Matemática 2

FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 OITAVA LISTA DE EXERCÍCIOS FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS EXERCÍCIO 1 Calcule as seguintes funções nos pontos 00 02 20 e 13 a fx y 2 x 3 y 4 b fx y x2 3 xy x y c fx y 2 x e y d fx y 2x3 4 xy 3xy4 e gx y 5 exy2 EXERCÍCIO 2 1 Considere as seguintes funções e identifique os correspondentes gráficos a fx y 3 b fx y y I II 2 Utilize uma planilha do Excel e construa os gráficos 3D das funções de duas variáveis ilustrados acima FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 3 Uma empresa comercializa três produtos designados por A B e C As quantidades vendidas de cada produto são denotadas por x y e z respectivamente A receita semanal obtida pelas vendas é dada pela função Rxyz abaixo sendo que os custos semanais totais envolvidos são determinados pela função Cxyz abaixo Escreva a função lucro Lxyz e calcule seu valor semanal para as seguintes quantidades comercializadas x 90 y 50 z 120 Os valores são dados em um unidades monetárias Rx y z 22 x 43 y 14 z e Cx y z 9 x 23 y 4 z EXERCÍCIO 4 Função de CobbDouglas Suponha que a quantidade Q de um certo item produzido dependa do número de unidades de trabalho L e do capital K de acordo com a função Q 900 L1 3 K2 3 a Determine a quantidade produzida para L 70 e K 140 b Dobre L e determine Q c Dobre K e determine Q d Qual a recomendação para o incremento de Q Investir em L ou em K FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS ÁREA ENTRE CURVAS EXERCÍCIO 1 Área entre duas curvas Uma rede hoteleira espera que seus lucros cresçam à taxa gt milhões de reaisano dada abaixo Com melhorias físicas na rede e aquisições estimase que os lucros passem a crescer à taxa ft milhões de reaisano dada abaixo gt t 2t 4 e ft 5 t 2 3 para 0 t 10 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de gt e de ft b Qual será o lucro adicional esperado pelos próximos dez anos caso ft se verifique EXERCÍCIO 2 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 10 x 4x2 e gx 2 x 3 2 para 0 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam EXERCÍCIO 3 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx x2 2x 8 e gx e05x 5 para 3 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas para x entre 3 e 3 EXERCÍCIO 4 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 12 e gx x2 3 para 0 x 4 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função fx 15 16 x2 1 16 x a Calcule f03 f05 e f07 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda c Calcule o índice de Gini para esse país EXERCÍCIO 6 Curva de Lorenz e índice de Gini Em um dado estudo sobre distribuição de renda de dois segmentos médicos e atores verificouse que são modeladas respectivamente pelas seguintes curvas de Lorenz fx 14 15 x2 1 15 x e gx 5 8 x4 3 8 x a Calcule f05 e g05 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos médicos c Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos atores d Calcule os índices de Gini ou coeficientes de desigualdade para esses dois segmentos profissionais EXERCÍCIO 7 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função x 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 fx 000 001 002 005 009 015 021 031 040 056 100 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de distribuição de renda fx junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para esse país b Com a melhor aproximação possível calcule o índice de Gini desse país FAAP Graduação em Administração Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO DE EULER VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO EXERCÍCIO 1 Ache o rendimento anual efetivo para uma taxa anual de 5 composto da seguinte forma a 12 vezes ao ano b 52 vezes ao ano c 365 vezes ao ano d Composto continuamente EXERCÍCIO 2 Uma conta bancária ganha juros