Tarefas e Exemplos de Sinais e Sistemas

Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier Rafael Chaves CEFETRJ 20241 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 1 21 Sumario 1 Transformada Discreta de Fourier 2 Propriedades da DFT rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 2 21 Sumario 1 Transformada Discreta de Fourier 2 Propriedades da DFT rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 3 21 A Transformada Discreta de Fourier xn e uma soma de repeticoes periodicas de xn Se xn tem tamanho L N nao e possıvel obter xn de xn Se xn tem tamanho L N xn e uma repeticao periodica de xn xn 2π N xn para 0 n N 1 As amostras da transformada de Fourier podem fornecer uma efetiva representacao discreta na frequˆencia para um sinal de comprimento finito no tempo discreto Essa representacao so e util se o numero N de amostras da transformada de Fourier e maior ou igual ao comprimento L do sinal original rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 6 21 A Transformada Discreta de Fourier E importante que se xn tem comprimento L N temos que preencher com zeros ate o comprimento N adaptando o comprimento da sequˆencia para o calculo de sua correspondente DFT A extensao do preenchimento com zeros zeropadding tambem determina a resolucao da DFT na frequˆencia rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 8 21 A Transformada Discreta de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 9 21 Forma Matricial da DFT Transformada Discreta de Fourier DFT X WNx Transformada Discreta de Fourier Inversa IDFT x 1 N WH NX rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 14 21 Sumario 1 Transformada Discreta de Fourier 2 Propriedades da DFT rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 15 21 Propriedades Linearidade DFTα1x1n α2x2n α1X1k α2X2k Reversao no Tempo DFTxn Xk Teorema do Deslocamento no Tempo DFTxn l W lk N Xk rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Transformada Discreta de Fourier 16 21 Prof Rafael Chaves Processamento de Sinais I GELE7317 Aula Pratica 3 Filtros Digitais 1 Considere um filtro com funcao de transferˆencia dada por Hz z 12 z2 m1z m2 a Encontre os valores de m1 e m2 para que Hz tenha polos localizados em p12 rejω0 b Escolha um ω0 0 π e diferente valores do parˆametro r 0 1 c Mostre o diagrama de polos e zeros com os valores escolhidos no item anterior d Compare as respostas na frequˆencia dos filtros para os diferentes valores escolhidos e comente os resultados e Hz e uma funcao de transferˆencia de que tipo de filtro f O que acontece quando r 1 2 Considere um filtro com funcao de transferˆencia dada por Hz z2 1 z2 m1z m2 Repita os itens da questao 1 para essa nova funcao de transferˆencia 3 Considere um filtro com funcao de transferˆencia dada por Hz z 12 z2 m1z m2 Repita os itens da questao 1 para essa nova funcao de transferˆencia 4 Considere um filtro com funcao de transferˆencia dada por Hz z2 m1m2z 1 z2 m1z m2 Repita os itens da questao 1 para essa nova funcao de transferˆencia 5 Considere um filtro com funcao de transferˆencia dada por Hz m2z2 m1z 1 z2 m1z m2 Repita os itens da questao 1 para essa nova funcao de transferˆencia 6 Considere um filtro com a funcao de transferˆencia dada por Hz z sinω0 z2 2 cosω0z 1 Escolha um valor para ω0 e calcule sua resposta na frequˆencia Utilize o comando impz para calcular a re sposta ao impulso de filtro Comente os resultados ob tidos 7 A funcao de transferˆencia do filtro pente de ordem L e Hz 1 zL 1 azL a Para L 1 e a 0 04 06 08 calcule a re sposta na frequˆencia diga o que o filtro esta fazendo e comente os resultados obtidos b Repita o item anterior para L 10 8 Considere a seguinte funcao de transferˆencia Hz 00034 00106z2 00025z4 00149z6 a Mostre o diagrama de polos e zeros de Hz b Mostre a reposta na frequˆencia de Hz c Represente o Hz em sua forma cascata e paralela d Mostre o diagrama de polos e zeros de cada funcao de transferˆencia das representacoes da forma cascata e paralela e Mostre a resposta na frequˆencia de cada funcao de transferˆencia das representacoes da forma cascata e paralela Lista 1 1 Um sistema é linear se a combinação linear de entradas deve resultar em uma combinação linear correspondente de saídas Um sistema é causal se a saída em um dado tempo n não depende de valores de entradas futuras Um sistema é invariante no tempo se um deslocamento na entrada resulta em um deslocamento correspondente na saída sem alterar a forma do sistema a Linear não causal e variante no tempo b Não linear não causal e invariante no tempo c Linear causal e variante no tempo d Não linear não causal e invariante no tempo 2 Fazendo a amostragem descrita pelo enunciado temos que o sinal xn no tempo discreto é dada por xn 3cosπn4 7sin11πn 20 Aplicando a transformação pela seguinte equação de diferenças yn xn xn 2 Apos simplificações trigonometricas temos yn em uma forma reduzida yn 3cosπn4 sinπn4 7sin11πn201 cosπ10 7cos11πn20sinπ10 Aplicando a expressão de reconversão ao tempo contínuo 3 A estabilidade de um sistema no tempo discreto está relacionada às raízes do polinômio característico que é o denominador da função de transferência Para que o sistema seja estável as raízes de Dz devem estar dentro do círculo unitário no plano complexo Assim temos que 2ab a2 Assim as condições são 2 a 0 e b 2a 4 4 Um filtro discreto de ordem 2 que possua dois zeros em ωπ pode ser descrito pela seguinte função de transferência Hz1z1²Dz Sendo 1z1² a garantia de dois zeros em z1 que correspondem a ωπ 5 A transformada inversa de Fourier hn é dada por Para facilitar o cálculo vamos dividir o dominio em duas partes de pi a 0 e de 0 a pi Assim temos h1n definida por Resolvendo a integral temos De forma analoga temos h2n definida por