Tipos de Modelos de Simulação e Otimização em Sistemas Ambientais

CENTRO FEDERAL DE EDUCAÇÃO TECNOLÓGICA DE MINAS GERAIS COORDENAÇÃO DO CURSO DE ENGENHARIA AMBIENTAL E SANITÁRIA DEPARTAMENTO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA AMBIENTAL Aulas 5 Tipos de Modelos de Simulação e Otimização Análise de Sistemas Ambientais Prof Frederico Keizo Odan Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Puramente estatísticos Baseado exclusivamente em dados Orientado a processos Baseado no conhecimento dos processos fundamentais Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Puramente estatístico Minimizar Valorobservado Valormodelado² Reta ajustada Valor observado Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Puramente estatístico Entrada Modelo Estatístico Saída Reta ajustada Valor observado Minimizar Valorobservado Valormodelado² Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Modelos Híbridos Incorpora alguma relação de processos nos modelos de regressão Modelos baseados em processos e incorporação de dados Contém relação de processos mas necessitam calibração de parâmetros Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Classificação Quanto à aplicação Dimensão espacial Dimensão temporal Classificação Dimensão espacial Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação 2D 1D 𝑽 3D Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Simulação Classificação Dimensão Temporal Estático o Ambiente externo não muda Dinâmico o Mudança nas condições externas Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Otimização Tipos de Modelos Irrestrito ou condicionado Determinístico ou probabilístico Estático ou dinâmico Lineares ou nãolineares Variáveis contínuas ou discretas Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Problemas de otimização geralmente possuem restrições Ex função CobbDouglas P produção K capital investido em máquinas L capital investido em trabalho A constante tecnológica α 01 determina tipo de produção Restrição K L C capital total Como poderíamos determinar o máximo dessa função Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Seja um problema mais simples Ponto máximo da função fxy 4 x² y² para xy1 Sem restrição fx 2x fy 2y o fx 0 x 0 fy 0 y 0 o Mas 00 1 não satisfaz restrição fxy 4 x² y² Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Seja um problema mais simples Ponto máximo da função fxy 4 x² y² para xy1 Sem restrição fx 2x fy 2y o fx 0 x 0 fy 0 y 0 o Mas 00 1 não satisfaz restrição o Para impor a restrição basta inserir restrição na função x y 1 y 1x o Substituindo em fx fxy 4 x² y² 4 x² 12xx² fx 3 2x 2x² fx 3 2x 2x² Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Assim fx 3 2x 2x² fx 0 2 4x 0 x ½ Substituindo na restrição y 1 x y 12 Portanto x y 12 12 ponto ótimo f12 12 72 ponto máximo da função Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Alternativa utilizar multiplicadores de Lagrange L f λ φ f função λ multiplicador φ restrição L fxy λx y 1 4 x² y² λx y 1 o Lx 0 2x λ 0 λ 2x o Ly 0 2y λ 0 λ 2y o Lλ 0 x y 1 0 x y 1 Lx Ly λ 2x 2y xy Subst em xy 1 y y 1 y12 x λ 2x λ 1 Mas para que serve λ Por que calculálo Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Significado de λ Do exemplo anterior L f λ φ o f 4 x² y² função oφ xy1 restrição Considerandose φ como uma variável 𝛿𝐿 𝛿𝐿 o 𝐿𝜑 𝛿𝜑 λ 𝛿𝜑 lim 𝜑0 𝐿 𝜑 Para valores pequenos de 𝜑 temos 𝛿𝐿 𝐿 𝛿𝜑 𝜑 Portanto λ 𝐿 𝑠𝑒 𝜑1 λ 𝐿 𝜑 Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Significado de λ Para exemplo anterior L f λ φ o f 4 x² y² função oφ xy1 restrição Temos que λ 1 Veja que para a restrição x y 1 fmax 35 x y ½ Aumentando o limite da restrição em 1 unidade x y 2 ao realizar a otimização fmax esperado seria de 25 ou seja haveria redução esperada da solução ótima em aproximadamente 1 unidade que é o valor de λ Mas e daí Qual o significado de λ Análise de Sistemas Ambientais Otimização Condicionada Significado de λ Voltemos a função CobbDouglas 𝑃 10𝐾06𝐿04 𝑐𝑜𝑚 𝐾 𝐿 10000 𝐿 10𝐾06𝐿04 λ10000 K L o Em que φ 10000 K L Assim 𝐿 10𝐾06𝐿04 λφ Como 𝛿𝐿 𝐿 𝛿𝜑 𝜑 λ ou seja λ Resolvendose a Lagrangeana λ 6 2 3 04 5102 Portanto 𝐿 𝜑 5102 𝑠𝑒 𝜑1 𝐿 5102 O que significa uma variação de uma unidade na restrição φ1 10000 K L1 10001 K L Análise de Sistemas Ambientais Modelos de Otimização Formulação de um problema de otimização max ou min fx sujeito a g1x b1 g2x b2 g3x b3 em que x é o conjunto de variáveis reais x x1 x2 x3 xn Formulação de problemas de otimização Análise de Sistemas Ambientais 1 Produção de tintas Uma empresa produz tintas para interiores e exteriores com base em 2 matériasprimas M1 e M2 Uma pesquisa de mercado indica que a demanda diária de tintas para interiores não ultrapassa a de tintas para exteriores por mais de 1 t A demanda máxima diária de tinta para interiores é de 2 t Maximize o lucro da empresa Matériaprima Tonelada de matériaprima por tonelada de Disponibilidade de matériaprima Tinta para exterior Tinta para interior M1 6 4 24 M2 1 2 6 Lucro por tonelada 1000 5 4 Análise de Sistemas Ambientais 1 Produção de tintas Formulação de outras restrições a E se a demanda de tinta para interiores ultrapassa a de tinta para exteriores em 1t b E se a utilização de matériaprima M2 for de no máximo 6 e de no mínimo 3 c E se a demanda de tinta para interiores não pode ser menor do que a demanda de tintas para exteriores d E se a quantidade mínima total que deve ser produzida de ambas as tintas é de 3t Análise de Sistemas Ambientais 2 Reciclagem de alumínio Em uma recicladora utilizase dois tipos de sucata de alumínio A e B para produzir uma determinada liga A sucata A contém 6 de alumínio 3 de silício e 4 de carbono A sucata B possui 3 de alumínio 6 de silício e 3 de carbono Custos por tonelada de A e B são 100 e 80 respectivamente O teor de alumínio deve ser de no mínimo 3 e de no máximo 6 O teor de silício deve ficar entre 3 e 5 O teor de carbono deve ficar entre 3 e 7 Qual a mistura ótima de modo a produzir 1000 toneladas da liga com mínimo custo Análise de Sistemas Ambientais 2 Reciclagem de alumínio Variáveis A razão de sucata A 0100 B razão de sucata B 0100 FO minimização do custo C Mín C 100A 80B Restrições I Teor mínimo de alumínio 006A 003B 003 II Teor máximo de alumínio 006A 003B 003 III Teor mínimo de silício 003A 006B 003 IV Teor máximo de silício 003A 006B 005 V Teor mínimo de carbono 004A 003B 003 VI Teor máximo de carbono 004A 003B 007 VII Proporção de sucata em 1 100 A B 1 Não negatividade VIII A 0 IX B 0 Análise de Sistemas Ambientais 2 Reciclagem de alumínio 0 05 1 15 2 25 0 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 A B I II III IV V VI VII FO Área factível Solução ótima Cótimo 033067 866667 em 1 t Portanto para 1000 t o custo será de 8667 1000 866667 Análise de Sistemas Ambientais