Concentração de Tensões em Dentes de Engrenagens e Equação de Lewis

como resultado uma seção na base do dente algo mais larga e mais forte Fig 305 ART 351 RESISTÊNCIA DOS DENTES DE ENGENAGENES módulo de resistência da seção retangular em VE e Z bt²6 De M σZ obtemos Uma vez que 2xPa3 é uma constante para uma determinada forma de dente podemos fazêla igual a Y conhecido como o fator de forma de Lewis A equação resultante é 44 FR σbY Pd equação de Lewis conhecida como a equação de Lewis após Wilfred Lewis ter chegado a ela em 1893 Uma vez que Pd πPc a equação de Lewis em termos do passo circular é g FR σbPY π σbPcY onde y Yπ é outra constante Muitas tabelas em uso dão o fator de forma y Nossa Tabela 45 entretanto dá os valores de Y porque os dentes usados normalmente têm um passo diametral padrão que torna 44 mais conveniente para o uso 352 Concentração de Tensões Como a carga num dente de engrenagem é aplicada repetidamente devemos esperar que se ocorrer uma ruptura a falha deve ser devida à fadiga A magnitude da concentração de tensões no reforço Fig 307 depende do raio mínimo do mesmo e da configuração geral da peça Se os dentes são abertos por geração os reforços não são arcos de círculo mas tronchodides cuja forma por outro lado depende do número de dentes a serem abertos e dos raios de curvatura das pontas do cortador Uma vez que não há um padrão único para a curvatura das pontas dos cortadores o cálculo considerando o raio de adução mínimo que pode ser construído 217 deve ser satisfatório Usualmente o raio é estimado partindo de engenharias conhecidas Black 218 pela fotoelasticidade encontrou os seguintes valores do fator de concentração de tensões teórico para engrenagens de alma cheia Kt 1345 e Kt 147 no lado da tração e Kt 161 máximo no lado de compressão Dolan e Broghamer 219 apre sentaram as equações seguintes que estão de acordo com seus estudos fotoelásticos h Kt 022 tr⁰² th⁰⁴ para 1430 i Kt 018 tr⁰² th⁰⁴ para 20 onde r é o raio mínimo do reforço e h e t são as grandezas vistas na Fig 306 Em geral os valores teóricos devem ser modificados pelo fator de sensibilidade ao entalhe q Fig 63 Quando os dentes da engrenagem são temperados o valor de q é bem próximo da unidade exceto para raios muito pequenos Fig 63 e os valores teóricos Kt se aplicam Convém observar novamente as curvas da Fig 63 Com um fator de concentração de tensões prático Kt a equação de Lewis se torna j FR σbY KtPd Esta equação é para ser usada em cálculos precisos quando Y é o fator de forma para a carga aplicada próxima à meia altura do dente e quando as cargas dinâmicas máximas 357 são bem avaliadas Os valores de Y e um método de obtenção das cargas dinâmicas são dados por Buckingham 217 353 Tensão de Projeto Para fixação da tensão de projeto devemos observar que a carga é aplicada repetidamente e que a tensão de trabalho varia de zero a um máximo Realmente imediatamente após o impacto inicial do engrenamento do dente este provavelmente vibra em alta frequência resultando numa tensão de tração no lado de compressão A resistência à fadiga para uma tensão que varia de zero a um máximo é cerca de 15 vezes o limite de resistência à fadiga com tensão alternada Considerando também que a estimativa está sempre presente no projeto de engrenagem podemos fixar o fator de concentração de tensão médio como Kt 15 Assim se a tensão de projeto na equação j é tomada como a resistência à fadiga para uma tensão repetida σ 15σn onde σn é o limite de fadiga temos σKt 15 σn15 σn e j se reduz a 44 FR σbY Pd e voltamos à equação de Lewis Em