Introdução ao Cálculo Numérico - Sistemas Numéricos, Conversão e Aritmética de Ponto Flutuante

Métodos Matemáticos Introdução ao Cálculo Numérico 2 3 Contextualização Por que estudar Cálculo Numérico 1 Fundamental para a solução adequada de situações que envolve cálculo por meio do computador 2 O computador é uma máquina limitada o que inviabiliza o cálculo com números que apresentam infinitas casas decimais Como o computador compreende uma dízima periódica 3 Como o computador comporta os números reais Conversão de números decimais e binário 4 5 Sistemas Decimal 0 1 2 9 Binário 0 1 Octal 0 1 2 7 6 Definição de Ponto Fixo Seja b um inteiro maior que 1 então cada 𝑛 ℕ admite uma representação única da forma 𝑁 𝑎𝑛𝑏𝑛 𝑎𝑛1𝑏𝑛1𝑎2𝑏2 𝑎1𝑏1 𝑎0𝑏0 na qual devemos ter 𝑎𝑛 0 0 𝑎𝑛 b 01n Com essa representação podemos converter qualquer número para a base decimal 7 Decomposição de base 10 347 10 3 102 4 101 7 100 347 10 3 100 4 10 7 1 347 10 300 40 7 347 10 347 8 Binário para decimal 10111 2 1 24 0 23 1 22 1 21 1 20 10111 2 1 16 0 1 4 1 2 1 1 10111 2 16 0 4 2 1 10111 2 23 9 Decimal para binário 53 10 53 10 1101012 53 2 1 26 2 1 13 2 1 6 2 0 3 2 1 0 10 Octogonal para decimal 75 8 7 81 5 80 75 8 7 8 5 1 75 8 56 5 75 8 61 75 8 61 10 11 Decimal para octogonal 100 10 100 10 144 8 100 8 4 12 8 1 4 Truncamento e arredondamento 17 Arredondamento Para realizar o registro de um valor aproximado utilizase a seguinte regra 1 Somamos uma unidade a última casa decimal a conservar se a casa posterior for maior ou igual a meia unidade da base numérica 2 Se o dígito da casa posterior a ser conservada for menor que meia unidade da base numérica desprezamos as demais casas 18 Exemplo arredondamento 123645 a Uma casa decimal b Duas casas decimais c Três casas decimais 19 Truncamento Os valores que excedem o limite da mantissa são desprezados Obs o arredondamento apresenta menor erro na representação mas um tempo maior de execução Aritmética de ponto flutuante 21 O que é ponto flutuante 1 É uma forma de representação dos números 2 A maneira como as máquinas compreendem os valores numéricos 3 Deve ser considerado em toda arquitetura de um sistema computacional 4 Em um equipamento cada número é armazenado em uma posição que se refere a um sinal que identifica se o número é positivo ou negativo 5 Só que o número é limitado a dígitos 22 Representação em ponto flutuante Representações de números reais em ponto flutuante Um número real 𝑥 0 pode ser representado da seguinte maneira 𝑥 0 𝑑1𝑑2 𝑑𝑡 𝑏𝐸 b a base t número de dígitos da mantissa 0 𝑑𝑗 𝑏 1 𝑗 1 𝑡 E expoente do intervalo m M 23 Há um caso especial da situação anterior no momento em que limitamos o expoente E variandoo entre m M ou seja 𝑚 𝐸 𝑀 Nessas condições a representação numérica se resume a um sistema Fb t m M Sendo 𝑥 0 𝑑1𝑑2 𝑑𝑡 𝑏𝐸 𝑑1 0 𝑒 𝑚 𝐸 𝑀 24 Propriedades Propriedades dos números no sistema de ponto flutuante i 𝑝 01 𝑏𝑚 menor número não nulo em módulo em F ii 𝑠 0 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏𝑀 é o maior número do sistema flutuante F iii Cardinalidade nº de elementos 𝐹 2 𝑏 1 𝑏𝑡1 𝐸𝑚𝑎𝑥 𝐸𝑚𝑖𝑛 1 1 iv A mantissa pertence a 011 v Se 𝑥 𝐹 então 