Lista de Exercícios de Estatística II - CEFETMG

Departamento de Computacao CEFETMG Lista de Exercıcios Estatıstica II 20211 Professor Guilherme Lopes de Oliveira 1 Na tabela abaixo estao indicados o valor y do aluguel em mil reais e a idade x em anos desde a construcao de cinco casas Tabela 1 Valor do aluguel em mil reais e a idade em anos desde aconstrucao Tempo apos construcao anos x 5 7 10 13 20 Valor do aluguel mil reais y 6 5 4 3 2 a Calcule o coeficiente de correlacao linear amostral de Pearson Comenteo b Teste se existe ou nao o coeficiente de correlacao linear populacional com 5 de significˆancia c Se existir evidˆencia de correlacao linear entre as variaveis faca i estime a equacao de regressao linear simples apropriada ao problema ii interprete os estimadores ˆβ0 e ˆβ1 obtidos iii supondo que o modelo ajustado por vocˆe no item i seja significativo e que as suposicoes feitas sejam satisfeitas responda qual sera o valor esperado do aluguel para uma casa com 16 anos de idade iv calcule e interprete o coeficiente de determinacao R2 v quais foram as suposicoes feitas para o ajuste do modelo de regressao linear 2 A fim de quantificar os efeitos da escassez de sono sobre a capacidade de resolucao de problemas simples um agente tomou ao acaso 10 sujeitos e os submeteu a experimentacao Deixouos sem dormir por diferentes numeros de horas apos o que solicitou aos mesmos que resolvessem contas de adicao de um teste Obteve assim os seguintes dados Tabela 2 Horas sem dormir versus Numero de Erros No de erros Y Horas sem dormir X 8 8 6 8 6 12 10 12 8 16 14 16 14 20 12 20 16 24 12 24 a Calcule o coeficiente de correlacao linear amostral de Pearson Comenteo b Teste se existe ou nao o coeficiente de correlacao linear populacional com 5 de significˆancia c Se existir evidˆencia de correlacao linear entre as variaveis faca 1 i estime a equacao de regressao linear simples apropriada ao problema ii interprete os estimadores ˆβ0 e ˆβ1 obtidos iii supondo que o modelo ajustado por vocˆe no item i seja significativo e que as suposicoes feitas sejam satisfeitas responda qual sera o numero medio de erros se o numero de horas sem dormir for igual a 15 iv qual o numero esperado de erros para uma pessoa que acabou de acordar v calcule e interprete o coeficiente de determinacao R2 vi quais foram as suposicoes feitas para o ajuste do modelo de regressao linear 3 Um pesquisador deseja saber se as despesas com propaganda expressas em percentagem das despesas totais tem relacao com o lucro lıquido operacional expresso em percentagem do total de vendas Para uma amostra de 25 empresas ele obteve coeficiente de correlacao amostral de Pearson igual a 063 Faca ou descreva a Existe correlacao linear entre as variaveis na populacao Tome uma decisao usando α 1 b Calcule e interprete o coeficiente de determinacao R2 caso um modelo de regressao linear fosse ajustado aos dados c Interprete de modelo geral os coeficientes da equacao de regressao linear simples d O grafico da funcao de regressao tera inclinacao positiva ou negativa Justifique 4 Uma concessionaria de carros usados esta interessada na relacao entre a quilometragem de um carro usado x e o seu preco de venda y Com este intuito eles anotaram os dados de quilometragem e o preco de venda de 14 carros usados E usando a calculadora hp12C eles construıram o seguinte modelo de regressao linear simples ˆY 27000 0 9X Com base neste modelo responda aos seguinte itens a interprete os estimadores ˆβ0 e ˆβ1 obtidos b Assumindo que r 067 calcule o coeficiente de determinacao R2 e diga qual a porcentagem da variabilidade da variavel preco de venda e explicada pela variavel quilometragem 5 Suponha que um automovel para analisar o seu consumo de combustıvel efetuou 7 vi agens tendose registrado a distˆancia percorrida km e o consumo em litros de com bustıvel obtendose entao os 7 pares de valores seguintes X consumo 2 3 5 9 12 14 19 Y distancia percorrida 20 40 80 120 160 200 250 a Escreva a equacao da reta de regressao estimada que relaciona distˆancia em relacao ao consumo Interprete os coeficientes b Com 16 litros de combustıvel qual das duas distˆancias lhe parece mais provavel de ser percorrida 190 km ou 205 km c Sendo o valor do litro de gasolina R 382 qual o valor gasto estimado em um trajeto de 220 km E em um trajeto com 650 km 2 6 Duas variaveis x e y tˆem coeficiente de correlacao linear igual a 09 Obtendose a reta de regressao linear simples de y sobre x o que se pode dizer a respeito do seu coeficiente angular β1 7 O coeficiente de correlacao linear entre x e y e R Se y 4 2x entao o que se pode dizer a respeito de R 8 O valor calculado de b num ajuste de regressao linear do tipo yabx e igual a 5 Sabendo que a media dos valores de x e igual a 20 e que a media dos valores y e 250 qual o valor estimado de a 9 Em um modelo de regressao linear simples o intercepto da reta de regressao a Indica o aumento percentual esperado em Y dado um aumento de 1 em X b Indica o crescimento observado em Y dado o aumento de uma unidade em X c Quando multiplicado pela variavel explicativa resulta no valor predito de Y d E o