Matemática Financeira - João Carlos dos Santos

MATEMÁTICA FINANCEIRA Matemática fi nanceira KLS KLS João Carlos dos Santos Matemática financeira Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Santos João Carlos dos ISBN 9788584824359 1 Matemática financeira 2 HP12C Máquina de calcular 3 Investimentos Análise I Título CDD 513 Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2016 216 p S237m Matemática financeira João Carlos dos Santos 2016 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Dieter S S Paiva Camila Cardoso Rotella Emanuel Santana Alberto S Santana Regina Cláudia da Silva Fiorin Cristiane Lisandra Danna Danielly Nunes Andrade Noé Parecerista Gabriela Faria Barcelos Gibim Mauro Stopatto Editoração Emanuel Santana Cristiane Lisandra Danna André Augusto de Andrade Ramos Daniel Roggeri Rosa Adilson Braga Fontes Diogo Ribeiro Garcia eGTB Editora 2016 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Sumário Unidade 1 Juros e parcelamentos conceitos básicos Seção 11 Juros simples e taxa equivalente Seção 12 Séries de juros simples Seção 13 Juros compostos e taxa equivalente Seção 14 Séries de juros compostos 7 10 21 32 45 57 59 73 81 90 103 105 116 125 136 157 159 167 184 201 Unidade 2 Aplicações dos conceitos básicos Seção 21 Capital de giro desconto bancário Seção 22 Desconto bancário com IOF Seção 23 Taxa efetiva e nominal Seção 24 Negociação com juros simples e compostos Unidade 3 Análise de financiamentos Seção 31 Valor presente financiamento Seção 32 Valor presente financiamento com entrada Seção 33 Valor presente condições especiais Seção 34 Determinação da taxa de juros do valor presente Unidade 4 Investimento Seção 41 Valor futuro aplicações Seção 42 Determinação da taxa de juros do valor futuro Seção 43 Amortização Seção 44 Conta garantida cheque especial Palavras do autor Caro aluno bemvindo Nesta unidade curricular você será apresentado aos principais tópicos de Matemática Financeira tais como os conceitos de Juros Simples e Compostos O seu material é composto pelo livro didático que apresenta os principais temas que deverão ser estudados além deste você também pode contar com a orientação das atividades apresentadas nas webaulas e ainda os momentos de orientação mediação explicação e interação que ocorrem no decorrer das aulas Participe ativamente das atividades A estrutura de seu livro didático contempla quatro unidades de ensino São elas Juros e parcelamentos conceitos básicos apresenta juros simples e compostos e parcelamentos em séries de cada um dos regimes Aplicações dos conceitos básicos negociação capital de giro imposto sobre operações financeiras e taxa efetiva Financiamento valor presente valor presente com entrada determinação da taxa de juros do valor presente e taxa efetiva Investimento valor futuro determinação da taxa de juros do valor futuro amortização e cheque especial Prezado estudante mantenha uma rotina de estudos que lhe possibilite dedicarse aos processos de leitura participação e realização das atividades propostas É de extrema importância para que você obtenha sucesso tanto em construção e desenvolvimento de aprendizagem quanto em sua aplicação Desde já desejo a você bons estudos Unidade 1 Juros e Parcelamentos Conceitos Básicos Convite ao estudo Caro aluno Você sabe por que devemos estudar matemática financeira A matemática financeira possui diversas aplicações no nosso sistema econômico Você pode perceber isso facilmente se parar para observar as situações que acontecem em nosso dia a dia por exemplo ao financiar um carro realizar empréstimos comprar no crediário ou no cartão de crédito realizar aplicações financeiras investir em bolsas de valores entre outras situações Você sabia que essas movimentações financeiras se baseiam na estipulação prévia de taxas de juros Ou seja ao realizar um empréstimo você efetua o pagamento geralmente em prestações mensais acrescidas de juros isto é o valor da quitação de empréstimo é superior ao valor inicial que você recebeu Essa diferença de valor recebe o nome de juros É muito importante ter conhecimento sobre matemática financeira principalmente no que diz respeito a juros porque este conhecimento não só auxiliará a sua vida profissional mas também a pessoal Com esses conhecimentos você terá mais confiança para tomar suas decisões quanto a gastos e aplicações Portanto nesta unidade você estará aprendendo os conceitos básicos de Matemática Financeira como Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples Séries de Juros Simples ou Parcelamento em Juros Simples Juros Compostos e Taxa Equivalente em Juros Compostos Séries de Juros Compostos ou Parcelamento em Juros Compostos U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 8 Os assuntos mencionados lhe darão base para que no futuro você possa compreender mais facilmente outros tópicos que veremos nas unidades posteriores Além disso a partir deste estudo você irá desenvolver a seguinte competência conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo E alcançará os seguintes objetivos conhecer juros taxa equivalente e série em juros simples e compostos Assim como conhecer e aplicar esses conhecimentos na descrição de fenômenos e situaçõesproblema Nesta unidade apresentamos uma situação real contendo várias situações problema Esperamos que ao término de cada seção de estudo você consiga resolver as situações apresentadas Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras com pagamento até 10 dias sem entrada sob taxa de juros simples de 30 am Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento até 10 dias sob taxa de juros simples de 27 am Compras sem entrada com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 42 am Compras com entrada e com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 36 am Compras com pagamento entre 30 e 60 dias sem entrada sob taxa de juros compostos de 4258 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento entre 30 e 60 dias sob taxa de juros compostos de 3667 aa Compras sem entrada com duas parcelas mensais e iguais sob taxa de juros compostos de 6010 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e duas U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 9 parcelas mensais e iguais sob taxa de juros simples de 5287 aa O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar nos prazos extremos de cada situação Se você estivesse no lugar da atendente como faria para solucionar essa solicitação Seja bemvindo a mais uma fase de aprendizado Bom estudo U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 10 Seção 11 Juros simples e taxa equivalente Diálogo aberto Caro aluno Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples é um dos tópicos principais básicos da Matemática Financeira O conceito de juros simples é muito básico e também muito aplicado no dia a dia aplicamos seu conceito e cálculo em multas impostos cheque especial entre outros casos Nesta seção resolveremos a situaçãoproblema proposta sobre um Centro Comercial que resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras com pagamento até 10 dias sem entrada sob taxa de juros simples de 30 am Compras com entrada de 25 e pagamento até 10 dias sob taxa de juros simples de 27 am O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita a atendente que apresente o quanto ele irá pagar no prazo de 10 dias em cada situação Coloquese no lugar da atendente o que você precisa saber para resolver esse problema usando Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados a Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada Não pode faltar Você sabia que o conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de afinidade entre o dinheiro e o tempo U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 11 As situações de acúmulo de capital e desvalorização monetária davam a ideia de juros pois isso acontecia em razão do valor momentâneo do dinheiro Reflita Você sabe como os juros eram pagos Eles eram pagos com sementes ou bens emprestados Desse modo os agricultores adquiriam as sementes para suas plantações com as transações comerciais Depois da colheita os agricultores realizavam o pagamento através de sementes com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo Ao longo do tempo o pagamento de juros a relação tempojuros foi se modificando de acordo com a necessidade de cada época Disponível em httpwwwbrasilescolacommatematicamatematicafinanceira htm Acesso em 10 dez 2015 Em Matemática Financeira vamos trabalhar usando muito os termos capital montante e juros Você sabe o significado destes termos Vamos ver a definição de cada um deles Capital C quantidade de recurso financeiro disponível ou exigido no ato de uma operação financeira compra ou aplicação O capital também é denominado como Valor Presente VP e Valor Atual VA Montante M também denominado como Valor Futuro VF é o resultado futuro de operações financeiras realizadas com o capital Juros J são as compensações financeiras nas operações realizadas representando um acréscimo Pode ser o rendimento de uma aplicação financeira o valor referente ao atraso no pagamento de uma prestação ou também uma quantia paga pelo empréstimo de um capital Juros simples e montante É uma relação linear conforme Figura 11 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 12 Fonte o autor 2015 Figura 11 Representação gráfica dos juros simples M Mj M1 n1 nj n C A equação matemática é dada por MCJ Onde JCin i taxa de juros n prazo da operação financeira Se MCJ e J Cin Então podemos escrever M CCin Como C aparece nos dois termos podemos colocálo em evidência e a equação passa a ser escrita M C 1in e podemos afirmar que essa é a Equação do Montante com Juros Simples Há situações em que vamos negociar uma compra ou serviço que exige uma entrada financeira nesse caso não há grande alteração no cálculo veja O capital passa a ser o valor à vista menos a entrada assim U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 13 CAV E AV valor à vista E entrada E a Equação do Montante com Juros Simples não sofre alteração M C 1in Exemplificando 1 Uma pessoa tomou emprestado R 100000 a uma taxa de juros simples de 4 am ao mês para pagar após dois meses Determine o valor a ser pago pelo empréstimo Resolução Vamos interpretar o problema R 10000 é capital C porque é o valor atual que deverá ser pago no futuro o valor a ser pago é o Montante M pois ocorrerá no futuro após 2 meses a taxa de juros i é 4 004 pois quando vamos utilizála em cálculos devemos dividir por 100 ou seja apresentála em valor relativo n é 2 meses que é prazo para o pagamento Diagramando o problema conforme Figura 12 Fonte o autor 2015 Figura 12 Diagrama representativo do problema i 4 am M mês 2 0 C Emp R 1000 Agora vamos realizar o cálculo aplicando a equação geral dos juros simples U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 14 M C 1in M 1000 1 0042 M R 108000 Resposta Portanto o valor a ser pago após 2 meses pelo empréstimo será de R 108000 em regime de juros simples Taxa Equivalente em Juros Simples Para entendermos Taxa Equivalente precisamos inicialmente conceituar o Período Comercial Período Comercial 1 mês 30 dias em qualquer mês do ano 1 ano 360 dias A Taxa Equivalente ieq em Juros Simples é muito simples veja Assimile Quando a taxa for apresentada numa referência maior que a solicitada deverá dividir pela proporção da referência menor com relação à maior ou seja se a taxa for apresentada ao ano e solicitase ao mês basta dividir a taxa anual por 12 Quando a taxa for apresentada numa referência menor que a solicitada deverá multiplicar pela proporção da referência menor com relação a maior ou seja se a taxa for apresentada ao mês e solicitase ao ano basta multiplicar a taxa mensal por 12 Pesquise mais Amplie seu conhecimento acesse o link Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvydDaevz3YQU Acesso em 27 set 2015 Exemplificando 2 Calcule a taxa equivalente em juros simples de 24 aa ao ano em ao mês e 15 am ao mês em ao ano U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 15 Resolução 24 aa am Como explicado na teoria temos a taxa em um ano e desejamos a taxa em um mês como o ano tem 12 meses devemos então dividir por 12 porque ano apresentado é maior que mês solicitado ieq 024 002 2 12 Portanto 24 aa 2 am 15 am aa Como também explicado na teoria temos a taxa em um mês e desejamos a taxa em um ano como o ano tem 12 meses devemos então multiplicar por 12 porque mês apresentado é menor que ano solicitado ieq 001512 018 18 Portanto 15 am 18 aa Uma pessoa realiza uma compra cujo valor à vista é de R 120000 mas dá uma entrada de R 30000 e o restante deverá ser pago após 1 mês sob taxa de juros simples de 01 ad ao dia Determine o valor a ser pago após 1 mês Resolução A Figura 13 ajuda a interpretar o problema apresentado Fonte o autor 2015 Figura 13 Diagrama representativo do problema i 01 ad 0 1 M mês E R 90000 AV R 1200 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 16 O problema pede para calcular o valor a ser pago após um mês e a taxa é apresentada ao dia então devemos convertêla ao mês ieq 000130 003 3 am Ainda foi apresentado o valor à vista de R 120000 e a entrada de R 30000 e para calcular o valor a ser pago após 1 mês necessitamos do capital Sabemos que com essas variáveis o capital é dado por CAVE 1200300 C R 90000 Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 1 mês pela Equação do Montante de Juros Simples M C 1in M 900 10031 M R 92700 Resposta O valor a ser pago após 1 mês será de R 92700 em regime de juros simples Faça você mesmo 1 Uma pessoa realiza uma compra cujo valor à vista é de R 80000 mas dá uma entrada de R 35000 e o restante deverá ser pago após 2 meses sob taxa de juros simples de 42 aa Determine o valor a ser pago após 2 meses Resposta O valor a ser pago após 2 meses será de R 48150 em regime de juros simples Reflita Qual seria o valor a ser pago após 1 ano Você saberia responder Sem medo de errar Vamos relembrar o problema proposto inicialmente um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 17 Compras com pagamento até 10 dias sem entrada e sob taxa de juros simples de 30 am Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento até 10 dias sob taxa de juros simples de 27 am O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar no prazo de 10 dias em cada situação Resolução Compras com pagamento até 10 dias sem entrada e sob taxa de juros simples de 30 am A Figura 14 mostra a interpretação da SP Fonte o autor 2015 Figura 14 Diagrama representativo da SP AV C R 90000 0 10 M dias i 30 am O problema pede para calcular o valor a ser pago após 10 dias e a taxa é apresentada ao mês então devemos convertêla para ao dia ieq 003 0001 1 ad 30 Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 10 dias pela Equação do Montante de Juros Simples M C 1in M 900 1000110 M R 90900 Portanto o valor a ser pago após 10 dias sem entrada será de R 90900 em regime de juros simples U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 18 Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento até 10 dias sob taxa de juros simples de 27 am Essa etapa da SP é interpretada conforme a Figura 15 Fonte o autor 2015 Figura 15 Diagrama representativo da SP E 025 AV AV R 90000 0 10 M dias i 27 am O problema pede para calcular o valor a ser pago após 10 dias e a taxa é apresentada ao mês então devemos convertêla para o dia I ieq 002730 00009 009 ad Ainda foi apresentado o valor à vista AV de R 90000 e a entrada igual a 25 do valor à vista e para calcular o valor a ser pago após 10 dias necessitamos do capital e sabemos que com essas variáveis a entrada E é dada por E025AV025900 ER22500 então o capital C será CAVE900225 CR67500 Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 10 dias pela Equação do Montante de Juros Simples MC1in67510000910 MR68108 Portanto o valor a ser pago após 10 dias após entrada de R 22500 será de R 68108 em regime de juros simples Atenção A taxa de juros quando for utilizada em cálculo deverá estar em número relativo para isso deverá ser dividida por 100 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 19 Lembrese C AV E M C 1in Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples 1 Competência Geral Cálculo do valor presente em função do tipo de pagamento 2 Objetivos de aprendizagem Cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro em função do tipo de financiamento de Juros Simples 3 Conteúdos relacionados Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples 4 Descrição da SP Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras com entrada e pagamento em até 15 dias sob taxa de juros simples de 008 ad Uma pessoa realizou uma compra de R 110000 e ao chegar ao caixa o atendente lhe informou que sua compra resultou num pagamento de R 70840 com vencimento em 15 dias Qual foi o valor da entrada 5 Resolução da SP Temos o conhecimento do valor à vista AV R 110000 e do valor a ser pago após 15 dias M R 70840 então precisamos saber qual foi o capital C que resultou no montante M sabendo que C 1in M C 10000815 70840 1012C 70840 C 70840 1012 C R 70000 Agora podemos saber o valor da entrada E AV E C 1100 E 700 E R 40000 Portanto a entrada paga foi de R 40000 Faça você mesmo Uma pessoa realiza uma compra pagando uma entrada de R 20000 O restante deverá ser pago após 2 meses com um pagamento de U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 20 Lembrese Capital C é uma relação financeira presente Montante M é uma relação financeira futura Faça valer a pena 1 Toda compra ou serviço tem um valor à vista que também chamamos de capital Assinale a alternativa que apresenta a definição de capital a Valor futuro sem incidência de juros b Valor futuro com a incidência de juros c Valor presente por isso não há incidência de juros d Valor parcial da compra ou serviço pago no ato da realização financeira sem a incidência de juros e Valor presente com a incidência de juros 2 Há situações em que realizamos uma compra ou contratamos um serviço mas pagamos depois de um certo tempo Assinale a definição correta desse pagamento a Valor presente com incidência de taxa de juros b Valor futuro sem a incidência de taxa de juros c Valor presente parcial sem a incidência de taxa de juros d Montante ou valor futuro em que há incidência de taxa de juros sobre o capital e Entrada com incidência de taxa de juros 3 Quando contratamos um serviço ou realizamos uma compra para pagarmos no futuro às vezes nos solicitam que seja paga uma entrada Assinale a alternativa que apresenta a definição correta de entrada a Pagamento parcial do valor à vista sem incidência de taxas de juros b Pagamento parcial do valor à vista com incidência de taxas de juros c Pagamento parcial do valor futuro com ou sem incidência de taxas de juros