de 6 ao ano composto continuamente a Qual o rendimento anual efetivo b Quanto tempo leva para que o crédito dobre c Determine uma expressão que forneça esse tempo de duplicação para uma taxa de juros anual r EXERCÍCIO 3 Entre dezembro de 1988 e dezembro de 1989 a taxa de inflação no Brasil foi de 1290 ao ano entre 1988 e 1989 os preços aumentaram por um fator 11290 1390 a Quanto custaria em dezembro de 1989 um item que custasse 1000 cruzados em dezembro de 1988 b Qual foi a taxa mensal de inflação nesse período EXERCÍCIO 4 Valor presente e valor futuro Você quer ter 30000000 reais dentro de 8 anos numa aplicação que rende 62 ao ano compostos continuamente a Se você fizer um único depósito agora quanto você deve depositar b Se você realizar depósitos iguais continuamente no caso uma vez por ano nesse período de 8 anos a qual taxa quanto por ano você deverá depositálo FAAP Graduação em Administração Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Valor presente e valor futuro Certa ação tem a garantia de pagar 100 10t reais por ano por 10 anos onde t é o número de anos a partir do presente Ache o valor presente deste fluxo de renda dada uma taxa de juros de 7 compostos continuamente EXERCÍCIO 6 Valor presente e valor futuro Uma petrolífera tem um campo com uma reserva com 100 milhões de barris de petróleo Considerando o tempo t em anos o plano de extração desse óleo é manter constante ao longo tempo a taxa de extração gt em 4 milhões de barris por ano gt 4 milhões de barris por ano a Quanto tempo levará para que toda a reserva seja exaurida b Qual é o valor presente do lucro da companhia Considere que o preço médio de venda do petróleo seja 90 o barril ao longo do tempo e que o custo médio de extração por barril nesse período seja de 20 Considere que a taxa de juros do mercado seja 8 ao ano compostos continuamente FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS USO DA INTEGRAL EXERCÍCIO 1 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 3 e determine seu valor médio nesse intervalo fx 5 4x x2 EXERCÍCIO 2 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 1 e determine seu valor médio nesse intervalo fx x 1 x2 EXERCÍCIO 3 Valor médio Para t medido em dias desde primeiro de fevereiro a quantidade Qt de um item num depósito é dada por Qt 5000 09t a Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico de Qt para 90 dias a partir de primeiro de fevereiro b Determine a quantidade média nesse período EXERCÍCIO 4 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 270 00035x e gx 00012x Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda b O ponto de equilíbrio xp c O excedente para o consumidor d O excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 20 e0002x e gx 002 x 1 para 0 x 1000 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 700 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor EXERCÍCIO 6 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 100 e0008x e gx 4x 10 para 0 x 500 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 5500 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXERCÍCIO 1 Utilize o método de integração por substituição e calcule as seguintes integrais indefinidas a 22x 73dx 3 1 b x2x3 8 3 2 dx c 2x x2 8 dx d 1 3x 22 dx 2 0 e 4 e4x dx f 4 e4x dx g 55x 1 dx 50 0 h 1 3x 2 dx 2 2 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 2 Utilize o método de integração por partes e calcule a seguinte integral definida x e2x dx 2 0 EXERCÍCIO 3 A taxa estimada para a extração de petróleo de certo poço em milhares de barris por ano é dada por Rt 100 t e012 t a Utilize o Excel e construa o gráfico de Rt em função de t durante 20 anos b Calcule a integral sob a curva e determine a produção desse poço nesses 20 anos c Quando a produção será máxima FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTEGRAÇÃO EXERCÍCIO 1 Durante um ano analisado a partir de 1ºde janeiro a taxa de vendas rt vendasmês de uma empresa é dada pela seguinte equação com tempo medido em meses rt t4 20t3 118t2 188t 200 a Utilize o Excel e construa o gráfico de rt em função de t durante esse ano de t 0 a t 12 b Calcule a integral sob a curva e determine as vendas totais no primeiro semestre e as vendas totais no segundo semestre c Quais foram as vendas totais no ano d Qual o número de vendas médio no ano EXERCÍCIO 2 Calcule as seguintes integrais definidas a 5 dx 5 1 b 3x3 7 dx 2 0 c 12 e 006 t dt 2 0 EXERCÍCIO 3 Considere as funções primitivas dos integrandos abaixo e determine as respectivas integrais indefinidas a dx b 6 x2 dx c 4t4 2t2 7dt d 5 ezdz e 25x dx f x2 1 x dx 1 a r efet 1 rnn 1 r efet 1 0051212 1 00512 512 b r efet 1 0055252 1 005127 513 c r efet 1 005365365 1 005127 513 d r efet er 1 e005 1 005127 513 2 a r efet er 1 r efet e006 1 006184 6184 b A P er t 2P P e006 t 2 e006 t ln 2 006 t t ln 2 006 1155 anos c 2 er t ln 2 r t t ln 2 r 3 a 1 129 139 v 100 139 13900 bazados b 1 i12 139 1 i 12139 i 12139 1 i 12737 1 i 02737 i 2737 am 4 a FV PV er t PV FV er t PV 300000 e0062 8 18276446 b FV A r er t 1 A FV r er t 1 300000 0062 e0496 1 2899437 por ano 5 Rt 100 10t r 007 0 t 10 VP from 0 to 10 100 10t e007 t dt VP from 0 to 10 100 e007 t dt from 0 to 10 10 t e007 t dt from 0 to 10 100 e007 t dt 100 e007 t 007 from 0 to 10 100 007 e07 1 from 0 to 10 10 t e007 t dt u t du dt dv e007 t dt v e007 t 007 10 t e007 t 007 from 0 to 10 from 0 to 10 10 e007 t 007 dt 10 t e007 t 007 10 e007 t 0072 from 0 to 10 VP 71916 31797 VP 103713 6 a t r t E a 100 4 25 anos b L 90 20 70 L anual 4 106 70 280000000 VP from 0 to 25 280 106 e008 t dt 280 106 1 e008 25 008 3026326509 1 xt t4 20t3 118t2 188t 200 a b V1 from 0 to 6 xt dt V1 from 0 to 6 t4 20t3 118t2 188t 200 dt V1 t55 20t44 118t33 188t22 200t from 0 to 6 V1 69365 13872 vendas V2 from 6 to 12 t4 20t3 118t2 188t 200 dt V2 t55 20t44 118t33 188t22 200t from 6 to 12 V2 76565 15312 vendas c Vtotal V1 V2 69365 76565 145925 d M Vtotal 12 14592 512 2432 vendas mês 2 a from 1 to 5 5 dx 5x from 1 to 5 551 20 b from 0 to 2 3x3 7 dx 3x44 7x from 0 to 2 3244 72 26 c from 0 to 2 12e002t dt 12 1006 e006t from 0 to 2 12 1006 e012 1 22616 d 1 dx x c e 6x2 dx 6x33 c 2x3 c f 4t4 2t2 7 dt 4t55 2t33 7t c g 5e3t 5e3t c h 25x dx 5x12 dx 5x3232 10x323 c f x2 1x dx x33 lnx C 1 a f00 20 30 4 4 f02 20 32 4 2 f20 22 30 4 0 f13 21 33 4 7 b f00 0 0 0 0 f02 0 0 2 2 f20 22 0 2 4 2 f13 12 313 4 1 9 2 6 c f00 0 f02 0 f20 22e0 4 f13 21e3 4017 d f00 0 f02 0 f20 24 0 0 16 f13 213 43 3134 23807 e g00 5e0 5 g02 5e0 5 g20 5e0 5 g13 5e132 4051542 1 a from 1 to 3 22x73 dx u 2x 7 du 2 dx x 1 u 5 x 3 u 1 from 5 to 1 u3 du u44 51 144 544 14 6254 156 b x2 x3 832 dx u x3 8 du 3x2 dx du3 x2 dx u32 du3 13 u32 du 13 u5252 215 u52 215x3 852 C c 2xx2 8 dx u x2 8 du 2x dx 1u du lnu C lnx2 8 C d from 0 to 2 of 1dx 3x 22 u 3x 2 du 3 dx dx du 3 x 0 u 2 x 2 u 4 from 2 to 4 of 1 u2 13 du 13 from 2 to 4 of u2 du 3x 2 0 x 23 e 4 e4x dx 4 14 e4x c e4x C f 4 e4x dx 4 14 e4x c e4x C g from 0 to 50 of 55x1 dx u 5x 1 du 5 dx dx du 5 x 0 u 1 x 50 u 251 from 1 to 251 of u12 du u32 32 from 1 to 251 23 25132 1 265039 b from 2 to 2 of 13x2 dx 3x20 x 23 descontinua no intervalo a integral diverge 2 from 0 to 2 of x e2x dx u dv uv v du u x du dx dv e2x dx v 12 e2x x2 e2x from 0 to 2 of 12 e2x dx x2 e2x 14 e2x from 0 to 2 1 14 e4 14 3 Rt 100 t e012t a b from 0 to 20 of 100 t e012t dt from 0 to 20 of 100 t e012t dt u t du dt dv e012t dt v e012t 012 100 from 0 to 20 of t e012t dt 100 t e012t 012 from 0 to 20 of e012t 012 dt 100 t e012t 012 e012t 0122 from 0 to 20 100 2142 6944 100 4802 480249 c Rt 100 e012t 012 t e012t Rt e012t 1 012 t e012t 1 012 t 0 1 012 t 0 t 833 anos R833 30657 mil barris ano