Resolvendo a integral temos Somando as partes temos Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR Rafael Chaves CEFETRJ 20241 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 1 35 Sumario 1 Introducao 2 Caracterısticas Ideais de Filtrospadrao 3 Aproximacao de Filtros FIR com Funcoesjanela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 2 35 Sumario 1 Introducao 2 Caracterısticas Ideais de Filtrospadrao 3 Aproximacao de Filtros FIR com Funcoesjanela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 3 35 Introducao Nesse capıtulo estudaremos os esquemas de aproximacao para filtros digitais FIR e apresentaremos os metodos para determinacao dos coeficientes e da ordem do filtro de forma tal que a resposta na frequˆencia resultante satisfaca um conjunto de especificacoes prescritas Em alguns casos filtros FIR sao considerados ineficientes no sentido de requererem uma funcao de transferˆencia de ordem alta pra satisfazer as exigˆencias do sistema quando comparada a ordem requerida por filtros digitais IIR Entretanto filtros digitais FIR apresentam algumas vantagens quanto a implementacao tais como a possibilidade de terem fase linear exata e o fato de serem intrinsecamente estaveis quando realizados de forma naorecursiva rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 4 35 Introducao Iniciamos discutindo as caracterısticas ideias da resposta na frequˆencia de filtros FIR mais frequentemente usados assim como suas respostas ao impulso correspondentes Prosseguimos discutindo os metodos baseados em janela para aproximacao de filtros digitais FIR focalizando as janelas retangular triangular de Bartlett de Hamming e de Blackman rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 5 35 Sumario 1 Introducao 2 Caracterısticas Ideais de Filtrospadrao 3 Aproximacao de Filtros FIR com Funcoesjanela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 6 35 Filtro Passabaixas Resposta ao Impulso hn ωc π para n 0 sinωcn πn para n 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 8 35 Filtro Passaaltas Resposta ao Impulso hn 1 ωc π para n 0 sinωcn πn para n 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 10 35 Filtro Passafaixa Resposta na Frequˆencia Hejω 0 para ω ωc1 1 para ωc1 ω ωc2 0 para ωc2 ω π rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 11 35 Filtro Passafaixa Resposta ao Impulso hn ωc2 ωc1 π para n 0 sinωc2n sinωc1n πn para n 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 12 35 Filtro Rejeitafaixa Resposta na Frequˆencia Hejω 1 para ω ωc1 0 para ωc1 ω ωc2 1 para ωc2 ω π rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 13 35 Filtro Passafaixa Resposta ao Impulso hn 1 ωc2 ωc1 π para n 0 sinωc1n sinωc2n πn para n 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 14 35 Filtros Ideais rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 15 35 Filtros Ideais Filtros ideais nao sao diretamente realizaveis Resposta ao impulso tem duracao infinita e sao naocausais Como podemos realizar filtros FIR desse tipo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 16 35 Sumario 1 Introducao 2 Caracterısticas Ideais de Filtrospadrao 3 Aproximacao de Filtros FIR com Funcoesjanela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 17 35 Caso Geral Essa resposta ao impulso ainda e naocausal mas pode ser feita causal atraves de sua multiplicacao por zM2 sem distorcer a resposta de modulo nem a propriedade de fase linear do filtro rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 19 35 Exemplo Filtro Rejeitafaixa Vamos projetar um filtro rejeitafaixa para satisfazer as seguintes especificacoes M 50 Ωc1 π4 rads Ωc2 π2 rads Ωs 2π rads A resposta ao impulso desse filtro pode ser calculada utilizando o seguinte codigo em MATLAB rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 20 35 Exemplo Filtro Rejeitafaixa rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 21 35 Caso Geral Podemos inferir entao que uma boa janela e uma sequˆencia de comprimento finito cuja resposta na frequˆencia quando convoluıda com uma resposta na frequˆencia ideal produz a menor distorcao possıvel Essa mınima distorcao ocorreria quando a reposta na frequˆencia da janela tivesse uma forma proxima a de um impulso concentrado em torno de ω 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 23 35 Caso Geral Contudo sinais com faixa de frequˆencia limitada nao podem ser limitados no tempo o que contradiz nosso principal requisito Isso significa que devemos encontrar uma janela de comprimento finito cuja resposta na frequˆencia tenha maior parte da sua energia concentrada em torno de ω 0 Alem disso a fim de evitar as oscilacoes na resposta de modulo do filtro os lobos laterais da resposta na frequˆencia da janela devem decair rapidamente a medida que ω aumenta rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 24 35 Caso Geral rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 25 35 Caso Geral O efeito do lobo secundario e introduzir uma ondulacao maior proxima as extremidades da faixa A largura do lobo principal determina a largura da faixa de transicao do filtro resultante Com base nesses fatos A razao da amplitude do lobo principal para amplitude do lobo secundario tem que ser tao grande quanto possıvel A energia tem que decair rapidamente a medida que ω aumenta de 0 a π rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 26 35 Janela Triangular O principal problema associado com a janela retangular e a presenca de ondulacoes proximas as extremidades de faixa do filtro resultante que sao causadas pela existˆencia de lobos laterais na resposta na frequˆencia da janela Tal problema se deve a descontinuidade inerente a janela retangular no domınio do tempo Uma forma de se reduzir essa descontinuidade e empregar uma