Parábolas, Elipses e Hipérboles: Definições e Exemplos

Parabola Elipse Hiperbole Referˆencias SEC OES CˆONICAS Prof Ricardo Saldanha de Morais Centro Federal de Educacao Tecnologica de Minas Gerais Departamento de Matematica httpwwwdmcefetmgbr II semestre de 2021 Parabola Elipse Hiperbole Referˆencias Sumario 1 Parabola 2 Elipse 3 Hiperbole 4 Referˆencias Intersecoes entre o cone circular e planos Parabola Elipse Hiperbole Cˆonicas degeneradas Parabola Elipse Hiperbole Referˆencias Parabola Definicao Parabola Uma parabola e o conjunto de todos os pontos no plano equidistantes de um ponto fixo F foco e de uma reta fixa d diretriz do plano F d O eixo de simetria da parabola e a reta que passa pelo foco F e e per pendicular a diretriz d O vertice da parabola e o ponto V do eixo equidis tante de F e de d Ilustracao no GeoGebra httpswwwgeogebra orgclassick5hawqhk Pardabola Equagao da parabola com vértice na origem do sistema 1 caso eixo da parabola coincide com o eixo y uy t uy t P ey 1 Va 1 s LF 0r a 1S yP 1 Ve Vv H 2 2 d yP Q Fp S p0 p0 r e O foco F tem coordenadas 0 p para algum p R p 0 el 1 caso eixo da parabola coincide com o eixo y cont e distF V distVd p e A equagaéo da diretriz é y p e Pzy esté na parabola se e somente se distP F distP d distP F distPQ em que Q a p vx 0 yp Vx 2 y p a yp ytp ex ty wpytpP f 2ytpP a 4py equacao da parabola 2 caso eixo da parabola coincide com o eixo uv uy 7 Qpy 4 xy 6 eixo fel 7 p0 F p0 aa eico x v x I I p0o pO0 e O foco F tem coordenadas p0 para algum p R p 0 e distF V distVd p e A equacao da diretriz 6 x p e Pelo mesmo raciocinio obtemos y 4px equacéo da parabola Elipse Hipérbole Referéncias Exemplo 1 Encontre o foco e a diretriz da parabola y 10x 0 e esboce o grafico Solugao Temos que y 102 02 y 102 vithor6 i A equacéo é da forma y 4pz Por isso representa uma parabola com vértice na origem e eixo coincidindo Spd com o eixo coordenado x Ademais 5 4p 10 p 5 Portanto o foco 5 5 é F p0 30 e a diretriz é et 14 8 5 5 T P9 9 Pardabola Seja O hk um ponto arbitrdrio no plano cartesiano xOy e Considere um sistema Oy tal que os eixos z e y tenham a mesma unidade de medida a mesma direcgao e o mesmo sentido dos eixos x e y y y vio e Um ponto P qualquer do plano tem coordenadas x y HR em relacgaéo ao sistema xOy ke tot oO z e coordenadas xy em 1 relagao ao sistema eiOy 1 1 1 te oO h x t I ath ah e Férmulas de translacao 7 ou ee 7 yytk yayk 1 a ace Pardabola Equagao da parabola com vértice fora da origem do sistema 1 caso eixo da parabola é paralelo eixo y y y Em relaco ao sistema Vy e V 00 FA a equacao da parabola é 12 ar x 4py d I i oFf 0 p e e a diretriz 6 y p e distFV distVd p Como z xhe y yk em relagao ao sistema rOy temos e V hk F hk a diretriz tem equacéo y kpe a equacao da pardbola é xh 4pyk 2 caso eixo da parabola é paralelo ao eixo x y y Em relacao ao sistema 2Vy e V 00 a equacao da parabola é F 12 pe y 4pz oe F p0e 5 a diretriz é x p e distFV distVd p Uma vez que x xzhe y yk