Resolução de Exercícios matemática Ii

FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS USO DA INTEGRAL EXERCÍCIO 1 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 3 e determine seu valor médio nesse intervalo fx 5 4x x2 EXERCÍCIO 2 Valor médio Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico da seguinte função para o intervalo 0 x 1 e determine seu valor médio nesse intervalo fx x 1 x2 EXERCÍCIO 3 Valor médio Para t medido em dias desde primeiro de fevereiro a quantidade Qt de um item num depósito é dada por Qt 5000 09t a Utilize uma planilha do Excel e construa o gráfico de Qt para 90 dias a partir de primeiro de fevereiro b Determine a quantidade média nesse período EXERCÍCIO 4 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 270 00035x e gx 00012x Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda b O ponto de equilíbrio xp c O excedente para o consumidor d O excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 20 e0002x e gx 002 x 1 para 0 x 1000 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 700 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor EXERCÍCIO 6 Excedente para o consumidor e para o produtor Para um dado produto as curvas de preço em função da quantidade x correspondentes à demanda fx e à oferta gx são dadas por fx 100 e0008x e gx 4x 10 para 0 x 500 Pedese a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos das curvas de oferta e de demanda e determine pelo gráfico o ponto de equilíbrio xp b Para um preço p 5500 qual quantidade os consumidores estão dispostos a comprar e qual quantidade os produtores estão dispostos a oferecer O mercado empurrará os preços para baixo ou para cima c O excedente para o consumidor e o excedente para o produtor FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO EXERCÍCIO 1 Utilize o método de integração por substituição e calcule as seguintes integrais indefinidas a 22x 73dx 3 1 b x2x3 8 3 2 dx c 2x x2 8 dx d 1 3x 22 dx 2 0 e 4 e4x dx f 4 e4x dx g 55x 1 dx 50 0 h 1 3x 2 dx 2 2 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 2 Utilize o método de integração por partes e calcule a seguinte integral definida x e2x dx 2 0 EXERCÍCIO 3 A taxa estimada para a extração de petróleo de certo poço em milhares de barris por ano é dada por Rt 100 t e012 t a Utilize o Excel e construa o gráfico de Rt em função de t durante 20 anos b Calcule a integral sob a curva e determine a produção desse poço nesses 20 anos c Quando a produção será máxima FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 TERCEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS INTEGRAÇÃO EXERCÍCIO 1 Durante um ano analisado a partir de 1ºde janeiro a taxa de vendas rt vendasmês de uma empresa é dada pela seguinte equação com tempo medido em meses rt t4 20t3 118t2 188t 200 a Utilize o Excel e construa o gráfico de rt em função de t durante esse ano de t 0 a t 12 b Calcule a integral sob a curva e determine as vendas totais no primeiro semestre e as vendas totais no segundo semestre c Quais foram as vendas totais no ano d Qual o número de vendas médio no ano EXERCÍCIO 2 Calcule as seguintes integrais definidas a 5 dx 5 1 b 3x3 7 dx 2 0 c 12 e 006 t dt 2 0 EXERCÍCIO 3 Considere as funções primitivas dos integrandos abaixo e determine as respectivas integrais indefinidas a dx b 6 x2 dx c 4t4 2t2 7dt d 5 ezdz e 25x dx f x2 1 x dx FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 PRIMEIRA LISTA DE EXERCÍCIOS DERIVAÇÃO EXERCÍCIO 1 Considere o gráfico da função y fx dado abaixo Considerando que a derivada da função num ponto corresponde à inclinação da reta tangente ao gráfico no ponto determine A Se as derivadas nos pontos A B C D E F e G assinalados são dfdx 0 dfdx 0 ou dfdx 0 B Se as derivadas de segunda nos pontos A B C D E F e G assinalados são d2fdx2 0 d2fdx2 0 ou d2fdx2 0 EXERCÍCIO 2 É dada a função fx 2x 5x5 Calcule o valor de a f 2 EXERCÍCIO 3 Dada a função fx 8 4x 10 x2 determine as funções correspondentes à primeira e segunda derivadas de yx e construa os gráficos das três funções fx fx e fx Considere x no intervalo 0 5 Utilize uma planilha do Excel para a construção dos gráficos FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 4 Determine a partir da segunda derivada da função as coordenadas do ponto inflexão Utilize uma planilha do Excel para construir o gráfico de fx no intervalo 3 3 a fim de verificar a correta determinação do ponto de inflexão EXERCÍCIO 5 Determine f2 para cada uma das seguintes funções bem como as derivadas no ponto x 2 f2 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SEGUNDA LISTA DE EXERCÍCIOS OTIMIZAÇÃO MÁXIMOS E MÍNIMOS EXERCÍCIO 1 Para uma determinada quantidade x do produto de uma empresa a receita é dada por Rx 480x e o custo dado por Cx 10000 3x2 a Qual é o custo fixo de produção b Determine as funções receita marginal e custo marginal c Para qual valor de x a receita marginal é igual ao custo marginal d Qual a quantidade x que deve ser produzida e comercializada para se obter lucro máximo e Qual é o lucro total para esse nível de produção f Utilize o Excel e construa um gráfico para as funções Receita Custo e Lucro para quantidades x entre 0 e 160 unidades EXERCÍCIO 2 Uma empresa produz uma quantidade x de um dado produto ao custo médio por item dado por ax 001x2 08x 20 x0 a Qual é a função que descreve o custo total Cx para produzir a quantidade x b Qual nível de produção leva a custo médio mínimo e qual é esse valor c Utilize o Excel e construa os gráficos ax e Cx para x entre 0 e 60 EXERCÍCIO 3 Utilize a derivada primeira para achar os pontos críticos e a derivada segunda para determinar máximos mínimos e pontos de inflexão Utilize o Excel