janela de forma triangular que apresentara apenas pequenas descontinuidades proximas as suas extremidades A janela triangular padrao e definida como wtn 2n M 2 1 para n M2 0 para n M2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 28 35 Janela de Bartlett Uma pequena variante dessa janela e a chamada janela de Bartlett definida por wtBn 2n M 1 para n M2 0 para n M2 Essas duas funcoesjanelas de forma triangular se relacionam diretamente sendo a sua unica diferenca o fato de que a janela de Bartlett apresenta um elemento nulo em cada uma de suas extremidades rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 29 35 Janela de Hamming Generalizada As principais caracterısticas da janela de Hamming generalizada sao as seguintes A largura do lobo principal e 8πM 1 Quando α 054 a energia total do lobo principal e aproximadamente 99 96 da energia total da janela A faixa de transicao da janela Hamming e mais larga que a faixa de transicao da janela retangular devido ao seu lobo principal mais largo A razao entre as amplitudes dos lobos principal e secundario da janela de Hamming e muito maior que para a janela retangular A atenuacao na faixa de rejeicao para a janela de Hamming e maior que a atenuacao para a janela retangular rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 31 35 Exemplo Rejeitafaixa Vamos projetar um filtro rejeitafaixa para satisfazer as seguintes especificacoes M 80 Ωc1 2000 rads Ωc2 4000 rads Ωs 10000 rads A resposta ao impulso do filtro usando a janela retangular pode ser calculada utilizando o seguinte codigo em MATLAB rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 33 35 Exemplo Rejeitafaixa Para as outras janelas hn tem que ser multiplicada amostra a amostra pela janela correspondente hammingM1 hanningM1 blackmanM1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 34 35 Exemplo Rejeitafaixa Retangular Hann Hamming Blackman rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Aproximacoes de Filtros FIR 35 35 Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas Rafael Chaves CEFETRJ 20241 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 1 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 2 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 3 84 Introducao Processamento de sinais no tempo discreto Estuda as regras que governam o comportamento de sinais no tempo discreto Estuda os sistemas que processam esses sinais Lida com os problemas envolvidos no processamento de sinais contınuos usando tecnicas digitais Aplicacoes CD players Tomografia computadorizada Processamento de sinais geologicos Smartphones rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 4 84 Introducao Processamento analogico de sinais Processamento de sinais no tempo contınuo Sinal Analogico Processa um sinal que varia continuamente Pode ser descrito como equacoes diferenciais Processamento digital de sinais Processamento de sinais no tempo discreto Sinal Digital Processa uma sequˆencia de numeros usando algum tipo de hardware digital A grande vantagem desse tipo de processamento e que uma vez que a sequˆencia de numeros esta disponıvel em um hardware digital qualquer tipo de operacao processamento numerico pode ser realizado rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 5 84 Introducao Suponha que desejamos derivar o sinal xt yt dxt dt Vo Vi R C Se Vi xt temos Vo RC dxt dt rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 6 84 Introducao Esse exemplo realca dois pontos importantes A grande utilidade do processamento digital de sinais Se queremos utilizar esse tipo de recurso para processar sinais analogicos precisamos de um jeito de converter sinais no tempo contınuo em sinais no tempo discreto de modo que os sinais no tempo contınuo possam ser recuperados a partir dos sinais no tempo discreto Importante Muito frequentemente sinais no tempo discreto nao sao gerados de sinais no tempo contınuo isto e eles existem originalmente no tempo discreto e o resultado de seu processamento so sao necessarios em sua forma digital rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 8 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 9 84 Sinal no Tempo Discreto Um sinal no tempo discreto e aquele que pode ser representado por uma sequˆencia de numeros xn n Z Se xat e um sinal analogico temos xn xanT n Z Importante T nao e necessariamente uma unidade de tempo Por exemplo se xat e a temperatura ao longo de uma barra de metal entao T pode ser uma unidade de comprimento rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 10 84 Representacao Grafica de um Sinal no Tempo Discreto xn n rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 11 84 Sinais Importantes Funcao Exponencial Real xn ean xn n 1 1 2 3 2 3 Funcao Cosseno xn cosωn xn n 1 1 2 3 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 14 84 Sinais Importantes Funcao Cosseno A frequˆencia angular ω e medida em radamostra Se ω 2π16 um ciclo completo ocorre a cada 16 amostras E importante notar que cosω 2kπn cosωn 2knπ cosωn k Z Para senoides no tempo discreto ω e ω 2kπ k Z sao a mesma frequˆencia rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 15 84 Sequˆencias Periodicas Exemplo 1 Determine se cada um dos sinais discretos a seguir e periodico em caso positivo determine seu perıodo a xn cos12π5n b xn 10 sin27π12n 2 c xn 2 cos002n 3 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 18 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 19 84 Sistemas no Tempo Discreto Um sistema no tempo discreto mapeia uma sequˆencia de entrada xn em uma sequˆencia de saıda yn de forma que yn Hxn Sistema no Tempo Discreto xn yn Um sistema no tempo discreto pode ser classificado como linear ou naolinear invariante no tempo ou variante no tempo causal ou