𝑥 𝐹 25 Exemplo A nova máquina adquirida possui um sistema de representação de números definido por base decimal 4 dígitos na mantissa t 4 e expoentes no intervalo 55 Os técnicos precisam saber quais são o menor e o maior números em módulo representados nessa máquina Como eles podem resolver esse problema 26 Resolvendo Temos que o menor número não nulo em módulo de F é dado por 𝑝 01 𝑏𝑚 Logo como b 10 e m 5 temos 𝑝 01000 105 106 27 Resolvendo Temos que o maior número do sistema flutuante F temos 𝑠 0 𝑏 1 𝑏 1 𝑏 1 𝑏𝑀 logo 𝑠 0 10 1 10 1 10 1 10 1 105 𝑠 09999 105 99990 Raízes 29 Erro Absoluto Erro absoluto Referese ao valor absoluto da diferença entre o valor real e o aproximado E𝐴x 𝑥 𝑥 30 Exemplo O valor x27895 foi inserido em um sistema de ponto flutuante definido pela seguinte configuração F10333 Calcule o erro absoluto por arredondamento 𝑥 27895 𝑥 0279 102 279 𝐸𝐴𝑥 𝑥 𝑥 27895 279 0005 0005 31 Erro Relativo Erro relativo Referese à razão entre o erro absoluto e o valor absoluto da aproximação 𝐸𝑅𝑥 𝐸𝐴𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 32 Exemplo O valor x 27895 foi inserido em um sistema de ponto flutuante definido pela seguinte configuração F10333 Calcule o erro relativo da inserção de x em F 𝐸𝐴𝑥 0005 𝐸𝑅𝑥 𝐸𝐴𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝐸𝑅𝑥 0005 279 000018 Logo 𝐸𝐴𝑥 0005 𝑒 𝐸𝑅𝑥 000018 Erros 34 O que são as raízes de uma função Chamase de raízes de uma função os valores que x assume quando fx 0 Em termos geométricos referese ao valor de x em que a função corta o eixo Ox Por que determinar as raízes de uma função Seja Lx uma função que expressa o lucro de uma empresa sendo x o valor de produtos vendidos O que significa Lx0 O valor mínimo de produtos que deve ser vendido para não se ter prejuízo 35 Representação Gráfica Fonte elaborado pelo professor pelo software GeoGebra Vamos considerar a função 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 2 Para obter o zero dessa função devemos fazer 𝑥2 3𝑥 2 0 Método Bissecção 37 Teorema de Bolzano O método da bissecção se vale do teorema de Bolzano com o intuito de isolar os intervalos que as raízes estão dispostas Seja f R R uma função contínua num intervalo fechado ab Se fafb0 então f tem pelo menos um zero no intervalo aberto ab 38 Método da Bissecção 1 fafb0 garante a existência do Zero da Função 2 Efetuamos 𝑥𝑚 𝑎𝑏 2 3 Se 𝑓 𝑥𝑚 𝜖 𝑥𝑚 é 𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝐹𝐼𝑀 39 𝑓 𝑥𝑚 𝜖 𝑥𝑚 não é zero logo Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑎 0 𝑥𝑚 𝑎𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑏 0 𝑥𝑚 𝑏𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑎 0 𝑥𝑚 𝑎𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑏 0 𝑥𝑚 𝑏𝑛1 4 Ao determinar o novo intervalo voltar para o passo 2 Atividade 41 Atividade Seja 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥2 uma função contínua em reais seja I 1 1 e um erro01 Calcule uma aproximação para o zero de fx em no máximo 1 iteração utilizando o método da bissecção 42 Resolvendo Vamos verificar a imagem nos extremos dos intervalos 𝑓 3 3 3 2 3 2 27 18 9 𝑓 1 1 3 2 1 2 1 2 1 Vamos determinar 𝑥1 𝑥1 3 