Matemática 2

FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 DÉCIMA PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS OTIMIZAÇÃO MÁXIMOS E MÍNIMOS DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS EXERCÍCIO 1 Máximos e mínimos Determine os pontos críticos das funções seguintes e utilize o teste da segunda derivada para classificar a natureza desses pontos Além disso construa numa planilha do Excel os gráficos 3D das funções a fx y 1 2x2 3y2 b fx y 1 2x2 3y2 EXERCÍCIO 2 Otimização Uma companhia manufatureira produz dois produtos que são vendidos em mercados separados A análise dos dois mercados determina que as quantidades x e y desses produtos demandadas pelos consumidores tem preços p1x e p2y dados por p1x 600 03 x e p2y 500 02 y Observase para ambos os produtos que se o preço cresce a demanda cai O custo total de produção é dador por Cx y 16 12 x 15 y 02 x y Determine a As expressões matemáticas que descrevem a receita Rx y e o lucro Lx y b As quantidades x e y que maximizam o Lucro c Utilize o critério das derivadas segundas para confirmar que os pontos críticos determinados correspondem ao máximo da função lucro d Construa numa planilha do Excel o gráfico 3D da função lucro Lx y FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 DÉCIMA SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS REGRESSÃO LINEAR E OTIMIZAÇÃO COM RESTRIÇÃO Para os exercícios 1 e 2 da lista a Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico de y versus x Adicione a regressão linear do Excel b Obtenha a equação da reta que melhor ajusta os dados experimentais a partir da regressão linear obtida pelo método dos mínimos quadrados c Construa uma tabela para os mesmos valores de x mas com os valores de y calculados a partir da equação da reta determinada em b e construa o respectivo gráfico no Excel d Calcule o coeficiente de correlação e avalie a qualidade do ajuste e Verifique se a regressão linear feita pelo Excel coincide com seu cálculo EXERCÍCIO 1 Utilize uma planilha do Excel Considere os dados da tabela abaixo relacionando dados experimentais x 07 08 10 13 17 25 y 55 68 90 175 225 400 EXERCÍCIO 2 Utilize uma planilha do Excel Considere duas variáveis x e y registradas na tabela seguinte x y 160 65 130 55 150 55 140 50 100 45 80 25 145 35 90 25 105 30 85 25 125 45 135 45 115 55 60 25 70 35 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 3 Otimização condicionada Resolução por substituição Minimize a função fx y 2x2 3y2 com a restrição gx y x y 2 Isole y a partir de gxy então substitua y em fxy que passará a ser função de x apenas e minimize essa função Verifique se é um mínimo e especifique x y e o valor mínimo de fxy EXERCÍCIO 4 Otimização condicionada Resolução por substituição Maximize a função fx y 2x 3y x2 y2 com a restrição gx y x 2y 9 Isole y a partir de gxy então substitua y em fxy que passará a ser função de x apenas e minimize essa função Verifique se é um máximo e especifique x y e o valor máximo de fxy EXERCÍCIO 5 Otimização condicionada Resolução por substituição Otimize a função fx y x2 y2 com a restrição gx y x2 y2 1 Isole y2 a partir de gxy então substitua y em fxy que passará a ser função de x apenas e otimize essa função Verifique se é um máximo ou um mínimo e especifique x y e o valor de fxy LISTA 12 Regressão Linear e Otimização com Restrição Exercício 1 Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados A equação da reta é dada por y a x b onde a é o coeficiente angular inclinação b é o coeficiente linear intercepto Fórmulas Cálculos a b Equação da Reta y19283 x8827 Tabela e Gráfico com Valores Ajustados x y original y ajustado 07 55 1928307 8827 4671 08 68 1928308 8827 6599 10 90 1928310 8827 10456 13 175 1928313 8827 16241 17 225 1928317 8827 23954 25 400 1928325 8827 39381 Coeficiente de Correlação R 06 08 1 12 14 