Prova de Estatística Aplicada - Análise de Dados e Testes de Hipóteses

ESTATÍSTICA APLICADA 12023 Primeira Avaliação PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Um experimento produziu as seguintes amostras Método 1 2 3 4 5 6 7 8 A 120394 5 130315 9 121219 6 120098 0 122898 0 112475 2 110684 5 131010 4 B 118616 7 117043 2 137462 3 149206 3 146922 5 131967 7 136690 8 120162 4 1 Analise valide outliers e normalidade os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 2 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância igual e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes 3 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância diferente e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes 4 Comente e justifique os resultados obtidos nos testes anteriores Considere os dados apresentados relativos a duas amostras C e D Método 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 7391 7137 7650 6511 7926 9264 7469 9276 7894 8011 D 6534 8511 7791 8917 7097 6569 5 Analise os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 6 Compare as amostras igualdade das médias 7 Qual a probabilidade das populações geradas pelos métodos C e D obtenham valores iguais ou superiores a 80 com nível de confiabilidade 95 8 Qual a probabilidade da população gerada pelos métodos C obtenha valores entre 73 e 78 com nível de confiabilidade 95 ESTATÍSTICA APLICADA 12023 Primeira Avaliação PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Um experimento produziu as seguintes amostras Método 1 2 3 4 5 6 7 8 A 1203945 1303159 1212196 1200980 1228980 1124752 1106845 1310104 B 1186167 1170432 1374623 1492063 1469225 1319677 1366908 1201624 1 Analise valide outliers e normalidade os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 Para analisar a presença de outliers podemos utilizar gráficos boxplot metodoA c12039451303159121219612009801228980112475211068451310104 metodoB c11861671170432137462314920631469225131967713669081201624 boxplotmetodoA metodoB names cMétodo A Método B Por meio dos boxplots podemos verificar que não há outliers nos dados em nenhum dos métodos Para a normalidade podemos verificar por meio do teste ShapiroWilk Sejam as hipóteses H0 os dados seguem distribuição normal H1 os dados não seguem distribuição normal shapirotestmetodoA ShapiroWilk normality test data metodoA W 092096 pvalue 04377 shapirotestmetodoB ShapiroWilk normality test data metodoB W 090344 pvalue 03102 Em ambos os casos valorp 005 portanto não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Os dados seguem distribuição normal para ambos os métodos 2 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância igual e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes Sejam as hipóteses H0 μA μB H1 μA μB Devemos realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias desconhecidas porém iguais ttestmetodoA metodoB varequal T Two Sample ttest data metodoA and metodoB t 21607 df 14 pvalue 004854 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 2216199694 008195306 sample estimates mean of x mean of y 121137 132259 Como valorp 00485 005 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que as médias dos métodos são diferentes ou seja o experimento produziu resultados 3 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância diferente e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes Sejam as hipóteses H0 μA μB H1 μA μB Devemos realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias desconhecidas e diferentes ttestmetodoA metodoB varequal F Welch Two Sample ttest data metodoA and metodoB t 21607 df 11198 pvalue 005321 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 224269001 01829501 sample estimates mean of x mean of y 121137 132259 Como valorp 00532 005 não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Não há evidências de que as médias dos métodos são diferentes ou seja o experimento não produziu resultados 4 Comente e justifique os resultados obtidos nos testes anteriores A diferença entre os testes é a suposição ou não da igualdade das variâncias O teste para as variâncias iguais quando de fato são iguais tem maior poder estatístico ou seja tem maior probabilidade de detectar uma diferença real quando ela é existente Considere os dados apresentados relativos a duas amostras C e D Método 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 7391 7137 7650 6511 7926 9264 7469 9276 7894 8011 D 6534 8511 7791 8917 7097 6569 5 Analise os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 metodoC c7391713776506511792692647469927678948011 