1 2 4 2 2 𝑓 2 2 3 2 2 2 8 8 0 Método da Falsa Posição 44 Método da Posição Falsa No método da posição falsa iremos utilizar a média ponderada entre os extremos diferente da média aritmética aplicada na situação anterior É necessário ao aplicar o método conhecer o intervalo Iab e satisfazer a condição 𝑓 𝑥𝑛 𝜖 fafb0 garante a existência do Zero da Função entre a e b Efetuamos 𝑥𝑚 𝑏 𝑓 𝑎 𝑎 𝑓𝑏 𝑓 𝑎 𝑓𝑏 45 3 Se 𝑓 𝑥𝑚 𝜖 𝑥𝑚 é 𝑜 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝐹𝐼𝑀 𝑓 𝑥𝑚 𝜖 𝑥𝑚𝑛ã𝑜 é 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑙𝑜𝑔𝑜 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑎 0 𝑥𝑚 𝑎𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑏 0 𝑥𝑚 𝑏𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑎 0 𝑥𝑚 𝑎𝑛1 Se 𝑓 𝑥𝑚 0 e 𝑓 𝑏 0 𝑥𝑚 𝑏𝑛1 4 Ao determinar o novo intervalo voltar para o passo 2 46 Exemplo Considere a seguinte função contínua em todos os reais definido pela seguinte lei fx x 3 seja a1 e b5 Calcule a média ponderada envolvendo a e b considerando fa e fb como pesos 47 𝑎 1 𝑓 𝑎 1 3 2 𝑏 5 𝑓 𝑏 5 3 2 𝑥𝑚 𝑏 𝑓 𝑎 𝑎 𝑓 𝑏 𝑓 𝑎 𝑓𝑏 5 2 1 2 2 2 10 2 4 12 4 3 Método Iterativo Linear 49 Método Iterativo Linear Vamos nos atentar aos seguintes procedimentos 1 𝑓𝑥 tem de ser transformada em 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒙 sendo 𝑔𝑥 uma função iterativa 2 Se fx0 temos 𝑥 𝑔𝑥 3 Determinase 𝑥𝑛1 𝑔𝑥𝑛 4 Sendo 𝑎 𝑥0 calculase 𝑓𝑥0 5 Se 𝑓 𝑥𝑜 𝜖 𝑥0 é raiz 50 6 Se 𝑓 𝑥𝑜 𝜖 busca por 𝑥1 7 𝑥1 é obtido ao utilizar 𝑥𝑛1 𝑔𝑥𝑛 sendo 𝑥1 𝑔 𝑥0 8 Retornase ao passo 4 sendo 𝑎 𝑥1 51 Exemplo Seja f uma função contínua em R definida pela seguinte lei de formação 𝑓 𝑥 𝑥3 2𝑥 3 Determine a função 𝑔 𝑥 de modo que 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 52 Pela definição devemos escrever fx0 𝑥3 2𝑥 3 0 Vamos isolar x de maior índice 𝑥3 2𝑥 3 𝑥 3 2𝑥 3 Logo 𝑔 𝑥 3 2𝑥 3 54 Atividade Dada a função 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 2 assinale a alternativa que apresenta uma aproximação para uma raiz que está localizada no intervalo I 1545 com x03 ϵ001 e no máximo 2 iterações no Método Iterativo Linear 55 Para a aplicação do MIL temse 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 𝑥 Como 𝑓 𝑥 𝑥2 3𝑥 2 e fazendo 𝑓 𝑥 0 temos 𝑥2 3𝑥 2 0 𝑥2 3𝑥 2 𝑥 3𝑥 2 Determinase que 𝑔 𝑥 3𝑥 2 atende a condição xgx 56 Vamos assumir somente a lei de formação positiva 𝑥𝑛1 𝑔 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 3𝑥 21º iteração Sendo 𝑥0 3 temos 𝑥1 3 3 2 9 2 7 2645 Teste de 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑓 2645 26452 3 2645 2 6996 7935 2 1061 57 Como a imagem de x1 é maior que o erro devese realizar mais uma iteração 2º iteração Sendo 𝑥1 2645 temos 𝑥2 2645 3 2 7935 2 5935 2436 Como a questão somente exige duas iterações finalizase a questão com a determinação de 𝑥2 Atividade 59 ARENALES S DAREZZO S Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thompson Learning 2008 BURDEN R L FAIRES J D Análise numérica São Paulo Pioneira Thompson Learning 2003 CANTÃO L A P Cálculo numérico e computacional Disponível em httpwww2sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostilapdf FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006