Atividades de Cálculo Diferencial e Integral III: Integrais Múltiplas

AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO Disciplina Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula 01 Título Integrais Múltiplas Prezadoa alunoa A aula atividade tem a finalidade de promover o autoestudo das competências e conteúdos relacionados à Unidade de Ensino Integrais Múltiplas Siga todas as orientações indicadas e conte sempre com a mediação do seu tutor e a interatividade com o professor Bons estudos Resolução de exercícios Questão 1 Seja a superfície P definida pela equação 𝑥2 𝑦2 𝑧 1 e cuja representação gráfica pode ser observada na figura seguinte Determine a equação do plano tangente à superfície 𝑃 no ponto de coordenadas 𝐴12 4 AULA ATIVIDADE ALUNO Questão 2 Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis ordens de integração quando possível Nesse sentido é necessário identificar se existem relações definidas entre os limites de integração Diante desse tema desejase calcular a integral tripla da função de três variáveis reais 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 4𝑥 3𝑦𝑧 na região 𝑊 definida como segue 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 0 𝑥 𝑧 1 𝑦 2 0 𝑧 1 Com base nesse tema responda a Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas no cálculo da integral tripla de 𝑓 sobre a região 𝑊 b Calcule a integral tripla da função 𝑓 sobre 𝑊 utilizando uma das integrais apresentadas no item a c Determine o volume da região 𝑊 a partir do cálculo de uma integral tripla Questão 3 Considere o sólido S limitado pelo paraboloide elíptico dado pela equação 𝑥2 2𝑦2 𝑧 16 e pelos planos 𝑥 2 𝑦 2 e pelos três planos coordenados cuja representação gráfica é apresentada na sequência Empregando o cálculo de integrais triplas qual é o volume do sólido S descrito anteriormente AULA ATIVIDADE ALUNO Questão 4 Considere a superfície 𝑧 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 cuja representação gráfica é dada no que segue Determine a área aproximada da superfície 𝑧 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro Questão 5 Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5𝑥 3𝑦 𝑧 6 0 que está acima do retângulo 14 26 localizado no plano 𝑥𝑦 Questão 6 Considere um sólido C em formato de cubo definido por 𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 0 𝑥 1 0 𝑦 1 0 𝑧 1 e cuja representação gráfica é dada a seguir AULA ATIVIDADE ALUNO Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 determine a coordenada 𝑥 do centro de massa do sólido C TABELA DE DERIVADAS 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 0 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑔𝑥 𝑓𝑔𝑥𝑔𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑓𝑥 𝑐𝑓𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑓𝑥 𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑓𝑥𝑔𝑥 𝑔𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛𝑥𝑛1 𝑑 𝑑𝑥 𝑒𝑥 𝑒𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑎𝑥 𝑎𝑥 ln𝑎 𝑑 𝑑𝑥 ln𝑥 1 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 sen𝑥 cos𝑥 𝑑 𝑑𝑥 cos𝑥 sen𝑥 TABELA DE INTEGRAIS 𝑢 𝑑𝑣 𝑢𝑣 𝑣 𝑑𝑢 𝑢𝑛 𝑢𝑛1 𝑛 1 𝐶 𝑛 1 1 𝑢 𝑑𝑢 ln𝑢 𝐶 𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑒𝑢 𝐶 𝑎𝑢 𝑑𝑢 𝑎𝑢 ln𝑎 𝐶 sen𝑢 𝑑𝑢 cos𝑢 𝐶 cos𝑢 𝑑𝑢 sen𝑢 𝐶 sec2𝑢 𝑑𝑢 tg𝑢 𝐶 𝑢𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑢 1𝑒𝑢 𝐶 ln𝑢 𝑑𝑢 𝑢 ln𝑢 𝑢 𝐶 Explorando software de Geometria Dinâmica Para contribuir com o estudo das superfícies e sólidos geométricos abordados no estudo de integrais triplas segue uma sugestão de software que você pode empregar para favorecer seus estudos AULA ATIVIDADE ALUNO O Geogebra é um software gratuito que pode ser utilizado para construções geométricas no plano e espaço cartesianos httpswwwgeogebraorgclassiclangen acesso em 21 jun 2022 Para acessar a versão online basta visitar o endereço httpswwwgeogebraorgclassiclangen acesso em 21 jun 2022 e nesta página para acessar a janela referente às construções tridimensionais basta acessar a opção 3D Graphing presente na coluna lateral direita Também é possível fazer o download desse software para o computador a partir do endereço httpswwwgeogebraorgdownload acesso em 21 jun 2022 ou o download para smartphones a partir das lojas de aplicativos correspondentes com o sistema operacional de cada aparelho Explore as ferramentas desse software efetuando as construções das superfícies e sólidos estudados durante a primeira aula e primeira aula atividade da disciplina