Otimização de Captação de Água Subterrânea e Destinação de Resíduos Industriais - Estudo de Caso

2 Analise a situação e responda as questões a seguir Suponha que uma indústria deseja captar água subterrânea para seu consumo ao menor custo possível Dois locais A e B foram identificados para a construção da rede de adutoras Bombas e poços deverão ser construídos em cada um desses locais para a captação Cada local A e B tem uma capacidade limitada de fornecimento dada por RA 40m³h e RB 30m³h respectivamente Suponha que o custo unitário associado à captação em cada um desses locais seja respectivamente CA 15 Rm³h e CB 20 Rm³h e que a vazão demandada mínima é de 60 m³h a Elabore uma ilustraçãoesquema representando o problema 1 ponto b Formalize matematicamente o problema elaborando a função objetivo e as restrições para o problema 1 ponto c Encontre a solução ótima para o problema através do método gráfico utilizando o espaço quadriculado disponível Devem constar as representações das restrições e suas identificações da curva de custo da região factível do ponto ótimo e o respectivo custo 4 pontos d Verifique se haverá mudança do ponto ótimo para as seguintes situações a seguir Em caso positivo identifique o novo ponto ótimo e o respectivo custo i O custo de captação dos poços A e B fossem respectivamente 20 e 15 Rm³h 1 ponto ii O custo de captação de ambos os poços fosse de 20 Rm³h 1 ponto e Outra alternativa para se calcular a solução ótima do problema seria o uso do multiplicador de Lagrange λ Então explique o significado de se obter λ de 15 e 20 Rm³h para as restrições referentes a capacidade de fornecimento dos poços A e B respectivamente 2 pontos Esta atividade é de entrega individual Uma determinada indústria fabrica um determinado produto o qual gera uma quantidade de resíduos durante o processo Assim o empreendedor deseja além de maximizar o seu lucro considerar alternativas ambientalmente melhores para a destinação de seus resíduos O lucro com a venda do produto rende R 45 miltonelada sendo que para cada tonelada de produto consomese 2 toneladas de matériaprima a qual possui disponibilidade de 40 toneladas Para cada tonelada de produto fabricada gerase 1 tonelada de resíduo e parte deles podem ser reaproveitados por meio da economia circular em que cada tonelada poderia ser vendida adicionado 500 reais por tonelada ao lucro inicial Porém nem todo o resíduo pode ser reaproveitado devido a capacidade de processamento pelo receptor o qual limita essa destinação a 5 toneladas de resíduo O restante do resíduo precisa ser encaminhado para um aterro sanitário a um custo de R 1 mil por tonelada subtraído do lucro inicial Responda os seguintes itens a Formalize matematicamente o problema determinando as variáveis de decisão a função objetivo e as restrições para o problema 20 b Encontre a solução ótima para o problema através do método gráfico Devem constar as representações das restrições e suas identificações da função objetivo da área factível do ponto ótimo e o respectivo lucro Caso a solução não seja exata podese aproximar a solução para o valor inteiro mais próximo 60 c Outra alternativa para se calcular a solução ótima do problema seria o uso do multiplicador de Lagrange λ Então explique o significado de se obter λ de 225 e 05 mil R para as restrições I referentes a limite de matériaprima II limite de resíduo encaminhado para reaproveitamento 20 Problema 1 a As variáveis de decisão serão x1 quantas toneladas do resíduo serão vendidas e x2 quantas toneladas de resíduo serão encaminhadas para o aterro sanitário Sabemos que a cada tonelada de produto fabricada gerase uma tonelada de resíduo portanto a quantidade de produto fabricada é igual a x1x2 Dessa forma o lucro é 𝐿𝑥1 𝑥2 4500𝑥1 𝑥2 500𝑥1 