em relacao ao sistema rOy temos e V hk F hpk a diretriz tem equagdo x hpe a equacao da parabola é yk 4pxh Determine o vértice o foco e a equagao da diretriz da parabola x 40 8y 12 0 Faca um esbogo do grafico Solugao E possivel reescrever a sf Y equacéo como x h j 4py k Com efeito i al x 4x 8y120 Pere d i y I 4 8y12 EE gee EES EEE 5 a 4r448y1244 ear Heaeo x2 8y8 ft 4 r2 8y1 ae 2 42 y 1 EE Logo o eixo da parabola é paralelo ao eixo y h 2 k 1ep 2 donde V 21 F hk p 23 a equacéo dedéykp1 ea concavidade esta voltada para baixo ja que p 0 Elipse Elipse Definigao Elipse Uma elipse é 0 conjunto de todos os pontos no plano cuja soma das distancias a dois pontos fixo focos é constante et e distPF distPF constante P Z e O centro da elipse é 0 ponto médio C do segmento F Fy e Quando F Fy obtémse uma circunferéncia P e Ilustragaéo no GeoGebra httpswwwgeogebraorg classicgvs6hxkn Toate Equagao da elipse com centro na origem do sistema uy e Se Fy c0 c 2 0 entao en Fy c 0 e distF F 2c distancia focal I Seja 2a distP F KX distP F2 soma constante e A desigualdade triangular implica 2a2cmac ent 1 caso focos no eixo x cont e P zy esta na elipse se e somente se distP F distP F 2a vaxe y0 Va y 0 2a Va 2ca y 2a Va 2cxteCy a a 07 y aa c Pe fe eS Sno oe a Seja b Va c A equacdo da elipse é ae oa Be 1 e Como PaC ea b c temos azb aazb Toate Interceptos x e y da elipse e Fazendo y 0 obtemos y a z levta a e Fazendo x 0 encontramos 7 Bi Be leyxob e B 0b e By 0d e A e Ag sao os vértices da elipse e O segmento A A 6 0 eixo maior e B By é 0 eixo menor e distAC a distBC b e distFC c i 1 2 1 5ace y 4 e Por raciocinio andlogo ao anterior CcLvVr obtemos a equacao BP 1em a cy queabOec va 0 I gq e F 0c Fy 0c By BB e Os vértices da elipse sao A 0 a e A 0a e B 6 0 By 0 0 e distAC a distBC be AL distFC c i 1 2 Toate Equagao da elipse com centro fora da origem do sistema 1 caso eixo maior da elipse é paralelo ao eixo x y t k e Chk e Usando translagao de eixos a wh yk em queab0e c va 0 e distAC a distBC be distFC c i 12 e F hck F hck A hak Ay hak B hkb e By hk 2 caso eixo maior da elipse é paralelo ao eixo y y Ag e Chk e Usando translagao de eixos a equacao da elipse fica nh Bi Ba 2 B w ny y By b a oO Er em queab0e ae A e distAC a distBC be distFC c i 12 eo F hkc Fo hk c Ay hka Ao hk a B hbk e By h5k Determine o centro C os vértices A e A e o focos da elipse 16 x y 642 4y 52 0 Solugao 16x27 y 642 4y 520 2 a I 16a7 4x y 4y 52 g 16 40 4 y 4y 4 4 521644 B Bats ka 16x 2 y2 16 ate 2 2 Ss a ea waa c 2 y2 a rtp Hans p ky Portanto a elipse tem equagao da forma ea yak 1coma a 4b 1 c Va b V15 h 2 k 2 e eixo maior paralelo roll eixo coordenado y Logo C 22 Ai 22 Ap 26 By 3 2 By 12 PF G2 v15 e Fy G2 v15 Hipérbole Hipérbole Definigaéo Hipérbole Uma hipérbole é 0 conjunto de todos os pontos no plano tais que a diferenga de suas distancias em valor absoluto a dois pontos fixos focos é constante y e distP F distP Fy constante e O centro da hipérbole é o A ponto médio C