Analise Root Locus e Estabilidade de Sistemas-Controle

Avaliação Formadora IV O método do Lugar das Raízes Root Locus é uma importante ferramenta que permite determinar o posicionamento dos pólos da função de transferência de malha fechada de um sistema a partir do estudo dos pólos e zeros do sistema em malha aberta As técnicas do lugar das raízes permitem o cálculo apurado da resposta no domínio do tempo além de proporcionar prontamente informações relevantes sobre a resposta em frequência disponível O diagrama do lugar das raízes pode ser traçado à medida que o ganho de malha aberta varia de zero ao infinito a Considere um sistema com realimentação unitária e a seguinte função de transferência de malha aberta Gs K s s 2 Trace o diagrama de lugar das raízes para este sistema Equação Característica 1 K s s 2 0 b O sistema apresentado no item a é instável para qualquer valor do parâmetro K Acrescentandose um zero à esquerda dos dois pólos é possível estabilizar este sistema para uma determinada faixa de valores do parâmetro K Trace o diagrama de lugar das raízes para este novo sistema Equação Característica 1 K s 4 s s 2 0 c Determine a faixa de valores do parâmetro K que garantem a estabilidade para este sistema d Dentro da região de estabilidade determine a faixa de valores do parâmetro K em que este sistema de segunda ordem será subamortecido pólos de malha fechada complexos conjugados Avaliação Formadora IV Root Locus Item A Considere um sistema com realimentação unitária e a seguinte função de transferência de malha aberta Gs K ss2 Trace o diagrama de lugar das raízes para este sistema Equação Característica 1 K ss2 0 Para melhor visualizarmos as equações podemos reescrever a equação de Gs como Gs K ss2 K s22s E também podemos reescrever a Equação Característica 1 K ss2 0 como s2 2s K 0 Para traçar o diagrama do lugar das raízes root locus para o sistema com a função de transferência dada precisamos determinar as características do root locus ao variar o ganho K A equação característica do sistema é dada por 1 K ss2 0 Para traçar o root locus seguimos os seguintes passos Passo 1 Determinar os polos e zeros do sistema Os polos do sistema são as raízes do denominador da função de transferência No caso temos dois polos em s 0 e s 2 Não há zeros no sistema Passo 2 Determinar o número de ramos e a direção do root locus O número de ramos do root locus é igual ao número de polos menos o número de zeros Como não temos zeros no sistema teremos dois ramos O root locus começa no polo em s 0 e termina no polo em s 2 Passo 3 Determinar os ângulos de partida e chegada Os ângulos de partida e chegada são dados pela soma dos ângulos de todos os ramos do root locus No ponto inicial polo em s 0 não há ramos à esquerda Portanto o ângulo de partida é zero No ponto final polo em s 2 não há ramos à direita Portanto o ângulo de chegada também é zero Passo 4 Determinar os pontos de partida e chegada Os pontos de partida e chegada são as localizações iniciais e finais dos ramos do root locus No ponto inicial temos o polo em s 0 No ponto final temos o polo em s 2 Passo 5 Determinar os segmentos reais do root locus Os segmentos reais do root locus são traçados na reta real Neste caso temos um segmento que parte de s 0 em direção a s 2 Passo 6 Determinar os pontos imaginários do root locus Os pontos imaginários do root locus são obtidos traçandose uma linha imaginária perpendicular à reta real a partir dos pontos médios dos segmentos reais No caso deste sistema não há pontos imaginários no root locus O diagrama do lugar das raízes para o sistema com a função de transferência dada Gs K ss2 é um segmento real que parte de s 0 e termina em s 2 Note que o root locus é simétrico em relação ao eixo real pois a equação característica é real Portanto os ramos do root locus estão localizados simetricamente em relação ao eixo real Lembrando que o root locus é uma representação gráfica do comportamento dos polos do sistema em malha fechada à medida que o ganho K varia O diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta útil para analisar e projetar sistemas de controle Abaixo para traçar o diagrama de lugar das raízes foi utilizado o software MatLab e para obter os gráficos fizemos o código de duas maneiras distintas através da força bruta utilizando a equação característica e também utilizando uma função integrada ao próprio software httpswwwmathworkscomhelpcontrolrefdynamicsystemrlocushtml Abaixo segue o código utilizado juntamente com os gráficos obtidos 1 clear 2 clc 3 close all 4 5 6 Metodo da Forca Bruta Figura 1 7 8 9 figure 10 hold on 11 for K01012 12 Delta 1 2 K 13 poles rootsDelta 14 15 plotrealpoles imagpoles rx 16 title K num2strK 17 axis 05 25 15 15 18 grid on 19 end 20 21 22 Metodo da Funcao Integrada Figura 2 23 24 25 G1num 1 26 G1den 1 2 0 27 28 G1 tfG1num G1den 29 30 figure 31 rlocusG1 Listing 1 Código feito em MatLab para tracar o diagrama de lugar das raizes do Item A 05 0 05 1 15 2 25 15 1 05 0 05 1 15 K 2 Figura 1 Obtido através do método de força bruta Figura 2 Obtido utilizando a função integrada Item B O