Lista de Exercícios Resolvidos - Estatística Aplicada à Engenharia Civil com RStudio

ESTATÍSTICA APLICADA 12023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Para a solução dos exercícios utilize o RStudio 1 Um experimento resultou em 10 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 75 e 80 MPa CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPA 582 766 73 646 719 962 79 754 725 809 2 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 90 MPa 3 Um experimento resultou em 6 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 95 e 105 MPa CP 1 2 3 4 5 6 MPA 1066 1015 977 996 1021 1006 4 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 110 MPa Uma concreteira testou um novo aditivo com o objetivo de melhorar a resistência à compressão do concreto fornecido Segundo informações do fabricante o uso do aditivo aumenta a resistência à compressão em 10 A resistência à compressão média do concreto referência fornecido é de 51 MPa Os dados do experimento são fornecidos abaixo Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPa 541 626 639 579 628 543 576 559 578 596 5 Calcule a média e o desvio padrão da amostra Com base nesses valores é possível determinar com 95 de confiabilidade se as informações do fabricante são corretas 6 Calcule o intervalo de confiança da amostra com 95 de confiabilidade A partir destas informações é possível determinar a veracidade das afirmações do fabricante com os mesmos 95 de confiabilidade 7 Supondo a normalidade dos dados da amostra e a inexistência de outliers qual a probabilidade de a média aumentar em 10 µ 561 MPa e de a média ser superior a 10 µ 561 MPa respectivamente com 95 de confiabilidade Um novo experimento foi realizado para comparar os resultados de dois aditivos Os resultados são apresentados a seguir CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADT A 619 707 748 716 771 701 755 735 717 709 ADT B 743 758 679 821 785 689 717 742 817 729 8 Analise os dados acima quanto à existência de outliers e quanto à normalidade 9 A diferença entre as médias aritméticas das amostras é igual a 19 MPa Essa diferença possui confirmação estatística 10 É possível afirmar que estatisticamente os aditivos A e B não possuem diferença em seu efeito Um regime para redução de peso foi avaliado em 35 homens com biótipo similar sendo que seus pesos antes e após dois meses de uso do regime foram registrados e são apresentados na tabela a seguir n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ANTES 793 737 875 813 836 717 678 886 969 787 685 804 DEPOIS 777 614 825 719 721 690 640 784 873 764 634 700 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ANTES 770 629 801 685 747 792 810 710 638 643 765 582 DEPOIS 741 588 722 623 685 701 779 606 559 624 665 576 n 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ANTES 890 710 817 866 922 699 714 725 716 785 894 832 DEPOIS 788 634 742 734 768 678 700 614 628 671 751 724 n 37 38 39 40 ANTES 819 703 690 997 DEPOIS 744 696 676 859 11 Quais métodos estatísticos aprendidos até o momento permitem avaliar se o regime de redução de peso possui resultados estatisticamente comprovados 12 Considerando o 95 como nível de confiabilidade é possível afirmar que o regime proposto é efetivo 13 Agora considerando o 9999 como nível de confiabilidade o que podemos dizer em relação ao pvalor obtido 14 É possível afirmar com 99 de confiabilidade que o regime proposto proporciona uma perda de peso média proporcional de no mínimo 707 da massa corporal média anterior ao regime ESTATÍSTICA APLICADA22023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL PARTE 1 TEORIA 01 Cite duas vantagens práticas exemplos do uso da Estatística na análise de experimentos que podem conduzir a maior relevância do trabalho científico 02 Qual é o conceito e a diferença entre modelos determinísticos e modelos estatísticos 03 Em um experimento envolvendo concreto de ultra alta resistência ou qualquer outro produto usado na construção civil cite pelo menos 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de entrada e 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de saída resposta PARTE 2 PRÁTICA Para solução dos exercícios de 1 a 3 use a curva de distribuição de probabilidades normal apresentada a seguir as respostas devem ser dadas a partir da análise gráfica da curva Um experimento para produção de