d Pagamento total do valor à vista sem incidência de taxas de juros e Pagamento parcial do valor à vista com incidência de taxas de juros R 63000 valor que foi calculado sob uma taxa de juros simples de 30 aa Determine o valor à vista da compra Resposta O valor à vista da compra foi de R 80000 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 21 Seção 12 Série de juros simples Diálogo aberto Caro aluno Na seção anterior deste livro tivemos contato com o universo da matemática financeira no que diz respeito a Juros Simples e Taxa Equivalente em Juros Simples Nesta seção vamos continuar nossos estudos aprendendo agora sobre Séries de Juros Simples que é a apresentação do cálculo de parcelamento em Juros Simples Muitas vezes ao comprar um carro imóvel ou qualquer outra coisa financiada as pessoas têm dificuldade em calcular o valor das parcelas a serem pagas não é mesmo Quem já não viu o seguinte tipo de comunicado divulgado por alguma loja Taxa de juros de 069 Você saberia verificar se o valor da parcela pago pelo produto foi calculado com essa taxa de juros Não Vamos aprender Podemos observar por meio dos exemplos acima a importância do estudo desses conceitos em nossa vida tanto profissional quanto pessoal As técnicas aqui apresentadas estão apoiadas nos conceitos vistos na seção anterior Seção 11 Ao término da apresentação da teoria e exemplificação você será convidado a resolver mais uma etapa da situação que o Sr Alberto apresentou para a atendente do Centro Comercial veja Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras sem entrada com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 42 am Compras com entrada e com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 36 am O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 22 caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar nos prazos extremos de cada situação Colocandose no lugar da atendente o que você precisa saber para resolver esse problema usando Séries de Juros Simples Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados a Séries de Juros Simples A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada Séries de Juros Simples poderia ter também como denominação Parcelamento em Juros Simples ou ainda Financiamento em Juros Simples Como dito anteriormente esse assunto tem como base o que foi apresentado na Seção 11 Vamos aprofundar nossos estudos MC 1in Equação Geral do Montante de Juros Simples Que podemos escrever C M 1in Com essa nova forma de apresentar a Equação Geral do Montante de Juros Simples podemos explicar a Série de Juros Simples considerando que cada parcela ou prestação são pequenos Montantes M e o valor à vista de uma compra é o Capital conforme Figura 16 Não pode faltar Fonte o autor 2015 Figura 16 Esquema de financiamento ou parcelamento À vista C n 0 n1 n2 nj M1 M2 Mj U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 23 Considerando que cada parcela irá gerar um capital teremos c1 M1 c2 M2 cj Mj 1in1 1in2 1inj E C c1c2cj Então C M1 M2 Mj 1in1 1in2 1inj Assim concluímos C j Mj j 1 1inj Em uma situação que trabalhamos com pagamento de entrada E como estudado na Seção 11 C AV E Passamos a escrever Assimile U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 24 Pesquise mais Amplie seu conhecimento acesse o link Disponível em httpswwwgooglecombrwebhpsourceidchrome instantion1espv2ieUTF8qseriedepagamentosjurossi mplesstart10 Acesso em 1 out 2015 Exemplificando 1 Uma pessoa deseja comprar um artigo em 2 vezes mensais e iguais sabendo que o preço à vista é R 74000 O parcelamento será realizado sob a taxa de juros simples de 4 am Determine o valor das parcelas Resolução Interpretação 2 vezes iguais e mensais 2 parcelas iguais a M ou seja cada uma delas vale M Mensais ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra À vista Capital C R 74000 Taxa de juros simples i 4 am 004 am O diagrama a seguir ajuda a interpretar melhor a situação apresentada Fonte o autor 2015 Figura 17 Diagrama representativo da situação a ser resolvida C À vista i 4 am mês 0 1 2 R 74000 M M Aplicando a Equação da Série de Juros Simples M M 740 10041 10042 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 25 Como M aparece nas duas parcelas podemos colocálo em evidência ficando dessa forma 1 1 M 740 104 108 09615 09259M 740 18874M 740 M 740 18874 M R 39207 Resposta Portanto serão duas parcelas mensais e iguais a R 39207 2 Um produto está com sua venda anunciada em duas parcelas iguais a R 40000 vencendo em dois meses com entrada de R 20000 Tendo conhecimento que esses valores foram obtidos sob taxa de juros simples de 60 aa determine o valor à vista do produto Resolução Fonte o autor 2015 Figura 18 Diagrama representativo do exemplo 2 E R 20000 i 60 aa mês 0 2 3 À vista 40000 40000 ieq 060 005 am5 am Seção 11 12 AV 200 400 400 10052 10053 AV 400 400 200 110 115 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 26 AV 36364 34783 200 AV R 91147 Portanto o valor à vista do produto é R 91147 Faça você mesmo Uma calculadora científica custa R 50000 Paulo necessita adquiri la para fazer a prova de Matemática Financeira ao final do bimestre Sua intenção é parcelar o pagamento em três vezes mensais e iguais a R 10000 sabendo que a taxa aplicada no parcelamento é de 54 aa em regime de juros simples determine qual deverá ser o valor da entrada Resposta O valor da entrada deverá ser de R 22446 Reflita Como você faria um parcelamento em juros simples Sem medo de errar Como citado no início desta seção você deverá se colocar no lugar da atendente e apresentar o que foi solicitado pelo Sr Alberto Relembrando a situação Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras sem entrada com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 42 am Compras com entrada de 25 do valor à vista e com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 36 am O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar nos prazos extremos de cada situação Resolução U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 27 Compras sem entrada com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 42 am Sendo parcelas a cada 15 dias e taxa dada ao mês podemos trabalhar ao invés de 15 e 30 dias com 05 e 1 mês porque 15 dias 05 mês e 30 dias 1 mês assim não precisamos calcular a taxa equivalente em juros simples Como não há entra C AV R 90000 Essa etapa da SP é representada pela Figura 19 M M 900 1004205 100421 Fonte o autor 2015 Figura 19 Diagrama representativo da etapa da SP a ser resolvida C À vista i 42 am mês 0 05 1 R 90000 M M Como M aparece nas duas parcelas podemos colocálo em evidência 1 1 M 900 1021 1042 0979409597M 900 19391M 900 M 900 19391 MR 46413 Compras com entrada e com duas parcelas quinzenais e iguais sob taxa de juros simples de 36 am U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 28 Fonte o autor 2015 Figura 110 Diagrama representativo da resolução da segunda etapa da SP AV R 90000 i 36 am mês 0 05 1 E R 22500 M M E 025AV 025900 E R22500 900 225 M M 1003605 100361 675 1 1 M 1018 1036 675 09823 09653M 675 19476M 675 M 19476 M R 34658 Resposta Se for escolhido o pagamento em duas parcelas quinzenais sem entrada cada parcela terá o valor de R 46413 mas optando por duas parcelas quinzenais com entrada o Sr Alberto deverá pagar uma entrada de R 22500 e cada parcela terá o valor de R 34658 Atenção U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 29 Lembrese Período Comercial 1 mês 30 dias 1 ano 360 dias 1 ano 6 bimestres 1 ano 4 trimestres 1 ano 3 quadrimestres 1 ano 2 semestres 1 biênio 2 anos 1 triênio 3 anos Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Série de Juros Simples 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro em função do tipo de financiamento de Juros Simples 3 Conteúdos relaciona dos Séries de Juros Simples 4 Descrição da SP Uma pessoa realizou uma compra de R 130000 pagou uma entrada de R 40000 e o restante deverá ser pago em duas parcelas mensais nos valores de R 600 e R 40000 respectivamente A negociação realizouse sob o regime de juros simples determine a taxa de juros aplicada U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 30 5 Resolução da SP 1300 400 600 400 11i 12i 900 600 400 100 11i 12i 9 6 4 11i 12i O mmc 11i e 12i 11i12i 2i2 3i 1 9 612i 411i 11i12i 911i12i 612i 411i 92i2 3i 1 6 12i 4 4i 18i2 27i 9 16i 10 18i2 27i 9 16i 10 0 18i2 11i 10 b2 4ac 112 4181 193 i b 2a i 11193 218 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 31 i 11 138924 218 i 00803 am 803 am Lembrese Faça você mesmo Uma pessoa realiza uma compra e parcela em três vezes iguais a R 15000 com vencimento a cada 10 dias sob a taxa de juros simples de 180 aa e também pagou uma entrada de R 20000 Determine o valor à vista da compra Resposta O valor à vista da compra foi de R 60967 Faça valer a pena 1 Um empréstimo sob a taxa de juros simples de 02 ad resultou em três parcelas quinzenais e iguais a R 20000 Calcule o valor que foi tomado de empréstimo a R 60000 b R 66643 c R 56634 d R 45000 e R 36621 2 Tomouse de empréstimo a quantia de R 120000 sob a taxa de juros simples de 3 am para ser pago em três parcelas mensais Calcule o valor das parcelas a R 40000 b R 30000 c R 36634 d R 42377 e R 36921 3 Uma pessoa realizou uma compra que foi financiada em três parcelas mensais e iguais a R 35000 o financiamento foi realizado sob a taxa de 48 aa Determine o valor da compra a R 70000 b R 80034 c R 90000 d R 105000 e R 97311 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 32 Seção 13 Juros compostos e taxa equivalente Diálogo aberto Caro aluno Juros Compostos e Taxa Equivalente em Juros Compostos também estão entre os principais tópicos da Matemática Financeira Nesta seção vamos aprender o regime de capitalização composto ou exponencial em que os juros incidem sobre o principal e os juros dos períodos anteriores Também estudaremos as taxas equivalentes que podem ser comparadas quando aplicadas a períodos de tempo diferentes e algumas aplicações práticas da capitalização composta no mercado financeiro O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia Aplicamos seu conceito e cálculos em financiamentos investimentos compras parceladas a longo prazo entre outros Vamos ver uma aplicação resolvendo a situaçãoproblema proposta sobre o um Centro Comercial que resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras com pagamento entre 30 e 60 dias sem entrada sob taxa de juros de juros compostos de 4258 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento entre 30 e 60 dias sob taxa de juros compostos de 3667 aa O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar no prazo de 60 dias em cada situação Colocandose no lugar da atendente o que você precisa saber para resolver esse problema usando Juros Compostos e Taxa Equivalente em Juros Compostos U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 33 Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados a Juros Compostos e Taxa Equivalente em Juros Compostos A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada No regime de capitalização composta ou exponencial os juros são incorporados ao principal a cada período de pagamento que chamamos de período de capitalização Esse regime difere do regime de capitalização de juros simples estudado nas seções anteriores pois considera o resgate dos juros a cada período Já na capitalização composta os juros são calculados sobre o valor corrigido do período anterior e a taxa de juros varia exponencialmente em função do tempo As interpretações dos termos capital montante e juros são as mesmas estudadas na Seção 11 Não pode faltar Lembrese Capital C quantidade de recurso financeiro disponível ou exigido no ato de uma operação financeira compra ou aplicação O capital também é denominado como Valor Presente VP e Valor Atual VA Montante M também denominado como Valor Futuro VF é o resultado futuro de operações financeiras realizadas com o capital Juros J são as compensações financeiras nas operações realizadas representando um acréscimo Juros Compostos É uma relação exponencial conforme Figura 111 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 34 Fonte o autor 2015 Figura 111 Representação gráfica dos juros compostos n1 n2 n M Mj M1 C A equação matemática é dada por M C1in i taxa de juros n prazo da operação financeira M C1in Podemos dizer que essa é a Equação do Montantes com Juros Compostos Algumas situações em que vamos negociar uma compra ou serviço exigem uma entrada financeira nesse caso não há grande alteração no cálculo O capital passa a ser o valor à vista menos a entrada assim C AV E AV valor à vista E entrada E a Equação Geral dos Juros Compostos não sofre alteração M C1in U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 35 Geralmente expressamos o prazo n de acordo com a unidade de tempo da taxa Mas poderíamos também expressar i de acordo com a unidade usada para n Em algumas situações teremos que escolher uma entre duas taxas para aplicação por exemplo uma anual e uma mensal Dessa forma em ambas as situações teremos que ajustar a taxa de juros para adaptála ao período de capitalização Para realizar esse ajuste devem ser calculadas as taxas equivalentes para diferentes períodos Mas o que é taxa equivalente em juros compostos Taxa equivalente em juros compostos Taxas equivalentes são as taxas de juros fornecidas em unidades de tempo diferentes Quando estas são aplicadas a um mesmo principal durante um mesmo prazo produzem um mesmo montante acumulado no regime de juros compostos Para a Taxa Equivalente o conceito inicial de Período Comercial se mantém Período Comercial 1 mês 30 dias em qualquer mês do ano 1 ano 360 dias A Taxa Equivalente ieq em Juros Compostos é dada por ieq1ipa1 Ou ieq a1ip 1 Onde a período apresentado p período pedido ou desejado Atenção para executar o cálculo devemos trabalhar com uma única unidade a menor entre apresentada e pedida U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 36 Assimile M C1in C AV E ieq 1ipa 1 Reflita O que difere o Juros Simples do Composto Pesquise mais Amplie seu conhecimento acesse o link Disponível em httpswwwalgosobrecombrmatematicafinanceirajuros compostoshtml Acesso em 4 out 2015 1 Uma pessoa tomou emprestado R 100000 a uma taxa de juros compostos de 4 am ao mês para pagar após dois meses Determine o valor a ser pago pelo empréstimo Resolução Diagrama do problema conforme a Figura 112 C Emp R 1000 0 2 M mês i 4 am Fonte o autor 2015 Figura 112 Diagrama representativo do problema Agora vamos realizar o cálculo aplicando a equação geral dos juros compostos M C1in M 100010042 M R108160 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 37 Resposta O valor a ser pago após 2 meses pelo empréstimo será de R 108160 em regime de juros compostos 2 Calcule a taxa equivalente em juros simples de 24 aa ao ano em ao mês e 15 am ao mês em ao ano Resolução 24 aa am Como explicado na teoria temos que calcular com a menor unidade nesse caso trabalharemos com mês a 12 porque a taxa apresentada é ao ano e 1 ano 12 meses p 1 porque a taxa pedida é ao mês ou em um mês ieq 1ipa 1 ieq 1024112 1 ieq 124112 1 ieq 12400833 1 ieq10181 1 ieq 00181 am ieq 181 am Ou ieq a1ip 1 ieq 1210241 ieq 121241 1 ieq 10181 1 ieq 00181 am ieq 181 am Portanto 24 aa 181 am 15 am aa Como explicado na teoria temos que calcular com a menor unidade nesse caso trabalharemos com mês assim a 1 porque a taxa apresentada é ao mês ou seja em um mês p 12 porque a taxa pedida é ao ano porque 1 ano 12 meses U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 38 ieq 1ipa 1 ieq 10015121 1 ieq 1015121 1 ieq 101512 1 ieq 11956 1 ieq 01956 am ieq 1956 am Ou ieq a1ip 1 ieq 11001512 ieq 1101512 1 ieq 101512 1 ieq 11956 1 ieq 01956 am ieq 1956 am Portanto 15 am 1956 aa 3 Uma pessoa realiza uma compra cujo valor à vista é de R 120000 mas dá uma entrada de R 30000 e o restante deverá ser pago após 2 meses sob taxa de juros compostos de 01 ad ao dia Determine o valor a ser pago após 2 meses Resolução A Figura 113 é o diagrama que representa a interpretação do nosso problema E R 90000 AV R 1200 0 2 M mês i 01 ad Fonte o autor 2015 Figura 113 Diagrama representativo do problema U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 39 O problema pede para calcular o valor a ser pago após um mês e a taxa é apresentada ao dia então devemos convertêla para o mês ieq 1ipa 1 ieq 10001301 1 ieq 1001301 1 ieq 100130 1 ieq 10304 1 ieq 00304 am ieq 304 am Ainda foi apresentado o valor à vista de R 120000 e a entrada de R 30000 Para calcular o valor a ser pago após 2 meses necessitamos do capital Sabemos que com essas variáveis o capital é dado por C AV E 1200 300 C R 90000 Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 2 meses usando a Equação Geral do Juros Compostos M C1in M 9001003042 M 900103042 M 90010617 M R 95553 Resposta O valor a ser pago após 2 meses será de R 95553 em regime de juros compostos Uma pessoa realiza uma compra cujo valor à vista é de R 80000 mas dá uma entrada de R 35000 e o restante deverá ser pago após 2 meses sob taxa de juros compostos de 42 aa Determine o valor a ser pago após 2 meses Resposta O valor a ser pago após 2 meses será de R 47714 em regime de juros compostos Sem medo de errar Vamos relembrar do problema proposto inicialmente um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 40 as seguintes condições Compras com pagamento entre 30 e 60 dias sem entrada sob taxa de juros compostos de 4258 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento entre 30 e 60 dias sob taxa de juros compostos de 3667 aa O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar no prazo de 60 dias ou seja em 2 meses em cada situação Resolução Compras com pagamento entre 30 e 60 dias sem entrada sob taxa de juros compostos de 4258 aa A Figura 114 é o diagrama que representa a interpretação da primeira etapa dessa SP Figura 114 Diagrama representativo da SP AV C R 90000 0 2 M i 4258 aa Fonte o autor 2015 O problema pede para calcular o valor a ser pago após 2 meses e a taxa é apresentada ao ano então devemos convertêla para o mês ieq 1ipa 1 ieq 104258112 1 ieq 14258112 1 ieq 1425800833 1 ieq 10300 1 ieq 00300 am U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 41 ieq 300 am Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 2 meses pela Equação Geral do Juros Compostos M C1in M 900 10032 M 90010609 M R 95481 Portanto o valor a ser pago após 60 dias ou 2 meses sem entrada será de R 95481 em regime de juros compostos Compras com entrada de 25 do valor à vista e pagamento entre 30 e 60 dias sob taxa de juros compostos de 3667 aa A Figura 115 é o diagrama que representa a interpretação da primeira etapa dessa SP Figura 115 Diagrama representativo da SP E 025AV AV R 90000 0 2 M mês i 3667 aa Fonte o autor 2015 O problema