naocausal rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 20 84 Linearidade Usualmente e desejavel ter um sistema que Quando a amplitude da entrada cresce a amplitude da saıda cresce sem distorcao A saıda de uma combinacao de dois sinais e equivalente a mesma combinacao aplicada na saıda dos sinais individualmente Um sistema com essas propriedades e chamado de sistema linear Definicao Um sistema no tempo discreto e linear se somente se Haxn aHxn e Hx1n x2n Hx1n Hx2n para qualquer constante a e quaisquer sequˆencias xn x1n e x2n rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 21 84 Invariˆancia no Tempo As vezes e desejavel ter um sistema cujas propriedades nao variem com o tempo Tal sistema e chamado de sistema invariante no tempo Definicao Um sistema no tempo discreto e invariante no tempo se e somente se para qualquer sequˆencia de entrada xn e qualquer inteiro n0 dado que Hxn yn Hxn n0 yn n0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 22 84 Causalidade Uma vez que nao e possıvel ver o futuro em aplicacoes praticas e preciso ter um sistema que so utilize valores passados da entrada Tal sistema e chamado de sistema causal Definicao Um sistema no tempo discreto e causal se somente se quando x1n x2n para n n0 produz Hx1n Hx2n para n n0 Em outras palavras causalidade significa que a saıda de um sistema no instante n nao depende de qualquer entrada que ocorra apos n rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 23 84 Causalidade Usualmente no caso de um sistema no tempo discreto um sistema naocausal nao e implementavel em tempo real Porque para calcular a saıda no instante n precisarıamos de amostras de entrada em instantes posteriores a n Isso seria possıvel se as amostras no tempo estivessem previamente armazenadas como em implementacoes offline ou por batch Se o sinal a ser processado nao consiste em amostras no tempo obtidas em tempo real pode nao haver nada equivalente as conceitos de amostras passadas ou futuras Nesses casos o papel da causalidade e de menor importˆancia Para um sinal discreto que corresponde a temperatura em sensores uniformemente espacados ao longo de uma barra de metal um processador pode ter acesso a todas as amostras dessa sequˆencia Nesse caso mesmo um sistema naocausal pode ser facilmente implementado rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 24 84 Classificacao de Sistemas no Tempo Discreto Exemplo 2 Caracterize os seguintes sistemas como sendo lineares ou naolineares invariantes no tempo ou variantes no tempo e causais ou naocausais a yn n bxn 4 b yn x2n 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 25 84 Resposta ao Impulso e Somas de Convolucao Resposta de Sistemas Variantes no Tempo Discreto Quando o sistema e linear e variante no tempo para computar yn precisamos dos valores da resposta ao impulso hkn que depende de n e k Isso torna o calculo da soma de convolucao bastante complexo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 28 84 Propriedades da Soma de Convolucao Exemplo 3 Para o sistema representado abaixo calcule yn como funcao do sinal de entrada e das respostas ao impulso dos subsistemas h1n h2n h3n xn yn rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 32 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 36 84 Equacoes de Diferencas Exemplo 4 Encontre a solucao da equacao de diferencas yn ayn 1 como funcao da condicao inicial y0 Exemplo 5 Resolva a seguinte equacao de diferencas yn eβyn 1 δn rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 39 84 Equacoes de Diferencas Um sistema linear deve satisfazer Haxn aHxn Logo H0 0 Se nos restringirmos a aplicar entradas que sejam nulas antes de uma dada amostra xn 0 para n n0 entao existe uma interessante relacao entre a linearidade a causalidade e as condicoes iniciais de um sistema Se o sistema e causal entao a saıda em n n0 nao pode ser influenciada por qualquer amostra da entrada xn para n n0 Portanto se xn 0 para n n0 entao H0 e Hxn tˆem que ser idˆenticas n n0 Uma vez que se o sistema e linear H0 0 entao necessariamente Hxn 0 para n n0 Equivale dizer que as condicoes auxiliares para n n0 tˆem de ser nulas Dizse que um sistema com essas condicoes esta inicialmente relaxado Se o sistema nao esta inicialmente relaxado nao se pode garantir que ele seja causal rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 40 84 Equacoes de Diferencas Exemplo 6 Determine a saıda do sistema linear descrito por yn eβyn 1 un para as condicoes auxiliares a y1 0 b y1 0 Discuta a causalidade em ambas as situacoes rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 41 84 Equacoes de Diferencas Um sistema inicialmente relaxado descrito por equacoes de diferencas lineares alem de ser linear e causal tambem e invariante no tempo Invariˆancia no tempo pode ser inferida se consideramos que para um sistema inicialmente relaxado a historia do sistema ate a aplicacao da excitacao e a mesma independentemente da posicao da amostra no tempo na qual a excitacao e aplicada Isso acontece porque as saıdas sao todas nulas ate o instante da aplicacao da excitacao Se o tempo e medido tendo como referˆencia a amostra no tempo n n0 no qual a entrada e aplicada entao a saıda nao dependera da referˆencia n0 porque a historia do sistema antes de n0 e a mesma independentemente de n0 Isso equivale a dizer que se a entrada e deslocada de k amostras entao a saıda e simplesmente deslocada de k amostras o restante permanecendo sem modificacao logo caracterizando um sistema invariante no tempo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 42 84 Sistemas Recursivos Sistemas Naorecursivos Exemplo 7 Encontre a resposta ao impulso do sistema caracterizado por yn 1 αyn 1 xn supondo que ele se encontra inicialmente relaxado rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 45 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 46 84 Solucao da Equacao Homogˆenea Exemplo 8 Encontre a solucao geral do equacao de Fibonacci yn yn 1 yn 21 com y0 0 e y1 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 52 84 Solucao da Equacao Homogˆenea Se o polinˆomio caracterıstico tem um par de raızes complexas conjugadas ρ e ρ da forma a jb rejϕ a solucao da equacao homogˆenea e dada por yhn ˆc1rejϕn ˆc2rejϕn rnˆc1ejϕn ˆc2ejϕn rnˆc1 ˆc2 cosϕn jˆc1 ˆc2 sinϕn c1rn cosϕn jc2rn sinϕn Se o polinˆomio caracterıstico tem uma raiz dupla entao tambem existe uma solucao da forma yhn cnρn onde c e uma constante arbitraria rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 53 84 Solucao da Equacao Homogˆenea rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 55 84 Solucao da Equacao Naohomogˆenea rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 60 84 Solucao da Equacao Naohomogˆenea rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 61 84 Calculando Respostas ao Impulso Exemplo 10 Calcule a resposta ao impulso do sistema governado pela seguinte equacao de diferencas yn 1 2yn 1 1 4yn 2 xn rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 66 84 Sumario 1 Introducao 2 Sinais no Tempo Discreto 3 Sistemas no Tempo Discreto 4 Equacoes de Diferencas e Resposta no Domınio do Tempo 5 Resolvendo Equacoes de Diferencas 6 Amostragem de Sinais no Tempo Contınuo rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 67 84 Princıpios Basicos Em muitos caso um sinal xn consiste em amostras de um sinal xat isto e xn xanT Se queremos processar o sinal xat usando um sistema no tempo discreto precisamos Convertˆelo utilizando a equacao acima Processar digitalmente a entrada no tempo discreto Converter a saıda no tempo discreto de volta ao domınio do tempo contınuo Para que essa operacao seja efetiva e essencial que tenhamos a capacidade de restaurar um sinal no tempo contınuo a partir de suas amostras rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 68 84 Teorema da Amostragem rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 72 84 Teorema da Amostragem rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 75 84 Teorema da Amostragem A fim de se evitar que as copias repetidas do espectro de xat interfiram umas com as outras Este sinal deve ter largura de banda limitada Sua largura de banda Ωc deve ser tal que a extremidade superior do espectro centrado em zero se situe abaixo da extremidade inferior do espectro centrado em Ωs Com referˆencia ao caso geral complexo representado abaixo devemos ter Ωs Ω2 Ω1 ou equivalentemente Ωs Ω1 Ω2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 76 84 Teorema da Amostragem No caso de sinais reais como o espectro e simetrico em torno da origem a largura de banda unilateral Ωc do sinal no tempo contınuo e tal que Ωc Ω1 Ω2 e entao devemos ter Ωs Ωc Ωc obrigando que Ωs 2Ωc A frequˆencia Ω 2Ω e chamada de frequˆencia de Nyquist do sinal xat Alem disso se Ωs 2Ωc e satisfeita o sinal original xat pode ser recuperado isolandose a parcela do espectro de xit que corresponde ai espectro de xat rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 77 84 Teorema da Amostragem Por outro lado se Ωs 2Ωc as repeticoes do espectro interferem uma com a outra e xat nao pode ser recuperado a partir de suas amostras Essa sobreposicao das repeticoes do espectro de xat em xit e comumente chamada de aliasing rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 78 84 Teorema da Amostragem rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 79 84 Teorema da Amostragem Teorema da Amostragem Se um sinal xat no tempo contınuo tem largura de banda limitada isto e sua transformada de Fourier e tal que XajΩ 0 para Ω Ωc entao xat pode ser completamente recuperado a partir do sinal no tempo discreto xn xanT se a frequˆencia de amostragem Ωs satisfaz Ωs 2Ωc rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Sinais e Sistemas 80 84 Processamento de Sinais I Filtro Digitais Rafael Chaves CEFETRJ 20241 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 1 57 Sumario 1 Introducao 2 Estruturas Basicas de Filtros Naorecursivos 3 Estruturas Basicas de Filtros Digitais Recursivos 4 Blocos Componentes Uteis rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 2 57 Sumario 1 Introducao 2 Estruturas Basicas de Filtros Naorecursivos 3 Estruturas Basicas de Filtros Digitais Recursivos 4 Blocos Componentes Uteis rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 3 57 Introducao Nas aulas anteriores estudamos diferentes formas de descrever sistemas lineares invariantes no tempo discreto Transformada z Transformada de Fourier Agora estudaremos varias estruturas que podem ser empregadas para realizar uma dada funcao de transferˆencia As funcoes de transferˆencia que vamos considerar serao Polinomial filtros naorecursivos Racional polinomial filtros recursivos No caso naorecursivo enfatizamos a existˆencia da importante subclasse dos filtros com fases linear rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 4 57 Introducao Entao apresentamos algumas ferramentas para calcular a funcao de transferˆencia para uma rede digital assim como para analisar seu comportamento interno Tambem discutimos algumas propriedades de estruturas genericas de filtros digitais associadas a sistemas praticos no tempo discreto rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 5 57 Sumario 1 Introducao 2 Estruturas Basicas de Filtros Naorecursivos 3 Estruturas Basicas de Filtros Digitais Recursivos 4 Blocos Componentes Uteis rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 6 57 Elementos Basicos Atraso Multiplicador Somador Atraso Multiplicador Somador rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 9 57 Forma Direta Essa estrutura e chamada de realizacao na forma direta pois seus coeficientes multiplicadores sao obtidos diretamente da funcao de transferˆencia do filtro Essa estrutura tambem e chamada de forma canˆonica pois ela realiza uma funcao de transferˆencia com o menor numero possıvel de atrasos multiplicadores e somadores Classificacao Canˆonica Implementacao com menor numero de atrasos multiplicadores e somadores Canˆonica em relacao aos atrasos Implementacao com o menor numero de atrasos Canˆonica em relacao aos multiplicadores Implementacao com o menor numero de multiplicadores Canˆonica em relacao aos somadores Implementacao com o menor numero de somadores rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 11 57 Forma Cascata Um filtro FIR pode ser realizado atraves de varias estruturas equivalentes Entretanto os coeficientes dessas diferentes realizacoes possıveis podem nao representar explicitamente a resposta ao impulso ou a correspondente funcao de transferˆencia do sistema descrito Por exemplo considere um filtro FIR de ordem 4 com funcao de transferˆencia dada por Hz 1 24142z1 34142z2 24142z3 z4 1 ejπ4z11 ejπ4z11 ejπ3z11 ejπ3z1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 13 57 Forma Cascata rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 15 57 Filtros com Fase Linear Entao para que um filtro apresente fase linear com atraso de grupo constante τ sua resposta ao impulso tem que satisfazer hn e2jϕh2τ n Agora prosseguimos mostrando que filtros FIR com fase linear apresentam respostas ao impulso de formas muito particulares De fato a resposta ao impulso implica que h0 e2jϕh2τ Assim se hn e causal e tem duracao finita para 0 n M temos necessariamente que τ M 2 logo hn e2jϕhM n rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 18 57 Filtros com Fase Linear No caso comum em que todos os coeficientes sao reais entao hn hn e e2jϕ tambem tem que ser real logo ϕ kπ 2 k Z e a resposta ao impulso passa a ser do tipo hn 1khM n k Z ou seja a resposta ao impulso tem que ser simetrica ou antissimetrica A resposta na frequˆencia dos filtros FIR com fase linear e coeficientes reais se torna Hejω BωejωM2jkπ2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 19 57 Filtros com Fase Linear Para efeitos praticos so precisamos considerar os casos em que k 0 1 2 3 Alem disso como Bω pode ser tanto positivo quanto negativo os casos k 2 e k 3 podem ser obtidos dos casos k 0 e k 1 respectivamente bastando fazer a substituicao Bω Bω Portanto consideramos apenas os quatro casos distintos classificados como Tipo I k 0 e M par Tipo II K 0 e M ımpar Tipo III k 1 e M par Tipo IV k 1 e M ımpar Agora mostraremos que hn 1khM n e uma condicao suficiente para que um filtro FIR com coeficientes reais tenha fase linear rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 20 57 Resposta ao Impulso a Tipo I b Tipo II c Tipo III e d Tipo IV rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 33 57 Principais Caracterısticas dos Filtros com Fase Linear rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 34 57 Propriedades O zeros de Hz tˆem que satisfazer as seguintes interrelacoes Todos os zeros complexos que nao ficam sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem em quadruplas de conjugados e simetricos Em outras palavras se zγ e complexo entao z1 γ z γ e z1 γ tambem sao zeros de Hz Zeros complexos sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem simplesmente em pares conjugados ja que nesse caso temos automaticamente que z1 γ z γ Todos os zeros reais que nao se localizam sobre a circunferˆencia unitaria ocorrem em pares recıprocos Pode haver qualquer numero de zeros em z zγ 1 ja que nesse caso temos necessariamente que z1 γ 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 36 57 Propriedades rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 37 57 Propriedades Uma propriedade interessante dos filtros digitais FIR com fase linear e poderem ser realizados por estruturas eficientes que exploram a simetria ou antissimetria de sua respota ao impulso Quando M e par essas estruturas eficientes requerem apenas M2 1 multiplicacoes Quando M e ımpar sao necessarias somente M 12 multiplicacoes rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 38 57 Resposta ao Impulso Simetrica Ordem Par rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 39 57 Resposta ao Impulso Simetrica Ordem Impar rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 40 57 Propriedades Exemplo 1 Faca uma realizacao eficiente para um filtro com resposta ao impulso hn δn 2δn 1 5δn 2 2δn 3 δn 4 Exemplo 2 Faca uma realizacao eficiente para um sistema descrito pela seguinte equacao de diferencas yn 3xn 5xn 1 5xn 2 3xn 3 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 41 57 Sumario 1 Introducao 2 Estruturas Basicas de Filtros Naorecursivos 3 Estruturas Basicas de Filtros Digitais Recursivos 4 Blocos Componentes Uteis rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 42 57 Forma Direta Realizacao detalhada de 1Dz rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 45 57 Forma Direta rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 46 57 Forma Direta Canˆonica Tipo 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 47 57 Forma Direta Canˆonica Tipo 2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 48 57 Forma Cascata rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 50 57 Forma Paralela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 52 57 Realizacoes de Segunda Ordem Deve ser mencionado que cada bloco de segunda ordem nas formas cascata e paralela pode ser realizado por qualquer das estruturas distintas existentes rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 