Sistemas de Amortização - Conceitos Tipos e Cálculos no Brasil

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Explicar os principais conceitos do sistema de amortização Identificar os principais tipos de sistemas de amortização em uso no Brasil Utilizar planos financeiros para demonstrar cálculos semelhanças e dife renças entre os sistemas de amortização Introdução Ao escolher uma modalidade de crédito empréstimo eou financiamento a instituição financeira emitirá um contrato com os detalhes da operação incluindo as taxas cobradas o sistema de amortização adotado e o período utilizado para quitar a dívida Em posse dessas informações o tomador poderá calcular o valor da parcela e o montante que será pago durante todo o período Os contratos também podem prever uma carência para o início do pagamento das prestações e a possibilidade de liquidação antecipada total ou parcial do principal da dívida No momento da contratação dos serviços o tomador precisará decidir qual será o método para a amortização da dívida É fundamental portanto conhecer as vantagens e os riscos de cada sistema de amortização Neste capítulo vamos definir sistemas de amortização as características que envolvem cada um deles e os principais tipos utilizados pelo mercado no Brasil Além disso explicaremos como calcular as parcelas em cada sistema de amortização Sistemas de amortização Flávia Monaco Vieira Sistemas de amortização Sistemas de amortização conceitos gerais Amortização segundo Merchede 2009 p 59 é a maneira pela qual uma dívida é gradativamente suprimida mediante pagamento de prestações ou seja é o pagamento da dívida de forma parcelada em um prazo preestabelecido Apesar de haver diferentes sistemas de amortização o seu objetivo é único o pagamento do principal isto é de um determinado valor contraído em empréstimo ou financiamento Nesse sentido Puccini 2007 p 158 entende que um sistema de amortização nada mais é do que um plano de pagamento de uma dívida contraída Os diferentes sistemas de amortização de um empréstimo produzem fluxos de pagamentos equivalentes entre si Por essa razão o valor presente dos fluxos de pagamentos na data focal zero é igual ao principal do empréstimo ZOT CASTRO 2015 Assim a escolha do sistema de amortização influenciará o fluxo de caixa das partes envolvidas credor e devedor O devedor então precisa considerar sua capacidade de pagamento na escolha do sistema de amortização pois o pagamento afetará suas finanças pessoais Saiba mais No financiamento o valor liberado tem uma finalidade específica por exemplo para a compra de imóvel ou automóvel ou para importação Já o empréstimo é um recurso concedido sem a necessidade de vinculálo a alguma finalidade por exemplo conta garantida cheque especial desconto de duplicata etc HOJI 2016 O plano financeiro também conhecido como memória de cálculo demonstra ao longo do tempo a ocorrência dos principais eventos que vão modificando o saldo de um empréstimo Para a realização de um plano de pagamento é necessário demonstrar os seguintes dados ZOT CASTRO 2015 Saldo inicial saldo final anterior na primeira linha corresponde ao principal Juros calculados saldo inicial taxa unitária Saldo após juros saldo inicial juros calculados Pagamento amortização do principal juros a serem pagos Amortização parcela do pagamento referente ao principal Juros a serem pagos parcela do pagamento referente aos juros Saldo final saldo inicial juros calculados pagamento Saiba mais Para a plena compreensão do conteúdo deste capítulo lembrese dos seguintes conceitos de operações de empréstimo e financiamento Valor principal soma do capital emprestado Carência deferimento no pagamento da primeira prestação Taxas de juros remuneração paga pelo tomador de crédito à instituição financeira Principais tipos de sistemas de amortização utilizados no Brasil Os sistemas de amortização mais difundidos no mercado são o sistema de prestação constante SPC ou amortização Price e o sistema de amortização