1000𝑥2 𝐿𝑥1 𝑥2 5000𝑥1 3500𝑥2 Esta será a função objetivo que se deseja maximizar A quantidade de matéria prima gasta é 2x1x2 e está limitada a 40 toneladas ou seja temos uma restrição de 2𝑥1 2𝑥2 40 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 Sendo que em parênteses está a cor da reta usada na representação gráfica a seguir E sabemos que também há limite na quantidade de resíduo que pode ser recuperada ou seja a segunda restrição é 𝑥1 5 𝑎𝑧𝑢𝑙 Além disso devemos trabalhar com valores positivos portanto 𝑥1 0 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑥2 0 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 b Pelo método gráfico traçamos as restrições x1 sendo o eixo horizontal e x2 o vertical num plano e temos A área factível é o quadrilátero ABCD Para descobrir qual o ponto ótimo avaliamos o lucro em cada um desses pontos LA 50000 35000 0 LB 50005 35000 25000 LC 50005 350015 77500 LD 50000 350020 70000 Portanto o caso ótimo representa uma produção de 20 toneladas do produto gerando 20 toneladas de produto sendo 5 destas destinadas ao reaproveitamento e 15 encaminhadas ao aterro Nesta condição a indústria terá um lucro total de R 7750000 d Um multiplicador de 225 mil para a restrição relativa à quantidade de matéria prima significa que ao se aumentar em uma unidade o valor máximo disponível isto é de 40 para 41 toneladas o lucro ótimo aumentaria em 225 mil reais De forma análoga ao se aumentar em uma unidade o limite de resíduo encaminhado para processamento de 5 para 6 toneladas o lucro ótimo aumentaria em 500 reais Isto porque cada multiplicador de Lagrange representa a taxa de variação do lucro ótimo em relação à restrição imposta e como o problema é linear essas taxas não são apenas instantâneas ou seja a cada aumento unitário na disponibilidade de matéria prima e no limite de resíduo encaminhado para reaproveitamento haverá um aumento de 2250 e 500 reais respectivamente no lucro ótimo encontrado Problema 2 a b A função objetivo a ser usada é o custo total que deverá ser minimizado Dessa forma considerando xA e xB como os fornecimentos dos dois locais em m3h temos 𝐶𝑥𝐴 𝑥𝐵 15𝑥𝐴 20𝑥𝐵 Sabemos que a demanda mínima é 60 m3h então a primeira restrição é parênteses está a cor da reta usada na representação gráfica 𝑥𝐴 𝑥𝐵 60 𝑣𝑒𝑟𝑑𝑒 As capacidades máximas dos dois locais dão mais duas restrições 𝑥𝐴 40 𝑎𝑧𝑢𝑙 𝑥𝐵 30 𝑟𝑜𝑥𝑎 Além disso devemos trabalhar com valores positivos portanto A B xA xB 𝑥𝐴 0 𝑙𝑎𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 𝑥𝐵 0 𝑣𝑒𝑟𝑚𝑒𝑙ℎ𝑜 c O gráfico abaixo apresenta todas as restrições A área factível é o triângulo ABC e o custo em cada um desses pontos é 𝐶𝐴 1540 2020 𝑅1000 𝐶𝐵 1540 2030 𝑅1200 𝐶𝐶 1530 2030 𝑅1050 Portanto o custo mínimo ocorre no ponto A em que se capta 40 m3h do local A e 20 m3h do local B sendo o valor mínimo igual a R 100000 d i Neste caso a alteração seria apenas na função objetivo e não nas restrições então teríamos a mesma região factível do gráfico acima e 𝐶𝑥𝐴 𝑥𝐵 20𝑥𝐴 15𝑥𝐵 Dessa forma o custo mínimo seria 𝐶𝐴 2040 1520 𝑅1100 𝐶𝐵 2040 1530 𝑅1250 𝐶𝐶 2030 1530 𝑅1050 Nesta condição o ponto ótimo passaria a ser xA 30 e xB 30 com custo ótimo de R 105000 ii Novamente a mudança é apenas na função objetivo ou seja agora teríamos 𝐶𝑥𝐴 𝑥𝐵 20𝑥𝐴 20𝑥𝐵 20𝑥𝐴 𝑥𝐵 Dessa forma o custo mínimo seria 𝐶𝐴 2040 20 𝑅1200 𝐶𝐵 2040 30 𝑅1400 𝐶𝐶 2030 30 𝑅1200 Nesta condição o ponto ótimo poderia ser tanto xA 40 e xB 20 quanto xA 30 e xB 30 com custo ótimo de R 120000 em ambos os casos e Analogamente ao problema anterior podemos dizer que a cada unidade em m3h que se aumentar na capacidade de fornecimento dos poços A e B o custo ótimo encontrado aumentaria em 15 e 20 reais respectivamente Problema 1 a As variáveis de decisão serão x1 quantas toneladas do resíduo serão vendidas