Polinomio Interpolador Metodos Matematicos - Guia Completo

Métodos Matemáticos Polinômio Interpolador 3 Polinômio Interpolador Considere n1 pontos ordenados 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑓 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 O método que será estudado consiste em determinar um polinômio de grau 𝑛 obtidos com base nos pontos conhecidos O polinômio interpolador tem a forma 𝑝 𝑥 𝑎0 𝑎1𝑥 𝑎2𝑥2 𝑎𝑛𝑥𝑛 e é obtido por meio da solução do seguinte sistema linear Destacase que px é uma aproximação que se realiza d e fx 4 𝑎0 𝑎1𝑥0 𝑎2𝑥0 2 𝑎𝑛𝑥𝑜𝑛 𝑓𝑥0 𝑎0 𝑎1𝑥1 𝑎2𝑥1 2 𝑎𝑛𝑥1 𝑛 𝑓𝑥1 𝑎0 𝑎1𝑥𝑛 𝑎2𝑥𝑛2 𝑎𝑛𝑥𝑛𝑛 𝑓𝑥0 Note que é em função do número de pontos conhecidos que vamos determinar o grau do polinômio interpolador Para resolver o sistema podese utilizar vários métodos 5 Exemplo Considere os seguintes pontos A0 4 e B26 Determine o polinômio que interpola os pontos A e B 6 Vamos utilizar os sistemas lineares para determinar o polinômio interpolador 𝑥0 0 y0 4 𝑥1 2 e y1 6 𝑎 0 𝑏 4 𝑎 2 𝑏 6 Note que 𝑎 1 𝑒 𝑏 4 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑝1 𝑥 𝑥 4 2𝑎 4 6 2𝑎 6 4 2𝑎 2 𝑎 1 Forma de Lagrange para o polinômio interpolador 7 8 Definição Vamos considerar novamente um conjunto formado por n1 pontos distintos 𝑥0 𝑓 𝑥0 𝑥1 𝑓 𝑥1 𝑥2 𝑓 𝑥2 𝑥𝑛 𝑓 𝑥𝑛 Com base nesses pontos é que o polinômio interpolador é determinado e seu grau é menor ou igual a n 𝑝 𝑛 𝑘0 𝑛 𝑓 𝑥𝑘 𝐿𝑘𝑥 onde 𝐿𝑘 𝑥 𝑥 𝑥0 𝑥 𝑥1 𝑥 𝑥𝑛 𝑥𝑘 𝑥0𝑥𝑘 𝑥1 𝑥𝑘 𝑥𝑛 𝑝 𝑥 𝑓 𝑥0 𝐿0 𝑥 𝑓 𝑥1 𝐿1 𝑥 𝑓 𝑥𝑛 𝐿𝑛 𝑥 9 Exemplo Considere os seguintes pontos A1 2 e B2 0 e C3 2 Determine 𝐿0 𝑥 𝑒 𝐿2𝑥 𝐿0 𝑥 𝑥 2 𝑥 3 1 21 3 𝑥2 3𝑥 2𝑥 6 1 2 𝒙𝟐 𝟓𝐱 𝟔 𝟐 𝐿2 𝑥 𝑥 2 𝑥 2 3 13 2 𝑥2 2𝑥 2𝑥 4 2 1 𝒙𝟐 𝟒 𝟐 Fórmula NewtonCotes 11 Definição A integração pela fórmula NewtonCotes é baseada no polinômio interpolador de Lagrange 𝐼𝑛𝑐 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑝𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Sabese que 𝑝𝑛 𝑥 𝑖0 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖𝑥 Logo 𝐼𝑛𝑐 𝑓 𝑎 𝑏 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑎 𝑏 𝑖0 𝑛 𝑓 𝑥𝑖 𝐿𝑖𝑥 𝑑𝑥 12 𝑥𝑖 é definido pela variação de ℎ 𝑏 𝑎 𝑛 Onde n é número de subintervalos em ab Logo 𝑥0 𝑎 𝑥1 𝑥0 ℎ 𝑥𝑛 𝑥𝑛1 ℎ 𝑏 13 Exemplo Calcule a área limitada pelo conjunto do plano limitado pelas retas x0 x1 y0 e pelo gráfico de fx 𝑥2 Utilizando a Fórmula NewtonCotes 14 𝐴 0 1 𝑥2 𝑑𝑥 𝑥21 2 1 0 1 𝑥3 3 0 1 𝐹 1 𝐹 0 𝐹 1 13 3 1 3 e F 0 03 3 0 𝐴 1 3 0 1 3 15 Vamos interpolar os pontos A00 e B11 utilizando sistemas lineares 𝑝1 𝑥 𝑎𝑥 𝑏 𝑎 0 𝑏 0 𝑎 1 𝑏 1 Note que b0 e a1 𝑝1 𝑥 𝑥 Vamos então integrar 𝑝1𝑥 0 1 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 2 0 1 1 2 0 1 2 Regra do Trapézio 18 Regra do Trapézio