constante SAC BATISTA JÚNIOR 2014 Além desses Zot e Castro 2015 apontam o sistema americano e o sistema misto como as principais modalidades em uso no Brasil Sistema de prestação constante SPC ou amortização Price O SPC também conhecido como sistema francês de amortização ou amortização Price é muito utilizado em operações de crédito direto ao consumidor e em financiamentos habitacionais PUCCINI 2007 Esse modelo consiste no pagamento da dívida por meio de prestações PMT sucessivas periódicas e iguais em que os juros gerados a cada período são pagos primeiramente ZOT CASTRO 2015 Os juros por incidirem sobre o saldo devedor são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes Ou seja os juros diminuem enquanto a amortização aumenta permanecendo o valor das prestações igual ao longo do tempo Veja na Figura 1 a dinâmica do SPC Figura 1 Comportamento de juros e amortização Fonte Adaptada de Puccini 2007 0 1 2 3 Tempo períodos PMT A1 J1 A2 J2 A3 J3 A4 J4 4 J1 J2 J3 J4 A1 A2 A3 A4 Veja a seguir as expressões de cálculo do SPC Prestação PTM O valor das prestações é obtido pelo cálculo de uma prestação postecipada PTM VP i 1 in1 in 1 onde VP é o valor presente valor do empréstimo i é a taxa de juros e n é o número de períodos ou parcelas Vejamos um exemplo para fixar os conceitos Considerando por exemplo um empréstimo no valor de R 600000 VP a ser pago em seis prestações anuais n com juros de 10 aa i calcule o valor da prestação PMT Manualmente resolvese o problema da seguinte maneira PTM VP i 1 in1 in 1 PTM 6000 010 1 01061 0106 1 PTM 137764 Na HP 12C temos o seguinte 6000 CHS PV 10 i 6 n g END para informar que a série é postergada PMT Sistemas de amortização 4 Juros J Os juros incidem sobre o saldo devedor apurado no início de cada período ou ao final de cada período imediatamente anterior A expressão de cálculo de juros um momento t qualquer é a seguinte Jt SDt1 i onde SD é o saldo devedor i é a taxa de juros e t é o tempo Vejamos um exemplo Após a ocorrência dos juros do primeiro ano J1 no valor de R 60000 e o pagamento da primeira prestação PTM1 no valor de R 137764 o saldo devedor SD1 ficou em R 522236 Com base nessas informações calcule os juros do segundo ano J2 Jt SDt 1 i J2 SD21 i J2 SD1 i J2 522236 010 J2 52224 O J1 é calculado pelo VP i R 600000 10 Amortização A A amortização é obtida pela diferença entre o valor da prestação PMT e o dos juros J A1 PMT J1 A1 PMT PV i At A1 1 it1 onde i é a taxa de juros e t é o tempo Vejamos um exemplo para facilitar a compreensão Sabendo que o valor da amortização do ano 1 A1 é de R 77764 calcule o valor amortizado no terceiro ano A3 At A1 1 it1 A3 77764 1 01031 A3 77764 112 Sistemas de amortização 5 A3 94095 Veja no Quadro 1 o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC Quadro 1 Demonstrativo simplificado do plano financeiro do SPC n Prestação Juros Amortização Saldo devedor 0 SD0 VP 1 PMT J1 PV i A1 PMT J1 SD1 SD0 A1 2 PMT J2 SD1 i A2 PMT J2 SD2 SD1 A2 n PMT Jn SDn1 i An PMT Jn SDn SDn1 An Veja no Quadro 2 o preenchimento do plano financeiro do SPC nas seguintes condições Valor do empréstimo R 600000 Número de prestações anuais 6 Juros 10 aa Quadro 2 Plano financeiro do SPC Saldo inicial Juros calculados Saldo após juros Prestação Amortização Juros pagos Saldo final n Sn1 J 10 Sn1 J PMT A PMT J J SF 1 600000 60000 660000 137764 77764 60000 522236 2 522236 52224 574459 137764 85541 52224 436695 3 436695 43669 480364 137764 94095 43669 342600 4 342600 34260 376860 137764 103504 34260 239095 5 239095 23910 263005 137764 113855 23910 125240 6 125240 12524 137764 137764 125240 12524 Totais 226587 826587 600000 226587 Sistemas de amortização 7 Observe que todas as prestações são iguais e que a amortização é calculada após o cálculo dos juros que corresponde à diferença entre a prestação e os juros Sistema de amortização constante SAC Diferentemente do sistema Price em que as prestações é que devem ser iguais no SAC as amortizações do principal devem ser