16 18 2 22 24 26 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 fx 192834302325581 x 882790697674418 R² 099193823058343 Relação entre X e Y Eixo X Eixo Y O valor de R teoricamente não pode ser maior que 1 O pequeno excesso se deve a arredondamentos O valor correto é próximo de 1 indicando uma forte correlação linear Um R próximo de 1 indica um bom ajuste linear No entanto observe que os dados originais não parecem seguir perfeitamente uma reta especialmente o salto entre x10 e x13 Pode ser que um modelo não linear exponencial ou polinomial se ajuste melhor Exercício 2 Regressão Linear pelo Método dos Mínimos Quadrados A equação da reta é dada por y a x b onde a é o coeficiente angular inclinação b é o coeficiente linear intercepto Fórmulas Cálculos a b Equação da Reta y 0395 x 0397 Tabela e Gráfico com Valores Ajustados x y original y ajustado 160 65 0395160 0397 592 130 55 0395130 0397 474 150 55 0395150 0397 553 140 50 0395140 0397 513 100 45 0395100 0397 355 80 25 039580 0397 276 145 35 0395145 0397 533 90 25 039590 0397 316 105 30 0395105 0397 375 85 25 039585 0397 296 125 45 0395125 0397 454 135 45 0395135 0397 494 115 55 0395115 0397 415 60 25 039560 0397 197 70 35 039570 0397 237 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 7 fx 0338542948560177 x 0285749446222003 R² 0618414111214507 Relação entre X e Y Eixo X Eixo Y Coeficiente de Correlação R yi2 652 552 552 52 452 252 352 252 32 252 452 452 552 252 352 4225 3025 3025 250 2025 625 1225 625 90 625 2025 2025 3025 625 1225 27675 R 0825 indica uma correlação linear positiva forte O ajuste é razoável mas pode haver alguns desvios significativos por exemplo para x 115 y 55 enquanto o valor ajustado é 415 Exercício 3 x y 2 y 2 x fx 2x2 3 2 x 2 fx 2x2 3 4 4x x2 2x2 12 12x 3x2 fx 5x2 12x 12 f x 10 0 Substitua x 12 na equação y 2 x y 2 12 08 Substitua x 12 e y 08 em f x y Exercício 4 F x y 2x 3y x2 y2 sujeita à restrição g x y x 2y 9 Substitua x 2 na equação Substitua x 2 e y 35 em f x y O valor negativo pode parecer contraintuitivo mas é correto dado os termos quadráticos negativos na função original O ponto 235 é de fato o máximo possível sob a restrição Exercício 5 Otimizar a função f x y x2 y2 sujeita à restrição g x y x2 y2 1 Para x 1 Para x 1 Mínimo Global Máximo Global A função f x y x2 y2 é uma sela ponto de sela no contexto geral mas a restrição x2 y2 1 círculo unitário força a existência de máximos e mínimos globais nos extremos do intervalo permitido LISTA 11 Otimização Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Exercício 1 x preço por ação em y retorno por ação em a b dx 62 60 2 dy 38 4 02 Cálculo para Comparação Exercício 2 a Receita Total Lucro Total b Derivadas Parciais Sistema de equações Multiplicando a primeira equação por 2 Subtraindo a segunda equação de 1 Substituindo x6991x6991 na segunda equação original c Matriz Hessiana H Critérios 1 2 Resposta O ponto crítico x y 699 897 x y 699 897 corresponde a um máximo da função lucro d LISTA 10 Derivadas Parciais e Diferencial Total Exercício 1 a b Exercício 2 a b Exercício 3 a Produtividade Marginal da Mão de Obra Produtividade Marginal do Capital b O governo deveria encorajar investimento em capital pois cada unidade adicional de capital gera um aumento maior na produção 40 unidades do que a mão de obra 75 unidades no ponto atual x256 y16 c Δx 254 256 2 redução de 2 unidades de mão de obra Δy 18 16 2 aumento de 2 unidades de capital A produção aumentará aproximadamente 65 unidades quando a mão de obra diminuir de 256 para 254 e o capital aumentar de 16 para 18 Exercício 4 a Os produtos AA e BB são bens substituíveis pois o aumento no preço de um leva ao aumento na demanda do outro b Demanda de A f 6055 10000 10 60 02 55 10000 600 11 9411 Demanda de B G 6055 5000 08 60 2 20 55 5000 2880 1100 6780 c d df 10 3 02 3 30 06 306 