A integração pela Regra do Trapézio consiste em subdividir a região de integração em trapézios e calcular o somatório dessas áreas aproximandose do valor de 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 Fonte Santos e Gibim 2015 p190 19 Decorrente dessa estratégia temse n nº de trapézios que serão utilizados h altura de cada trapézio ℎ 𝑥𝑛𝑥0 𝑛 𝑏𝑎 𝑛 Classificase Extremos 𝑓 𝑥0 e 𝑓 𝑥𝑛 Internos 𝑓 𝑥1 𝑓 𝑥2 𝑓𝑥𝑛1 20 De um modo geral a regra pode ser generalizada 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 05 𝑓𝑥𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑥𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜𝑠 ℎ Atividade 22 Calcule a seguinte integral 3 5 ln 1 2𝑥 𝑑𝑥 Pela Regra dos Trapézios considere h05 Arredonde pelo simétrico na segunda casa decimal 23 i 𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 0 3 ln 1 2 3 ln 7 195 1 35 ln 1 2 35 ln 8 208 2 4 ln 1 2 4 ln 9 22 3 45 ln 1 2 45 ln 10 23 4 5 ln 1 2 5 ln 11 24 24 𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 Extremo Interno Extremo 3 195 195 Interno 35 208 208 Interno 4 22 22 Interno 45 23 23 Extremo 5 24 24 Soma 435 658 3 5 ln1 2𝑥 𝑑𝑥 05 435 658 05 438 Regra de Simpson 26 Regra de Simpson A Regra de integração de Simpson se vale de aproximações de pequenos trechos de curvas por meio de pequenas parábolas conforme apresenta a figura abaixo Fonte Santos e Gibim 2015 p202 27 Para o calculo da integral são utilizados os seguintes elementos ℎ 𝑥𝑛 𝑥0 𝑛 𝑏 𝑎 𝑛 Simplificando temse 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ℎ 3 𝑓 𝑥𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 4 𝑥𝑖𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 2 𝑓𝑥𝑖𝑝𝑎𝑟 28 Exemplo Considere a seguinte tabela que mostra a velocidade de um móvel em um determinado instante Determine o espaço percorrido utilizando a Regra de Simpson Tempos Posiçãom 0 4 1 5 2 8 3 15 4 20 5 30 29 h1 i 𝑥𝑖 𝑓𝑥𝑖 Extremo Interno impar Interno par Extremo 0 0 4 4 Interno 1 1 5 5 Interno 2 2 8 8 Interno 3 3 15 15 Interno 4 4 20 20 Externo 5 5 30 30 Soma 34 20 28 30 𝑎 𝑏 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 ℎ 3 𝑓 𝑥𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 4 𝑓𝑥𝑖 í𝑚𝑝𝑎𝑟 2 𝑓𝑥𝑖𝑝𝑎𝑟 𝑓𝑥𝑑𝑥 1 3 34 4 20 2 28 1 3 34 80 56 1 3 170 170 3 5667 O móvel percorreu 5667 m 31 ARENALES S DAREZZO S Cálculo numérico aprendizagem com apoio de software São Paulo Thompson Learning 2008 BURDEN R L FAIRES J D Análise numérica São Paulo Pioneira Thompson Learning 2003 CANTÃO L A P Cálculo numérico e computacional Disponível em httpwww2sorocabaunespbrprofessorluizaCNCapostilapdf FRANCO Neide Bertoldi Cálculo numérico São Paulo Pearson 2006