concreto de alta resistência produziu corpos de prova com resistência média de 140 MPa e desvio padrão de 10 Mpa Para esse experimento perguntase 1 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 100 MPa 2 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 120 MPa 3 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 150 MPa Para a solução dos exercícios de 4 a 6 utilize a fórmula de cálculo de Z e a tabela de distribuição normal padrão Z planilha excel Tabela Distribuição Normal Z e t Studentxls 4 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 105 MPa 5 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 1477 MPa 6 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência entre 135 e 145MPa ESTATÍSTICA APLICADA22023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL PARTE 1 TEORIA 01 Cite duas vantagens práticas exemplos do uso da Estatística na análise de experimentos que podem conduzir a maior relevância do trabalho científico A utilização de estatística na análise de experimento possui diversas vantagens que podem levar a maior relevância de trabalhos científicos como por exemplo Quantificar incertezas permite o cálculo de intervalos de confiança dando mais confiabilidade aos resultados ex calcular a resistência de vigas de concreto armado encontrando um intervalo de confiança e permitindo calcular fatores de segurança Comparação de populações permite verificar se há diferença significativa entre algum parâmetro de duas populações ex verificar se há diferença entre a resistência média de dois tipos de concreto o que poderia gerar economia 02 Qual é o conceito e a diferença entre modelos determinísticos e modelos estatísticos Os modelos determinísticos são baseados em relações fixas e produzem resultados específicos para determinadas entradas Dessa forma quando conhecemos as entradas podemos determinar as saídas Não há componentes de incerteza Por outro lado os modelos estatísticos incorporaram incertezas não produzem uma única solução Esses modelos consideram variações e incertezas probabilidades fornecendo diferentes possíveis saídas A principal diferença é a previsibilidade enquanto em modelos determinísticos conseguimos prever a saída exata nos estatísticos isso não é possível pois há a incorporação de aleatoriedade 03 Em um experimento envolvendo concreto de ultra alta resistência ou qualquer outro produto usado na construção civil cite pelo menos 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de entrada e 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de saída resposta Variáveis de entrada Tempo de cura quantidade de cimento quantidade de água e quantidade de agregados Variáveis de saída Resistência à compressão retração permeabilidade e densidade PARTE 2 PRÁTICA Para solução dos exercícios de 1 a 3 use a curva de distribuição de probabilidades normal apresentada a seguir as respostas devem ser dadas a partir da análise gráfica da curva Um experimento para produção de concreto de alta resistência produziu corpos de prova com resistência média de 140 MPa e desvio padrão de 10 Mpa Para esse experimento perguntase Antes de responder podemos preencher o gráfico com os valores do problema 1 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 100 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 100 MPa é dada por 99994 0003 99997 2 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 120 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 120 MPa dada por 100 95442 228 3 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 150 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 150 MPa é dada por 100 68262 1587 Para a solução dos exercícios de 4 a 6 utilize a fórmula de cálculo de Z e a tabela de distribuição normal padrão Z planilha excel Tabela Distribuição Normal Z e t Studentxls 4 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 105 MPa PX 105 P Z 105 140 10 PZ 350 000023 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 105 MPa é aprox 0023 5 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 1477 MPa PX 1477 P Z 1477 140 10 PZ 077 1 PZ 077 1 077935 022065 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 1477 MPa é aprox 22065 6 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência entre 135 e 145MPa P135 X 145 P 135 140 10 Z 145 140 10 PZ 050 PZ 050 069146 030854 038292 