pede para calcular o valor a ser pago após 60 dias 2 meses e a taxa é apresentada ao ano então devemos convertêla para o mês ieq 1ipa 1 ieq 103667112 1 ieq 13667112 1 ieq 1366700833 1 ieq 10264 1 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 42 ieq 00264 am ieq 264 am Ainda foi apresentado o valor à vista de R 90000 e a entrada igual a 25 do valor à vista Para calcular o valor a ser pago após 2 meses necessitamos do capital e sabemos que com essas variáveis o capital é dado por E 025AV 025900 E R 22500 C AV E 900 225 C R 67500 Agora podemos calcular o valor a ser pago M após 2 meses usando a Equação Geral do Juros Compostos M C1in M 6751002642 M 67510535 M R 71111 Portanto o valor a ser pago após 60 dias ou 2 meses com entrada de R 22500 será de R 71111 em regime de juros compostos Atenção Taxa Equivalente em Juros Compostos a período apresentado p período pedido ou desejado Atenção para executar o cálculo devemos trabalhar com uma única unidade a menor entre apresentada e pedida Lembrese ieq 1ipa 1 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 43 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Juros Compostos 1 Competência Geral Cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro em função do tipo de financiamento de Juros Compostos 2 Objetivos de aprendizagem Juros e parcelamentos Conceitos Básicos 3 Conteúdos relacionados Juros Compostos 4 Descrição da SP Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras com entrada e pagamento em até 45 dias sob taxa de juros compostos de 24 am Uma pessoa realizou uma compra de R 110000 e ao chegar ao caixa o atendente lhe informou que sua compra resultou num pagamento de R 70840 com vencimento em 15 dias Qual foi o valor da entrada 5 Resolução da SP Temos o conhecimento do valor à vista AVR 110000 e do valor a ser pago após 45 dias ou 15 meses MR 70840 então precisamos saber qual foi o capital C que resultou no montante M sabendo que C1in M C1002415 70840 10362C 70840 C 7084010362 C R68365 Agora podemos saber o valor da entrada E AV E C 1100 E 68365 E R41635 Portanto a entrada paga foi de R 41635 Lembrese Mais um Link para você ter uma maior compreensão de Taxa equivalente em Juros Compostos Disponível em httpwww2unematbreugeniofilesfinanceira6equivalenciade taxashtm Acesso em 4 out 2015 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 44 Faça você mesmo Uma pessoa realiza uma compra pagando uma entrada de R 20000 e o restante deverá ser pago após 2 meses sob o valor de R 63000 valor que foi calculado sob uma taxa de juros compostos de 30 aa Determine o valor à vista da compra Resposta O valor à vista da compra foi de R 80305 Faça valer a pena 1 Converta a taxa de juros compostos de 100 aa para ao mês a 833 am b 595 am c 062 am 2 Converta a taxa de juros compostos de 7 am para ao ano a 2522 aa b 8400aa c 12522 aa d 006 am e 595 am d 18400 aa e 22522 aa 3 Converta a taxa de juros compostos de 112 aa para ao trimestre a 2706 ao trimestre b 2670 ao trimestre c 7602 ao trimestre d 6072 ao trimestre e 2067 ao trimestre U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 45 Seção 14 Série de juros compostos Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção estudaremos Séries de Juros Compostos que é a apresentação do cálculo de parcelamento em Juros Compostos considerando parcelas iguais e periódicas ou não O conhecimento que será apresentado aqui está apoiado nos conceitos vistos na seção anterior Seção 13 A vantagem de trabalhar com Série de Juros Compostos é que podemos calcular parcelas não iguais em períodos irregulares mas a desvantagem é que nos parcelamentos com mais de seis parcelas essa série se torna inviável por tomar muito tempo No futuro em outra seção veremos uma outra equação que nos permitirá calcular parcelamentos com infinitos números de parcelas Ao término da apresentação da teoria e exemplificação você será convidado a resolver mais uma etapa da situação que o Sr Alberto apresentou para a atendente do Centro Comercial veja Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo as seguintes condições Compras sem entrada com duas parcelas mensais e iguais sob a taxa de juros compostos de 6010 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e duas parcelas mensais e iguais sob taxa de juros compostos de 5287 aa O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar nos prazos extremos de cada situação Colocandose no lugar da atendente o que você precisa saber para resolver esse problema usando Séries de Juros Compostos U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 46 Ao final desta seção esperamos que você conclua que para resolver o problema teremos de conhecer aspectos teóricos relacionados a Séries de Juros Compostos A seguir veremos a teoria que nos ajudará a entender a técnica aqui comentada Séries de Juros Compostos poderia ter também como denominação Parcelamento em Juros Compostos ou ainda Financiamento em Juros Compostos Esse assunto tem como base que foi apresentado na Seção 13 M C1in Equação Geral dos Juros Compostos que podemos escrever C M 1in Com essa nova forma de apresentar a Equação Geral dos Juros Compostos podemos explicar a Série de Juros Compostos considerando que cada parcela ou prestação são pequenos Montantes M e o valor à vista de uma compra é o Capital conforme Figura 116 Não pode faltar Fonte o autor 2015 Figura 116 Esquema de financiamento ou parcelamento À vista C 0 n1 n2 nj M1 M2 Mj Considerando que cada parcela irá gerar um capital teremos c1 M1 c2 M2 cj Mj 1in1 1in2 1inj E C c1 c2 cj U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 47 Então C M1 M2 Mj 1in1 1in2 1inj Assim concluímos Em uma situação na qual trabalhamos com pagamento de entrada E como estudado na Seção 11 C AV E Passamos a escrever Assimile Reflita Juros Simples podem apresentar mais rendimento que Juros Compostos Se sim em que situação Exemplificando 1 Uma pessoa deseja comprar um artigo em 2 vezes mensais e iguais sabendo que o preço à vista é R 74000 O parcelamento será realizado sob a taxa de juros compostos de 4 am Determine o valor das parcelas Resolução Interpretação 2 vezes iguais e mensais 2 parcelas iguais a M ou seja U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 48 cada uma delas vale M mensais ocorrerão nos meses 1 e 2 a partir da compra À vista Capital C R 74000 Taxa de juros simples i 4 am004 am Fonte o autor 2015 Figura 117 Diagrama representativo da situação a ser resolvida C À vista i 4 am mês 0 1 2 R 74000 M M Aplicando a Equação da Série de Juros Simples M M 740 10041 10042 Como M aparece nas duas parcelas podemos colocálo em evidência 1 1 M 740 104 10816 09615 09246M 740 18861M 740 M 740 18861 M R 39234 Resposta Serão duas parcelas mensais e iguais a R 39234 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 49 2 Um produto está com sua venda anunciada em duas parcelas iguais a R 40000 vencendo em dois meses com entrada de R 20000 Tendo conhecimento que esses valores foram obtidos sob taxa de juros compostos de 60 aa determine o valor à vista do produto Resolução Fonte o autor 2015 Figura 118 Diagrama representativo do problema a ser resolvido E R 20000 i 60 aa mês 0 2 3 À vista 40000 40000 ieq 1ipa 1 106112 1 1600833 1 10399 1 ieq 00399 am 399 am Seção 13 AV 200 400 400 1003992 1003993 AV 200 400 1 0 0399 400 1 0 0399 2 3 AV 400 1 0814 400 11245 200 AV 369 89 355 71 200 AV R 925 60 Valor à vista Faça você mesmo Uma calculadora científica está custando R 50000 Paulo necessita adquirila para fazer prova de Matemática Financeira ao final do bimestre Sua intenção é parcelar o pagamento em três mensais e iguais a R 10000 sabendo que a taxa aplicada no parcelamento é de 54 aa em regime de juros compostos determine qual deverá ser o valor da U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 50 entrada Resposta O valor da entrada deverá ser de R 22069 Sem medo de errar Como citado no início desta seção você deverá colocar no lugar da atendente e apresentar o que foi solicitado pelo Sr Alberto Relembrando a situação Um Centro Comercial resolve ampliar suas formas de pagamento oferecendo seguintes condições Compras sem entrada com duas parcelas mensais e iguais sob a taxa de juros compostos de 6010 aa Compras com entrada de 25 do valor à vista e duas parcelas mensais e iguais sob taxa de juros compostos de 5287 aa O Sr Alberto realizou uma compra de R 90000 e ao chegar ao caixa solicita à atendente que apresente o quanto ele irá pagar nos prazos extremos de cada situação Resolução Compras sem entrada com duas parcelas mensais e iguais sob a taxa de juros compostos de 6010 aa A Figura 119 nos auxiliará a interpretar essa primeira etapa da nossa situação problema SP Fonte o autor 2015 Figura 119 Diagrama representativo da etapa da SP a ser resolvida C À vista i 6010 aa mês 0 1 2 R 90000 M M U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 51 Compras com entrada de 25 do valor à vista e duas parcelas mensais e iguais sob taxa de juros compostos de 5287 aa ieq 1ipa 1 106010112 1 1601000833 1 104 1 ieq004 am400 am Seção 13 M M 900 10041 10042 Como M aparece nas duas parcelas podemos colocálo em evidência 1 1 M 900 104 10816 09615 09246M 900 18861M 900 M 900 18861 MR 47718 Fonte autor 2015 Figura 120 Diagrama representativo da SP a ser resolvida AV R 90000 i 5287 aa mês 0 1 2 E R 22500 M M ieq 1i pa 1 105287 112 1 15287 00833 1 10360 1 ieq00360 am360 am Seção 13 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 52 900 225 M M 1003601 1003602 675 M M 10360 10733 1 1 M 675 10360 10733 09653 09317M 675 18970M 675 M 675 18970 M R 35582 Resposta Se fizer a opção por duas parcelas mensais sem entrada cada parcela terá o valor de R 47718 mas se optar por duas parcelas mensais com entrada o Sr Alberto deverá pagar uma entrada de R 22500 e cada parcela terá o valor de R 35582 Concluindo a situação real apresentada no início desta unidade podemos dizer que a atendente apresentou as seguintes possibilidades de pagamento para o Sr Alberto Pagando no prazo de 10 dias sem entrada a compra sairá por R 90900 Pagando uma entrada de R 22500 deverá pagar em um prazo de 10 dias R 68175 Duas parcelas iguais a R 46413 vencendo a cada 15 dias sem entrada Pagando uma entrada de R 22500 deverá pagar duas parcelas iguais de R 34658 vencendo a cada 15 dias Pagando após 60 dias sem entrada a compra sairá por R 95481 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 53 Pagando uma entrada de R 22500 deverá pagar em um prazo de 60 dias R 71111 Duas parcelas mensais e iguais a R 47718 sem entrada Pagando uma entrada de R 22500 deverá pagar duas parcelas mensais iguais de R 35582 Atenção Lembrese Taxa equivalente em Juros Compostos Seção 13 ieq1ipa 1 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Série de Juros Compostos 1 Competência Geral Cálculo do valor presente em função do tipo de pagamento 2 Objetivos de aprendizagem Cálculo do Valor Presente e do Valor Futuro em função do tipo de financiamento de Juros Compostos 3 Conteúdos relacionados Séries de Juros Compostos 4 Descrição da SP Uma pessoa realizou uma compra de R 130000 pagou uma entrada de R 40000 e restante deverá ser pago em duas parcelas mensais nos valores de R 600 e R 40000 respectivamente A negociação realizouse sob o regime de juros compostos determine a taxa de juros aplicada U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 54 5 Resolução da SP 1300 400 600 400 11i1 11i2 900 600 400 100 11i1 11i2 9 6 4 11i1 11i2 O mmc 11i1 e 11i2 11i2 i2 2i 1 9 61i4 11i2 911i2 6 1i 4 9i22i1 6 6i 4 9i2 18i 9 6i 10 9i2 18i 9 6i 10 0 9i2 12i 10 b2 4ac 122 491 180 i b 2a i 12180 29 i 12 134164 18 i 00787 am 787 am U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 55 Lembrese Período Comercial Seção 11 1 mês 30 dias 1 ano 360 dias 1 bimestre 2 meses 1 trimestre 3 meses 1 biênio 2 anos 1 triênio 3 anos Faça você mesmo Uma pessoa realiza uma compra e parcela em três vezes iguais a R 15000 vencendo a cada 30 dias sob a taxa de juros compostos de 180 aa e também pagou uma entrada de R 20000 Determine o valor à vista da compra Resposta O valor à vista da compra foi de R 58004 Faça valer a pena 1 Um empréstimo sob a taxa de juros compostos de 02 ad resultou em três parcelas mensais e iguais a R 20000 Calcule o valor que foi tomado de empréstimo a R 60000 b R 66643 c R 46634 2 Tomouse de empréstimo a quantia de R 120000 sob a taxa de juros compostos de 3 am para ser pago em três parcelas mensais Calcule o valor das parcelas a R 42422 b R 30000 c R 36634 3 Uma pessoa realizou uma compra que foi financiada em três parcelas mensais e iguais a R 35000 o financiamento foi realizado sob a taxa de juros compostos de 48 aa Determine o valor da compra a R 99738 b R 93879 c R 93987 d R 45000 e R 53283 d R 47377 e R 36921 d R 89397 e R 98397 U1 Juros e parcelamentos conceitos básicos 56 Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 CARVALHO L C S ELIA B S DECOTELLI C A Matemática financeira aplicada Rio de Janeiro FGV 2009 FILHO O K Fundamentos da matemática financeira 2 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 Unidade 2 Aplicações dos Conceitos Básicos Convite ao estudo Caro aluno Vamos estudar agora as aplicações dos conceitos inicialmente apresentados na Unidade 1 Juros Taxas equivalentes e Série de Juros simples e compostos sem correr o risco de repetições mas sim de forma a ampliar nossos conhecimentos Desse modo nesta unidade de ensino iremos enfatizar o estudo em negociação com juros simples e compostos capital de giro desconto bancário com IOF taxa efetiva e nominal Buscaremos desenvolver a competência de conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo e as técnicas de cálculo de taxas nominais efetivas e equivalentes Para auxiliar no desenvolvimento da competência é apresentada uma situação real que visa aproximar os conteúdos teóricos com a prática Uma metalúrgica precisa comprar uma máquina cujo fornecedor ofereceu a seguinte condição Três parcelas iguais a R 2200000 com vencimento a cada 10 dias sob a taxa de juros simples de 12 am Mas você como gerente financeiro apresenta a seguinte proposta Pagar uma entrada e financiar o restante em três parcelas mensais e iguais sob a taxa nominal de 132 aa Porém sua estratégia para pagar a entrada será Antecipar os recebimentos de títulos de baixo porte títulos que não pagam IOF Título de R 100000 antecipado em 07 dias Título de R 90000 antecipado em 11 dias Título de R 60000 antecipado em 05 dias Antecipar os recebimentos de títulos de alto porte títulos que pagam IOF Título de R 1100000 antecipado em 03 dias Título de R 800000 antecipado em 06 dias Título de R 500000 antecipado em 05 dias A instituição que pagará as antecipações dos títulos cobra uma taxa nominal administrativa de 108 ao semestre e IOF de 007 ad Ao término desta unidade você deverá apresentar os valores resgatados antecipados de cada título o valor da entrada a ser paga e o valor das parcelas iguais a serem pagas mensalmente U2 Aplicações dos conceitos básicos 59 Seção 21 Capital de Giro Desconto Bancário Diálogo aberto Aluno O Capital de Giro é o que garante a saúde financeira das empresas e uma das formas de gerenciar o capital de giro é através do Desconto Bancário a obtenção de capital por meio antecipação de títulos Esse recurso se tornará mais claro quando a teoria lhe for apresentada e você terá condições de vivenciar as aplicações por meio da situação problema a seguir Você como Gerente Financeiro deverá garantir a parte da verba da entrada proposta na negociação da compra da máquina citada na situação de realidade profissional apresentada no início desta unidade E sua estratégia é pagar parte da entrada com Antecipação dos recebimentos de títulos de baixo porte títulos que não pagam IOF Título de R 100000 antecipado em 07 dias Título de R 90000 antecipado em 11 dias Título de R 60000 antecipado em 05 dias A Instituição cobra pelas antecipações dos títulos uma taxa nominal administrativa de 108 ao semestre Nesta seção você deverá apresentar o valor obtido pelos títulos como parte da entrada Capital de Giro Denominase Capital de Giro os recursos financeiros que garantem as condições para uma empresa dar continuidade às suas operações Não pode faltar U2 Aplicações dos conceitos básicos 60 como compra de matériaprima estoques de produtos de vendas pagamentos de funcionários entre outras Uma das formas de se ter Capital de Giro é antecipação dos recebimentos de títulos que podem ser boletos ou promissórias resultantes de vendas ou serviços prestados a clientes que pagarão numa relação futura Desconto Bancário Essa é uma operação hoje muito comum entre pessoas jurídicas empresas de grande médio e pequeno porte e também pessoas físicas nós O desconto bancário nada mais é do que a antecipação em dias do recebimento de um título promissória ou boleto realizado por um banco Nós pessoas físicas também podemos fazer uso dessa operação financeira pois podemos negociar a antecipação do pagamento da restituição do imposto de renda e do 13º salário O recebimento antecipado de títulos não ocorre na sua totalidade pois o banco cobra uma taxa administrativa pela realização da operação O cálculo do valor a ser recebido é apresentado a seguir Onde VB Valor descontado valor resgatado valor resultante da antecipação N Valor nominal valor do título antecipado d Taxa nominal taxa de juros simples ao dia n período de antecipação do título geralmente em dias As antecipações de títulos ocorrem geralmente há poucos dias dos clientes os pagarem isso para que o valor resgatado VB seja o mais próximo do valor nominal N ou seja do valor do título Importante A taxa nominal é uma taxa de juros simples então se necessitarmos convertêla de mês para dia ou de ano para dia devemos usar o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples Unidade 1 Seção 1 U2 Aplicações dos conceitos básicos 61 Assimile Onde VB Valor descontado valor resgatado valor resultante da antecipação N Valor nominal valor do título antecipado d Taxa nominal taxa de juros simples ao dia n período de antecipação do título geralmente em dias Reflita As empresas com as quais temos contato auto mecânica auto elétrica padaria farmácia fazem uso dessa operação antecipação títulos que podem ser cheques Pesquise mais Você achou o tema interessante Então acesse o site e leia o material nele contido httpbrasilescolauolcombrmatematicadescontosimples comercialhtm Acesso em 2 dez 2015 Também acesse httpsepxxcoctbhp12chtml Acesso em 5 jan 2016 Exemplificando 1 Uma pessoa está a três dias de receber a segunda parcela de seu 13º salário que é R 180000 mas decide antecipar o seu recebimento para presentear sua mãe A instituição lhe cobrará uma taxa nominal de 07 ad Calcule o valor a ser resgatado Resolução A segunda parcela do 13º