Prova Integrada Planejamento de Modelos - Exercícios Resolvidos

PROVA INTEGRADORA MÓDULO PLANEJAMENTO DE MODELOS ENG0207N 1 Considere a seguinte função 𝑓𝑥 𝑥3 3𝑥2 Determine os pontos de máximo ou mínimo local se existirem indicando qual é o máximo ou mínimo 2 A velocidade 𝑉𝑡 𝑥𝑡 23𝑡 1 1 2 no instante t de um corpo que está se movendo ao longo da trajetória x é dada juntamente com a posição inicial x0 4 do corpo Determine o número inteiro mais próximo da posição do corpo xt no instante de tempo t 8 3 Um grupo de alunos do curso de engenharia mecânica projetou um pistão que se move na direção horizontal dentro de uma cavidade cilíndrica Eles verificaram que a força horizontal F a qual é aplicada ao pistão por um agente externo pode ser relacionada à sua posição horizontal x por meio do gráfico abaixo Para ambos os eixos do gráfico valores positivos indicam o sentido para a direita enquanto valores negativos indicam o sentido para a esquerda Sabese que a massa do pistão vale 15 kg e que ele está inicialmente em repouso Com relação ao gráfico determine o trabalho realizado pela força sobre o pistão entre x 0 cm e x 70 cm 4 Aviões se chocam com pássaros sempre diz José Maxwell portavoz da Administração Federal de Aviação Mas Maxwell afirma que são incomuns acidentes graves É mais comum na aviação geral com pequenos aviões conta A probabilidade de os aviões comerciais se chocarem com pássaros se dá nas decolagens e aterrissagens A maior parte do tempo os aviões voam de 20 mil a 30 mil pés onde as aves existem em número reduzido Abaixo de 5000 pés os aviões podem passar por apuros afirma Daniel Pascal presidente do comitê de segurança da Associação de Pilotos de Linhas Aéreas Suponha que um avião a jato voa a 950 kmh Um pássaro de 25 kg é apanhado por ele chocandose perpendicularmente com o vidro dianteiro inquebrável da cabina Que força é aplicada no vidro se o choque dura um milésimo de segundo 5 O ferro metálico em contato com o gás oxigênio durante alguns meses sofre oxidação chegando a um tipo de ferrugem denominado óxido férrico ou óxido de ferro III a Proponha a equação química balanceada com a menor sequência possível de coeficientes estequiométricos indicados por números inteiros para o processo químico descrito acima b Indique o agente oxidante e o agente redutor para o processo de oxidação do ferro caso exista c Determine a quantidade de mols do ferro metálico que são oxidados por 1344 litros de gás oxigênio medidos nas condições normais de temperatura e pressão Questão 1 Temos a seguinte função 𝑓 𝑥3 3𝑥2 Derivando e igualando a zero temos 𝑓 3𝑥2 6𝑥 0 Logo os pontos críticos são tais que 3𝑥2 6𝑥 0 Assim temos 𝑥1 0 O outro ponto é dado por 3𝑥2 6𝑥 0 3𝑥 6 0 𝑥 2 0 𝑥2 2 Para avaliar se são máximos ou mínimos calculamos a derivada segunda 𝑓 3𝑥2 6𝑥 6𝑥 6 Assim temos 𝑓0 0 6 6 0 𝑓2 6 2 6 6 0 Logo 𝑥 𝟎 é ponto de máximo e 𝒙 𝟐 é ponto de mínimo O mínimo é 𝑓2 23 3 22 8 12 4 O MÁXIMO É 𝑓0 0 0 0 Questão 2 Temos 𝑑𝑥 𝑑𝑡 23𝑡 1 1 2 Integrando no tempo temos 𝑥 𝑥0 23𝑡 1 1 2𝑑𝑡 𝑡 0 𝑥 4 2 3𝑡 1 1 2𝑑𝑡 𝑡 0 𝑥 4 2 2 9 3𝑡 1 3 2 0 𝑡 𝑥 4 2 2 9 3𝑡 1 3 2 2 9 0 1 3 2 𝑥 4 2 2 9 3𝑡 1 3 2 2 9 𝑥 4 4 9 3𝑡 1 3 2 1 Assim para 𝑡 8 temos 𝑥8 4 4 9 3 8 1 3 2 1 𝑥8 4 4 9 25 3 2 1 𝑥8 4 4 9 2525 1 𝑥8 4 4 9 25 5 1 𝑥8 4 4 9 124 𝑥8 36 9 496 9 𝑥8 532 9 𝒙𝟖 𝟓𝟗𝟏𝟏𝟏 Questão 3 O trabalho é a integral da força vezes o deslocamento 𝑊 𝐹𝑑𝑥 Ou seja o trabalho é a área embaixo da curva de 𝐹 vs 𝑥 Assim temos 𝑊 15 1 2 15 2 1 15 4 2 2 0 5 4 12 7 5 2 𝑾 𝟐𝟓𝟓 𝑵𝒄𝒎 Questão 1 Temos a seguinte função f x 33 x 2 Derivando e igualando a zero temos f 3 x 26 x0 Logo os pontos críticos são tais que 3 x 26 x0 Assim temos x10 O outro ponto é dado por 3 x 26 x0 3 x60 x20 x22 Para avaliar se são máximos ou mínimos calculamos a derivada segunda f 3x 26 x 6 x6 Assim temos f 00660 f 262660 Logo x0 é ponto de máximo e x2 é ponto de mínimo O mínimo é f 2 2 332 28124 O MÁXIMO É f 0 000 Questão 2 Temos dx dt 23t 1 1 2 Integrando no tempo temos xx 0 0 t 2 3t1 1 2 dt x42 0 t 3t1 1 2dt x42 2 9 3t 1 3 2 0 t x42 2 9 3t 1 3 22 9 01 3 2 x42 2 9 3t 1 3 22 9 x4 4 9 3t1 3 21 Assim para t8 temos x84 4 9 381 3 21 x84 4 9 25 3 21 x84 4 9 25251 x84 4 9 2551 x84 4 9 124 x836 9 496 9 x8532 9 x859111 Questão 3 O trabalho é a integral da força vezes o deslocamento W Fdx Ou seja o trabalho é a área embaixo da curva de F vs x Assim temos W 151 2 1521 1542 2 054 1275 2 W 255 N cm