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência entre 135 e 145MPa é aprox 38292 ESTATÍSTICA APLICADA 12023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Para a solução dos exercícios utilize o RStudio 1 Um experimento resultou em 10 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 75 e 80 MPa CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPA 582 766 73 646 719 962 79 754 725 809 resistencia c582 766 730 646 719 962 790 754 725 809 sumresistencia 75 resistencia 80 lengthresistencia 1 03 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 75 e 80 MPa é de 30 2 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 90 MPa sumresistencia 90 lengthresistencia 1 01 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 90 MPa é de 10 3 Um experimento resultou em 6 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 95 e 105 MPa CP 1 2 3 4 5 6 MPA 1066 1015 977 996 1021 1006 resistencia c1066 1015 977 996 1021 1006 sumresistencia 95 resistencia 105 lengthresistencia 1 08333333 A probabilidade de obter corpos de prova com resistência à compressão entre 95 e 105 MPa é de 8333 4 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 110 MPa sumresistencia 110 lengthresistencia 1 0 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 110 MPa é 0 Uma concreteira testou um novo aditivo com o objetivo de melhorar a resistência à compressão do concreto fornecido Segundo informações do fabricante o uso do aditivo aumenta a resistência à compressão em 10 A resistência à compressão média do concreto referência fornecido é de 51 MPa Os dados do experimento são fornecidos abaixo Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPa 541 626 639 579 628 543 576 559 578 596 5 Calcule a média e o desvio padrão da amostra Com base nesses valores é possível determinar com 95 de confiabilidade se as informações do fabricante são corretas resistencia c541 626 639 579 628 543 576 559 578 596 media meanresistencia 1 5865 dp sdresistencia 1 3509748 A resistência média de 5865 MPa enquanto o desvio padrão é de 351 MPa Por meio da média e desvio padrão amostrais podemos determinar com 95 de confiança se as informações do fabricante estão corretas Porém não é possível apenas observando os valores é preciso que eles sejam utilizados para construir um IC ou realizar um teste de hipóteses confirmada a suposição de normalidade dos dados 6 Calcule o intervalo de confiança da amostra com 95 de confiabilidade A partir destas informações é possível determinar a veracidade das afirmações do fabricante com os mesmos 95 de confiabilidade media c11qt0975 9dpsqrt10 1 5613928 6116072 ou ttestresistencia conflevel 095confint 1 5613928 6116072 Como não conhecemos o desvio padrão populacional e a amostra é pequena utilizamos a distribuição t Student para calcular o IC Assim temos ICμ 95 5614 MPa 6116 MPa Segundo informações do fabricante o uso do aditivo aumenta a resistência à compressão em 10 então a resistência média à compressão deve ser superior a 5610 MPa caso as informações sejam verdadeiras Como o IC encontrado é superior a 5610 MPa em toda sua extensão concluímos com 95 de confiança que não há evidências de que as informações do fabricante não sejam verdadeiras ou seja não há evidências de que o aditivo não aumente à resistência média à compressão em 10 7 Supondo a normalidade dos dados da amostra e a inexistência de outliers qual a probabilidade de a média aumentar em 10 µ 561 MPa e de a média ser superior a 10 µ 561 MPa respectivamente com 95 de confiabilidade Com 95 de confiabilidade ttestresistencia mu 561 conflevel 095confint 1 5613928 6116072 ttestresistencia mu 561 alternative greater conflevel 095confint 1 5661546 Inf Um novo experimento foi realizado para comparar os resultados de dois aditivos Os resultados são apresentados a seguir CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADT A 619 707 748 716 771 701 755 735 717 709 ADT B 743 758 679 821 785 689 717 742 817 729 8 Analise os dados acima quanto à existência de outliers e quanto à normalidade aditivoA c619 707 748 716 771 701 755 735 717 709 aditivoB c743 758 679 821 785 689 717 742 817 729 boxplotaditivoA aditivoB namescADT A ADT B Os gráficos boxplots indicam a existência de um outlier para ADT A já para ADT B não há outliers Sejam as hipóteses H0 os dados seguem distribuição normal H1 os dados não seguem distribuição normal