sempre iguais ou constantes em todo o prazo da operação Veja na Figura 2 a dinâmica do SAC Figura 2 Comportamento da dinâmica do SAC Fonte Adaptada de Puccini 2007 PV SDi1 0 1 2 3 n Tempo períodos PMT1 A J1 PMT3 A J3 PMT2 A J2 PMTn A Jn Veja as expressões de cálculo a seguir Amortização A A amortização é obtida mediante a divisão do capital emprestado pelo número de prestações É representada por A VPn onde VP é o valor presente valor do financiamento e n é o número de prestações Sistemas de amortização 8 Por exemplo considerando o empréstimo no valor de R 600000 VP a ser pago em seis prestações anuais n temse A VPn A 6000006 A 100000 Juros J Pela redução constante do saldo devedor os juros diminuem linearmente ao longo do tempo comportandose como uma progressão aritmética de crescente A expressão de cálculo dos juros para um período qualquer t é Jt VPn n t 1 i onde VP é o valor presente valor do financiamento n é o número de pres tações i é a taxa de juros e t é o tempo Por exemplo considerando o empréstimo no valor de R 600000 VP a ser pago em seis prestações anuais n o valor dos juros no 5º ano será J5 Jt VPn n t 1 i J5 6000006 6 5 1 010 J5 100000 2 010 J5 20000 Prestação PMT A prestação é obtida pela soma da amortização A com os juros J sendo a amortização representada por VPn A expressão de cálculo da prestação para um período qualquer t é PMT VPn 1 n t 1 i onde VP é o valor presente valor do financiamento n é o número de pres tações i é a taxa de juros e t é o tempo Sistemas de amortização 9 Por exemplo considerando o empréstimo no valor de R 600000 VP a ser pago em seis prestações anuais n com juros anuais de 10 aa i o valor da prestação no segundo ano PMT2 é PMT VPn 1 n t 1 i PMT2 60006 1 6 2 1 010 PMT2 100000 1 5 010 PMT2 100000 15 PMT2 150000 Veja no Quadro 3 o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAC Quadro 3 Demonstrativo do SAC n Prestação Juros Amortização Saldo devedor 0 SD0 VP 1 PMT1 A J1 J1 SD0 i A SD1 SD0 A 2 PMT2 A J2 J2 SD1 i A SD2 SD1 A n PMTn A Jn Jn SDn1 i A SDn SDn1 An Fonte Adaptado de Camargos 2013 Agora veja no Quadro 4 o preenchimento do plano financeiro do SAC nas seguintes condições Valor do empréstimo R 600000 Número de prestações anuais 6 Juros 10 aa Quadro 4 Plano financeiro do SAC Saldo inicial Juros calculados Saldo após juros Prestação Amortização Juros pagos Saldo final n Sn1 J 10 S n1 J PMT A J A J SF 1 600000 60000 660000 160000 100000 60000 500000 2 500000 50000 550000 150000 100000 50000 400000 3 400000 40000 440000 140000 100000 40000 300000 4 300000 30000 330000 130000 100000 30000 200000 5 200000 20000 220000 120000 100000 20000 100000 6 100000 10000 110000 110000 100000 10000 Totais 210000 600000 210000 Sistemas de amortização 11 Observe que o valor da amortização é constante durante todo o período Sistema de amortização americano SAA O SAA se caracteriza por pagar todo o principal na última prestação com pagamento periódico de juros Como não há capitalização de juros o saldo devedor não se altera ao longo do tempo Nesse caso os juros devidos em cada período são constantes No vencimento da operação são pagos o principal e a última parcela dos juros Veja na Figura 3 a dinâmica SAA Figura 3 Comportamento da dinâmica do SAA Fonte Adaptada de Puccini 2007 PMT1 PMT2 PMT3 PMTn SDi Jn J1 J2 J3 PV SDi1 0 1 2 3 n Tempo períodos Veja a expressão de cálculo a seguir Última prestação PMT PMT VP 1 i onde VP é o valor presente valor do empréstimo e i são os juros Por exemplo vamos calcular a última prestação considerando o emprés timo no valor de R 600000 VP com pagamento de juros periódicos de 10 aa i PMT VP 1 i PMT 600000 1 010 PMT 6000 110 PMT 660000 O valor da prestação PMT corresponde ao valor da amortização R 600000 os juros do período R 60000 Sistemas de amortização 12 Veja no Quadro 5 o demonstrativo simplificado do plano financeiro do SAA Quadro 5 Demonstrativo do SAA n Prestação Juros Amortização Saldo devedor 0 SD0 VP 1 PMT1 VP i J1 VP i SD1 VP 2 