salário nesse caso é título a ser antecipado então N R 180000 A instituição cobra uma taxa nominal de 07 ad d A pessoa está a três dias de receber a segunda parcela de seu U2 Aplicações dos conceitos básicos 62 13º salário e decide antecipar o seu recebimento então 3 dias n VB N1 dn VB 18001 00073 VB R 176220 Portanto pela antecipação do 13º salário em 3 dias a pessoa receberá R 176220 2 Uma microempresa necessita efetuar um pagamento e para isso antecipará o recebimento das seguintes duplicatas Duplicata 0125 de R 110000 vencendo em 7 dias Duplicata 0129 de R 70000 vencendo em 16 dias Duplicata 0134 de R 1560 vencendo em 5 dias A instituição que fará a antecipação das duplicatas cobra uma taxa nominal administrativa de 171 am Calcule o valor resgatado pelas duplicatas Resolução Nesse caso a taxa nominal d 171 está ao mês e trabalhamos com taxa nominal ao dia Como a taxa nominal é taxa de juros simples conforme citado na teoria então podemos e devemos usar a taxa equivalente de juros simples para convertêla ao dia Assim d 057 ad Duplicata 0125 de R 110000 vencendo em 7 dias Ver teoria Unidade 1 Seção 1 U2 Aplicações dos conceitos básicos 63 VB N1 dn VB 11001 000577 VB R 105611 Duplicata 0129 de R 70000 vencendo em 16 dias VB N1 dn VB 7001 0005716 VB R63616 Duplicata 0134 de R 156000 vencendo em 5 dias VB N1 dn VB 15601 000575 VB R 151554 O valor resgatado pelas duplicatas Valor resgatado 105611 63616 151554 Valor resgatado R320781 Portanto o valor resgatado ou seja obtido pela antecipação das duplicatas é de R 320781 Veja uma forma mais prática de resolver o mesmo problema fazendo uso de uma tabela U2 Aplicações dos conceitos básicos 64 Portanto o valor resgatado ou seja obtido pela antecipação das duplicatas é de R 320781 Faça você mesmo Uma loja de semijóias irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R 146000 e R 178000 com vencimentos em 6 e 9 dias respectivamente O Banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22320 aa Calcule o valor que o fornecedor receberá O fornecedor receberá o valor de R 308637 Vocabulário Pessoa Jurídica Instituição com responsabilidades jurídicas como empresas associações companhias entre outras Pessoa Física todo indivíduo homem ou mulher identificado por um CPF Cadastro de Pessoa Física Sem medo de errar Agora vamos trabalhar em em nossa situaçãoproblema Você como Gerente Financeiro deverá garantir a parte da verba da entrada proposta na negociação da compra da máquina citada na situação de realidade profissional nesta unidade E sua estratégia é pagar parte da entrada com Antecipação dos recebimentos de títulos de baixo porte títulos que não pagam IOF Título de R 100000 antecipado em 07 dias Título de R 90000 antecipado em 11 dias Título de R 60000 antecipado em 05 dias A instituição cobra pelas antecipações dos títulos uma taxa nominal administrativa de 108 ao semestre U2 Aplicações dos conceitos básicos 65 Você deverá apresentar o valor obtido pelos títulos como parte da entrada Resolução Nesse caso a taxa nominal d 108 está ao semestre e trabalhamos com taxa nominal ao dia Como a taxa nominal é taxa de juros simples conforme citado na teoria então podemos e devemos usar a taxa equivalente de juros simples para convertêla ao dia como a seguir Ver teoria Unidade 1 Seção 1 Assim d 06 ad Título de R 100000 antecipado em 07 dias VB N1 dn VB 10001 00067 VB R 95800 Título de R 90000 antecipado em 11 dias VB N1 dn VB 9001 000611 VB R 84060 Título de R 60000 antecipado em 05 dias VB N1 dn VB 6001 00065 VB R 58200 O valor obtido pela antecipação dos títulos Valor resgatado 95800 84060 58200 Valor resgatado R 238060 U2 Aplicações dos conceitos básicos 66 Parte da entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de baixo porte será de R 238060 Resolvendo de forma prática o mesmo problema fazendo uso de tabela Tabela 21 Fonte o autor Parte da entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de baixo porte será de R 238060 Atenção São considerados títulos para empresas Pessoas Jurídicas Promissórias Duplicatas Boletos Cheques Faturas de cartão de crédito No caso de Pessoas Físicas são considerados títulos 13º salário 1ª e 2ª parcela Restituição de Imposto de Renda Lembrese A taxa nominal é uma taxa de juros simples então se necessitarmos convertêla de mês para dia ou de ano para dia devemos usar o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples Unidade 1 Seção 1 U2 Aplicações dos conceitos básicos 67 Tabela 21 Fonte o autor Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Capital de Giro Desconto Bancário 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Aplicações dos conceitos básicos de juros e parcelamentos 3 Conteúdos relacionados Juros e Parcelamento 4 Descrição da SP Uma empresa necessita de equipamento para agilizar a sua produção e a aquisição desse equipamento pode ser feita por meio de financiamento mas há necessidade de pagar entrada Então decidiuse que a entrada será paga com o valor resultante da antecipação de dois boletos nos valores de R 165000 e R 179000 com vencimento em 3 e 13 dias respectivamente O banco em que será realizada a antecipação dos boletos cobra uma taxa nominal administrativa de 4230 ao trimestre Determine o valor que se será pago como entrada 5 Resolução da SP Ver teoria Unidade 1 Seção 1 Assim d 047 ad Boleto de R 165000 antecipado em 03 dias VB N1 dn VB 16501 000473 VB R 162674 Boleto de R 179000 antecipado em 13 dias VB N1 dn VB 17901 0004713 VB R 168063 U2 Aplicações dos conceitos básicos 68 O valor obtido pela antecipação dos boletos Valor resgatado 162674 168063 Valor resgatado R330737 Entrada O valor a ser pago como entrada será de R 330737 Resolvendo de forma prática o mesmo problema fazendo uso de tabela Valor resgatado R 330737 Entrada O valor a ser pago como entrada será de R 330737 Lembrese Não deixe de fazer uma revisão sobre Taxa Equivalente em Juros Simples Unidade 1 Seção 1 Faça você mesmo As promissórias nos valores de R 120000 e R 170000 foram resgatadas antecipadamente resultando em R 106560 e R 164560 Sabendo que foram antecipadas na mesma instituição financeira ou seja a taxa nominal aplicada na transação foi a mesma para as duas promissórias e que a primeira foi antecipada em 10 dias a mais que a segunda determine o valor da taxa nominal ao ano e em quantos dias cada promissória foi antecipada Resolução Antes de tentar fazer o cálculo temos que entender o que nos foi fornecido e escrever na forma matemática U2 Aplicações dos conceitos básicos 69 Primeira promissória N R 120000 VB R 106560 taxa nominal que desejo saber d e data de vencimento veja que foi citado a primeira promissória vence dez dias após a segunda então escreveremos n10 Segunda promissória N R 170000 VB R 164560 taxa nominal que desejo saber d e data de vencimento n Vamos formular o problema segundo as informações e VB N1 dn 1ª promissória 106560 12001dn 10 2ª promissória 164560 17001 dn Dessa forma parece não ter solução Então vamos simplificar cada uma das situações Primeira promissória U2 Aplicações dos conceitos básicos 70 Segunda promissória Como definimos pela segunda promissória vamos substituir n na equação simplificada da primeira promissória que é 0112 dn 10 Com a substituição de n teremos Podemos calcular em quantos dias a segunda promissória foi antecipada usando assim U2 Aplicações dos conceitos básicos 71 Portanto a segunda promissória teve seu resgate antecipado em 4 dias Como conhecemos o período de antecipação da segunda promissória que foi de 4 dias podemos calcular em quantos dias a primeira promissória teve seu resgate antecipado Antecipação da 1ª promissória n 10 4 10 Antecipação da 1ª promissória 14 dias Portanto a primeira promissória teve seu resgate antecipado em 14 dias Calculamos a taxa nominal de 08 ad mas o problema pede ao ano portanto temos de convertêla usando a taxa equivalente do juros simples Agora podemos apresentar as respostas solicitadas no problema A taxa nominal utilizada na antecipação das promissórias foi de 288 aa a primeira e segunda promissórias foram antecipadas em 14 e 4 dias respectivamente Faça valer a pena 1 Um título de R 174000 terá o resgate antecipado em 9 dias em uma instituição financeira que cobra uma taxa nominal administrativa de 062 ad Calcule o valor a ser resgatado em função da antecipação a R 194261 b R 164291 c R 124691 d R 142916 e R 119264 2 Um boleto teve seu valor nominal antecipado em 11 dias o que gerou um resgate de R 135430 O banco que realizou a transação dessa antecipação cobrou uma taxa nominal de 023 ad Determine o valor do boleto a R 149854 b R 138945 c R 158354 d R 145538 e R 185493 U2 Aplicações dos conceitos básicos 72 3 Uma duplicata de R 220000 foi antecipada em 13 dias e resultou num resgate de R 204842 Determine a taxa nominal utilizada nessa antecipação a 053 ad b 097 ad c 067 ad d 043 ad e 035 ad U2 Aplicações dos conceitos básicos 73 Seção 22 Desconto bancário com IOF Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção ainda estamos tratando de capital de giro e daremos continuidade à discussão sobre desconto bancário porém iremos inserir a cobrança de imposto O imposto a ser tratado é o IOF Imposto sobre Operações Financeira Novamente você terá a oportunidade de vivenciar a aplicação prática do conceito apresentado Em sua posição de Gerente Financeiro você deverá garantir mais uma parcela da verba da entrada proposta na negociação da compra da máquina citada na situação de realidade profissional do início desta unidade como apresentado a seguir Sua estratégia para pagar a entrada será também Antecipar os recebimentos de títulos de alto porte títulos que pagam IOF Título de R 1100000 antecipado em 03 dias Título de R 800000 antecipado em 06 dias Título de R 500000 antecipado em 05 dias A instituição que pagará as antecipações dos títulos cobra uma taxa nominal administrativa de 108 ao semestre e IOF de 007 ad Ao término desta seção você deverá apresentar o valor total resgatado pela antecipação dos títulos de alto porte que será utilizado como parte da entrada e também deverá apresentar o valor total da entrada a ser paga para aquisição do maquinário citado no início desta unidade O Imposto sobre Operações Financeiras IOF envolve operações de câmbio crédito seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários Não pode faltar U2 Aplicações dos conceitos básicos 74 Onde VB Valor descontado valor resgatado valor resultante da antecipação N Valor nominal valor do título antecipado d Taxa nominal taxa de juros simples ao dia n período de antecipação do título geralmente em dias IOF Imposto sobre Operações Financeiras taxa de juros simples ao dia Importante A taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples então se necessitarmos convertêlas de mês para dia ou de ano para dia usaremos o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples Unidade 1 Seção 1 No desconto bancário antecipação de títulos promissórias e duplicatas o IOF se apresenta conforme a fórmula a seguir Assimile VB Valor descontado valor resgatado valor resultante da antecipação N Valor nominal valor do título a antecipado d Taxa nominal taxa de juros simples ao dia n período de antecipação do título geralmente em dias IOF Imposto sobre Operações Financeiras taxa de juros simples ao dia Reflita Em que situações pagamos o IOF Pesquise mais Para que você possa se aprofundar no assunto tratado acesse os links httpwwwbertoloprobrMatFinHTMLDESCONTOS DUPLICATAShtm Acesso em 10 jun 2016 Acesso em 10 jun 2016 httpsepxxcoctbhp12chtml Acesso em 5 jan 2016 Veja a resolução pelo MS Excel no link disponível em httpswww youtubecomwatchvkNdCN0vnu20 Acesso em 2 fev 2016 U2 Aplicações dos conceitos básicos 75 Exemplificando Um empresário necessita adquirir um maquinário e para isso fará a antecipação de dois títulos de valores nominais de R 2365000 e R 1574000 que vencerão em 17 e 23 dias respectivamente numa instituição financeira que cobra pela transação uma taxa nominal de 012 ad e IOF de 0017 ad Determine o valor total resgatado Resolução Para o título de R 2365000 Para o título de R1574000 Valor total resgatado Valor total resgatado 2309919 1524403 Valor total resgatado R3834322 Portanto o valor total resgatado com as antecipações será de R 3834322 Resolvendo de forma prática Portanto o valor total resgatado devido às antecipações será de R 3834322 U2 Aplicações dos conceitos básicos 76 Faça você mesmo Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R 2346000 e R 3678000 com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 2232 aa e IOF de 72 aa Calcule o valor que o fornecedor receberá O fornecedor receberá o valor de R 5955155 Sem medo de errar Você como Gerente Financeiro deverá garantir mais uma parcela da verba da entrada proposta na negociação de compra da máquina citada na situação de realidade profissional desta unidade Sua estratégia para pagar a entrada será também Antecipar os recebimentos de títulos de alto porte títulos que pagam IOF Título de R 1100000 antecipado em 03 dias Título de R 800000 antecipado em 06 dias Título de R 500000 antecipado em 05 dias A instituição que pagará as antecipações dos títulos cobra uma taxa nominal administrativa de 108 ao semestre e IOF de 007 ad Resolução Nesse caso a taxa nominal d 108 está ao semestre e trabalhamos com taxa nominal ao dia Como a taxa nominal é taxa de juros simples conforme citado na teoria então podemos e devemos usar a taxa equivalente de juros simples para convertêla ao dia Ver teoria Unidade 1 Seção 1 Assim d 06 ad Resolvendo de forma prática U2 Aplicações dos conceitos básicos 77 Tabela 22 Parte da entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de alto porte será de R 2328980 Assim temos condição de definir o valor da entrada a ser paga pela compra da máquina Parte da entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de baixo porte será de R 238060 Parte da entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de alto porte será de R 2328980 A soma dos resgates dos títulos de alto e baixo porte resultam no valor da entrada Entrada 238060 2328980 Entrada R 2567040 A entrada a ser apresentada como pagamento em função da antecipação dos títulos de alto e baixo porte será de R 2567040 Atenção O Imposto sobre Operações Financeiras IOF envolve operações de câmbio crédito seguro ou relativas a títulos ou valores imobiliários Lembrese A taxa nominal e o IOF são taxas de juros simples então se necessitarmos convertêlas de mês para dia ou de ano para dia usaremos o conceito de Taxa Equivalente em Juros Simples Unidade 1 Seção 1 U2 Aplicações dos conceitos básicos 78 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e as compare com as de seus colegas Desconto Bancário com IOF 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Aplicações dos conceitos básicos de juros e parcelamentos 3 Conteúdos relacionados Juros e Parcelamento 4 Descrição da SP A duplicata de R 3000000 foi resgatada com antecedência de 12 dias o que resultou no valor R 2995032 A antecipação ocorreu sob a incidência de taxa nominal e IOF Sabendo que este último equivale a 15 da taxa nominal determine os valores da taxa nominal e do IOF ambos ao semestre 5 Resolução da SP O texto pede os valores da taxa nominal d e do IOF mas nos informa que a antecipação ocorreu sob a incidência de taxa nominal d e IOF sabendo que este último IOF equivale a 15 da taxa nominal portanto IOFequivale a 15 da taxa nominal d 015d Para a duplicata de R 3000000 com resgate de R 2995032 em 12 dias Como IOF015d então IOF 015d IOF 015000012 IOF 0000018 ad U2 Aplicações dos conceitos básicos 79 Mas para ambas a taxas nominal e IOF solicitouse ao semestre então vamos convertêlas d ieq 00001218000216 ao semestre 216 ao semestre Ver teoria Unidade 1 Seção 1 d 216 ao semestre IOF ieq 0000018180 000324 ao semestre 0324 ao semestre Ver teoria Unidade 1 Seção 1 IOF 0324 ao semestre Portanto os valores da taxa nominal e do IOF são respectivamente 216 ao semestre e 0324 ao semestre Lembrese Onde VB Valor descontado valor resgatado valor resultante da antecipação N Valor nominal valor do título antecipado d Taxa nominal taxa de juros simples ao dia n período de antecipação do título geralmente em dias IOF Imposto sobre Operações Financeiras taxa de juros simples ao dia Faça você mesmo Uma instituição financeira antecipou o resgate de uma promissória como apresentado a seguir Promissória 00213 de R 5250000 resgatada pelo valor de R 5117700 devido à antecipação de 9 dias Sabese que a taxa nominal é o sêxtuplo do IOF Calcule o IOF e a taxa nominal aplicadas no resgate ambas as taxas ao bimestre Resposta O IOF aplicado foi 24 ao bimestre e a taxa nominal de 144 ao bimestre Faça valer a pena 1 A taxa nominal e o IOF apresentam que regime de juros e qual é a sua unidade trabalho temporal a Regime de juros simples com unidade temporal ao ano U2 Aplicações dos conceitos básicos 80 b Regime de juros compostos com unidade temporal ao ano c Regime de juros simples com unidade temporal ao dia d Regime de juros compostos com unidade temporal ao dia e Regime de juros compostos com unidade temporal ao mês 2 Uma empresa necessita antecipar o resgate de um título de R 2700000 em 5 dias para pagar suas despesas mensais O banco em que ocorrerá a antecipação do título cobra uma taxa nominal administrativa de 033 ad e IOF de 002 ad Calcule o valor a ser resgatado a R 2562750 b R 2252650 c R 2652750 3 A antecipação de uma duplicada de R 1260000 em 27 dias resultou num resgate de R 1083096 é sabido que o IOF cobrado foi de 008 ad Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação a 044 ad b 032 ad c 067 ad d R 2225706 e R 2052756 d 320 ad e 442 ad U2 Aplicações dos conceitos básicos 81 Seção 23 Taxa efetiva e nominal Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção aprenderemos sobre taxa efetiva e nominal retomaremos os conceitos de juros simples e compostos esclareceremos suas relações temporais e de situação de regime Esse conhecimento é muito importante pois os termos taxa nominal e taxa efetiva aparecem em muitos contratos de compra e venda de serviços entre outros e isso pode te levar a pagar uma taxa mais elevada do que está aparentemente declarada num contrato e por incrível que pareça isso é legal Ao término desta seção você estará mais apto a discutir taxas de juros em contratos que envolvem sua vida pessoal e profissional tendo condições de decidir se está disposto a arcar com os ônus das taxas de juros Lembrese de que nesta unidade você se tornou Gerente Financeiro da Metalúrgica que necessita comprar uma máquina Nesta seção você tem uma simples missão apresentar de forma adequada a taxa de juros da proposta de pagamento que você elaborou Você como Gerente Financeiro apresentou a seguinte proposta Pagar