A demanda de AA aumenta aproximadamente 306 unidades quando O preço de AA xx diminui em 3 unidades dx 3 O preço de BB yy aumenta em 3 unidades dy 3 dg 16 60 3 20 3 96 3 60 288 60 348 A demanda de BB diminui aproximadamente 348 unidades quando O preço de AA xx diminui em 3 unidades dx3 O preço de BB yy aumenta em 3 unidades dy3 Exercício 5 Efeito do preço da margarina na demanda de manteiga Um aumento no preço da margarina q aumenta a demanda de manteiga x Isso sugere que os consumidores substituem a margarina pela manteiga quando a margarina fica mais cara Efeito do preço da manteiga na demanda de margarina Um aumento no preço da manteiga p aumenta a demanda de margarina y Isso indica que os consumidores substituem a manteiga pela margarina quando a manteiga fica mais cara Exercício 6 a Os bens são substituíveis pois o aumento no preço de um leva ao aumento na demanda do outro b Demanda de Gasolina Demanda de Etanol c Diferencial total de f p q Diferencial total de g p q d Diferencial de f d f Diferencial de g d g e A demanda de gasolina diminui em aproximadamente 208 litros quando o O preço da gasolina p aumenta em R 050 o O preço do etanol q diminui em R 020 A demanda de etanol aumenta em aproximadamente 296 litros sob as mesmas variações de preço Os resultados confirmam que a gasolina e o etanol são bens substituíveis Um aumento no preço da gasolina e uma redução no preço do etanol levam os consumidores a substituir gasolina por etanol Exercício 7 Exercício 8 A mudança aproximada no lucro semanal é de 325 unidades monetárias quando As vendas do produto x aumentam de 190 para 200 unidades as vendas do produto y diminuem de 105 para 100 unidades Isso indica que sob essas condições o lucro da empresa aumenta aproximadamente 325 um x preço por ação em y retorno por ação em a b dx 62 60 2 dy 38 4 02 Cálculo para Comparação O diferencial total dR 125 forneceu uma boa aproximação do valor real ΔR 1316 LISTA 9 Derivadas Parciais Exercício 1 1 x y 2 x y 3 x y 4 x y 5 x y 6 x y 7 x y 8 x y 9 x y fy y 2x³ y 4xy y 3xy⁴ 0 4 ½ xy12 x 12xy³ 2xxy 12xy³ fy 2xy 12xy³ LISTA 7 Área entre Curvas Exercício 1 Funções gt t 2t 4 ft 5 t²3 a b Área ₀10 ft gt dt ₀10 1 t²3 t 2t dt t t³9 t²2 43 t32 de 0 a 10 10 11111 50 4216 11327 milhões Exercício 2 Funções fx 10x 4x² gx 2x 32 a b Pontos de Inserção 10x 4x² 2x 32 x 0 e x 15874 Área Área ₀ 15874 fx gx dx 396 Exercício 3 a Gráficos das Funções fx e gx fx x² 2x 8 gx e05x 5 b x² 2x 8 e05x 5 x² 2x 3 e05x 0 f0 0² 2 0 8 8 g0 e⁰ 5 1 5 4 A from 3 to 3 fx gx dx from 3 to 3 x² 2x 8 e05x 5 dx A from 3 to 3 x² 2x 3 e05x dx A from 3 to 3 x² dx 2 from 3 to 3 x dx 3 from 3 to 3 1 dx from 3 to 3 e05x dx Resolução separada de cada parte integral de x Resolução separada de cada parte integral de 1 Resolução separada de cada parte e 05x Soma de todas as partes A 18 2 0 18 85172 445172 Exercício 4 a b 12 x2 3 x2 9 x 3 No intervalo 03 fx12 está acima de gxx23 No intervalo 34 gxx23 está acima de fx12 Resolução das Integrais Área Total Exercício 5 a b A área entre as curvas é ou aproximadamente 2133 unidades de área c O índice de Gini varia de 0 perfeita igualdade a 1 desigualdade máxima Um valor de G03125 3125 indica desigualdade moderada mas não extrema Comparado a países reais seria similar a nações com distribuição de renda relativamente equilibrada como Canadá ou países nórdicos Exercício 6 a Cálculo para Médicos fx Cálculo para Atores gx b c d Para Médicos fx Para Atores gx Médicos G3111 Desigualdade moderada similar a países como a França Atores G375 Desigualdade mais acentuada comparável a países como os EUA ou Brasil Conclusão A distribuição de renda entre atores é mais desigual que entre médicos Exercício 7 a b G 1 2 023 1 046 054 LISTA 5 Uso da Integral Exercício 1 Valor Médio Função fx 5 4x x² no intervalo 03 Valor médio 1 30 ₀³ 5 4x x² dx 13 5x 