PMT2 VP i J2 VP i SD2 VP n PMTn VP VP i Jn PV i An VP SDn SDn1 An Fonte Adaptado de Camargos 2013 Agora veja no Quadro 6 o preenchimento do plano financeiro do SAA nas seguintes condições Valor do empréstimo R 600000 Número de prestações anuais 6 Juros 10 aa Quadro 6 Plano financeiro do SAA Saldo inicial Juros calculados Saldo após juros Prestação Amortização Juros pagos Saldo final n Sn1 J 10 Sn1 J PMT A J A J SF 1 600000 60000 660000 60000 60000 600000 2 600000 60000 660000 60000 60000 600000 3 600000 60000 660000 60000 60000 600000 4 600000 60000 660000 60000 60000 600000 5 600000 60000 660000 60000 60000 600000 6 600000 60000 660000 660000 600000 60000 000 Totais 360000 960000 600000 360000 Sistemas de amortização 14 Observe que periodicamente os juros de R 60000 foram pagos perma necendo o valor do empréstimo como saldo devedor Sistema de amortização montante ou único O sistema de amortização montante é caracterizado pelo fato de o montante e os juros do período serem pagos de uma só vez ao final Veja na Figura 4 a dinâmica do sistema montante Figura 4 Dinâmica do sistema montante Fonte Adaptada de Puccini 2007 PV SDi1 FV SDi1 J 0 1 2 n Tempo períodos Empréstimo a i ap n 1 Veja as expressões de cálculo a seguir Prestação única PMT Os cálculos se resumem à aplicação da fórmula do valor futuro VF VF VP 1 in onde VP é o valor presente valor do financiamento i é a taxa de juros e n é o número de prestações Sistemas de amortização 15 Por exemplo vamos calcular o valor da prestação PMT considerando o empréstimo no valor de R 600000 VP com juros anuais de 10 aa i que serão pagos ao final de seis anos n PMT VP 1 in PMT 600000 1 016 PMT 6000 177156 PMT R 1062937 O saldo devedor corresponde ao valor amortizado R 600000 o valor dos juros R 462937 Juros J Os juros podem ser obtidos pela equação J VP 1 in 1 onde VP é o valor presente valor do financiamento i é a taxa de juros e n é o número de prestações Veja no Quadro 7 o preenchimento do plano financeiro do sistema misto nas seguintes condições Valor do empréstimo R 600000 Número de prestações anuais 6 Juros 10 aa Quadro 7 Plano financeiro do sistema montante Saldo inicial Juros calculados Saldo após juros Prestação Amortização Juros pagos Saldo final n Sn1 J 10 Sn1 J PMT A J A J SF 1 600000 60000 660000 660000 2 660000 66000 726000 726000 3 726000 72600 798600 798600 4 798600 79860 878460 878460 5 878460 87846 966306 966306 6 966306 96631 1062937 1062937 600000 462937 Totais 462937 1062937 600000 462937 Sistemas de amortização 17 Sistemas de amortização Comparação entre os sistemas de amortização A fim de análise será elaborado um plano financeiro para os sistemas SPC SAC e SAA com base nos seguintes dados Valor do empréstimo R 2000000 Número de prestações mensais 24 Taxa dos juros 20 aa 15309 am Veja no Quadro 8 o plano financeiro comparativo entre os sistemas Quadro 8 Plano financeiro comparativo entre os sistemas de amortização SPC SAC SAA SD A J PMT SD A J PMT SD A J PMT 1 2000000 69589 30618 100207 2000000 83333 30618 113951 2000000 30618 30618 2 1930411 70654 29553 100207 1916667 83333 29342 112676 2000000 30618 30618 3 1859757 71736 28471 100207 1833333 83333 28067 111400 2000000 30618 30618 4 1788021 72834 27373 100207 1750000 83333 26791 110124 2000000 30618 30618 5 1715187 73949 26258 100207 1666667 83333 25515 108848 2000000 30618 30618 6 1641238 75081 25126 100207 1583333 83333 24239 107573 2000000 30618 30618 7 1566157 76231 23976 100207 1500000 83333 22964 106297 2000000 30618 30618 8 1489926 77398 22809 100207 1416667 83333 21688 105021 2000000 30618 30618 9 1412528 78582 21624 100207 1333333 83333 20412 103745 2000000 30618 30618 10 1333946 79786 20421 100207 1250000 83333 19136 102470 2000000 30618 30618 11 1254160 81007 19200 100207 1166667 83333 17861 101194 2000000 30618 30618 12 1173153 82247 17960 100207 1083333 83333 16585 99918 2000000 30618 30618 Continua Sistemas de amortização 19 SPC SAC SAA 13 1090906 83506 16701 100207 1000000 83333 