metodoD c653485117791891770976569 boxplotmetodoC metodoD names cMétodo C Método D Os boxplots indicam que há um outliers para os dados do Método C já para o Método D não existe outliers shapirotestmetodoC ShapiroWilk normality test data metodoC W 091289 pvalue 03015 shapirotestmetodoD ShapiroWilk normality test data metodoD W 090606 pvalue 0411 Para a normalidade podemos verificar por meio do teste ShapiroWilk Sejam as hipóteses H0 os dados seguem distribuição normal H1 os dados não seguem distribuição normal Apesar de haver outlier em ambos os casos os dados seguem distribuição normal pois para ambos valorp 005 não rejeitando a hipótese nula ao nível de significância de 5 6 Compare as amostras igualdade das médias Primeiramente podemos verificar se as variâncias são homogêneas ou não Sejam as hipóteses 𝐻0𝜎²𝐶 𝜎²𝐷 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑖𝑠 𝐻1𝜎²𝐶 𝜎²𝐷 𝑣𝑎𝑟𝑖â𝑛𝑐𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 vartestmetodoC metodoD F test to compare two variances data metodoC and metodoD F 07444 num df 9 denom df 5 pvalue 06588 alternative hypothesis true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval 01114189 33381773 sample estimates ratio of variances 07443959 Como valorp 06588 005 não se rejeita a hipótese nula Ao nível de significância de 5 as variâncias podem ser consideradas homogêneas Agora podemos realizar o teste tStudent para diferença de médias com variâncias desconhecidas mas iguais Sejam as hipóteses H0 μC μD H1 μC μD ttestmetodoC metodoD varequal T Two Sample ttest data metodoC and metodoD t 059679 df 14 pvalue 05602 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 7342437 13003771 sample estimates mean of x mean of y 7852900 7569833 Como valorp 05602 005 não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Não há evidências de que as médias dos métodos C e D sejam significativamente diferentes 7 Qual a probabilidade das populações geradas pelos métodos C e D obtenham valores iguais ou superiores a 80 com nível de confiabilidade 95 Considerando a construção de um IC para elementos 80 temos Para o Método C 𝑝 310 030 𝑛 10 03 c11 196 sqrt03710 1 001596902 058403098 𝐼𝐶𝑝 95 00160 05840 𝑜𝑢 160 5840 Com 95 de confiança o IC de 160 a 5840 contém a verdadeira proporção de valores em C que são maiores ou iguais a 80 Para o Método D 𝑝 26 𝑛 6 26 c11 196 sqrt26466 1 004386884 071053551 Como se trata de proporção não pode haver valores negativos então 𝐼𝐶𝑝 95 00000 07105 𝑜𝑢 000 7105 Com 95 de confiança o IC de 000 a 7105 contém a verdadeira proporção de valores em D que são maiores ou iguais a 80 8 Qual a probabilidade da população gerada pelos métodos C obtenha valores entre 73 e 78 com nível de confiabilidade 95 Para o Método C 𝑝 310 030 𝑛 10 03 c11 196 sqrt03710 1 001596902 058403098 𝐼𝐶𝑝 95 00160 05840 𝑜𝑢 160 5840 Com 95 de confiança o IC de 160 a 5840 contém a verdadeira proporção de valores em C que estão entre 73 e 78 ESTATÍSTICA APLICADA 12023 Primeira Avaliação PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Um experimento produziu as seguintes amostras Método 1 2 3 4 5 6 7 8 A 120394 5 130315 9 121219 6 120098 0 122898 0 112475 2 110684 5 131010 4 B 118616 7 117043 2 137462 3 149206 3 146922 5 131967 7 136690 8 120162 4 1 Analise valide outliers e normalidade os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 Para analisar a presença de outliers podemos utilizar gráficos boxplot metodoA c12039451303159121219612009801228980112475211068451310104 metodoB c11861671170432137462314920631469225131967713669081201624 boxplotmetodoA metodoB names cMétodo A Método B Por meio dos boxplots podemos verificar que não há outliers nos dados em nenhum dos métodos Para a normalidade podemos verificar por meio do teste ShapiroWilk Sejam as hipóteses H0 os dados seguem distribuição normal H1 os dados não seguem distribuição normal shapirotestmetodoA ShapiroWilk normality test data metodoA W 092096 pvalue 04377 shapirotestmetodoB ShapiroWilk normality test data metodoB W 090344 pvalue 03102 Em ambos os casos valorp 005 portanto não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Os dados seguem distribuição normal para ambos os métodos 2 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância igual e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes Sejam as hipóteses H 0 μAμB H 1 μ AμB Devemos realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias desconhecidas porém iguais ttestmetodoA metodoB varequal T Two Sample ttest data metodoA and metodoB t 21607 df 14 pvalue 004854 