦2 3𝛿1 𝛿2 0 𝑦1 12𝑦0 02𝑦1 3𝛿0 𝛿1 3𝛿0 3 𝑦2 12𝑦1 02𝑦0 3𝛿1 𝛿0 12 3 1 46 𝑦3 12𝑦2 02𝑦1 3𝛿2 𝛿1 12 46 02 3 492 𝑦4 12𝑦3 02𝑦2 12 492 02 46 4984 𝑦5 12𝑦4 02𝑦3 12 4984 02 492 49968 Item c Aplicando o teorema do valor final 𝑦 lim 𝑧1 𝑧 1𝑌𝑧 lim 𝑧1 𝑧 1 3𝑧 1 𝑧 1𝑧 02 lim 𝑧1 3𝑧 1 𝑧 02 4 08 5 QUESTÃO 3 Note que a sequência pode ser escrita analiticamente como 𝑦𝑛 2𝑛3𝑛𝑢𝑛 Se 𝑥𝑛 3𝑛𝑢𝑛 então 𝑋𝑧 𝒵𝑥𝑛 𝑧 𝑧 3 Aplicando a seguinte propriedade 𝒵𝑛𝑥𝑛 𝑧 𝑑𝑋𝑧 𝑑𝑧 em 𝑦𝑛 𝑌𝑧 2 𝒵𝑛𝑥𝑛 2𝑧 𝑑𝑋𝑧 𝑑𝑧 2𝑧 𝑧 3 1 𝑧 1 𝑧 32 6𝑧 𝑧 32 Região de convergência da série 𝑧 3 QUESTÃO 4 Item a Aplicando a transformada z na equação diferença fornecida 𝑌𝑧 5𝑧1𝑌𝑧 4𝑧2𝑌𝑧 𝑧1𝑋𝑧 3𝑧2𝑋𝑧 1 5𝑧1 4𝑧2𝑌𝑧 𝑧1 3𝑧2𝑋𝑧 𝑌𝑧 𝑋𝑧 𝑧1 3𝑧2 1 5𝑧1 4𝑧2 𝑧 3 𝑧2 5𝑧 4 Item b Como 𝑥𝑛 𝛿𝑛 então 𝑋𝑧 1 Assim 𝑌𝑧 𝑧 3 𝑧2 5𝑧 4 Fatorando o denominador e fazendo a expansão em frações parciais 𝑌𝑧 𝑧 3 𝑧2 5𝑧 4 𝐴 𝑧 4 𝐵 𝑧 1 𝐴 𝑧 3 𝑧 1 𝑧4 1 3 𝐵 𝑧 3 𝑧 4 𝑧1 2 3 Portanto 𝑌𝑧 13 𝑧 4 23 𝑧 1 e fazendo a transformada z inversa das parcelas 𝑦𝑛 1 3 4𝑛1𝑢𝑛 1 2 3 1𝑛1𝑢𝑛 1 1 3 4𝑛1 2 3 𝑢𝑛 1 Apenas como verificação partindo da equação diferença 𝑦𝑛 5𝑦𝑛 1 4𝑦𝑛 2 𝛿𝑛 1 3𝛿𝑛 2 Para 𝑛 0 𝑦0 0 Para 𝑛 1 𝑦1 𝛿0 1 Para 𝑛 2 𝑦2 5𝑦1 3𝛿0 2 Para 𝑛 3 𝑦3 5𝑦2 4𝑦1 6 Para 𝑛 4 𝑦4 5𝑦3 4𝑦2 22 Verificando a expressão analítica obtida Para 𝑛 0 𝑦0 0 Para 𝑛 1 𝑦1 1 Para 𝑛 2 𝑦2 1 3 4 2 3 2 Para 𝑛 3 𝑦3 1 3 42 2 3 6 Finalmente para 𝑛 4 𝑦4 1 3 43 2 3 22 QUESTÃO 5 Utilizando a lei de formação apresentada e sabendo que os dois primeiros valores são arbitrados 𝑦𝑛 𝑎𝛿𝑛 𝑏𝛿𝑛 1 2𝑦𝑛 1 3𝑦𝑛 2 Quando 𝑛 0 𝑦0 3 𝑎𝛿0 𝑎 3 Quando 𝑛 1 𝑦1 2 𝑏𝛿0 2𝑦0 𝑏 2 23 8 Quando 𝑛 2 𝑦2 5 2𝑦1 3𝑦0 22 33 5 Portanto a equação diferença da série será 𝑦𝑛 3𝛿𝑛 8𝛿𝑛 1 2𝑦𝑛 1 3𝑦𝑛 2