2x² x³3 de 0 a 3 13 15 18 9 13 24 8 Exercício 2 Valor Médio Função fx x1x² no intervalo 01 Valor médio ₀¹ x1x² dx Usando substituição u 1x² du 2x dx 12 ₀¹ 1x²12 2x dx 12 23 1x²32 de 0 a 1 13 0 1 13 em módulo 13 Exercício 3 Valor Médio Função Qt 5000 09t para t 090 a b Valor médio 190 ₀ 90 5000 09t dt 500090 09t ln 09 de 0 a 90 500090 94914 0990 1 5273 00001256 1 5273 Exercício 4 Excedentes Funções Demanda fx 270 00035x Oferta gx 00012x a b Ponto de equilíbrio 270 00035x 00012x x 57447 unidades p 270 00035 57447 26980 c Excedentes Excedente do consumidor ₀x f x p dx ₀ 57447 270 00035x 26980 dx 574 d Excedente do produtor ₀ x p gx dx ₀ 57447 26980 00012x dx 15493 Exercício 5 Dadas as funções Demanda fx fx 20 e 0002x Oferta gx gx 002x 1 Intervalo 0 x 10000 a b Quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar demanda Quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer oferta c Ponto de equilíbrio onde fxgx 20e0002x 002x 1 x 400 p 002 400 1 9 Excedente do Consumidor EC EC 5507 3600 1907 o equilíbrio é x p 4009 Excedente do Produtor EP 001 4002 400 1600 400 2000 EP 3600 2000 1600 Exercício 6 Dadas as funções Demanda fx fx 100e 0008 Oferta gx gx 4x 10 Intervalo 0 x 500 a b Quantidade que os consumidores estão dispostos a comprar demanda Quantidade que os produtores estão dispostos a oferecer oferta c Ponto de equilíbrio onde fx g x 100e 0008x 4x 10 x 100 p 4100 10 4 10 10 50 Excedente do Consumidor EC o equilíbrio é xp10050 EC 688375 5000 188375 Excedente do Produtor EP EP 5000 366667 133333 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 DÉCIMA TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS OTIMIZAÇÃO CONDICIONADA COM MULTIPLICADORES DE LAGRANGE OTIMIZAÇÃO COM A FUNÇÃO LAGRANGIANA EXERCÍCIO 1 Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para otimizar as seguintes funções com restrição a Minimize a função fx y 2x2 3y2 com a restrição gx y x y 2 b Maximize a função fx y 2x 3y x2 y2 com a restrição gx y x 2y 9 EXERCÍCIO 2 Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange O lucro diário total obtido com a venda de quantidades x e y de dois produtos é dado por Lx y 0005x2 0003y2 0002 xy 14 x 12y 200 Há uma restrição A soma de x e y é 400 unidades diárias Determine x e y que maximiza o lucro e qual é o valor desse lucro EXERCÍCIO 3 Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange Suponha que você está administrando uma fábrica que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matériaprima Seus custos são predominantemente o trabalho humano que custa 20 dólares por hora para seus funcionários e o próprio aço que custa 170 dólares por tonelada Suponha que sua receita R é modelada de maneira ampla pela seguinte equação Rh s 200 h 2 3 s 1 3 h representa as horas de trabalho s representa as toneladas de aço Se seu orçamento é de 20000 qual é a receita máxima possível EXERCÍCIO 4 Resolva o exercício 3 a partir da função Lagrangiana FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Escreva a função Lagrangiana para as funções fxy e otimize as seguintes funções com restrição a Minimize a função fx y 2x2 3y2 com a restrição gx y x y 2 b Maximize a função fx y 2x 3y x2 y2 com a restrição gx y x 2y 9 EXERCÍCIO 6 Escreva a função Lagrangiana para o lucro diário total obtido com a venda de quantidades x e y de dois produtos dado por Lx y 0005x2 0003y2 0002 xy 14 x 12y 200 com a restrição de que a soma de x e y seja 400 unidades diárias e determine x e y que maximiza esse lucro Determine também o valor desse lucro FAAP Graduação em Administração turma EAG Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 DÉCIMA QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS INTEGRAL DUPLA Exercício 1 O lucro semanal em reais de uma empresa obtido pela fabricação e venda de escrivaninhas é dado pela função lucro abaixo 𝐿𝑥 𝑦 02 𝑥2 025 