uma entrada e financiar o restante em parcelas mensais e iguais sob a taxa nominal de 132 aa em regime de juros compostos Para atingir nossos objetivos vamos à teoria Para que possamos entender taxa efetiva e nominal precisamos inicialmente reforçar os conceitos de taxa equivalente em juros simples e composto Não pode faltar U2 Aplicações dos conceitos básicos 82 Conceituando taxa equivalente seja em juros simples ou compostos ela tem a função de adequar a taxa à relação temporal de trabalho Por exemplo se estou calculando parcelas mensais a taxa de juros tem que estar ao mês am se estiver ao ano aa somos obrigados a convertêla pelos métodos apresentados nas seções 11 juros simples e 13 juros compostos Os termos simples e compostos são os regimes das taxa de juros Algumas vezes você poderá se deparar com a expressão taxa de juros de x em regime de juros simples nada mais é do taxa de juros simples de x o mesmo poderá ocorrer com taxa de juros compostos sendo citada como taxa de juros de y em regime de juros compostos Vamos agora definir as taxas efetiva e nominal Taxa efetiva ief taxa de juros compostos Taxa nominal d taxa de juros simples conforme apresentada na Seção 22 A relação existente entre as taxas efetiva e nominal é a conversão de regimes convertendo a taxa de juros simples a nominal em taxa de juros compostos efetiva ou viceversa podendo ou não haver conversão temporal por exemplo passando de ao ano para ao mês A conversão de taxa nominal em efetiva se dá conforme fórmula a seguir onde ief taxa efetiva d taxa nominal n período da taxa nominal em dias f período da taxa efetiva em dias A conversão de taxa efetiva em nominal se dá pela fórmula a seguir U2 Aplicações dos conceitos básicos 83 ou onde ief taxa efetiva d taxa nominal n período da taxa nominal em dias f período da taxa efetiva em dias Veja o Quadro 21 que deverá lhe ajudar a não fazer confusão Quadro 21 Diferenças entre as taxas equivalente efetiva e nominal Fonte o autor Assimile Taxa equivalente só altera a relação temporal e não o regime Taxa efetiva e nominal há mudança de regime compostos e simples podendo ou não haver alteração temporal U2 Aplicações dos conceitos básicos 84 Reflita Juros Simples e Compostos são aplicados usualmente em quais situações Pesquise mais Para que possa ter mais informações acesse Disponível em httpconcursosbrasilescolauolcombrmatematicataxanominal taxaefetivahtml Acesso em 10 dez 2015 Disponível em httpsepxxcoctbhp12chtml Acesso em 5 jan 2016 Pesquise também a resolução pelo MS Excel Exemplificando 1 Um contrato de financiamento em regime de juros compostos porque o parcelamento é a longo prazo apresentou taxa nominal de 32 aa Apresente a taxa de trabalho desse financiamento ao ano e ao mês Resolução Como se trata de um financiamento em juros compostos a taxa de trabalho não pode ser a taxa nominal pois ela é taxa de juros simples então deveremos trabalhar com taxa efetiva Passando de taxa nominal ao ano para taxa efetiva ao ano Obs não há alteração temporal somente de regime passando de simples para composto A taxa nominal está ao ano portanto n360 dias a taxa efetiva também será ao ano assim f360 dias U2 Aplicações dos conceitos básicos 85 Portanto a taxa de trabalho que é a taxa efetiva é de 3769 aa Obs Note que a taxa efetiva numa mesma relação temporal que a taxa nominal ao ano foi maior que a taxa nominal Sempre que não houver alteração temporal a taxa efetiva será maior que a taxa nominal Passando de taxa nominal ao ano para taxa efetiva ao mês Obs há alteração de regime e temporal passando de simples para composto e de ano para mês A taxa nominal está ao ano portanto n360 dias a taxa efetiva será ao mês assim f30 dias Portanto a taxa de trabalho que é a taxa efetiva é de 270 am 2 Um contrato de financiamento em regime de juros simples porque o parcelamento é a curto prazo apresentou taxa efetiva de 27 aa Apresente a taxa de trabalho desse financiamento ao ano e ao mês Resolução Como se trata de um financiamento em juros simples a taxa de trabalho não pode ser a taxa efetiva pois ela é taxa de juros compostos então deveremos trabalhar com taxa nominal Passando de taxa efetiva ao ano para taxa nominal ao ano Obs não há alteração temporal somente de regime passando de composto para simples A taxa efetiva está ao ano portanto f 360 dias a taxa nominal também será ao ano assim n 360 dias U2 Aplicações dos conceitos básicos 86 Portanto a taxa de trabalho que é a taxa nominal é de 2520 aa Obs Note que a taxa nominal numa mesma relação temporal que a taxa efetiva ao ano foi menor que a taxa efetiva Sempre que não houver alteração temporal a taxa nominal será menor que a taxa efetiva Passando de taxa efetiva ao ano para taxa nominal ao mês Obs há alteração de regime e temporal passando de composto para simples e de ano para mês A taxa efetiva está ao ano portanto f 360 dias a taxa nominal será ao mês assim n 30 dias Portanto a taxa de trabalho que é a taxa nominal é de 210 am Faça você mesmo 1 Dada a taxa efetiva de 1833 ao semestre convertaa em taxa nominal ao ano e ao trimestre Resposta 3384 aa e 846 ao trimestre 2 Sendo a taxa nominal de 4527 ao biênio convertaa em taxa efetiva biênio e ao semestre Resposta 5401 ao biênio e 1110 ao semestre U2 Aplicações dos conceitos básicos 87 Sem medo de errar Você como Gerente Financeiro apresentou a seguinte proposta Pagar uma entrada e financiar o restante em parcelas mensais e iguais sob a taxa nominal de 132 aa em regime de juros compostos Resolução Como sua proposta tratase de um financiamento em parcelas mensais e iguais em regime de juros compostos não calcularemos as parcelas com a taxa nominal porque ela é uma taxa de juros simples por isso devemos convertêla em taxa efetiva e ao mês Portanto a taxa de que iremos usar para calcular as parcelas mensais e iguais da proposta que é a taxa efetiva será de 121 am Com as informações que você tem obtido a cada seção desta unidade você está se aproximando de obter os resultados que respondem à nossa situação de realidade profissional proposta inicialmente além de estar mais preparado para uma vida financeira de sucesso Atenção Taxa Efetiva ief Juros Compostos Taxa Nominal d Juros Simples U2 Aplicações dos conceitos básicos 88 Lembrese Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Taxa Efetiva e Nominal 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer técnicas de cálculo de taxas nominais efetivas e equivalentes 3 Conteúdos relacionados Taxa Efetiva e Nominal 4 Descrição da SP Um administrador deverá trabalhar com as seguintes informações para fazer uma análise financeira Taxa nominal de 36 aa Taxa efetiva de 1971 relacionada à nominal acima O administrador notou que a taxa efetiva não apresenta a sua relação temporal Ajudeo e calcule a relação temporal da taxa efetiva 5 Resolução da SP Para ajudarmos o administrador devemos fazer uso da fórmula a seguir Como a incógnita é um expoente devemos usar a seguinte propriedade dos logaritmos U2 Aplicações dos conceitos básicos 89 Taxa Efetiva e Nominal 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer técnicas de cálculo de taxas nominais efetivas e equivalentes 3 Conteúdos relacionados Taxa Efetiva e Nominal 4 Descrição da SP Um administrador deverá trabalhar com as seguintes informações para fazer uma análise financeira Taxa nominal de 36 aa Taxa efetiva de 1971 relacionada à nominal acima O administrador notou que a taxa efetiva não apresenta a sua relação temporal Ajudeo e calcule a relação temporal da taxa efetiva 5 Resolução da SP Para ajudarmos o administrador devemos fazer uso da fórmula a seguir Como a incógnita é um expoente devemos usar a seguinte propriedade dos logaritmos Aplicando da seguinte forma Portanto a relação temporal da taxa efetiva é ao semestre a taxa efetiva é de 1971 ao semestre Lembrese A taxa nominal numa mesma relação temporal que a taxa efetiva sempre será menor que a taxa efetiva Faça você mesmo Um administrador deverá trabalhar com as seguintes informações para fazer uma análise financeira Taxa efetiva de 3644 ao bimestre Taxa nominal de 1971 relacionada à efetiva acima O administrador notou que a taxa nominal não apresenta a sua relação temporal Ajudeo e calcule a relação temporal da taxa nominal Resposta a cada 38 dias Faça valer a pena 1 Dada a taxa nominal de 542 am calcule a taxa efetiva também am a 545 am b 455 am c 554 am d 454 am e 445 am 2 Calcule a taxa nominal ao semestre da taxa efetiva de 1679 ao semestre a 126 ao semestre b 162 ao semestre c 612 ao semestre d 621 ao semestre e 621 ao semestre 3 Para a taxa nominal de 24 aa calcule a taxa efetiva ao bimestre a 429 ao bimestre b 249 ao bimestre c 492 ao bimestre d 924 ao bimestre e 942 ao bimestre U2 Aplicações dos conceitos básicos 90 Seção 24 Negociação com juros simples e compostos Diálogo aberto Caro aluno Esta seção é de suma importância para sua formação não que as outras não sejam mas aqui você terá a oportunidade aplicar todos os conceitos até o momento apresentados de uma só vez A negociação faz parte de nossas vidas ela é a oportunidade de adquirirmos bens de consumo dentro de nossas reais possibilidades sem depreciar o valor real do bem Aqui você aprenderá a negociar valores e parcelas de financiamentos o que pode garantir a possibilidade de pagamento sem causar transtornos aumentando ou diminuindo o período de pagamento Para que você possa ver essa experiência mais uma vez estará inserido na situação de realidade profissional do início da unidade como Gerente Financeiro Veja a sua nova etapa Você apresentou a seguinte proposta para que a Empresa Metalúrgica comprasse a máquina de que necessita Nas seções anteriores você já definiu a entrada e a taxa de juros compostos efetiva pela qual calculará o valor das parcelas propostas Então é chegada a hora De calcular o valor das três parcelas que são mensais e iguais sob a taxa nominal de 132 aa em regime de juros compostos E também de apresentar a proposta completa que será levada ao fornecedor para discussão U2 Aplicações dos conceitos básicos 91 A negociação tem como princípio um fundamento muito básico que é capital numa situação A tem que ser o mesmo numa situação B ou seja o capital do anúncio tem que ser o mesmo do proposto independentemente da forma de pagamento e regime de juros conforme apresentado a seguir CA CB onde CA capital numa situação A CB capital numa situação B Veja algumas formulações que podem lhe ajudar a compreender o que estamos apresentando Não pode faltar Quando a situação envolver entrada passaremos a trabalhar assim AVA AVB onde AVA valor à vista na situação A AVB valor à vista na situação B U2 Aplicações dos conceitos básicos 92 Surgirão outras situações que não estão aqui representadas mas são variações destas que você terá plenas condições de interpretar Não se esqueça a partir de agora você fará uso de todos os conceitos apresentados anteriormente Assimile Os conceitos fundamentais da negociação são CA CB AVA AVB Reflita Como você desenvolveria um cálculo de financiamento em 120 parcelas mensais e iguais Pesquise mais Desde o início deste curso estamos falando de juros simples juros compostos a curto prazo e a longo prazo mas não justificamos suas aplicações e vantagens Como você já tem um fundamento bem sólido agora você entenderá o citado acima Juros simples e curto prazo estão intimamente ligados pois relação de curto prazo são investimentos eou pagamentos que ocorrem num prazo menor ou igual a 30 dias e nessa situação a rentabilidade é maior em juros simples Juros composto e longo prazo também estão muito ligados a relação de longo prazo ocorre num prazo maior ou igual a 1 mês nessa situação a rentabilidade é maior em juros compostos Veja uma aplicação de R 1000000 a 12 am em juros simples considerando 5 15 30 dias 1 mês 3 meses e 10 meses U2 Aplicações dos conceitos básicos 93 n M100001 00004n MR 5 dias M100001 000045 R1002000 15 dias M100001 0000415 R1006000 30 1 mês M100001 00121 R1012000 5 meses M100001 00123 R1060000 12 meses M100001 001212 R1144000 Uma aplicação de R 1000000 a 12 am em juros compostos considerando 5 15 30 dias 1 mês 3 meses e 10 meses n M1000 1 000039n MR 5 dias M10000 1 0000395 R1001950 15 dias M10000 1 00003915 R1005870 30 1 mês M10000 1 00121 R1012000 5 meses M10000 1 00125 R1061460 12 meses M10000 1 001210 R1153890 Comparando as rentabilidades entre juros simples e compostos n Juros Simples Juros Compostos Maior Rentabilidade 5 dias R 1002000 R 1001950 CURTO PRAZO 15 dias R 1006000 R 1005870 30 1 mês R 1012000 R 1012000 5 meses R 1060000 R 1061460 LONGO PRAZO 12 meses R 1144000 R 1153890 Note que a curto prazo os juros simples apresentam maior rentabilidade que os juros compostos e a longo prazo os juros compostos são mais rentáveis Vamos reforçar apresentando graficamente Gráfico 21 Representação das rentabilidades à taxa de 12 am de juros simples e compostos U2 Aplicações dos conceitos básicos 94 Fonte o autor Com a representação gráfica vista no Gráfico 21 reforçase o citado anteriormente Para que você tenha maior agilidade em seus cálculos acesse o site Disponível em httpsepxxcoctbhp12chtml Acesso em 5 jan 2016 E pesquise também a resolução pelo MS Excel Exemplificando 1 Um produto tem sua venda anunciada em duas parcelas mensais e iguais a R 60000 sob o regime de juros compostos de 18 am Um comprador interessado no produto propõe pagálo nas seguintes condições 3 parcelas iguais vencendo em 2 3 e 5 meses sob taxa e regime de juros compostos de 20 am Determine o valor das parcelas propostas U2 Aplicações dos conceitos básicos 95 Resposta O valor das parcelas propostas será de R 41591 2 Um produto está com sua venda anunciada em uma parcela de R 54000 paga após 30 dias sob regime de juros compostos e taxa nominal de 18 aa Um comprador interessado no produto propõe pagálo nas seguintes condições 2 parcelas mensais e iguais sob taxa e regime de juros compostos de 22 am e entrada de R 20000 Determine o valor das parcelas propostas Resolução O anúncio cita regime de juros compostos e taxa nominal pelo estudado na seção anterior 23 regime de juros compostos trabalha com taxa efetiva por isso devemos a taxa para efetiva e ao mês Como se trata de uma única parcela vamos usar E para a proposta que envolve entrada e parcelas U2 Aplicações dos conceitos básicos 96 Assim Resposta O valor das parcelas propostas será de R 17148 Faça você mesmo Uma furadeira tem sua venda anunciada em duas parcelas quinzenais de R 32000 sob regime de juros simples com taxa efetiva de 165 am e entrada de R 15000 Um encanador propõe adquirila com duas parcelas mensais e iguais sob regime de juros compostos e taxa nominal de 165 am Calcule o valor da parcela proposta pelo encanador Resposta As parcelas propostas pelo encanador têm o valor de R 32401 Sem medo de errar Vamos resolver a situaçãoproblema desta seção mas antes necessitamos recuperar as informações iniciais e as respostas obtidas nas seções anteriores Condições de venda da máquina de que a empresa Metalúrgica necessita U2 Aplicações dos conceitos básicos 97 Três parcelas iguais a R 2200000 com vencimento a cada 10 dias sob a taxa de juros simples de 12 am Condições da proposta apresentada pela Metalúrgica Entrada Por meio de títulos de baixo porte R 238060 Seção 21 Por meio de títulos de alto porte R 2328980 Seção 22 Valor total da entrada R 2567040 Taxa de juros que definirá o valor das parcelas propostas Taxa efetiva de 121 am Parcelamento proposto Três parcelas mensais e iguais Como o anúncio apresenta taxa de juros de 12 am e trabalharemos em condição de ao dia precisamos fazer uso da taxa equivalente em juros simples Seção 21 Dentro das condições apresentadas calcularemos o valor das parcelas propostas U2 Aplicações dos conceitos básicos 98 Portanto o valor das parcelas propostas é de R 1359093 Assim a Empresa Metalúrgica apresenta a seguinte proposta de pagamento pela compra de máquina Entrada R 2567040 E três parcelas mensais e iguais a R 1359093 Atenção Quando for resolver os exercícios atente para o regime de juros simples ou compostos e os tipos de taxa indicados Lembrese Taxa Efetiva Juros compostos Taxa Nominal Juros simples Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Negociação com Juros Simples e Compostos 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos básicos de juros e parcelamento 3 Conteúdos relacionados Juros simples juros compostos e taxas de juros 4 Descrição da SP Uma pessoa deseja fazer uma viagem por uma agência que está anunciando da seguinte forma Entrada de R 50000 3 parcelas mensais e iguais a R 40000 sob taxa e regime de juros compostos de 26 aa A interessada deseja fazer a viagem nas seguintes condições de pagamento U2 Aplicações dos conceitos básicos 99 Negociação com Juros Simples e Compostos 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Aplicar os conceitos básicos de juros e parcelamento 3 Conteúdos relacionados Juros simples juros compostos e taxas de juros 4 Descrição da SP Uma pessoa deseja fazer uma viagem por uma agência que está anunciando da seguinte forma Entrada de R 50000 3 parcelas mensais e iguais a R 40000 sob taxa e regime de juros compostos de 26 aa A interessada deseja fazer a viagem nas seguintes condições de pagamento Sem entrada Em três parcelas vencendo em 1 4 e 5 meses e também decrescentes de R 5000 sob a taxa nominal de 22 aa em regime de juros compostos Determine os valores de pagamento propostos pela pessoa interessada Resposta Cada parcela será uma menor que outra no valor de R 5000 5 Resolução da SP Vamos verificar as condições do anúncio Três parcelas mensais e iguais a R 400 00 sob taxa e regime de juros compostos de 26 aa note que as parcelas são mensais e a taxa está ao ano então teremos que convertêla para ao mês pela taxa equivalente de juros compostos Não há necessidade de usar o conceito de taxa efetiva porque o problema deixa bem claro que se trata de taxa e regime de juros compostos assim só temos que alterar a relação temporal taxa equivalente Verificando as condições de pagamento apresentadas pela interessada Parcelas em regime de juros composto e taxa nominal de 22 aa Juros compostos não trabalham com taxa nominal parcelas são pagas aos meses e a taxa está ao ano então precisamos alterar o regime e a relação temporal U2 Aplicações dos conceitos básicos 100 Resposta Os valores de pagamento propostos pela pessoa interessada foram 1º mês R 63435 4º mês R 58435 5º mês R 53435 Lembrese Numa negociação o capital ou valor à vista numa situação inicial sempre deverá ser igual numa situação secundária U2 Aplicações dos conceitos básicos 101 Faça você mesmo Uma financiadora propõe um empréstimo em duas parcelas mensais e iguais a R 75000 sob regime de juros compostos e taxa nominal de 15 am O