Temos shapirotestaditivoA ShapiroWilk normality test data aditivoA W 087379 pvalue 01106 shapirotestaditivoB ShapiroWilk normality test data aditivoB W 094853 pvalue 06512 Em ambos os casos valorp 005 logo se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Tanto ADT A quanto ADT B possuem distribuição normal dos dados 9 A diferença entre as médias aritméticas das amostras é igual a 19 MPa Essa diferença possui confirmação estatística Supondo variâncias homogêneas temos ttestaditivoB aditivoA varequal T Two Sample ttest data aditivoB and aditivoA t 14925 df 18 pvalue 01529 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 1231021 7271021 sample estimates mean of x mean of y 7480 7178 Assim temos que ICμB μA 95 123 MPa 727 MPa Como o IC compreende 19 MPa não se pode afirmar que a diferença difira de 19 MPa A diferença entre as médias aritméticas das amostras é 302 MPa 7480 7178 não 19 MPa como afirmado 10 É possível afirmar que estatisticamente os aditivos A e B não possuem diferença em seu efeito O que é possível afirmar é que não há evidências de que os aditivos A e B não possuam diferença em seu efeito isto é não há evidências de que a diferença média não seja nula zero Isto porque o IC calculado inclui o zero não podendo portanto ser rejeitada a hipótese de que não há diferença em seu efeito Um regime para redução de peso foi avaliado em 35 homens com biótipo similar sendo que seus pesos antes e após dois meses de uso do regime foram registrados e são apresentados na tabela a seguir n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ANTES 793 737 875 813 836 717 678 886 969 787 685 804 DEPOIS 777 614 825 719 721 690 640 784 873 764 634 700 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ANTES 770 629 801 685 747 792 810 710 638 643 765 582 DEPOIS 741 588 722 623 685 701 779 606 559 624 665 576 n 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ANTES 890 710 817 866 922 699 714 725 716 785 894 832 DEPOIS 788 634 742 734 768 678 700 614 628 671 751 724 n 37 38 39 40 ANTES 819 703 690 997 DEPOIS 744 696 676 859 11 Quais métodos estatísticos aprendidos até o momento permitem avaliar se o regime de redução de peso possui resultados estatisticamente comprovados Podemos ter uma ideia da existência de resultados por meio de gráficos como boxplot Porém para que se comprove estatisticamente os resultados é necessário que se realiza um teste de hipóteses Neste caso o teste ideal seria o tStudent pareado uma vez que se trata da mesma amostra em momentos diferentes ou seja as amostras não são independentes 12 Considerando o 95 como nível de confiabilidade é possível afirmar que o regime proposto é efetivo Sejam as hipóteses H0 μdpois μantes o regime não surtiu efeito H1 μdpois μantes o regime surtiu efeito antes c793 737 875 813 836 717 678 886 969 787 685 804 770 629 801 685 747 792 810 710 638 643 765 582 890 710 817 866 922 699 714 725 716 785 894 832 819 703 690 997 depois c777 614 825 719 721 690 640 784 873 764 634 700 741 588 722 623 685 701 779 606 559 624 665 576 788 634 742 734 768 678 700 614 628 671 751 724 744 696 676 859 ttestdepois antes alternative less pairedTRUE Paired ttest data depois and antes t 10859 df 39 pvalue 118e13 alternative hypothesis true mean difference is less than 0 95 percent confidence interval Inf 6154614 sample estimates mean difference 7285 Como valorp 0 005 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que o peso médio depois do regime é menor do que antes ou seja há evidências de que o regime é efetivo 13 Agora considerando o 9999 como nível de confiabilidade o que podemos dizer em relação ao pvalor obtido Ainda que se considere 9999 de confiabilidade o que resultaria em nível de significância de 00001 a hipótese nula seria rejeitada pois valorp 0 00001 O efeito do regime é altamente significativo 14 É possível afirmar com 99 de confiabilidade que o regime proposto proporciona uma perda de peso média proporcional de no mínimo 707 da massa corporal média anterior ao regime Sejam as hipóteses H0 μdif percentual 707 não proporciona perda peso superior a 707 H1 μdif percentual 707 proporcionada perda de peso superior a 707 difpercentual depois antes100 antes ttestdifpercentual mu 707 alternativeless conflevel099 One Sample ttest data difpercentual t 26685 df 39 pvalue 0005521 alternative hypothesis true mean is