do segmento Fo Fy Fy P e Ilustragao no GeoGebra https wwwgeogebraorg classicenedhqke Hipérbole Equagao da hipérbole com centro na origem do sistema 4 e Se F c0 c 0 entao Fy c 0 e distF F cal distancia focal P xy Seja 2a distPF distP F diferencga constante Fy P x Pela desigualdade triangular distP F distF F2 distP Fy distPF distFF distP F e Entao distP F distP F distF Fy e distP F distP F distF F Logo 2a 2c a c e Pzy esté na hipérbole se e sé se distP F distP F 2a vxc y 0 Vx c y 0 2a S Vasey y Vc 4a x y So i a ca e Definindo b vc a a equacao da hipérbole fica ey ee Hipérbole Interceptos x e y e assintotas da hipérbole e Fazendo y 0 obtemos y r z levta a A a0 e Az a0 sdo os vértices 2 e Fazendo x 0 encontramos 2 Ar Ae e 1 que nao admite F FL a b solugao t e O segmento A Ay é 0 eixo real ou transverso e O segmento BB é o eixo imagindrio ou conjugado em que B 0b e By 0 6 1 a z Hae y 4 0 7 y distAC a distBC By be distFC ci1 2 NY aa e As retas y a2 sao F F x a VAN as assintotas da hipérbole By Constituem uma excelente guia para tracar o grafico oe a 4 Nace e Por raciocinio similar obtemos a equagao yew oy em que quag a2 b2 q 7 a0b0ec Va 02 wy Be e F 0c Fp 0c we AT 7 e Os vértices da hipérbole séo A KG 5 0 a e Ag 0a 1 eo B 6 0 By b 0 re e distAC a distBC be J distFC c i 1 2 a eo As retas y 7e sao as assintotas da hipérbole Equagao da hipérbole com centro fora da origem do sistema 1 caso eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo y 2 Ry C hk e Aplicandose a translagao h de eixos a equagao da hipérbole fica TAY whyPyk 7 a Po B em quea0b0e c va b e Podese tera bouba e distAC a distBC be distFC ci1 2 e F hck Fy hck Ay hak Ag h ak B hk6 e By hk b b e As retas y k 7x h sao as assintotas da hipérbole i 2 caso eixo real da hipérbole é paralelo ao eixo y y e Chk e Procedendo como no caso SJ Pp ZN anterior concluimos que a e equacao da hipérbole é Ay a rea po IR waa n ts a b i 5 Se a A 2 Ne em quea0b0e c Va 0 e Podese ter a bouba e distAC a distBC be distFC c71 2 e F hk c Fy hk e Ay hk a Ay hk a B hbk e By h5k e As retas yk 5x h sao as assintotas da hipérbole Determine o centro um esbogo do grafico 0 vértices e os focos da hipérbole de equagao 9a 4y 54x 8y 4113 0 Solugao why 9a 4y 54a8y1130 aan ts 9a 54x 4y 8y 113 OB x2 6x 4y 2y 113 Ny 2 B By a 6x 9 4y 2y 1 N eae f an Bite or 143 11349941 VAR 93 4y1 36 vs y1 3 J st 9 7 le 2 A equagao dada representa um hipérbole com centro em C hk 31 e eixo real paralelo ao eixo y E imediato que a9eb 4 donde a 8 b2ecVa b V13 Assim A 32 Ao 34 Bi 11 By 51 F 31 V13 e Fy 31 V13 Parabola Elipse Hiperbole Referˆencias Referˆencias STEWART J Calculo Sao Paulo Cengage Learning 2013 v2 SANTOS RJ Geometria Analıtica e Algebra Linear Belo Hori zonte Imprensa Universitaria da UFMG 2014 STEINBRUCH A WINTERLE P Geometria Analıtica 2 ed Sao Paulo Pearson Makron Books 1987 DELGADO J FRENSEL K CRISSAFF L Geometria Analıtica Rio de Janeiro SBM 2017 httpswwwgeogebraorg LATEX httpswwwlatexprojectorg