interessado no empréstimo contrapropõe pagar em três parcelas bimestrais sob a mesma taxa e regime da financiadora Determine o valor das parcelas propostas pelo interessado Resposta O valor das parcelas propostas pelo interessado é de R 51894 Faça valer a pena 1 Um alfaiate parcela o feitio de um terno em duas parcelas iguais de R 30000 a cada sete dias sob regime e taxa de juros simples de 0035 ad Um senhor interessado em um terno apresenta a proposta de pagar o feitio em três parcelas iguais vencendo a cada dez dias sob a mesma taxa e regime imposto pelo alfaiate Determine o valor das parcelas propostas pelo senhor que deseja o terno a R 27600 b R 20706 c R 20067 d R 26700 e R 20670 2 Uma loja de vestuário masculino financia um terno em duas parcelas mensais e iguais a R 35000 sob regime e taxa de juros compostos de 2 am Uma pessoa tem interesse em adquirir um terno porém deseja pagálo em três vezes mensais e iguais nas mesmas condições de financiamento Determine o valor mensal que a pessoa interessada deseja pagar a R 23564 b R 25346 c R 24653 d R 26435 e R 25463 3 Um sapateiro cobra por um conserto com pintura duas parcelas de R 15000 a cada 12 dias sob regime e taxa de juros simples de 0043 ad Uma pessoa deseja pagar esse serviço em duas parcelas mensais e iguais sob regime e taxa de juros composto de 132 am Qual o valor das parcelas que a pessoa está disposta a pagar a R 18105 b R 15180 c R 18501 d R 11158 e R 11508 U2 Aplicações dos conceitos básicos 102 Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 CARVALHO L C S ELIA B S DECOTELLI C A Matemática financeira aplicada Rio de Janeiro FGV 2009 FILHO O K Fundamentos da matemática financeira 2 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 SEBRAE Capital de Giro Disponível em httpwwwsebraecombrsitesPortalSebrae artigosOqueC3A9ecomofuncionaocapitaldegiro3F Acesso em 05 jan 2016 Unidade 3 Análise de Financiamentos Convite ao estudo Caro aluno Seja bemvindo a mais uma unidade de ensino que está mais próxima de nossa realidade pois fazemos ou conhecemos pessoas que fazem compras financiadas ou seja parceladas em valores mensais e iguais e também fazem empréstimos entre outros Você será apresentado a uma série de formas de financiamentos aprenderá os cálculos de parcelas de taxas de juros número de parcelas a financiar e com esse conhecimento você terá uma base muito boa para aplicar profissionalmente além de gerenciar sua vida financeira com maior facilidade Esta unidade foi denominada Análise de Financiamentos e será composta pelas seções apresentadas a seguir Seção 31 Valor Presente Financiamento Seção 32 Valor Presente Financiamento com Entrada Seção 33 Valor Presente Condições Especiais Seção 34 Determinação da Taxa de Juros do Valor Presente Para melhor compreensão e desenvolvimento de suas habilidades você será inserido num problema de situação real em que deverá apresentar as soluções com o conhecimento adquirido em cada seção Veja o problema Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 sendo que seu salário é de R 270000 Sabese que o financiamento será aprovado se o valor das parcelas for no máximo de 13 do salário do comprador Sendo assim o vendedor da loja de veículos apresenta as seguintes propostas 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista pagando a primeira após 3 meses Mas você sabe que um amigo comprou um carro de R 3000000 em 48 vezes mensais e iguais de R 78989 numa outra revendedora Você determinará a taxa de juros compostos que foi aplicada no financiamento de seu amigo e calculará o valor da parcela para o seu veículo Ao término desta unidade e realizadas todas as etapas você decidirá qual financiamento é mais adequado para a sua situação financeira U3 Análise de financiamentos 105 Seção 31 Valor presente financiamento Diálogo aberto Caro aluno Conforme previamente apresentado no início desta unidade estudaremos os princípios mais básicos de financiamento a longo prazo como quando compramos uma geladeira um televisor um carro entre outros Atendendo às competências gerais e técnicas que são conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo e conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos Acreditamos que você se sentirá muito à vontade com esse assunto pois ele faz parte da nossa realidade Aproveite para levantar questionamentos sobre o assunto porque é assim que irá adquirir maior desenvoltura para desenvolver os cálculos aqui necessários Inicialmente mostramos o problema de situação real em que você está inserido agora apresentaremos a situaçãoproblema que deverá resolver nesta seção Lógico que ela é uma parcela do seu problema de situação real Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 sendo que seu salário é de R 270000 Sabese que o financiamento será aprovado se o valor das parcelas for no máximo de 13 do salário do comprador Sendo assim o vendedor da loja de veículos apresenta a seguinte proposta 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa Com base nas teorias e exemplos apresentados nesta seção você deverá determinar o valor da parcela dessa proposta de financiamento Mas para que você obtenha êxito vamos à teoria pois ela lhe ajudará muito Determine o valor à vista de um produto que está financiado em duas parcelas mensais e iguais a R 100000 sob a taxa de juros compostos de 2 am Tabela 31 AV C R194156 Se essas fórmulas chegam aos mesmos resultados por que aprendêlas Essas fórmulas apresentam vantagens e desvantagens em suas aplicações veja a seguir Tabela 32 1 Um climatizador teve seu valor de venda à vista anunciado a R 49000 mas a loja também pode financiálo em 10 vezes mensais e iguais sob a taxa de juros compostos de 3 am Determine o valor da prestação se o climatizador for financiado Resolução VP parc 11ini Onde VP AV R 49000 parc n 10 parcelas mensais e iguais i 3 am 003 am parc R5744 n 6 parcelas mensais e iguais Valor máximo da parcela R90000 Valor presente financiamento Pratique mais Faca valer a pena U3 Análise de financiamentos 115 a R 29590 b R 25909 c R 29950 d R 50299 e R 52909 2 Uma loja de departamentos está vendendo uma geladeira de inox por R 600000 à vista ou parcelada em 18 vezes iguais sob a taxa de juros compostos de 280 aa Calcule o valor das parcelas a R 36086 b R 40297 c R 41552 d R 44007 e R 50590 3 Um notebook foi financiado em 6 parcelas mensais e iguais de R 35300 sob o regime e taxa de juros compostos de 233 am Determine o valor à vista desse produto a R 199055 b R 195590 c R 199509 d R 155990 e R 159509 U3 Análise de financiamentos 116 Seção 32 Valor presente financiamento com entrada Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção daremos seguimento ao assunto apresentado na seção anterior que é estudar e desenvolver nosso conhecimento com relação ao financiamento mas iremos inserir mais uma variável a entrada fator muito comum quando compramos qualquer bem financiado como carros televisores computadores entre outros Assim mais uma vez atenderemos às competências gerais e técnicas que são conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos Este é mais um assunto que lhe interessará muito pois faz parte diretamente do nosso dia a dia É comum chegar a um estabelecimento comercial com o intuito de comprar um bem e quando nos apresentam o financiamento deste por sua vez questionamos os valores das prestações caso apresentemos uma entrada Nesta unidade apresentamos um problema de situação real em que você está inserido o que gerou uma situaçãoproblema que deverá ser resolvida nesta seção a qual é uma fração do nosso problema de situação real Veja a situaçãoproblema a ser resolvida Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 e uma das propostas apresentada pelo vendedor da loja de veículos é 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista Em função do conhecimento transmitido nesta seção você deverá apresentar os valores da entrada e das parcelas dessa proposta de financiamento Mas para que tenhamos sucesso nessa empreitada vamos nos dedicar a entender os conceitos que estão envolvidos nesse problema Não pode faltar O assunto valor presente financiamento com entrada é um caso relacionado ao assunto estudado na seção anterior 31 valor presente financiamento sendo assim apresenta com relação às parcelas as mesmas características já vistas parcelas periódicas e iguais calculadas em regime de juros compostos A novidade é a entrada cujo conceito também já nos foi apresentado na Unidade 1 Vamos deixar claro VP valor a ser financiado AV valor à vista E entrada VP AV E Mas também aprendemos que VP parc 1 1 iⁿ i Onde VP valor presente capital valor à vista parc parcela prestações iguais n número total de parcelas prestações iguais e periódicas i taxa de juros compostos taxa efetiva Substituindo VP por AV E na equação VP parc 1 1 iⁿ passaremos a ter a equação que nos auxiliará a resolver problemas de financiamento com entrada como apresentado a seguir AV E parc 1 1 iⁿ i Em que AV valor à vista E entrada parc parcela prestações iguais n número total de parcelas prestações iguais e periódicas i taxa de juros compostos taxa efetiva É fundamental que você tenha esse conhecimento VP AV E VP parc 1 1 iⁿ i Por isso AV E parc 1 1 iⁿ i Em situações de financiamento que você pode pagar entrada seria vantajosa essa decisão Adquira mais conhecimento sobre o assunto Disponível em httpwwwmatematicadidaticacombrFinanciamentoVeiculoaspx Acesso em 26 jan 2016 E também Disponível em httpwwwfinancetrainingcombrdocshp12cpdf Acesso em 26 jan 2016 Exemplificando Um produto cujo valor à vista é de R 1200000 está com sua venda anunciada em 18 parcelas mensais e iguais sob o regime e taxa de juros compostos de 2 am e com entrada de R 300000 Determine o valor das parcelas Resolução AV E parc 1 1 iⁿ i Em que AV R 1200000 E R 300000 parc O valor que desejamos conhecer n 18 i 2 am 002 am 12000 3000 parc 1 1 002¹⁸ 002 9000 parc 1 07002 002 9000 1499 parc parc R 60040 Resposta O valor das parcelas é de R 60040 cada Uma ferramenta que tem valor à vista de R 540000 tem sua venda anunciada em 10 parcelas mensais e iguais sob regime de juros compostos de 32 am e entrada igual ao valor da parcela Calcule o valor da entrada Resposta O valor da entrada que é igual ao valor das parcelas é de R 57180 Sem medo de errar Vamos à situaçãoproblema em que você está inserido para desenvolver os cálculos necessários à resposta Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 e uma das propostas apresentadas pelo vendedor da loja de veículos é 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista Resolução Vamos reformatar a taxa efetiva mensal necessária para o desenvolvimento porque estamos trabalhando em regime de juros compostos e a taxa apresentada foi a nominal que se trata de juros simples e também convertêla ao mês pois a fornecida está ao ano Mas isso é fácil pois já calculamos na seção anterior Seção 31 i ef dn 1 f 1 i ef 018360 1 30 1 i ef 00005 1 30 1 i ef 10511 1 i ef 00151 am 151 am O próximo passo será definir o valor da entrada E que é 20 do valor à vista do veículo R 3800000 E 020 38000 E R 760000 Com essas informações podemos calcular o valor das parcelas desse financiamento AV E parc 1 1 i n i Em que AV R 3800000 E R 760000 parc O valor que desejamos conhecer n 48 i 15 am 0015 am 38000 7600 parc 1 1 00151 48 00151 30400 parc 1 04871 00151 30400 parc 339669 30400 339669 parc parc R 89499 Concluímos que esse financiamento terá entrada de R 760000 e 48 parcelas mensais e iguais a R 89499 É fundamental que você tenha esse conhecimento VP AV E Por isso VP parc 1 1 i n i AV E parc 1 1 i n i Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Valor presente financiamento com entrada 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos 3 Conteúdos relacionados Matemática básica conceitos básicos de juros e parcelamento e também técnicas de financiamento 4 Descrição da SP Um produto cujo valor à vista é de R 1300000 teve sua venda financiada em parcelas mensais e iguais a R 46800 com entrada de R 280000 sob regime e taxa de juros compostos de 23 aa Determine o número de parcelas desse financiamento 5 Resolução da SP Para resolver o problema precisamos inicialmente aplicar os conceitos de taxa equivalente em juros compostos porque ela está ao ano e precisamos dela ao mês i eq 1 i p a 1 i eq 1 023 112 1 i eq 123 0833 1 10174 1 i eq 00174 am 174 am AV E parc 1 1in i Em que AV R 1300000 E R 280000 parc R 46800 n o que desejamos obter i 174 am 00174 am U3 Análise de financiamentos 124 Lembrese Sempre que desejar calcular o número de parcelas de um financiamento você deverá aplicar a teoria das propriedades dos logaritmos ln ln a x a x Faça você mesmo Uma compra de R 1000000 foi financiada em 18 parcelas mensais e iguais de R 50000 com entrada sob regime e taxa de juros compostos de 24 am Determine o valor da entrada Reposta A entrada paga nesse financiamento foi de R 276040 Faça valer a pena 1 Um produto cujo valor à vista é de R 720000 tem sua venda anunciada com entrada de R 80000 e 12 parcelas mensais e iguais sob regime e taxa de juros compostos de 4 am Determine o valor das parcelas a R 68194 b R 94189 c R 81496 d R 91648 e R 96418 2 Uma compra foi financiada em 15 parcelas mensais e iguais de R 43350 sob regime e taxa de juros compostos de 33 am com entrada de R 25000 Determine o valor à vista dessa compra a R 563140 b R 416305 c R 604153 d R 531406 e R 654103 3 Um relógio tem valor à vista de R 250000 e sua compra foi financiada com entrada e 12 parcelas mensais e iguais de R 18000 sob regime e taxa de juros compostos de 18 am Determine o valor da entrada desse financiamento a R 92759 b R 99752 c R 95297 d R 57299 e R 72995 U3 Análise de financiamentos 125 Seção 33 Valor presente condições especiais Diálogo aberto Caro aluno Nesta seção atenderemos às competências gerais e técnicas que são conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo e conhecer técnicas de cálculo de taxas nominais efetivas e equivalentes Continuaremos estudando situações de valor presente mas agora em condições especiais como financiamento em séries uniformes de pagamentos com o seu início postergado exemplificando compre um produto hoje e financie em 24 vezes mensais e iguais começando a pagar daqui a três meses Esses estudos se tornam muito interessantes porque se tratam de situações que já vivemos ou pelo menos já tomamos conhecimento de propagandas assim Aqui aprenderemos a calcular os valores de parcelas à vista números de parcelas desse tipo de financiamento com ou sem entrada Você tem conhecimento do problema de situação real definido no início desta unidade que gerou uma situaçãoproblema a qual você deverá resolver se apoiando nas teorias a serem apresentadas nesta seção Mas vamos tomar conhecimento da sua situaçãoproblema Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 e o vendedor da loja de veículos lhe apresenta mais uma forma de financiamento que é 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista pagando a primeira após 3 meses Vamos aos estudos para que você tenha condições de resolver a situaçãoproblema a qual está exposto e ao final desta unidade possa apresentar qual o financiamento que será aprovado em função de seu salário AV1ik1 parc 1 1in i AV valor à vista do produto k carência período em que ocorrerá o início do pagamento do financiamento i taxa de juros compostos n número total de parcelas do financiamento parc valor da parcela do financiamento Caso o financiamento seja com entrada AV E1ik1 parc 1 1in i Resolução AV1ik1 parc 11in i Em que AV R 3000000 k 3 meses i 2 am 002 am n 42 parcelas parc O que desejamos saber 30000100231 parc 1100242 002 30000 10404 parc 104353 002 31212 parc 282350 31212 282350 parc parc R110544 Resposta O valor das parcelas desse financiamento é de R 110544 Obs A resposta exata você pode obter fazendo uso de calculadoras científicas e financeiras programáveis que é o que ocorre em instituições financeiras bancos e lojas AV E1ik1 parc 11in i Em que AV R 3000000 E o que desejamos saber k 4 meses i 2 am 002 am n 48 parcelas parc R 80000 30000 E100241 800 1100248 002 30000 E106112 800 103865 002 30000 E 800 306750 10612 30000 E 800 306750 10612 E 30000 2312476 E R687524 Resposta A entrada paga nesse financiamento foi de R 687524 Obs A resposta exata você pode obter fazendo uso de calculadoras científicas e financeiras programáveis que é o que ocorre em instituições financeiras bancos e lojas Sem medo de errar Vamos à situaçãoproblema em que você está inserido para desenvolver os cálculos necessários à resposta Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 e o vendedor da loja de veículos lhe apresenta mais uma forma de financiamento que é 48 vezes mensais e iguais sob a taxa nominal de 18 aa com entrada de 20 do valor à vista pagando a primeira após 3 meses Resolução Vamos reenumera a taxa efetiva mensal necessária para o desenvolvimento porque estamos trabalhando em regime de juros compostos e a taxa apresentada é nominal que se trata de juros simples e também vamos convertêla para o mês porque a fornecida está ao ano Isso é fácil pois já calculamos na Seção 31 Com a intenção de você realmente dominar o assunto atente para Sem entrada AV 1ik1 parc Com entrada AV E1ik1 parc O assunto aqui apresentado está embasado em juros compostos apresentado na Unidade 1 e valor presente apresentado no início desta Unidade 3 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Valor presente condições especiais 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos 3 Conteúdos relacionados Matemática básica conceitos básicos de juros e parcelamento e também técnicas de financiamento 4 Descrição da SP Uma máquina cujo valor à vista é de R 1300000 teve sua venda financiada em 24 parcelas mensais e iguais a R 90000 sob regime e taxa de juros compostos de 23 aa Determine o período de carência para o início dos pagamentos das parcelas desse financiamento ieq 12300833 1 10174 1 U3 Análise de financiamentos 135 Faça você mesmo Um equipamento de valor à vista de R 20000 foi parcelado em 36 vezes mensais e iguais de R 80000 sem entrada sob regime e taxa de juros compostos de 12 am tendo o início dos pagamentos desse financiamento após 4 meses e é sabido que a taxa de juros compostos cobrada no período de carência é diferente da taxa de juros do financiamento Então pedese a taxa de juros compostos Resposta A taxa de juros compostos aplicada no período de carência foi de 518 am Faça valer a pena 1 Um bem cujo valor à vista é de R 200000 foi financiado em 6 parcelas mensais e iguais sob regime e taxa de juros compostos de 3 am iniciando os pagamentos após 5 meses do ato da compra Determine o valor das parcelas desse financiamento a R 45517 b R 47155 c R 41557 d R 71545 e R 47551 2 