valor de Y quando X e igual a zero 10 Duas variaveis x e y tˆem coeficiente de correlacao linear igual a 05 Obtendose a reta de regressao linear simples de y sobre x podese dizer que seu coeficiente angular a sera menor que 05 b sera maior que 05 c seu valor sera negativo d seu valor vai estar entre 1 e 0 e seu valor sera positivo 11 O coeficiente de correlacao linear entre x e y e R Se y 100 24x entao a R 1 ou R 1 b 0 R 1 c 1 R 0 d R0 12 O coeficiente de determinacao de um modelo de regressao linear serve como uma impor tante ferramenta para avaliar o grau de ajustamento do modelo aos dados A respeito desse coeficiente assinale a afirmativa incorreta a Seu valor varia entre 0 e 1 b E invariante a uma mudanca de escala das variaveis independentes c E utilizado para escolher modelos com numero de variaveis independentes diferentes d E uma funcao nao decrescente no numero de variaveis independentes no modelo e Representa a participacao relativa da regressao sobre o total da variacao de y 3 13 O preco do aluguel de carros de uma agˆencia de automoveis de uma agˆencia em Joao Pessoa e dada pela equacao ˆY 80 1 5X em que Y Taxa de aluguelR e X distˆancia percorrida em Km Sejam as afirmacoes I Vocˆe assinou um contrato de locacao com esta empresa mas por alguma razao a sua sogra nao quer ir neste carro e entao vocˆe tera que devolvˆelo Mas uma vez assinado o contrato vocˆe devera arcar com a taxa de aluguel Esta taxa sera igual a 80 reais II Para cada quilˆometro rodado vocˆe ira gastar R8000 III Sua sogra resolve que vocˆes irao para a praia de Tambaba O trajeto de ida e volta sera de 100 km Entao vocˆe vai pagar a agˆencia um total de R23000 Esao corretas as afirmacaoafirmacoes a I apenas b II apenas c I e III apenas d II e III apenas e I II e III 14 Com o intuito de modelar o lucro semanal Y com relacao ao numero de clientes por semanax um sexshop construiu o seguinte modelo ˆY 12 34X Com relacao a este modelo podemos dizer a Tem coeficiente de determinacao alto b Tem coeficiente de correlacao negativo c Para cada cliente que entra no sexshop o dono espera lucrar 1234 reais d Se nao aparecerem clientes na loja o sexshop ainda assim obtera lucro e Todas as alternativas estao erradas 15 A regressao linear e a correlacao linear estao relacionadas mas sao diferentes porque a quando se faz uma regressao nao e possıvel determinar que a linha passe sobre um determinado ponto principalmente pela origem so na correlacao b a regressao linear encontra a reta que melhor prevˆe y em funcao de x ao passo que a correlacao quantifica quao bem x e y variam linearmente em conjunto c a regressao linear analisa a interacao de inumeras variaveis e a correlacao a reta que representa a relacao entre essas variaveis d na representacao grafica de uma regressao e importante sempre colocar no eixo das abscissas a variavel dependente e no eixo das ordenadas a variavel independente Na correlacao e exatamente o contrario e o coeficiente de correlacao e a regressao linear sao numeros puros usados para clas sificar a correlacao e a regressao em perfeita ou nao 4 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES EXERCÍCIO COMPUTACIONAL ESTATÍSTICA II Prof Guilherme Lopes de Oliveira DECOM CEFET MG Exercício Os dados representados no diagrama de dispersão ao lado se referem à porcentagem de amendoins nãocontaminados por certo fungo em um lote Percentagem e à quantidade média de uma substância química para evitar contaminação em cada 60 gramas de amendoins Concentracao A seguir encontrase parte da saída de um software com informações sobre o ajuste do modelo de regressão usando os dados representados ao lado 120 100 80 60 40 20 0 10 09 08 07 06 Concentracao Percentagem Draper Smith Applied Regression Analysis 3th Edition John Wiley and Sons a Você diria que existe evidência de correlação linear entre as variáveis Qual seria o sinal do coeficiente de correlação de Pearson caso fosse calculado neste problema b Complete as informações faltantes no quadro abaixo para responder aos próximos itens c Qual a estimativa para o coeficiente de correlação linear de Pearson A estimativa obtida corrobora sua análise feita no item a d Interprete as estimativas dos coeficientes de regressão e O intercepto do modelo de regressão pode ser considerado estatisticamente significante diferente de zero Use o nível de significância de 005 f O coeficiente de inclinação do modelo de regressão pode ser considerado estatisticamente diferente de zero Use o nível de significância de 005 g Interprete o coeficiente de determinação R² h Qual a estimativa da variância do termo de erro do modelo de regressão i Use o modelo para prever o percentual médio de amendoins nãocontaminados pelo fungo quando a concentração da substância química para evitar contaminação em cada 60 gramas de amendoins for igual a 90 Análise de Regressão Percentagem versus Concentracao Equação de Regressão Percentagem 100 000290Concentracao Coef EP Coef T P Constante 100210 001089 9204 0000 Concentracao 00029035 00002335 1243 0000 S R² ANOVA Fonte gl SQ QM F P Regressao 1 023915 023915 15463 0000 Residuo 32 Total 33 028864