15309 98642 2000000 30618 30618 14 1007400 84785 15422 100207 916667 83333 14033 97367 2000000 30618 30618 15 922616 86083 14124 100207 833333 83333 12758 96091 2000000 30618 30618 16 836533 87400 12806 100207 750000 83333 11482 94815 2000000 30618 30618 17 749133 88738 11468 100207 666667 83333 10206 93539 2000000 30618 30618 18 660394 90097 10110 100207 583333 83333 8930 92264 2000000 30618 30618 19 570297 91476 8731 100207 500000 83333 7655 90988 2000000 30618 30618 20 478821 92877 7330 100207 416667 83333 6379 89712 2000000 30618 30618 21 385944 94298 5908 100207 333333 83333 5103 88436 2000000 30618 30618 22 291646 95742 4465 100207 250000 83333 3827 87161 2000000 30618 30618 23 195904 97208 2999 100207 166667 83333 2552 85885 2000000 30618 30618 24 98696 98696 1511 100207 83333 83333 1276 84609 2000000 2000000 30618 2030618 Totais 2000000 404966 2404966 2000000 382725 2382725 2000000 734832 2734832 Continuação Sistemas de amortização 20 Podese observar no Quadro 8 que o valor amortizado dos sistemas correspondem ao valor do empréstimo R 200000 Porém os juros no SAA são superiores por não haver amortização do principal ao longo do contrato Por sua vez os juros no SAC são menores pois o valor amortizado ao longo do contrato permanece inalterado da primeira à última prestação Analisar os planos de financiamento somente pelo total pago é equívoco uma vez que se estaria desconsiderando o princípio básico da matemática financeira do valor do dinheiro no tempo Dessa forma Camargos 2013 descreve que a comparação correta entre os planos de financiamento deve ser feita com os valores de cada um em um mesmo momento focal ou seja devese calcular o valor presente VP ou o valor futuro VF de cada um Considerando que todos os sistemas apresentam o mesmo valor presente R 20000 devem também ter o mesmo valor futuro para serem equivalentes De fato capitalizando as prestações de cada plano pela taxa de 20 aa ao final de dois anos 24 meses chegase ao mesmo valor futuro de R 2880000 demonstrando assim que os seus fluxos de caixa são equivalentes Veja a capitalização do empréstimo pelo cálculo do valor futuro no valor de R 2000000 com a taxa de 20 no período de 2 anos VF VP 1 in VF 2000000 1 0202 VF 2000000 120 2 VF 2000000 144 VF 2880000 Por fim veja no Quadro 9 o resumo das características dos sistemas estudados Sistemas de amortização 21 Quadro 9 Características dos sistemas de amortização Sistema Prestações Juros Amortização SPC Constantes Decrescentes exponencialmente Crescente exponencialmente SAC Decrescentes linearmente Decrescentes linearmente Constante SAA Somente dos juros Constantes Não há Montante Não há Cumulativo Não há Fonte Adaptado de Camargos 2013 Assim em resumo podese inferir que o melhor sistema é aquele que atende à capacidade de pagamento do tomador do empréstimo Referências BATISTA JÚNIOR R I Matemática financeira contextualizada em sistemas de amortização e impostos de renda 2014 65 f Dissertação Mestrado em Matemática Instituto de Geociências e Ciências Exatas Universidade Estadual Paulista 2014 CAMARGOS M A Matemática financeira aplicada a produtos financeiros e à análise de investimentos São Paulo Saraiva 2013 HOJI M Matemática Financeira didática objetiva e prática São Paulo Atlas 2016 MERCHEDE A HP12C cálculos e aplicações financeiras São Paulo Atlas 2009 PUCCINI E C Matemática financeira 5 ed São Paulo Atlas 2007 ZOT W D CASTRO M L Matemática financeira fundamentos e aplicações Porto Alegre Bookman 2015 Leitura recomendada ASSAF NETO A Matemática financeira São Paulo Atlas 2017 Os links para sites da web fornecidos neste capítulo foram todos testados e seu funcionamento foi comprovado no momento da publicação do material No entanto a rede é extremamente dinâmica suas páginas estão constantemente mudando de local e conteúdo Assim os editores declaram não ter qualquer responsabilidade sobre qualidade precisão ou integralidade das informações referidas em tais links Sistemas de amortização 22