𝑦2 02 𝑥𝑦 100 𝑥 90 𝑦 4000 Na expressão x é o número de escrivaninhas com acabamento e y é o número de escrivaninhas sem acabamento que são fabricadas e vendidas semanalmente Encontre o lucro médio semanal para o caso em que 180 x 200 unidades e 100 y 120 unidades Exercício 2 Uma dada área de uma região retangular da cidade compreende o centro financeiro do município No mapa x representa a distância em km na direção de um dos lados desse retângulo e y representa a distância em km na direção correspondente ao outro lado Na região considerada 0 x 1 km e 0 y 2 km O preço em reais por metro quadrado dos terrenos nessa região é dado pela seguinte expressão 𝑝𝑥 𝑦 200 10 𝑥 1 2 2 15𝑦 12 Qual é o preço médio por metro quadrado de um terreno nessa região Exercício 3 Calcule as integrais duplas abaixo a fxy xy2 para 1 x 3 e 2 y 5 b fxy xey para 0 x 5 e 0 y 3 c fxy 2 x2 xy y2 500 para 2 x 4 e 1 y 6 d fxy 8 x2y2 12 y para 1 x 3 e 1 y 3 e fxy xy e2y para 0 x 3 e 0 y 2 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS USO DA INTEGRAL EXERCÍCIO 1 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 3 e determine seu valor médio nesse intervalo fx 5 4x x2 EXERCÍCIO 2 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 1 e determine seu valor médio nesse intervalo fx x 1 x2 EXERCÍCIO 3 Valor médio Para t medido em dias desde primeiro de fevereiro a quantidade Qt de um item num depósito é dada por Qt 5000 09t a Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico de Qt para 90 dias a partir de primeiro de fevereiro b Determine a quantidade média nesse período EXERCÍCIO 4 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 270 00035x e gx 00012x Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda b O ponto de equilíbrio xp c O excedente para o consumidor d O excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 20 e0002x e gx 002 x 1 para 0 x 1000 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 700 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor EXERCÍCIO 6 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 100 e0008x e gx 4x 10 para 0 x 500 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 5500 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS ÁREA ENTRE CURVAS EXERCÍCIO 1 Área entre duas curvas Uma rede hoteleira espera que seus lucros cresçam à taxa gt milhões de reaisano dada abaixo Com melhorias físicas na rede e aquisições estimase que os lucros passem a crescer à taxa ft milhões de reaisano dada abaixo gt t 2t 4 e ft 5 t 2 3 para 0 t 10 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de gt e de ft b Qual será o lucro adicional esperado pelos próximos dez anos caso ft se verifique EXERCÍCIO 2 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 10 x 4x2 e gx 2 x 3 2 para 0 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam EXERCÍCIO 3 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx x2 2x 8 e gx e05x 5 para 3 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas para x entre 3 e 3 EXERCÍCIO 4 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 12 e gx x2 3 para 0 x 4 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função fx 15 16 x2 1 16 x a Calcule f03 f05 e f07 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda c Calcule o índice de Gini para esse país EXERCÍCIO 6 Curva de Lorenz e índice de Gini Em um dado estudo sobre distribuição de renda de dois segmentos médicos e atores verificouse que são modeladas respectivamente pelas seguintes curvas de Lorenz fx 14 15 x2 1 15 x e gx 5 8 x4 3 8 x a Calcule f05 e g05 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos médicos c Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos atores d Calcule os índices de Gini ou coeficientes de desigualdade para esses dois segmentos profissionais EXERCÍCIO 7 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função