nosso procedimento de cálculo devemos considerar na equação 44 o limite de resistência à fadiga do material σn como um valor que conduzirá a FR resistência à fadiga que não deve ser ultrapassada Devemos escolher Y considerando a carga na ponta do dente na Tabela 45 dando assim alguma segurança porque geralmente outro dente está partilhando da carga quando um deles está fazendo contato com sua ponta para duas engrenagens de 12 dentes o grau de engrenamento é próximo da unidade Devemos recordar que o limite de resistência à fadiga em psi é 250 vezes a dureza Brinell aproximadamente para os aços porém não acima de 100000 psi usar a dureza no núcleo para dentes temperados na superfície Ver também as Tabelas 2 a 10 Uma vez que as engrenagens são comumente tratadas termicamente devem ser revistas agora os 33 a 37 Eles contêm informações indispensáveis ao cálculo de engrenagens Quando as engrenagens devem ser produzidas em série o projeto final só é decidido depois de serem executados inúmeros testes em laboratórios e frequentemente nas próprias condições de funcionamento 354 Fator de Forma Y Em geral desejamos obter o valor de Y devemos construir o perfil do dente em escala grande medir x Fig 306 e calcular Y 2xPa3 Isto se aplica no caso de dentes especiais ou quando se considera a ação da força fora da extremidade do dente Fig 306b Nas proporções padrões uma engrenagem de 20 dentes de certo passo ou módulo tem a mesma forma de uma engrenagem de 20 dentes de outro passo ou módulo diferenciando apenas no tamanho Os valores de Y para os sistemas intermutáveis são dados na Tabela 45 para o caso da carga total F aplicada na extremidade do dente Fig 307 25Pe b 4Pe ou 8 Pd b 125 Pd para dentes usados Existem muitas exceções a essas proporções Por exemplo engrenagens de transmissão de automóveis têm faces mais curtas por causa da necessidade de um arranjo compacto Em geral quanto maior a largura da face e mais rígido o material dos dentes mais precisos devem ser os perfis dos dentes e o alinhamento do eixo para permitir uma longa duração e funcionamento sem inconvenientes De modo a evitar uma concentração de carga sobre uma extremidade de um dente os dentes das engrenagens de dentes retos são algumas vezes abaulados Fig 308 isto é os dentes aplanados com um rebaixamento elíptico do centro do dente para a extremidade de cerca de 00003 polegadaspolegada para cada lado Esta forma de dente permite um ligeiro desenlinhamento sem que ocorra carga perigosa sobre a extremidade do dente Fd 600 v 400 Ft lb Usar também a equação k no projeto de dentes fundidos porque nestes casos as velocidades devem ser menores que 1 000 ftmin 300 mmin Para engrenagens metálicas cuidadosamente usadas funcionando em velocidades compreendidas entre 1 000 ftmin e 4 000 ftmin Fd em lb pode ser calculada como Fd 1 200 v 800 Ft lb Para velocidades acima de 4 000 ftmin 1 200 mmin os dentes devem ser cortados com precisão e a carga dinâmica para engrenagens metálicas pode ser calculada como Fd 78 v 52 Ft lb O dente será considerado suficientemente forte se Fd calculado por k l ou m conforme o caso for menor que a resistência calculada como se disse no 353 Erro admissível em pol e Velocidade na circunferência primitiva em ftmin Fig 309 Erros máximos aceitáveis em perfis de dentes de engrenagens Um funcionamento extremamente silencioso requer erros menores do que os indicados por esta curva Fig 310 Erros prováveis nos perfis dos dentes Fig 311 Gráfico de pontos alinhados para determinação do incremento de carga devido ao efeito dinâmico Para usálo