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 2216199694 008195306 sample estimates mean of x mean of y 121137 132259 Como valorp 00485 005 rejeitase a hipótese nula ao nível de significância de 5 Há evidências de que as médias dos métodos são diferentes ou seja o experimento produziu resultados 3 Considerando que as populações das quais as amostras se originaram possuem variância diferente e desconhecida o experimento produziu resultados médias diferentes Sejam as hipóteses H 0 μAμB H 1 μ AμB Devemos realizar o teste tStudent para diferença de médias considerando variâncias desconhecidas e diferentes ttestmetodoA metodoB varequal F Welch Two Sample ttest data metodoA and metodoB t 21607 df 11198 pvalue 005321 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 224269001 01829501 sample estimates mean of x mean of y 121137 132259 Como valorp 00532 005 não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Não há evidências de que as médias dos métodos são diferentes ou seja o experimento não produziu resultados 4 Comente e justifique os resultados obtidos nos testes anteriores A diferença entre os testes é a suposição ou não da igualdade das variâncias O teste para as variâncias iguais quando de fato são iguais tem maior poder estatístico ou seja tem maior probabilidade de detectar uma diferença real quando ela é existente Considere os dados apresentados relativos a duas amostras C e D Método 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 7391 7137 7650 6511 7926 9264 7469 9276 7894 8011 D 6534 8511 7791 8917 7097 6569 5 Analise os dados apresentados e confira as hipóteses abaixo com α 005 metodoC c7391713776506511792692647469927678948011 metodoD c653485117791891770976569 boxplotmetodoC metodoD names cMétodo C Método D Os boxplots indicam que há um outliers para os dados do Método C já para o Método D não existe outliers shapirotestmetodoC ShapiroWilk normality test data metodoC W 091289 pvalue 03015 shapirotestmetodoD ShapiroWilk normality test data metodoD W 090606 pvalue 0411 Para a normalidade podemos verificar por meio do teste ShapiroWilk Sejam as hipóteses H0 os dados seguem distribuição normal H1 os dados não seguem distribuição normal Apesar de haver outlier em ambos os casos os dados seguem distribuição normal pois para ambos valorp 005 não rejeitando a hipótese nula ao nível de significância de 5 6 Compare as amostras igualdade das médias Primeiramente podemos verificar se as variâncias são homogêneas ou não Sejam as hipóteses H0σ ²Cσ ²Dvariânciasiguais H 1 σ ²C σ ²Dvariânciasdiferentes vartestmetodoC metodoD F test to compare two variances data metodoC and metodoD F 07444 num df 9 denom df 5 pvalue 06588 alternative hypothesis true ratio of variances is not equal to 1 95 percent confidence interval 01114189 33381773 sample estimates ratio of variances 07443959 Como valorp 06588 005 não se rejeita a hipótese nula Ao nível de significância de 5 as variâncias podem ser consideradas homogêneas Agora podemos realizar o teste tStudent para diferença de médias com variâncias desconhecidas mas iguais Sejam as hipóteses H 0 μCμD H 1 μC μD ttestmetodoC metodoD varequal T Two Sample ttest data metodoC and metodoD t 059679 df 14 pvalue 05602 alternative hypothesis true difference in means is not equal to 0 95 percent confidence interval 7342437 13003771 sample estimates mean of x mean of y 7852900 7569833 Como valorp 05602 005 não se rejeita a hipótese nula ao nível de significância de 5 Não há evidências de que as médias dos métodos C e D sejam significativamente diferentes 7 Qual a probabilidade das populações geradas pelos métodos C e D obtenham valores iguais ou superiores a 80 com nível de confiabilidade 95 Considerando a construção de um IC para elementos 80 temos Para o Método C p310030 n10 03 c11 196 sqrt03710 1 001596902 058403098 IC p950016005840ou1605840 Com 95 de confiança o IC de 160 a 5840 contém a verdadeira proporção de valores em C que são maiores ou iguais a 80 Para o Método D p26 n6 26 c11 196 sqrt26466 1 004386884 071053551 Como se trata de proporção não pode haver valores negativos então IC p950000007105ou0007105 Com 95 de confiança o IC de 000 a 7105 contém a verdadeira proporção de valores em D que são maiores ou iguais a 80 8 Qual a probabilidade da população gerada pelos métodos C obtenha valores entre 73 e 78 com nível de confiabilidade 95 Para o Método C p310030 n10 03 c11 196 sqrt03710 1 001596902 058403098 IC p950016005840ou1605840 Com 95 de confiança o IC de 160 a 5840 contém a verdadeira proporção de valores em C que estão entre 73 e 78