53 57 Forma Cascata e Paralela Exemplo 3 Descreva a implementacao como filtro digital da funcao de transferˆencia Hz 16z2z 1 4z2 2z 14z 3 usando a Uma realizacao em cascata b Uma realizacao em paralela rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 54 57 Sumario 1 Introducao 2 Estruturas Basicas de Filtros Naorecursivos 3 Estruturas Basicas de Filtros Digitais Recursivos 4 Blocos Componentes Uteis rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 55 57 Blocos Componentes de Segunda Ordem Passabaixas Hz z2 2z 1 z2 m1z m2 Passaaltas Hz z2 2z 1 z2 m1z m2 Passafaixa Hz z2 1 z2 m1z m2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 56 57 Blocos Componentes de Segunda Ordem Notch Hz z2 m1m2z 1 z2 m1z m2 Passatudo Hz m2z2 m1z 1 z2 m1z m2 Oscilador Digital Hz z sinω0 z2 2 cosω0z 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I Filtros Digitais 57 57 Prof Rafael Chaves Processamento de Sinais I GELE7317 Lista 4 1 Determine a resposta ao impulso ideal associada a resposta de modulo mostrada na figura abaixo e projete um filtros pratico FIR de quarta ordem usando a janela de Hamming Forneca uma realizacao do filtro projetado 2 Para a resposta de modulo mostrada na figura abaixo onde ωs 2π denota a frequˆencia de amostragem a Determine a resposta ao impulso associada b Projete um filtro FIR de quarta ordem usando a janela triangular com ωc π4 c Forneca uma realizacao do filtro projetado 3 Para a resposta de modulo mostrada na figura abaixo a Determine a resposta ao impulso ideal associada b Projete um filtro FIR de quarta ordem usando a janela de Hann c Forneca uma realizacao do filtro projetado Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier Rafael Chaves CEFETRJ 20241 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 1 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 2 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 3 52 Introducao Anteriormente estudamos sistemas lineares invariantes no tempo SLIT usando tanto respostas ao impulso quanto equacoes de diferencas para caracterizalos Agora vamos estudar outra forma util de caracterizar sistemas no tempo discreto Ela esta ligada ao fato de que quando uma funcao exponencial e aplicada na entrada de um SLIT sua saıda e uma funcao do mesmo tipo mas com amplitude modificada rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 4 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 7 52 Convergˆencia da Transformada z Exemplo 2 Calcule a transformada z das seguintes sequˆencias especificando suas regioes de convergˆencia a xn k2nun b xn un 1 c xn k2nun 1 d xn 2nun 3nun e xn 4nun 5nun 1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 11 52 Convergˆencia da Transformada z Um caso muito importante ocorre quando Xz pode ser expressa como a razao de dois polinˆomios em z na forma Xz Nz Dz As raızes de Nz sao chamadas de zeros de Xz e as raızes de Dz como os polos de Xz rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 12 52 Convergˆencia da Transformada z Sequˆencias Unilaterais Direitas A regiao de convergˆencia de Xz e z r1 Como Xz nao converge em seus polos entao seus polos devem estar no interior da circunferˆencia z r1 exceto polos em z com r1 max 1kK pk rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 13 52 Convergˆencia da Transformada z Sequˆencias Unilaterais Esquerdas A regiao de convergˆencia de Xz e z r2 Portanto seus polos devem estar no exterior da circunferˆencia z r2 exceto polos em z 0 com r2 max 1kK pk rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 14 52 Convergˆencia da Transformada z Sequˆencias Bilaterais A regiao de convergˆencia de Xz e r1 z r2 e portanto alguns de seus polos estao no interior da circunferˆencia z r1 e alguns no exterior da circunferˆencia z r2 Nesse caso a regiao de convergˆencia precisa ser melhor especificada rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 15 52 Transformadas z Basicas rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 16 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 17 52 Calculo Baseado na Expansao em Fracoes Parciais Exemplo 3 Determine a transformada z inversa de Xz z2 z 02z 08 usando a expansao em fracoes parciais de Xz Exemplo 4 Calcule a transformada z inversa unilateral direita de Xz 1 z2 3z 3 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 19 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 23 52 Propriedades Linearidade Dadas duas sequˆencias x1n e x2n e duas constantes arbitrarias k1 e k2 tais que xn k1x1n k2x2n entao Xz k1X1z k2X2z com regiao de convergˆencia dada no mınimo pela intersecao das regioes de convergˆencia de X1z e X2z Reversao no Tempo Zxn Xz1 e se a regiao de convergˆencia de Xz e r1 z r2 entao a regiao de convergˆencia de Zxn e 1r2 z 1r1 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 24 52 Propriedades Teorema do Deslocamento no Tempo Zxn l zlXz onde l Z A regiao de convergˆencia de Zxn l e a mesma de Xz exceto pela possıvel inclusao ou exclusao de z 0 eou z Multiplicacao por uma Exponencial Zαnxn Xαz e se a regiao de convergˆencia de Xz e r1 z r2 entao a regiao de convergˆencia de Zαnxn e r1α z r2α rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 25 52 Propriedades Diferenciacao Complexa Znxn z dXz dz e a regiao de convergˆencia de Znxn e a mesma de Xz isto e r1 z r2 Conjugacao Complexa Zxn X z As regioes de convergˆencia de Xz e Zxn sao iguais rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 26 52 Propriedades Sequˆencias Reais e Imaginarias Zℜxn 1 2Xz X z Zℑxn 1 2jXz X z onde ℜxn e ℑxn sao as partes reais e imaginaria da sequˆencia xn respectivamente As regioes de convergˆencia de Zℜxn e Zℑxn contˆem a Xz Teorema do Valor Inicial Se xn 0 para n 0 entao x0 lim z Xz rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 