suponhamos bC Fl 4 090 Fl 493 e v 1 675 ftmin marquemos 4 090 na escala à esquerda e 1 675 na direita a linha reta AB que une os pontos destas marcações dá o ponto C na escala do meio onde lemos o valor do incremento de carga I 2 310 Então a carga dinâmica será Fd I Fl 2 310 493 2 803 lb valor aproximado ART 359 CARGA DINÂMICA DE BUCKINGHAM o incremento de carga I é o resultado de acelerações provenientes de impressões de diversas ordens PASSOS DIAMETRAIS PADRONIZADOS TABELA 45 VALORES DE Y NA EQUAÇÃO DE LEWIS TABELA 46 VALORES DE C O bronze tem praticamente o mesmo valor de C que o ferro fundido Para outros valores de e obtenha C por proporção Por exemplo para e 0004 pol temos C 4 800 3 200 para ferro fundido e ferro fundido Estes valores de C representam a carga necessária para deformar os pares de dentes na circunferência primitiva da quantidade de erro especificado e Ver as Figs 309 e 310 TABELA 47 VALORES DE B PARA O CÁLCULO DA CARGALIMITE DE DESGASTE Estes valores de B são baseados em superfícies lisas e levam em consideração o trabalho a frio efetuado pelo material mais duro sobre o material mais plástico Para se obter B para categorias especiais de ferros fundidos devese usar o coeficiente de elasticidade adequado e calcular B da equação s pág 494 Material e dureza Brinell do pínho Material e dureza Brinell da engrenagem Resistência à fadiga da superfície B 14 12 20 Aço 150 50 000 30 41 Aço 200 60 000 43 58 Aço 250 58 79 Aço 200 70 000 58 79 Aço 200 90 000 96 131 Aço 250 90 000 96 131 Aço 300 100 000 110 162 Aço 250 110 000 144 196 Aço 300 120 000 171 233 Aço 300 125 000 186 254 Aço 350 130 000 201 275 Aço 350 140 000 233 318 Aço 350 145 000 250 342 Aço 400 150 000 268 366 Aço 450 170 000 344 470 Aço 500 180 000 385 526 Aço 600 190 000 430 588 Aço 600 230 600 861 Aço 150 50 000 44 60 Aço 250 70 000 87 119 Aço 300 90 000 144 196 Aço 150 50 000 46 62 Aço 200 65 000 73 100 Aço 250 83 000 128 175 Ferro fundido 93 000 152 208 Ferro fundido 93 000 206 281 Ferro fundido 83 000 171 234 Nãometálico 32 000 189 258 CÁLCULO DE DENTES DE ENGRANAGENS Fazer a margem de segurança igual a cerca de 05 para máquinas de arrastar carros a motor para estradas de ferro quando o projeto é baseado em carga de funcionamento normal maquinaria de terraplenagem etc Usar valores de MS até 1 para engrenagens de laminadores e de britadores etc onde ocorrem choques violentos 361 Cálculo de Dentes de Engrenagens O problema no projeto de dente de engrenagem para resistência é selecionar o passo diametral ou módulo a largura ou espessura o material e o número de dentes de modo que a resistência do dente FR seja igual ou maior do que a carga dinâmica Fd Em resumo p FR 1 MS Fd Na resolução de um problema o procedimento varia um pouco com a natureza dos elementos dados ou com as limitações impostas Se está em mãos do projetista decidir sobre o número mínimo de dentes ele deve fixarse entre um número pequeno digamos abaixo de 17 que dará a engrenagem de preço mais baixo porém dará interferência Para funcionamento suave escolher um número maior de dentes ENGRANAGENS DE DENTES RETOS Parte da responsabilidade do projetista é decidir em relação ao material Podemos experimentar um ferro fundido para ambas as engrenagens uma vez que é um material barato digamos o ASTM 25 Da Tabela 3 após a conversão de unidades o limite de resistência à fadiga pode ser tomado como 04 25 10 kai Na equação de Lewis existem três elementos desconhecidos b Pd e Y poderemos resolvêla por tentativas Estabelecemos uma espessura b 10Pd valor que está dentro da