less than 707 99 percent confidence interval Inf 7259413 sample estimates mean of x 915285 Como valorp 00055 001 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 1 Com confiabilidade de 99 há evidências de que a perda de peso percentual média é superior a 707 ESTATÍSTICA APLICADA 12023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Para a solução dos exercícios utilize o RStudio 1 Um experimento resultou em 10 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 75 e 80 MPa CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPA 582 766 73 646 719 962 79 754 725 809 resistencia c582 766 730 646 719 962 790 754 725 809 sumresistencia 75 resistencia 80 lengthresistencia 1 03 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 75 e 80 MPa é de 30 2 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 90 MPa sumresistencia 90 lengthresistencia 1 01 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 90 MPa é de 10 3 Um experimento resultou em 6 corpos de prova cuja resistência à compressão é apresentada na tabela abaixo Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão entre 95 e 105 MPa CP 1 2 3 4 5 6 MPA 1066 1015 977 996 1021 1006 resistencia c1066 1015 977 996 1021 1006 sumresistencia 95 resistencia 105 lengthresistencia 1 08333333 A probabilidade de obter corpos de prova com resistência à compressão entre 95 e 105 MPa é de 8333 4 Para o mesmo experimento qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 110 MPa sumresistencia 110 lengthresistencia 1 0 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência à compressão superior a 110 MPa é 0 Uma concreteira testou um novo aditivo com o objetivo de melhorar a resistência à compressão do concreto fornecido Segundo informações do fabricante o uso do aditivo aumenta a resistência à compressão em 10 A resistência à compressão média do concreto referência fornecido é de 51 MPa Os dados do experimento são fornecidos abaixo Elemento 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 MPa 541 626 639 579 628 543 576 559 578 596 5 Calcule a média e o desvio padrão da amostra Com base nesses valores é possível determinar com 95 de confiabilidade se as informações do fabricante são corretas resistencia c541 626 639 579 628 543 576 559 578 596 media meanresistencia 1 5865 dp sdresistencia 1 3509748 A resistência média de 5865 MPa enquanto o desvio padrão é de 351 MPa Por meio da média e desvio padrão amostrais podemos determinar com 95 de confiança se as informações do fabricante estão corretas Porém não é possível apenas observando os valores é preciso que eles sejam utilizados para construir um IC ou realizar um teste de hipóteses confirmada a suposição de normalidade dos dados 6 Calcule o intervalo de confiança da amostra com 95 de confiabilidade A partir destas informações é possível determinar a veracidade das afirmações do fabricante com os mesmos 95 de confiabilidade media c11qt0975 9dpsqrt10 1 5613928 6116072 ou ttestresistencia conflevel 095confint 1 5613928 6116072 Como não conhecemos o desvio padrão populacional e a amostra é pequena utilizamos a distribuição t Student para calcular o IC Assim temos ICμ955614 MPa6116 MPa Segundo informações do fabricante o uso do aditivo aumenta a resistência à compressão em 10 então a resistência média à compressão deve ser superior a 5610 MPa caso as informações sejam verdadeiras Como o IC encontrado é superior a 5610 MPa em toda sua extensão concluímos com 95 de confiança que não há evidências de que as informações do fabricante não sejam verdadeiras ou seja não há evidências de que o aditivo não aumente à resistência média à compressão em 10 7 Supondo a normalidade dos dados da amostra e a inexistência de outliers qual a probabilidade de a média aumentar em 10 µ 561 MPa e de a média ser superior a 10 µ 561 MPa respectivamente com 95 de confiabilidade Com 95 de confiabilidade ttestresistencia mu 561 conflevel 095confint 1 5613928 6116072 ttestresistencia mu 561 alternative greater conflevel 095confint 1 5661546 Inf Um novo experimento foi realizado para comparar os resultados de dois aditivos Os resultados são apresentados a seguir CP 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ADT A 619 707 748 716 771 701 755 735 717 709 ADT B 743 758 679 821 785 689 717 742 817 729 8 Analise os dados acima quanto à existência de outliers e quanto à normalidade