27 52 Propriedades Teorema da Convolucao Zx1n x2n X1zX2z A regiao de convergˆencia de Zx1n x2n e pelo menos a intersecao das regioes de convergˆencia de X1z e X2z rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 28 52 Propriedades Exemplo 7 Calcule a convolucao linear das sequˆencias abaixo usando a transformada z Represente num grafico a sequˆencia resultante rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 31 52 Propriedades Exemplo 8 Se Xz e a transformada z da sequˆencia x0 a0 x1 a1 x2 a2 xi ai determine a transformada z da sequˆencia y2 a0 y3 a1b y4 2a2b2 yi 2 iaibi como funcao de Xz rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 32 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 33 52 Estabilidade no Domınio z Os polos da funcao de transferˆencia devem estar dentro da circunferˆencia unitaria Dado um polinˆomio de ordem N em z Dz aN aN1z aazN com a0 0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 37 52 Estabilidade no Domınio z Algoritmo 1 Faca D0z Dz 2 Para k 0 1 2 N 2 21 Di kz zNkDkz1 22 Calcule αk e Dk1z tais que Dkz αkDi kz Dk1z onde os termos em zj de Dk1z para j 0 1 k sao nulos Em outras palavras Dk1z e o resto da divisao de Dkz por Di kz quando efetuada a partir dos termos de menor grau 3 Todas as raızes de Dz estao no interior do cırculo unitario se as seguintes condicoes sao atendidas D1 0 D1 0 para N par e D1 0 para N ımpar αk 1 para k 0 1 2 N 2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 38 52 Estabilidade no Domınio z Exemplo 9 Teste a estabilidade do sistema causal cuja funcao de transferˆencia possui no denominador o polinˆomio Dz 8z4 4z3 2z2 z 1 Exemplo 10 Dado o polinˆomio Dz z2 az b determine as escolhas para a e b tais que ele represente o denominador de um sistema no tempo discreto causal estavel Represente graficamente a b destacando a regiao de estabilidade rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 39 52 Resposta na Frequˆencia Como mencionado anteriormente quando uma exponencial zn e entrada de um sistema linear com reposta ao impulso hn entao sua saıda e uma exponencial Hzzn Uma vez que sistemas estaveis tem transformada z no o cırculo unitario e natural tentar caracterizar tais sistemas no cırculo unitario Numeros complexos no cırculo unitario sao da forma z ejω para 0 ω 2π Implicando na sequˆencia exponencial z ejωn Logo yn Hejωejωn Se Hejω e um numero complexo com magnitude Hejω e fase Θω entao yn Hejωejωn HejωejΘωejωn HejωejωnjΘω rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 40 52 Resposta em Frequˆencia Isso indica que a saıda de um sistema linear para um entrada senoidal e um senoide de mesma frequˆencia mas com sua amplitude multiplicada por Hejω e fase aumentada de Θω Hejω e comumente conhecida como a resposta na frequˆencia do sistema Uma outra importante caracterıstica de um sistema linear no tempo discreto e o seu atraso de grupo que e definido como a derivada da fase da resposta na frequˆencia τω dΘω dω Quando o atraso de grupo e um funcao linear de ω ie Θω βω a saıda do sistema para um senoide e dada por yn Hejωejωnjβω ejωnβ rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 41 52 Resposta em Frequˆencia O resultado anterior implica em um atraso β dΘω dω τω amostras independente da frequˆencia ω Por causa desta propriedade o atraso de grupo e usado para medir quanto um sistema linear invariante no tempo atrasa senoides de diferentes frequˆencias rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 42 52 Resposta em Frequˆencia Exemplo 11 Encontre a reposta na frequˆencia e p atraso de grupo do filtro FIR caracterizado pela seguinte equacao de diferencas yn xn xn 1 2 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 43 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 44 52 Definicao Exemplo 13 Calcule a transformada de Fourier da sequˆencia xn un rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 48 52 Sumario 1 Introducao 2 Transformada z 3 Transformada z Inversa 4 Propriedades da Transformada z 5 Funcoes de Transferˆencia 6 Transformada de Fourier 7 Propriedades da Transformada de Fourier rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 49 52 Propriedades Linearidade Fk1x1n k2x2n k1Fx1n k2Fx2n Reversao no Tempo Fxn Xejω Teorema do Deslocamento no Tempo Fxn l ejωlXejω l Z Multiplicacao por uma Exponencial Deslocamento na Frequˆencia Fejω0nxn Xejωω0 rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 50 52 Propriedades Diferenciacao Complexa Fnxn jdXejω dω Conjugacao Complexa Fxn X ejω Sequˆencias Reais e Imaginarias Fℜxn 1 2Xejω X ejω Fℑxn 1 2jXejω X ejω rafaelchavescefetrjbr Processamento de Sinais I As Transformadas z e de Fourier 51 52 Prof Rafael Chaves Processamento de Sinais I GELE7317 Lista 3 1 Mostre que a Se Hz e um filtro do Tipo I entao Hz e do Tipo I b Se Hz e um filtro do Tipo II entao Hz e do Tipo IV c Se Hz e um filtro do Tipo III entao Hz e do Tipo III d Se Hz e um filtro do Tipo IV entao Hz e do Tipo II 2 Projete um bloco passabaixas e um bloco passaaltas de segunda ordem e combineos para formar um filtro rejeitafaixa com faixa de rejeicao 025 ω 035 sendo ωs 1 Represente graficamente a resposta de modulo resultante 3 Projete um filtro notch de segunda ordem capaz de eliminar uma componente senoidal de 10 Hz com ωs 200 radamostra e mostre a sua resposta de modulo resultante 4 Escreva as equacoes que descrevem cada uma das redes mostradas na figura abaixo determine a funcao de transferˆencia de cada uma das redes e forneca realizacoes utilizando formas canˆonicas Prof Rafael Chaves Processamento de Sinais I GELE7317 Lista 3 5 Calcule a funcao de transferˆencia do filtro digital abaixo e represente graficamente sua resposta de modulo Forneca uma realizacao utilizando formas canˆonicas