faixa estabelecida no 355 eliminando assim uma incógnita O fator de forma Y depende do número de dentes do pínho Zp pdDp onde Pd é desconhecido Uma vez que Y não varia acentuadamente com o número de dentes é possível escolher um valor para e então calcular Pd Uma razão do número de dentes para o pínho situase em torno de 20 não sabemos ainda quantos devem ser assim podemos usar Y 032 Tabela 45 para os fins um cálculo de Pd por tentativas Usando FR Fd MS 0 temos FR σnbY Pd 2 300 10 000 10Pd Pd onde Pd 373 Este cálculo é baseado em hipóteses e portanto deve ser conferido Outro caminho é estabelecerse um valor padronizado de Pd baseado nos cálculos acima e determinar a espessura b necessária para proporcionar a resistência desejada Pelo enunciado considerando no pínho 5 pol de diâmetro o passo diametral mais próximo para dar um número inteiro de dentes é Pd 4 Então Zp 4 5 20 e Y 032 para um perfil normal de 20 Assim FR 2 300 10 000 b032 4 onde b 288 pol Usamos 2 78 pol Verificaremos este valor para as proporções indicadas no 355 No caso b Pd 2875 4 115 que está na faixa de 8 a 125 Consequentemente uma solução é Pd 4 b 2 78 pol Zp 20 Zg 50 ART 364 ERROS PERMITIDO E ESPERADO 489 solução Sabemos do exemplo anterior que a resistência à fadiga do dente é cerca de FR 2 300 lb para Pd 4 e b 2 78 pol Se bem que não haja razão pela qual a equação de Buckingham deva dar o mesmo resultado devemos como bom começo estabelecer Pd 4 pois que devemos iniciar de algum modo Para a velocidade v 1 505 ftmin vemos na Fig 309 que o erro máximo permissível e 00019 pol Comparando este valor com as curvas da Fig 310 para Pd 4 estabelecemos que os dentes devem ser cortados cuidadosamente e que o erro esperado é 000125 pol Usemos o 000125 pol Da Tabela 46 tiramos C 125 830 1 037 Resolvendo para a carga dinâmica obtemos Fd Ft 005 bC Ft 005u bC Ft12 438 005 1 505 2875 1 037 438 005 1 505 2875 1 037 43814 2 360 lb Uma vez que Fd 2 360 lb é praticamente o mesmo que FR 2 300 lb os valores confrontados satisfazem às condições do problema Pd 4 Zp 20 b 2 78 pol dentes cuidadosamente cortados Não é frequente que se deva usar uma engrenagem de um tamanho determinado Em consequência poderemos obter um projeto melhor com Pd 3 12 e 18 dentes Não se deve esperar uma aproximação de resultados nos dois métodos de cálculo tão grande quanto a obtida nos dois exemplos anteriores 364 Erros Permitido e Esperado Quanto maior a velocidade na circunferência primitiva das engrenagens maiores as reações dinâmicas provenientes do erro composto do dente A intensidade relativa do ruído de um par de engrenagens metálicas em funcionamento é um indicador da magnitude dos erros Em geral quanto mais forte o ruído para uma velocidade e um passo particulares maior o erro Assim quanto maior a velocidade maior a precisão necessária para um funcionamento satisfatório O erro permissível obtido da Fig 309 é o erro máximo para um funcionamento satisfatório Observamos na Fig 309 que para velocidades maiores que 5 000 ftmin o erro do dente deve ser da ordem de 00005 pol Em complemento a Fig 310 mostra que dentes pequenos Pd 5 também são necessários Como se pode ver no exemplo do 363 verificamos o erro permissível na Fig 309 após termos calculado a velocidade Então comparando este erro com as curvas da Fig 310 estabelecemos as características da operação de corte de dente e usamos o valor de e a curva imediatamente inferior Em geral os dentes não devem ser mais precisos que o necessário porque uma precisão maior frequentemente significa um custo maior o que recomenda o uso do