aditivoA c619 707 748 716 771 701 755 735 717 709 aditivoB c743 758 679 821 785 689 717 742 817 729 boxplotaditivoA aditivoB namescADT A ADT B Os gráficos boxplots indicam a existência de um outlier para ADT A já para ADT B não há outliers Sejam as hipóteses H 0os dadosseguemdistribuição normal H 1 osdados nãoseguemdistribuição normal Temos shapirotestaditivoA ShapiroWilk normality test data aditivoA W 087379 pvalue 01106 shapirotestaditivoB ShapiroWilk normality test data aditivoB W 094853 pvalue 06512 Em ambos os casos valorp 005 logo se rejeita H0 ao nível de significância de 5 Tanto ADT A quanto ADT B possuem distribuição normal dos dados 9 A diferença entre as médias aritméticas das amostras é igual a 19 MPa Essa diferença possui confirmação estatística Supondo variâncias homogêneas temos ttestaditivoB aditivoA varequal T Two Sample ttest data aditivoB and aditivoA t 14925 df 18 pvalue 01529 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 1231021 7271021 sample estimates mean of x mean of y 7480 7178 Assim temos que ICμBμA95123MPa7 27 MPa Como o IC compreende 19 MPa não se pode afirmar que a diferença difira de 19 MPa A diferença entre as médias aritméticas das amostras é 302 MPa 7480 7178 não 19 MPa como afirmado 10 É possível afirmar que estatisticamente os aditivos A e B não possuem diferença em seu efeito O que é possível afirmar é que não há evidências de que os aditivos A e B não possuam diferença em seu efeito isto é não há evidências de que a diferença média não seja nula zero Isto porque o IC calculado inclui o zero não podendo portanto ser rejeitada a hipótese de que não há diferença em seu efeito Um regime para redução de peso foi avaliado em 35 homens com biótipo similar sendo que seus pesos antes e após dois meses de uso do regime foram registrados e são apresentados na tabela a seguir n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ANTES 793 737 875 813 836 717 678 886 969 787 685 804 DEPOIS 777 614 825 719 721 690 640 784 873 764 634 700 n 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ANTES 770 629 801 685 747 792 810 710 638 643 765 582 DEPOIS 741 588 722 623 685 701 779 606 559 624 665 576 n 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 ANTES 890 710 817 866 922 699 714 725 716 785 894 832 DEPOIS 788 634 742 734 768 678 700 614 628 671 751 724 n 37 38 39 40 ANTES 819 703 690 997 DEPOIS 744 696 676 859 11 Quais métodos estatísticos aprendidos até o momento permitem avaliar se o regime de redução de peso possui resultados estatisticamente comprovados Podemos ter uma ideia da existência de resultados por meio de gráficos como boxplot Porém para que se comprove estatisticamente os resultados é necessário que se realiza um teste de hipóteses Neste caso o teste ideal seria o tStudent pareado uma vez que se trata da mesma amostra em momentos diferentes ou seja as amostras não são independentes 12 Considerando o 95 como nível de confiabilidade é possível afirmar que o regime proposto é efetivo Sejam as hipóteses H 0 μdpoisμanteso regimenãosurtiu efeito H 1 μdpoisμantesoregimesurtiu efeito antes c793 737 875 813 836 717 678 886 969 787 685 804 770 629 801 685 747 792 810 710 638 643 765 582 890 710 817 866 922 699 714 725 716 785 894 832 819 703 690 997 depois c777 614 825 719 721 690 640 784 873 764 634 700 741 588 722 623 685 701 779 606 559 624 665 576 788 634 742 734 768 678 700 614 628 671 751 724 744 696 676 859 ttestdepois antes alternative less pairedTRUE Paired ttest data depois and antes t 10859 df 39 pvalue 118e13 alternative hypothesis true mean difference is less than 0 95 percent confidence interval Inf 6154614 sample estimates mean difference 7285 Como valorp 0 005 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que o peso médio depois do regime é menor do que antes ou seja há evidências de que o regime é efetivo 13 Agora considerando o 9999 como nível de confiabilidade o que podemos dizer em relação ao pvalor obtido Ainda que se considere 9999 de confiabilidade o que resultaria em nível de significância de 00001 a hipótese nula seria rejeitada pois valorp 0 00001 O efeito do regime é altamente significativo 14 É possível afirmar com 99 de confiabilidade que o regime proposto proporciona uma perda de peso média proporcional de no mínimo 707 da massa corporal média anterior ao regime Sejam as hipóteses H 