x 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 fx 000 001 002 005 009 015 021 031 040 056 100 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de distribuição de renda fx junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para esse país b Com a melhor aproximação possível calcule o índice de Gini desse país FAAP Graduação em Administração turma EAG Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 DÉCIMA LISTA DE EXERCÍCIOS DERIVADAS PARCIAIS E DIFERENCIAL TOTAL APLICAÇÕES EXERCÍCIO 1 Função Receita A função receita semanal total associada à fabricação e venda de determinado produto é dada por Rx y 02 x2 025 y2 02 xy 200 x 160 y onde x representa o número de unidades acabadas fabricadas e y representa o número de unidades sem acabamento produzidas e vendidas a cada semana Para x 300 e y 250 calcule e interprete a R x b R y EXERCÍCIO 2 Função Lucro A função Lucro semanal de uma loja de departamento depende do nível de estoque x em milhares de unidades monetárias um e do espaço disponível em milhares de m2 para expor a mercadoria como descrito pela equação Lx y 002 x2 15 y2 xy 39 x 25 y 20 000 Para x 4 000 e y 150 e depois para x 5 000 e y 150 calcule e interprete a L x b L y EXERCÍCIO 3 Função de CobbDouglas Produtividade marginal A produção de um certo país está relacionada com x unidades de mão de obra e y unidades de capital pela função fx y 20 x075 y025 a Quais são as produtividades marginais de mão de obra e de capital para 256 unidades de mão de obra e 16 unidades de capital b O governo deveria encorajar investimento em capital ou em mão de obra para aumentar a produtividade do país c Calcule a mudança aproximada na produção se x passar de 256 para 254 e y passar de 16 para 18 FAAP Graduação em Administração turma EAG Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 4 Bens substituíveis e bens complementares Um estudo de mercado apontou que o preço x do produto A está relacionado com o preço y de um produto B A demanda semanal de A é dada por fxy e a demanda semanal de B é dada por gxy fx y 10000 10x 02 y e gx y 5000 08x2 20y a Calcule as derivadas parciais fy e gx e determine se os produtos são bens substituíveis se são complementares ou nenhum dos dois b Calcule as demandas para os preços 60 55 c Determine os diferenciais totais de fx y e de gx y d Calcule esses diferenciais em 60 55 com variações de preço dx 3 e dy 3 EXERCÍCIO 5 Bens substituíveis e bens complementares Suponha que a demanda diária de manteiga x é dada por x fp q 3q 1 p2 e a demanda diária de margarina y é dada por y gp q 2p 1 q onde p e q denotam os preços de manteiga e margarina respectivamente p 0 e q 0 Determine se esses dois bens são substituíveis complementares ou nenhum deles EXERCÍCIO 6 Diferencial total Bens substituíveis e bens complementares Suponha que num posto de gasolina a demanda diária de gasolina em milhares de litros x seja dada por x fp q 3q 1 p e a correspondente demanda diária de etanol y é dada por y gp q 2p 1 q onde p e q denotam os preços do litro da gasolina e do etanol para o consumidor respectivamente a Determine se os bens são substituíveis ou se são complementares b Calcule as demandas para os preços 6 4 c Determine os diferenciais totais de fp q e de gp q d Calcule esses diferenciais em 6 4 com variações de preço dp 050 e dq 020 e Interprete os resultados FAAP Graduação em Administração turma EAG Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 3 EXERCÍCIO 7 Diferencial total efeito da produção no lucro O lucro semanal em unidades monetárias um obtido pela venda das quantidades x e y de dois produtos é dado por Lx y 02x2 025y2 02xy 100x 90 y 4000 Atualmente as vendas semanais são x 190 e y 105 Determine a mudança aproximada no lucro semanal se as vendas passarem para x 200 e y 100 EXERCÍCIO 8 Diferencial total índice PreçoLucro