e x2 quantas toneladas de resíduo serão encaminhadas para o aterro sanitário Sabemos que a cada tonelada de produto fabricada gerase uma tonelada de resíduo portanto a quantidade de produto fabricada é igual a x1x2 Dessa forma o lucro é L x1 x24500 x1x2500 x11000 x2Lx1 x25000x13500 x2 Esta será a função objetivo que se deseja maximizar A quantidade de matéria prima gasta é 2x1x2 e está limitada a 40 toneladas ou seja temos uma restrição de 2 x12 x240 verde Sendo que em parênteses está a cor da reta usada na representação gráfica a seguir E sabemos que também há limite na quantidade de resíduo que pode ser recuperada ou seja a segunda restrição é x15 azul Além disso devemos trabalhar com valores positivos portanto x10 laranja x20 vermelho b Pelo método gráfico traçamos as restrições x1 sendo o eixo horizontal e x2 o vertical num plano e temos A área factível é o quadrilátero ABCD Para descobrir qual o ponto ótimo avaliamos o lucro em cada um desses pontos LA 50000 35000 0 LB 50005 35000 25000 LC 50005 350015 77500 LD 50000 350020 70000 Portanto o caso ótimo representa uma produção de 20 toneladas do produto gerando 20 toneladas de produto sendo 5 destas destinadas ao reaproveitamento e 15 encaminhadas ao aterro Nesta condição a indústria terá um lucro total de R 7750000 d Um multiplicador de 225 mil para a restrição relativa à quantidade de matéria prima significa que ao se aumentar em uma unidade o valor máximo disponível isto é de 40 para 41 toneladas o lucro ótimo aumentaria em 225 mil reais De forma análoga ao se aumentar em uma unidade o limite de resíduo encaminhado para processamento de 5 para 6 toneladas o lucro ótimo aumentaria em 500 reais Isto porque cada multiplicador de Lagrange representa a taxa de variação do lucro ótimo em relação à restrição imposta e como o problema é linear essas taxas não são apenas instantâneas ou seja a cada aumento unitário na disponibilidade de matéria prima e no limite de resíduo encaminhado para reaproveitamento haverá um aumento de 2250 e 500 reais respectivamente no lucro ótimo encontrado A B xA xB Problema 2 a b A função objetivo a ser usada é o custo total que deverá ser minimizado Dessa forma considerando xA e xB como os fornecimentos dos dois locais em m3h temos C x A xB15 x A20 xB Sabemos que a demanda mínima é 60 m3h então a primeira restrição é parênteses está a cor da reta usada na representação gráfica x AxB60 verde As capacidades máximas dos dois locais dão mais duas restrições x A40 azul xB30 roxa Além disso devemos trabalhar com valores positivos portanto x A0 laranja xB0 vermelho c O gráfico abaixo apresenta todas as restrições A área factível é o triângulo ABC e o custo em cada um desses pontos é C A 15 40 20 20 R1000 C B15 4020 30R 1200 C C 15 3020 30R1050 Portanto o custo mínimo ocorre no ponto A em que se capta 40 m3h do local A e 20 m3h do local B sendo o valor mínimo igual a R 100000 d i Neste caso a alteração seria apenas na função objetivo e não nas restrições então teríamos a mesma região factível do gráfico acima e C x A xB20x A15x B Dessa forma o custo mínimo seria C A 20 40 1520 R 1100 C B20 4015 30R 1250 C C 20 30 15 30 R1050 Nesta condição o ponto ótimo passaria a ser xA 30 e xB 30 com custo ótimo de R 105000 ii Novamente a mudança é apenas na função objetivo ou seja agora teríamos C xA x B20 x A20 xB20 x AxB Dessa forma o custo mínimo seria C A 20 4020R 1200 C B 20 4030 R 1400 C C20 3030R 1200 Nesta condição o ponto ótimo poderia ser tanto xA 40 e xB 20 quanto xA 30 e xB 30 com custo ótimo de R 120000 em ambos os casos e Analogamente ao problema anterior podemos dizer que a cada unidade em m3h que se aumentar na capacidade de fornecimento dos poços A e B o custo ótimo encontrado aumentaria em 15 e 20 reais respectivamente