0 μdif percentual707não proporciona perda peso superior a707 H 1 μdif percentual707 proporcionada perda de peso superior a 707 difpercentual depois antes100 antes ttestdifpercentual mu 707 alternativeless conflevel099 One Sample ttest data difpercentual t 26685 df 39 pvalue 0005521 alternative hypothesis true mean is less than 707 99 percent confidence interval Inf 7259413 sample estimates mean of x 915285 Como valorp 00055 001 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 1 Com confiabilidade de 99 há evidências de que a perda de peso percentual média é superior a 707 ESTATÍSTICA APLICADA22023 PROGRAMA DE PÓSGRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL PARTE 1 TEORIA 01 Cite duas vantagens práticas exemplos do uso da Estatística na análise de experimentos que podem conduzir a maior relevância do trabalho científico A utilização de estatística na análise de experimento possui diversas vantagens que podem levar a maior relevância de trabalhos científicos como por exemplo Quantificar incertezas permite o cálculo de intervalos de confiança dando mais confiabilidade aos resultados ex calcular a resistência de vigas de concreto armado encontrando um intervalo de confiança e permitindo calcular fatores de segurança Comparação de populações permite verificar se há diferença significativa entre algum parâmetro de duas populações ex verificar se há diferença entre a resistência média de dois tipos de concreto o que poderia gerar economia 02 Qual é o conceito e a diferença entre modelos determinísticos e modelos estatísticos Os modelos determinísticos são baseados em relações fixas e produzem resultados específicos para determinadas entradas Dessa forma quando conhecemos as entradas podemos determinar as saídas Não há componentes de incerteza Por outro lado os modelos estatísticos incorporaram incertezas não produzem uma única solução Esses modelos consideram variações e incertezas probabilidades fornecendo diferentes possíveis saídas A principal diferença é a previsibilidade enquanto em modelos determinísticos conseguimos prever a saída exata nos estatísticos isso não é possível pois há a incorporação de aleatoriedade 03 Em um experimento envolvendo concreto de ultra alta resistência ou qualquer outro produto usado na construção civil cite pelo menos 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de entrada e 4 elementos que podem ser tratados como variáveis de saída resposta Variáveis de entrada Tempo de cura quantidade de cimento quantidade de água e quantidade de agregados Variáveis de saída Resistência à compressão retração permeabilidade e densidade PARTE 2 PRÁTICA Para solução dos exercícios de 1 a 3 use a curva de distribuição de probabilidades normal apresentada a seguir as respostas devem ser dadas a partir da análise gráfica da curva Um experimento para produção de concreto de alta resistência produziu corpos de prova com resistência média de 140 MPa e desvio padrão de 10 Mpa Para esse experimento perguntase Antes de responder podemos preencher o gráfico com os valores do problema 1 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 100 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 100 MPa é dada por 99994 0003 99997 2 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 120 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 120 MPa dada por 100 95442 228 3 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 150 MPa Analisando graficamente a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 150 MPa é dada por 100 68262 1587 Para a solução dos exercícios de 4 a 6 utilize a fórmula de cálculo de Z e a tabela de distribuição normal padrão Z planilha excel Tabela Distribuição Normal Z e t Studentxls 4 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 105 MPa P X105PZ 105140 10 PZ350000023 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência inferior a 105 MPa é aprox 0023 5 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 1477 MPa P X1477PZ 1477140 10 PZ0771PZ0771077935022065 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência superior a 1477 MPa é aprox 22065 6 Qual a probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência entre 135 e 145MPa P 135X145 P 135140 10 Z145140 10 P Z050P Z050 069146030854038292 A probabilidade de obtermos corpos de prova com resistência entre 135 e 145MPa é aprox 38292