para construir os gráficos das funções nos intervalos indicados a fx x2 5x 3 no intervalo 0 10 com acréscimos unitários b fx 2x3 3x2 36x 5 no intervalo 5 5 com acréscimos de 05 c fx 3x4 4x3 6 no intervalo 15 15 com acréscimos de 02 d fx x4 8x2 5 no intervalo 35 35 com acréscimos de 05 e fx 3x5 5x3 no intervalo 15 15 com acréscimos de 025 FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 4 A Esboce o gráfico de uma função fx com as seguintes propriedades fx tem pontos críticos em x 2 e em x 5 fx 0 à esquerda de x 2 x 2 e à direita de x 5 x 5 fx 0 para x entre 2 e 5 2 x 5 fx 0 para x 25 fx 0 para x 25 fx 0 para x 25 Identifique os pontos críticos como máximos ou mínimos locais bem como o ponto de inflexão B Esboce o gráfico de uma função fx com as seguintes propriedades fx tem um ponto crítico em x 4 fx tem um ponto de inflexão em x 8 fx 0 à direita de x 4 x 4 fx 0 à esquerda de x 4 x 4 fx 0 à esquerda de 8 x 8 e fx 0 à direita de x 8 x 8 FAAP Graduação em Administração Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO DE EULER VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO EXERCÍCIO 1 Ache o rendimento anual efetivo para uma taxa anual de 5 composto da seguinte forma a 12 vezes ao ano b 52 vezes ao ano c 365 vezes ao ano d Composto continuamente EXERCÍCIO 2 Uma conta bancária ganha juros de 6 ao ano composto continuamente a Qual o rendimento anual efetivo b Quanto tempo leva para que o crédito dobre c Determine uma expressão que forneça esse tempo de duplicação para uma taxa de juros anual r EXERCÍCIO 3 Entre dezembro de 1988 e dezembro de 1989 a taxa de inflação no Brasil foi de 1290 ao ano entre 1988 e 1989 os preços aumentaram por um fator 11290 1390 a Quanto custaria em dezembro de 1989 um item que custasse 1000 cruzados em dezembro de 1988 b Qual foi a taxa mensal de inflação nesse período EXERCÍCIO 4 Valor presente e valor futuro Você quer ter 30000000 reais dentro de 8 anos numa aplicação que rende 62 ao ano compostos continuamente a Se você fizer um único depósito agora quanto você deve depositar b Se você realizar depósitos iguais continuamente no caso uma vez por ano nesse período de 8 anos a qual taxa quanto por ano você deverá depositálo FAAP Graduação em Administração Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Valor presente e valor futuro Certa ação tem a garantia de pagar 100 10t reais por ano por 10 anos onde t é o número de anos a partir do presente Ache o valor presente deste fluxo de renda dada uma taxa de juros de 7 compostos continuamente EXERCÍCIO 6 Valor presente e valor futuro Uma petrolífera tem um campo com uma reserva com 100 milhões de barris de petróleo Considerando o tempo t em anos o plano de extração desse óleo é manter constante ao longo tempo a taxa de extração gt em 4 milhões de barris por ano gt 4 milhões de barris por ano a Quanto tempo levará para que toda a reserva seja exaurida b Qual é o valor presente do lucro da companhia Considere que o preço médio de venda do petróleo seja 90 o barril ao longo do tempo e que o custo médio de extração por barril nesse período seja de 20 Considere que a taxa de juros do mercado seja 8 ao ano compostos continuamente FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 1 SÉTIMA LISTA DE EXERCÍCIOS ÁREA ENTRE CURVAS EXERCÍCIO 1 Área entre duas curvas Uma rede hoteleira espera que seus lucros cresçam à taxa gt milhões de reaisano dada abaixo Com melhorias físicas na rede e aquisições estimase que os lucros passem a crescer à taxa ft milhões de reaisano dada abaixo gt t 2t 4 e ft 5 t 2 3 para 0 t 10 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de gt e de ft b Qual será o lucro adicional esperado pelos próximos dez anos caso ft se verifique EXERCÍCIO 2 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 10 x 4x2 e gx 2 x 3 2 para 0 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam EXERCÍCIO 3 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx x2 2x 8 e gx e05x 5 para 3 x 3 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas para x entre 3 e 3 EXERCÍCIO 4 Área entre duas curvas Considere as funções fx e gx abaixo fx 12 e gx x2 3 para 0 x 4 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos de fx e de gx b Determine a área entre as curvas fx e gx entre os pontos em que se cruzam FAAP Graduação em Ciências Econômicas Prof Luciano Fratin Código da Disciplina GRA 0147 Matemática II 2 EXERCÍCIO 5 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função fx 15 16 x2 1 16 x a Calcule f03 f05 e f07 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda c Calcule o índice de Gini para esse país EXERCÍCIO 6 Curva de Lorenz e índice de Gini Em um dado estudo sobre distribuição de renda de dois segmentos médicos e atores verificouse que são modeladas respectivamente pelas seguintes curvas de Lorenz fx 14 15 x2 1 15 x e gx 5 8 x4 3 8 x a Calcule f05 e g05 e interprete os resultados b Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos médicos c Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de Lorenz para essa função junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para a categoria dos atores d Calcule os índices de Gini ou coeficientes de desigualdade para esses dois segmentos profissionais EXERCÍCIO 7 Curva de Lorenz e índice de Gini A distribuição de renda de certo país é descrita pela função x 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 01 fx 000 001 002 005 009 015 021 031 040 056 100 a Numa mesma planilha do Excel construa os gráficos da curva de distribuição de renda fx junto à reta yx x correspondente à distribuição uniforme de renda para esse país b Com a melhor aproximação possível calcule o índice de Gini desse país