Um produto cujo valor à vista é de R 200000 foi financiado em 5 parcelas mensais e iguais sob regime e taxa de juros composto de 25 am com entrada de R 40000 e iniciando os pagamentos após 2 meses do ato da compra Determine o valor das parcelas desse financiamento a R 53314 b R 35314 c R 51433 d R 54133 e R 15343 3 A venda de uma ferramenta foi parcelada em 10 vezes mensais e iguais de R 28000 sob regime e taxa de juros compostos de 3 am com carência de 3 meses Determine o valor à vista dessa ferramenta a R 212513 b R 225130 c R 220153 d R 230521 e R 210253 Não pode faltar U3 Análise de financiamentos 136 Seção 34 Determinação da taxa de juros do valor presente Diálogo aberto Caro aluno Temos explorado exaustivamente o tema valor presente nesta unidade e para completarmos o atendimento as competências gerais e técnicas são conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo e conhecer técnicas de cálculo de taxas nominais efetivas e equivalentes Nesta seção estudaremos a determinação da taxa de juros do valor presente ou seja iremos aprender a calcular a taxa de juros aplicada num financiamento Esse assunto é muito interessante porque muitas vezes conhecemos o valor à vista do bem financiado o valor e o número de parcelas desse financiamento e mesmo assim não conseguimos determinar o valor da taxa imposta mas o segredo será desvendado e não é complicado No tópico Não pode faltar você terá uma teorização bastante sólida e eficiente que lhe dará condições de determinar a taxa de juros compostos de uma série de financiamentos com isso você também se tornará apto a resolver a situaçãoproblema em que está inserido nesta seção apresentada a seguir Você sabe que um amigo comprou um carro de R 3000000 em 48 vezes mensais e iguais de R 78989 numa outra revendedora Você determinará a taxa de juros compostos que foi aplicada no financiamento de seu amigo e calculará o valor da parcela para o seu veículo cujo valor à vista é de R 3800000 Após a resolução desta SP você terá realizado todas as etapas e então decidirá qual financiamento é mais adequado para a sua situação financeira Sendo assim vamos nos preparar dedicandonos a interpretar e aprender as teorias que envolvem essa SP 3 passo usando o valor da taxa de juros compostos ij calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos fij Se fij 00001 então ij é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Vamos aprender o mecanismo do método 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ij 2º passo substituir ij na função da taxa de juros compostos fij Se fij 00001 então ij é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Se fij 00001 então ij não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos ij calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos fij 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos ij da função da taxa de juros compostos fij e da função marginal da taxa de juros compostos fij calcule a próxima taxa de juros compostos ij1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa ij1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que Fij 00001 Função de NewtonRaphson ij1 ij fij fij Cálculo da próxima taxa de juros compostos Em que AV valor à vista do produto E entrada ij taxa de juros compostos n número total de parcelas do financiamento parc valor da parcela do financiamento ij1 próxima taxa de juros compostos k período de carência Vamos aprender o mecanismo do método 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ij 2º passo substituir ij na função da taxa de juros compostos fij Se fij 00001 então ij é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Se fij 00001 então ij não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos ij calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos fij 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos ij da função da taxa de juros compostos fij e da função marginal da taxa de juros compostos fij calcule a próxima taxa de juros compostos ij1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa ij1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que Fij 00001 Para financiamento com entrada e com carência sendo a taxa de carência igual à taxa de financiamento Função da taxa de juros compostos fij AV E ij 1ijk1 1ijn 1 parc Função marginal da taxa de juros compostos fij AV E parc k11ijk2 i 1ijk1 n1ijn1 Função de NewtonRaphson ij1 ij fij fij Cálculo da próxima taxa de juros compostos Em que AV valor à vista do produto E entrada ij taxa de juros compostos n número total de parcelas do financiamento parc valor da parcela do financiamento ij1 próxima taxa de juros compostos k período de carência Vamos aprender o mecanismo do método 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor U3 Análise de financiamentos 142 relativo i j 2º passo substituir i j na função da taxa de juros compostos f i j Se fij 00001 então i j é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Se f i j 0 0001 então i j não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos i j calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos f i j 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos i j da função da taxa de juros compostos f i j e da função marginal da taxa de juros compostos f i j calcule a próxima taxa de juros compostos i j 1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa i j 1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que o módulo de fij 00001 Assimile O mecanismo de cálculo do método 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo i j 2º passo substituir i j na função da taxa de juros compostos f i j Se fij 00001 então i j é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Se f i j 0 0001 então i j não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos i j calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos f i j 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos i j da função da taxa de juros compostos f i j e da função marginal da taxa de juros U3 Análise de financiamentos 143 compostos f i j calcule a próxima taxa de juros compostos i j 1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa i j 1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que Fij 00001 Reflita Quantas vezes você ou um amigo teve o interesse em saber a taxa de juros de um financiamento Pesquise mais Acesse o link para conhecer outras formas de resolver os mesmos problemas Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvRMw9378Yg Acesso em 29 jan 2016 Exemplificando Uma moto cujo valor à vista é de R 2000000 foi financiada em 36 vezes mensais e iguais de R 78844 em regime e taxa de juros compostos Determine a taxa de juros compostos imposta nesse financiamento Inicie com uma taxa de 18 am Resolução VP R 20000 ij taxa de juros composto que desejamos encontrar n 36 parc R 78844 Vamos determinar as funções fij VP parc ij 1ijn 1 fij 20000 78844 ij 1ij36 1 fij 253665 ij 1ij36 1 fij VP parc n1ijn1 fij 253665 n1ijn1 Vamos dar início aos cálculos 1ª Iteração 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo ij 0018 2º passo substituir ij na função da taxa de juros compostos fij fij 253665 ij 1ij36 1 f0018 253665 0018 1001836 1 f0018 04566 05261 1 f0018 00173 f0018 00173 00001 Como f0018 00001 então ij 0018 não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos ij calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos fij fij 253665 n1ijn1 f0018 253665 3610018361 f0018 253665 186048 f0018 67617 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos ij da função da taxa de juros compostos fij e da função marginal da taxa de juros compostos fij calcule a próxima taxa de juros compostos ij1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo ij1 ij fij fij ij1 ij f0018 f0018 ij1 00173 67617 ij1 0018 00026 ij1 00206 5º passo com a nova taxa ij1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior 2ª Iteração Voltando ao 2º passo com ij 00206 2º passo substituir ij na função da taxa de juros compostos fij fij 253665 ij 1ij36 1 f00206 253665 00206 10020636 1 f00206 05225 04800 1 f00206 00025 f00206 00025 00001 Como f00206 00001 então ij 00206 não é a taxa de juros compostos imposta no financiamento vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos ij calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos fij fij 253665 n1ijn1 f00206 253665 36100206361 f00206 253665 169308 f00206 84357 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos ij da função da taxa de juros compostos fij e da função marginal da taxa de juros compostos fij calcule a próxima taxa de juros compostos ij1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo ij1 ij fij fij ij1 ij f00206 f00206 ij1 00206 00025 84357 ij1 00206 00003 ij1 00203 5º passo com a nova taxa ij1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior 3ª Iteração Voltando ao 2º passo com ij 00203 2º passo substituir ij na função da taxa de juros compostos fij fij 253665 ij 1ij36 1 f00203 253665 00203 10020336 1 f00203 05149 04851 1 f00203 0 f00203 00000 00001 Como f00203 00000 00001 então ij 00203am 203am é a taxa de juros compostos imposta no financiamento Resposta A taxa de juros compostos imposta ao financiamento é de 203 am Vamos resolver o mesmo exercício usando uma organização mais prática isso não significa que os passos e cálculos apresentados anteriormente não terão de ser realizados VP R 20000 ij taxa de juros composto que desejamos encontrar n 36 parc R 78844 Vamos determinar as funções fij VP parc ij 1 ijn 1 fij 2000078844 ij 1 ij36 1 fij 253665ij 1 ij36 1 fij VP parc n1 ijn1 fij 253665 n1 ijn1 Vamos dar início aos cálculos A tabela é uma forma de você ter uma visão mais rápida dos seus resultados U3 Análise de financiamentos 148 Tabela 33 1º passo 2º passo 3º passo 4º passo 5º passo Iterações i j f i j f i j i j 1 1ª 0018 00173 O módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 67617 00206 Usar o valor do 4º passo 00206 no 1º passo e recomeçar os cálculos 2ª 00206 00025 Novamente o módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 84357 00203 Usar o valor do 4º passo 00203 no 1º passo e recomeçar os cálculos 3ª 00203 00000 O módulo desse valor é menor que 00001 portanto o valor do 1º passo 00203 é a taxa de juros compostos do financiamento FIM Resposta A taxa de juros compostos imposta ao financiamento é de 203 am Faça você mesmo Uma moto cujo valor à vista de venda é de R 2500000 foi financiada em 48 parcelas mensais e iguais de R 96903 sob taxa e regime de juros compostos com entrada de R 350000 Determine a taxa de juros compostos desse financiamento Resposta A taxa de juros compostos desse financiamento é de 373 am Vocabulário Iterações repetições Método Iterativo Método das repetições Sem medo de errar Vamos à situaçãoproblema em que você está inserido para desenvolver os cálculos necessários à resposta Você deseja financiar um veículo cujo valor à vista é R 3800000 e sabe que um amigo comprou um carro de R 3000000 em 48 vezes mensais e iguais de R 78989 numa outra revendedora Você determinará a taxa de juros compostos que foi aplicada ao financiamento de seu amigo e calculará o valor das parcelas para o financiamento de seu veículo em 48 parcelas mensais e iguais Resolução Para determinar a taxa de juros compostos de financiamento de seu amigo teremos que aplicar o Método de NewtonRaphson VP R 30000 ij taxa de juros compostos que desejamos encontrar mas vamos iniciar com ij 2 am 002 am n 48 parc R 78989 Vamos determinar as funções fij VP parc ij 1 ijn 1 fij 3000078989 ij 1 ij48 1 fij 3798ij 1 ij48 1 Função utilizada para obter os valores do 2º passo fij VP parc n1 ijn1 fij 3798 481 ij49 Função utilizada para obter os valores do 3º passo ij1 ij fijfij Fórmula utilizada para obter os valores do 4º passo Faremos uso da forma prática apoiados nos passos apresentados e exemplificados na teoria e também trabalhando com números com 4 casas decimais 1ª passo 2º passo 3ª passo 4ª passo 5ª passo Iterações ij fij fij 1ª 002 001461 001461 O módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 197880 2ª 00126 00268 Novamente o módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 119914 3ª 00104 00039 Novamente o módulo desse valor é maior que 0001 continue os cálculos 90687 4ª 00100 00001 O módulo desse valor é igual a 00001 portanto o valor do 1º passo 00100 é a taxa de juros compostos do financiamen to FIM Portanto a taxa de juros compostos aplicada no financiamento de seu amigo é 1 am Determinada a taxa de juros compostos do financiamento de seu amigo podemos considerando que seu financiamento utilize a mesma taxa de juros determinar o valor das parcelas do financiamento de seu veículo que tem valor à vista de R 3800000 VP parc 1 1 in i VP R 38000 i 1 am 001 am n 48 parc o que desejamos conhecer VP 38000 1100148 001 VP 38000 106203 001 38000 parc 3798 parc 38000 3798 parc R100053 A resposta da situaçãoproblema desta seção é comprando um veículo de R 3800000 na mesma condição de taxa de financiamento de seu amigo o seu financiamento será de 48 parcelas mensais e iguais de R 100053 Apresentaremos agora a conclusão da situação de realidade profissional que foi proposta no início desta unidade Você queria saber qual proposta de financiamento que poderia ser enquadrada pois as parcelas do financiamento não poderiam ter valor superior a R 90000 já que a aprovação do financiamento é limitada a um terço do salário que é de R 270000 A primeira proposta foi 48 parcelas mensais e iguais de R 111874 A segunda proposta entrada de R 760000 e 48 parcelas mensais e iguais de R 89499 A terceira proposta entrada de R 760000 e 48 parcelas mensais e iguais de R 92220 com início dos pagamentos após 3 meses do ato da compra A quarta proposta 48 parcelas mensais e iguais de R 100079 em outra revendedora sob uma taxa de juros compostos Assinale bem as fórmulas e quando serão aplicadas Para financiamento sem entrada Função da taxa de juros compostos fij VP parc ij 1ijn 1 Função marginal da taxa de juros compostos fij VP parc n1ijn1 Função de NewtonRaphson ij1 ij fij fij Cálculo da próxima taxa de juros compostos Para financiamento com entrada Função da taxa de juros compostos fij AV E parc ij 1ijn 1 Função marginal da taxa de juros compostos fij AV E parc n1ijn1 Função de NewtonRaphson ij1 ij fij fij Cálculo da próxima taxa de juros compostos Para financiamento sem entrada e com carência sendo a taxa de carência igual à taxa de financiamento Função da taxa de juros compostos fij AV parc ij 1ijk1 1ijn 1 Função marginal da taxa de juros compostos fij AV parc k11ijk2 i 1ijk1 n1ijn1 Avançando na prática Pratique mais Desafiamos você a praticar o que aprendeu transferindo seus conhecimentos para novas situações que pode encontrar no ambiente de trabalho Realize as atividades e depois as compare com as de seus colegas Determinação da taxa de juros do valor presente 1 Competência Geral Conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo 2 Objetivos de aprendizagem Determinar taxas de juros compostos aplicadas em financiamentos 3 Conteúdos relacionados Conceitos de juros compostos Valor presente financiamento Teoria de Zeros de Função 4 Descrição da SP Um equipamento cujo valor à vista é de R 6400000 foi financiado em 72 parcelas mensais de R 100000 sob regime e taxa de juros compostos com entrada de R 600000 os pagamentos iniciaram após 4 meses do ato da compra Sabendo que a taxa de carência e do financiamento são iguais determineas Inicie os cálculos com taxa de juros compostos de 4 am fij 64000 6000 ij 1 ij41 1000 fij 58 ij 1 ij3 1 ij72 1 fij 58 411 ij42 1 ij41 721 ij721 fij 58 31 ij2 ij 1 ij3 721 ij73 Resposta As taxas de juros compostos da carência e do financiamento são de 0566 am U3 Análise de financiamentos 155 a 671 am b 167 am c 761 am d 176 am e 617 am 2 Um serviço de funilaria cujo valor à vista é de R 500000 foi parcelado em 6 vezes mensais e iguais a R 120000 sob regime e taxa de juros compostos Calcule a taxa de juros compostos que foi aplicada nesse parcelamento Inicie os cálculos com a taxa de juros compostos de 10 am a 1153 am b 1513 am c 1531 am d 5131 am e 5113 am 3 Uma compra com valor de R 300000 foi financiada em 8 parcelas mensais e iguais a R 55000 sob taxa e regime de juros composto com entrada de R 50000 Determine a taxa de juros compostos aplicada nesse financiamento Inicie os cálculos com taxa de juros compostos de 10 am a 1614 am b 1116 am c 4161 am d 1461 am e 1161 am U3 Análise de financiamentos 156 Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Editora Atlas 2012 CARVALHO L C S ELIA B S DECOTELLI C A Matemática financeira aplicada Rio de Janeiro Editora FGV 2009 FILHO O K Fundamentos da matemática financeira 2 ed Rio de Janeiro Editora Ciência Moderna 2010 Unidade 4 Investimento Convite ao estudo Caro aluno Seja bemvindo à última unidade do nosso curso de Matemática Financeira Unidade 4 na qual você será apresentado a situações bancárias que nos são de grande interesse aprenderá a programar seu dinheiro para realizações futuras como são calculados os juros do cheque especial a determinar a taxa de juros de investimento que é muito parecida com o que aprendeu na determinação da taxa de juros de um financiamento pois a técnica é a mesma Para que você obtenha todo o conhecimento acima citado esta Unidade 4 denominada Investimentos está dividida nas seguintes seções Seção 41 Valor Futuro Aplicações Seção 42 Determinação da Taxa de Juros do Valor Futuro Seção 43 Amortização Seção 44 Conta Garantida Cheque Especial Como nas unidades anteriores para melhor compreensão e desenvolvimento de suas habilidades você será inserido numa situação de realidade profissional para a qual deverá encontrar as soluções com o conhecimento apresentado em cada seção Veja o problema em que foi inserido você como sócio proprietário da empresa Metalúrgica deverá gerenciar as finanças da reforma do novo pátio de distribuição da empresa Seus recursos são duas aplicações de valor futuro e a conta bancária com garantia especial ilimitada A reforma está sendo executada sob contrato de financiamento em Sistema de Amortização Constante durante um ano com pagamentos trimestrais sob a taxa nominal anual de 15 no valor de R 120000000 onde A entrada foi resultado de uma aplicação mensal de R 2000000 durante três anos sob regime de juros compostos e taxa de 120 am A última parcela a ser paga conta com o resultado de uma aplicação mensal de R 1000000 durante seis meses Essa aplicação resultou num período de quatro meses o valor de R 4876364 depositando R 1200000 por mês Você precisará fazer uso do cheque especial da empresa para completar o valor dessa última parcela a ser paga e o juros de cheque especial é de 144 aa e IOF de 007 ad Realizada a operação você deverá apresentar ao seu sócio o saldo bancário da empresa no último