O índice Preçolucro PL de uma ação é dado por Rx y x y Onde x corresponde ao preço por ação e y corresponde ao retorno por ação a Calcule o índice Rx y para x 60ação e y 4ação b Calcule a mudança em Rx y quando o preço da ação passa de 60 para 62 enquanto o retorno cai de 4 para 38 por ação FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 NONA LISTA DE EXERCÍCIOS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS E DERIVADAS PARCIAIS Considere a seguinte notação para derivação parcial de uma função fxy fx f x e fy f y fxx x f x 2f x2 e fyy 2f y2 fxy y f x 2f yx e fyx x f y 2f xy EXERCÍCIO 1 Determine as derivadas de primeira e segunda ordem indicadas acima para as seguintes funções 1 fx y 2 x3 3 y4 4 x 5 y 2 fx y x2 3 xy x y 3 fx y 2 x e 5y 4 fx y 2x3 4 xy 3xy4 5 fx y 5 exy2 6 fx y 02x2 025y2 02xy 100x 90 y 4000 7 fx y 20 x2 3 y1 3 8 fx y 20 x075 y025 9 fx y 2x3 4 xy 3xy4 LISTA 14 Integral Dupla Exercício 1 A região é um retângulo com Largura em x 20018020 Altura em y 12010020 o Portanto a área AA é A 20 20 400 Lucro Médio Substituindo L x y Integração de x Calculando cada termo Somando os termos Simplificando Integração de y y em 120 e 100 Somando tudo Lucro Médio Dividimos pela área A400 O lucro semanal médio é de R 10460 reais Exercício 2 Região de integração Conversão Área da região Função de preço Preço Médio Integração de x Faça u x 05 du dx Somando os termos Integração de y Somando os termos Calculando o Preço Médio O preço médio por metro quadrado é de aproximadamente R 194167 reais Exercício 3 a Integração de x Integração de y b Integração de x Integração de y c Integração de x Limites de integração de x para 2 e 4 x para 4 x para 2 Subtraindo os resultados Simplificando a expressão Integração de y Limites de integração de y para 1 e 6 y para 6 y para 1 Subtraindo os resultados 6476 1041 5435 d Integração de x Limites de integração de x para 1 e 3 x para 3 x para 1 Subtraindo Simplificando Integração de y Limites de integração de y para 1 e 3 y para 3 y para 1 Subtraindo Conversão de 528 para nonos e Integração de x Limites de integração de x para 0 e 3 x para 3 x para 0 Subtraindo Integração de y Limites de integração de y para 0 e 2 y para 2 y para 0 Subtraindo Resultado final LISTA 13 Otimização Condicionada com Multiplicadores de Lagrange Otimização com a Função Langrangiana Exercício 1 a Função Langrangiana b Resposta O ponto que minimiza f x y sujeito à restrição é Exercício 2 Função Lucro Restrição Função O ponto que maximiza f x y sujeito à restrição é Derivada de x Derivada de y Derivada de λ Resolução dos Sistemas Lucro Máximo Resposta quantidades que maximizam o lucro x 300 unidades y 100 unidades Lucro máximo diário L 300 100 4660 unidades monetárias Exercício 3 Derivada de h Derivada de s Derivada de λ Igualando as frações 1 e 2 Multiplicando ambos os lados por 51h13 s23 Resolução do Sistema com Restrição Orçamentária Substituindo h17s na Equação 3 Cálculo da Receita Máxima Resposta quantidades ótimas h 666 67 horas s 3920 toneladas receita máxima possível R 51512 dólares Exercício 4 A solução mostra que a alocação ótima de recursos é 66667 horas de trabalho e 3922 toneladas de aço gerando uma receita máxima de 51512 O método de Lagrange garantiu que a restrição orçamentária fosse respeitada enquanto maximizava a receita Exercício 5 a A função f x y é convexa pois é uma soma de quadrados com coeficientes positivos logo o ponto crítico é de fato um mínimo b A função f x y é côncava pois os coeficientes dos termos quadráticos são negativos logo o ponto crítico é de fato um máximo Exercício 6 A alocação ótima é produzir 300 unidades do produto xx e 100 unidades do produto yy resultando em um lucro máximo diário de 4660 unidades monetárias O método de Lagrange garantiu que a restrição x y 400 fosse respeitada enquanto maximizava o lucro