dia do mês U4 Investimento 159 Seção 41 Valor futuro aplicações Diálogo aberto Caro aluno Nesta Seção 41 você irá aprender a realizar cálculos relativos a aplicações ou seja para um investimento periódico durante um certo tempo terá condições de calcular o valor total a ser resgatado no final do investimento essa é a situação mais básica do aprendizado proposto Esta seção atende às competências gerais conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo e também às competências técnicas conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo O assunto aqui apresentado irá despertar em você o espírito empreendedor pois aprenderá a projetar o seu dinheiro no futuro e para isso com base na situação de realidade profissional introduzida no início desta unidade você deverá resolver a seguinte situação problema Calcule a entrada paga para a execução da reforma do novo pátio de distribuição da Metalúrgica que foi resultado de uma aplicação mensal de R 2000000 durante três anos sob regime de juros compostos e taxa de 120 am Vamos iniciar nossos estudos sobre Valor Futuro que está embasado no resultado de uma aplicação com depósitos iguais e periódicos uma prática muito comum aos bancos você já deve ter sido interpelado pelo seu gerente ou por um atendente de caixa que lhe ofereceu uma aplicação que descontaria uma certa quantia todo mês de sua conta e após 1 ano você poderia regatála com ganho sob juros A fórmula que explica o acima comentado é Não pode faltar VF valor futuro saldo da aplicação ao seu término que desejamos conhecer dep R 25000 por mês n 12 depósitos periódicos e iguais pois tratase de depósitos mensais durante um ano i 12 am VF 250 1001212 1 0012 VF 250 11539 1 0012 VF 250 12825 VF R 320625 Resposta O saldo da aplicação ao seu término será de R 320625 VF R 883927 dep o que desejamos saber n 24 depósitos periódicos e iguais pois tratase de depósitos mensais durante dois anos i 12 am 883927 dep 1001224 1 0012 E VF 20000 4470 VF R89400000 dep R149948 Resposta A pessoa deverá realizar oito depósitos mensais e iguais de R 149948 U4 Investimento 166 a R 86869 b R 98866 c R 86698 d R 66988 e R 68869 3 Um investimento de R 12000 por mês numa aplicação que paga taxa de juros compostos de 108 am resultou em R 194266 Determine o tempo de investimento a 15 meses b 21 meses c 12 meses d 51 meses e 11 meses U4 Investimento 167 Seção 42 Determinação da taxa de juros do valor futuro Diálogo aberto Caro aluno Esta seção atende às competências Geral conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo Técnica conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos Em conformidade com o que define seu programa de aprendizado assim atendendo ao esperado agora aprenderemos a determinar a taxa de juros compostos imposta num investimento aplicação ou numa situação de Valor Futuro Quantas vezes temos conhecimento do valor aplicado periodicamente do tempo da aplicação e de seu resultado Assim nos deparamos com a necessidade de conhecer a taxa de juros do investimento para que possamos fazer novas análises e projeções futuras de investimento Você já conhece a técnica da Determinação da Taxa de Juros do Valor Futuro teve a oportunidade de aplicála na Seção 34 Determinação da Taxa de Juros do Valor Presente Lá a técnica aplicada foi o Método de NewtonRaphson que também usaremos aqui mas com base na fórmula do Valor Futuro vista na seção anterior Para que possa vivenciar essa situação você foi inserido numa situação de realidade profissional introduzida no início desta unidade que gerou a seguinte situaçãoproblema que você deverá resolver A reforma do novo pátio de distribuição da empresa em que você é sócio foi financiada e a última parcela será paga como resultado de uma aplicação de R 1000000 por mês durante seis meses Essa aplicação resultou num período de quatro meses o valor de R 4876364 depositando Você a cada seção resolverá uma situaçãoproblema e na última seção além de resolver a situaçãoproblema proposta deverá apresentar um relatório demonstrando que as situaçõesproblemas estão interligadas apresentando o resultado da situação de realidade profissional U4 Investimento 169 próxima taxa de juros compostos Onde VF valor futuro ou resultado da aplicaçãoinvestimento ij taxa de juros compostos n número total de depósitos dep valor depositado periodicamente ij1 próxima taxa de juros compostos Vamos aprender o mecanismo do método 1º passo estipular uma taxa de juros compostos inicial em valor relativo i j 2º passo substituir i j na função da taxa de juros compostos f i j Se f i j 0 0001 então i j é a taxa de juros compostos imposta na aplicação Se f i j 0 0001 então i j não é a taxa de juros compostos imposta na aplicação vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos i j calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos f i j 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos i j da função da taxa de juros compostos f i j e da função marginal da taxa de juros compostos f i j calcule a próxima taxa de juros compostos i j 1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa i j 1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que f i j 0 0001 Determine a taxa de juros compostos utilizada numa aplicação mensal de R 50000 durante 12 meses que resultou em R 643018 Inicie os cálculos com a taxa de 1 am fij 128604 121 00111 f00132 128604 121 0013211 f00125 01608 11608 1 f00125 00000 f00125 00002 00001 Como f00125 00000 00001 então ij 00125 é a taxa de juros compostos imposta na aplicação FIM Resposta a taxa de juros compostos utilizada na aplicação foi de 125 am Uma aplicação após 7 meses de depósitos mensais e iguais a R120000 resultou num montante de R 898332 Determine a taxa de juros compostos imposta nessa aplicação Inicie os cálculos fazendo uso de 25 am Resposta a taxa de juros compostos imposta nessa aplicação foi de 223 am U4 Investimento 176 Vamos dar início aos cálculos A tabela é uma forma de você ter uma visão mais rápida dos seus resultados 1º passo 2º passo 3º passo 4º passo 5º passo Iterações ij fij fij ij1 1ª 001 00018 O módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 05280 00134 Usar o valor do 4º passo 00134 no 1º passo e recomeçar os cálculos 2ª 00134 00009 Novamente o módulo do desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 1002 00123 Usar o valor do 4º passo 00123 no 1º passo e recomeçar os cálculos 3ª 00123 00002 Novamente o módulo desse valor é maior que 00001 continue os cálculos 08664 00125 Usar o valor do 4º passo 00125 no 1º passo e recomeçar os cálculos 4ª 00125 00000 O módulo desse valor é menor que 00001 por tanto o valor do 1º passo 00125 é a taxa de juros compostos do financia mento FIM Resposta a taxa de juros compostos utilizada na aplicação foi de 125 am Sem medo de errar Com o aprendizado que lhe foi proporcionado no Não Pode Faltar e no Faça você mesmo você está preparado para resolver o problema em que foi inserido A reforma do novo pátio de distribuição da empresa em que você é sócio foi financiada e a última parcela será paga com resultado de uma aplicação de R 1000000 por mês durante seis meses Essa aplicação resultou num período de quatro meses o valor de R 4876364 depositando R 1200000 por mês Portanto sua missão é determinar a taxa de juros dessa aplicação e também o resultado do investimento de R 1000000 VF R6175439 A taxa de juros compostos utilizada na aplicação foi de 187 am 2ª Etapa determinar o resultado da aplicação de R 1000000 mês VF dep 1iⁿ 1 i VF o que desejamos conhecer ij 187 am 00187 am n 08 dep R 100000mês VF 1000 100187⁸ 1 00187 VF 1000 11598 1 00187 VF R854550 Resposta essa aplicação paga uma taxa de juros compostos de 187 am por isso a aplicação de R 100000 por mês resultará após oito meses no montante de R 854550 U4 Investimento 182 imposta aplicação vá para o 3º passo 3º passo usando o valor da taxa de juros compostos i j calcule o valor da função marginal da taxa de juros compostos f i j 4º passo usando os valores da taxa de juros compostos i j da função da taxa de juros compostos f i j e da função marginal da taxa de juros compostos f i j calcule a próxima taxa de juros compostos i j 1 que deverá substituir a última taxa que não deu certo 5º passo com a nova taxa i j 1 determinada no passo anterior volte ao 2º passo e refaça os cálculos como se essa fosse a taxa inicial esquecendose da taxa anterior Os passos deverão ser repetidos até que f i j 0 0001 Faça você mesmo Uma pessoa depositou mensalmente R 200000 durante quinze meses e resultou num montante de R 3458683 Qual a taxa de juros compostos paga por aplicação Resposta essa aplicação pagou uma taxa de juros compostos de 200 am Faça valer a pena 1 Uma aplicação de R 160000 mensais durante 16 meses resultou num montante de R 2891378 Determine a taxa de juros compostos que foi paga na aplicação Inicie seus cálculos fazendo uso de 311 am a 016 am b 601 am c 160 am Todos os cálculos deverão ser realizados com quatro casas decimais d 610 am e 106 am 2 Uma aplicação após 2 anos apresentou um resultado de R 830662 depositando mensalmente R 30000 Calcule a taxa de juros paga por aplicação Inicie seus cálculos com taxa de juros de 100 am U4 Investimento 183 a 122 am b 221 am c 212 am d 222 am e 111 am 3 Um investidor aplica mensalmente R 150000 há um ano e o resultado desse investimento foi de R 1881351 Qual a taxa de juros desse investimento Inicie seus cálculos com uma taxa de juros de 100 am a 108 am b 801 am c 018 am d 080 am e 180 am U4 Investimento 184 Seção 43 Amortização Diálogo aberto Caro aluno Nesta Seção 43 estudaremos dois sistemas de amortização de contrato de financiamento muito comuns em nosso país o SAC Sistema de Amortização Constante e o Sistema PRICE Os sistemas citados são muitos aplicados pelas instituições bancárias em financiamentos a longo prazo de imóveis Para que possa entender a aplicação prática desses sistemas de amortização você novamente será inserido como sócio proprietário de uma empresa que está reformando o novo pátio de distribuição Reforma essa de um ano que está sendo executada sob contrato de financiamento em sistema de amortização constante em pagamentos trimestrais sob a taxa nominal anual de 15 no valor de R 120000000 Nas seções anteriores você definiu o valor de pagamento da entrada e também definiu a verba resultante de um investimento que fará parte de pagamento da última parcela do financiamento da reforma agora deverá calcular o valor da última parcela a ser paga do financiamento dessa reforma Esta seção atende às competências gerais e técnicas de sua formação sendo elas Competência Geral conhecer os métodos e técnicas de cálculo de valor do dinheiro no tempo Competência Técnica conhecer técnicas de cálculo de financiamentos e investimentos Você a cada seção resolverá uma situaçãoproblema e na última seção além de resolver a situaçãoproblema proposta deverá a presentar um relatório demonstrando que as situaçõesproblemas estão interligadas apresentando o resultado da situação de realidade profissional U4 Investimento 185 Sabendo o que nos espera vamos aos estudos No Brasil para financiamento de compra de imóveis são utilizados dois métodos de amortização da dívida de compra o SAC Sistema de Amortização Constante e o PRICE Sistema Francês de Amortização SAC Sistema de Amortização Constante caracterizase por suas parcelas apresentarem um comportamento decrescente é um sistema muito utilizado para o financiamento de compra de imóveis PRICE Sistema Francês de Amortização tem como característica suas parcelas serem iguais e também tem maior aplicação em financiamento de veículos No Quadro 41 apresentamos uma comparação entre os sistemas SAC e PRICE Não pode faltar Fonte adaptado de httpwwwfinanciamentocombrfaqdiferencasistemasacpricephp Acesso em 9 mar 2016 Quadro 41 Comparação entre os Sistemas SAC e PRICE SAC PRICE Prestações Decrescente Constante Amortizações Constante Crescente Juros Decrescente Decrescente Vantagens Saldo devedor diminui mais rapidamente em relação ao Price o valor das prestações cai continuamente Valor da prestação é o mesmo durante o financiamento e a prestação inicial é menor em relação à calculada pela SAC Desvantagens Prestação inicial maior em relação à calculada pelo Sistema Price e o valor das prestações varia todo mês Saldo devedor diminui mais lentamente em relação ao SAC o valor das prestações não diminui Assimile Os sistemas de amortização SAC e PRICE são muito aplicados no Brasil para financiamentos imobiliários e de veículos SAC Sistema de Amortização Constante Os cálculos do SAC são operados obedecendo às seguintes formulações Um empréstimo de R 600000 será parcelado em três vezes mensais sob o SAC com taxa de juros compostos de 12 am Determine os valores das parcelas Resolução Amortização Am Am VPn VP R 600000 n 3 parcelas mensais Am 60003 Am R 200000 Definimos a amortização que será constante de R 200000 Calculando a primeira parcela a ser paga Juros Jk Jk Dk1 i Dk Dk VP R 600000 i 12 am 0012 am J1 D0 i J1 6000 0012 J1 R7200 Amortização Am Am VPn VP valor a ser financiado n número de parcelas do financiamento Juros Jk Jk Dk1 i Dk1 Dívida ou restante a ser pago i taxa de juros compostos Parcela Pk Pk Am Jk Am Amortização Jk Juros Dívida Dk Obs a dívida inicial D0 VP e as demais Dk1 Dk Am Dk valor da dívida atual Dk1 valor da próxima dívida Am valor da amortização Am R 200000 A terceira parcela a ser paga será de R 202400 Um bem com valor à vista de R 810000 será parcelado em três vezes mensais sob o SAC com taxa de juros compostos de 15 am Determine os valores das parcelas Um empréstimo de R 600000 será parcelado em três vezes mensais sob o sistema PRICE de amortização com taxa de juros compostos de 12 am Determine o saldo devedor a cada parcela paga J1 R 7200 Am1 parc J1 Am1 204819 72 Am1 R 197619 Dívida Dk Dk D1 o que desejamos saber Dk1 D0 R 600000 Amk Am1 R 197619 D1 D0 Am1 D1 6000 197619 D1 R 402381 Dk Dk1 Amk U4 Investimento 200 2 Um equipamento cujo valor à vista é R 2800000 teve sua venda financiada pelo Sistema PRICE sob taxa de juros compostos de 121 am em quatro parcelas mensais e iguais a R 721302 Determine os valores das amortizações ocorridas no financiamento citado na ordem de pagamento das parcelas a R 687422 R 695740 R 704159 e R 712679 b R 695740 R 687422 R 704159 e R 712679 c R 704159 R 687422 R 695740 e R 712679 d R 687422 R 704159 R 695740 e R 712679 e R 712679 R 687422 R 695740 e R 704159 3 Um imóvel está à venda sob o valor à vista de R 36000000 podendo ser financiado pelo Sistema de Amortização Constante em parcelas mensais pelo período de 20 anos Determine a amortização mensal desse financiamento a R 150000 b R 1800000 c R 1500000 d R 180000 e R 108000 U4 Investimento 201 Seção 44 Conta garantida cheque especial Diálogo aberto Caro aluno Chegamos à última seção do nosso livro didático a Seção 44 Esta seção é muito interessante pois esclarecerá uma situação que quase todos vivem o uso do Cheque Especial Sempre nos perguntamos como são calculados os juros que nos são cobrados Após se dedicar ao entendimento da teoria e dos cálculos aqui apresentados você verá que é muito simples e também que o Cheque Especial é para uso estritamente necessário não abuse desse crédito que o banco fornece Para que possa vivenciar a teoria e os cálculos apresentados vamos continuar considerando a situação de realidade profissional desta unidade Você sabe que a última parcela a ser paga do financiamento dessa reforma é de R 7929990 calculada na Seção 43 e que para pagar essa parcela fará uso de uma verba de R 6175439 proveniente de uma aplicação calculada na Seção 42 e o restante virá da conta bancária da empresa Como a empresa tem outros compromissos a saldar provavelmente deverá fazer uso de seu cheque especial e a instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 144 aa e IOF de 007 ao dia Você deverá no último dia do mês apresentar os juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa o extrato bancário é dado a seguir Data Histórico Movimento Saldo 01 De transporte 100000 03 Clientes 40000000 05 Fornecedores 15000000 05 Funcionários 10000000 10 Encargos Fiscais 17000000 13 Clientes 5000000 U4 Investimento 203 IOF Imposto sobre operações financeiras ao dia SD Saldo devedor d Número de dias em que o saldo devedor SD não se altera Assimile A Conta Garantida Cheque Especial tem como base o Método Hamburguês de cálculo que por sua vez é um cálculo de juros simples Reflita Como seria minha vida sem cheque especial Pesquise mais Aprofundese no assunto acesse Disponível em httpwwwfelcontbrasilcomresourcesInformativos Calculos20produtos20bancariospdf Acesso em 11 mar 2016 Exemplificando Uma instituição bancária cobra os juros do cheque especial no último dia de cada mês cobrando uma taxa de juros simples de 01 ad e IOF de 004 ad Para o extrato bancário a seguir calcule os juros a serem pagos pelo uso da conta garantida sabendo que o último dia do mês é 30 Data Histórico Movimento Saldo 01 De transporte 20000 05 Remuneração 250000 05 Débito 60000 07 Débito 120000 10 Cheque 40000 10 Débito 70000 15 Débito 30000 15 Débito 20000 15 Cheque 40000 22 Débito 10000 22 Débito 20000 28 Cheque 20000 30 Juros Conta Garantida U4 Investimento 206 05 Débito 65000 07 Débito 10000 9 Cheque 70000 10 Débito 50000 15 Débito 30000 15 Débito 20000 18 Cheque 40000 24 Débito 20000 24 Débito 5000 29 Cheque 10000 30 Juros Conta Garantida Resposta no dia 30 serão cobrados juros de R 3780 tornando o saldo negativo em R 153780 Sem medo de errar Você sabe que a última parcela a ser paga do financiamento da reforma da Metalúrgica é de R 7929990 calculada na Seção 43 e que para pagar essa parcela fará uso de uma verba de R 6175439 proveniente de uma aplicação calculada na Seção 42 e o restante virá da conta bancária da empresa Como a empresa tem outros compromissos a saldar provavelmente deverá fazer uso de seu cheque especial e a instituição bancária cobra uma taxa de juros simples de 144 aa e IOF de 007 ao dia Você deverá no último dia do mês apresentar os juros a serem cobrados pelo uso do cheque especial e o saldo bancário da empresa o extrato bancário é dado a seguir Data Histórico Movimento Saldo 01 De transporte 100000 03 Clientes 40000000 05 Fornecedores 15000000 05 Funcionários 10000000 10 Encargos Fiscais 17000000 13 Clientes 5000000 15 Pagamento da Reforma 22 Pagamento de Manutenção 2000000 U4 Investimento 213 Referências ASSAF NETO Alexandre Matemática financeira e suas aplicações 12 ed São Paulo Atlas 2012 CARVALHO L C S ELIA B S DECOTELLI C A Matemática financeira aplicada Rio de Janeiro Editora da FGV 2009 KMETEUK FILHO Osmir Fundamentos da matemática financeira 2 ed Rio de Janeiro Ciência Moderna 2010 MATEMÁTICA FINANCEIRA Matemática fi nanceira KLS KLS