sistema apresentado no item a é instável para qualquer valor do parâmetro K Acrescentandose um zero à esquerda dos dois pólos é possível estabilizar este sistema para uma determinada faixa de valores do parâmetro K Trace o diagrama de lugar das raízes para este novo sistema Equação Característica 1 Ks4 ss2 0 Aqui temos que Gs é dado por Gs Ks4 ss2 Ks4K s22s Podemos reescrever a Equação Característica 1 Ks4 ss2 0 como s22sKs4K 0 que é equivalente à s2 K 2s 4K 0 Para traçar o diagrama do lugar das raízes root locus para o novo sistema com o zero adicionado à esquerda dos polos considerando a equação característica modificada precisamos seguir os mesmos passos do item anterior A equação característica do novo sistema é dada por 1 Ks4 ss2 0 Vamos traçar o root locus considerando os seguintes passos Passo 1 Determinar os polos e zeros do sistema Os polos do sistema são as raízes do denominador da função de transferência No caso temos dois polos em s 0 e s 2 Agora também temos um zero em s 4 Passo 2 Determinar o número de ramos e a direção do root locus O número de ramos do root locus é igual ao número de polos menos o número de zeros Neste caso temos dois polos e um zero então teremos um total de três ramos O root locus começa no polo em s 0 parte do zero em s 4 e termina no polo em s 2 Passo 3 Determinar os ângulos de partida e chegada Os ângulos de partida e chegada são dados pela soma dos ângulos de todos os ramos do root locus No ponto inicial polo em s 0 não há ramos à esquerda Portanto o ângulo de partida é zero No ponto final polo em s 2 não há ramos à direita Portanto o ângulo de chegada também é zero Passo 4 Determinar os pontos de partida e chegada Os pontos de partida e chegada são as localizações iniciais e finais dos ramos do root locus No ponto inicial temos o polo em s 0 No ponto final temos o polo em s 2 Passo 5 Determinar os segmentos reais do root locus Os segmentos reais do root locus são traçados na reta real Neste caso temos dois segmentos reais um parte de s 0 em direção ao zero em s 4 e outro parte do zero em s 4 em direção a s 2 Passo 6 Determinar os pontos imaginários do root locus Os pontos imaginários do root locus são obtidos traçandose uma linha imaginária perpendicular à reta real a partir dos pontos médios dos segmentos reais No caso deste sistema não há pontos imaginários no root locus O diagrama do lugar das raízes para o novo sistema com a função de transferência dada Gs Ks4 ss2 consiste em dois segmentos reais um que parte de s 0 em direção ao zero em s 4 e outro que parte do zero em s 4 em direção a s 2 Lembrese de que o root locus é uma representação gráfica do comportamento dos polos do sistema em malha fechada à medida que o ganho K varia O diagrama do lugar das raízes é uma ferramenta útil para analisar e projetar sistemas de controle A adição do zero à esquerda dos polos permite estabilizar o sistema para uma faixa específica de valores do parâmetro K No root locus o zero adicionado influencia a direção dos ramos atraindoos para a sua posição Se o zero estiver localizado muito à esquerda os ramos podem se mover para regiões instáveis e se estiver muito à direita não terá um efeito significativo Portanto é necessário encontrar uma posição adequada para o zero a fim de estabilizar o sistema O diagrama do lugar das raízes nos permite visualizar a posição dos polos em malha fechada para diferentes valores de K Com base na análise do root locus é possível determinar a faixa de valores de K que tornam o sistema estável Cabe ressaltar que a estabilidade do sistema também depende da localização dos polos originais Se os polos originais já estiverem localizados em regiões instáveis adicionar um zero pode não ser suficiente para estabilizar completamente o sistema Portanto ao utilizar o root locus para projetar controladores e estabilizar sistemas é necessário considerar cuidadosamente a localização dos polos e zeros bem como os requisitos de estabilidade e desempenho desejados É recomendável realizar uma análise mais detalhada e se necessário utilizar outras técnicas de projeto de controle para garantir a estabilidade e atender aos requisitos do sistema Novamente para traçar o diagrama de lugar das raízes utilizamos o software MatLab Abaixo segue o código utilizado juntamente com os gráficos obtidos 1 clear 2 clc 3 close all 4 5 6 Metodo da Forca Bruta Figura 3 7 8 9 figure 10 hold on 11 for K0101100 12 Delta 1 K2 4K 13 poles rootsDelta 14 15 plotrealpoles imagpoles rx 16 title K num2strK 17 axis 20 5 6 6 18 grid on 19 end 20 21 22 Metodo da Funcao Integrada Figura 4 23 24 25 G1num 1 4 26 G1den 1 2 0 27 28 29 G1 tfG1num G1den 30 31 figure 32 rlocusG1 Listing 2 Código feito em MatLab para tracar o diagrama de lugar das raizes do Item B Figura 3 Obtido através do método de força bruta Figura 4 Obtido utilizando a função integrada Item C Determine a faixa de valores do parâmetro K que garantem a estabilidade para este sistema Para determinar a faixa de valores do parâmetro K que garantem a estabilidade do sistema com a função de transferência Gs Ks4 ss2 podemos analisar o diagrama do lugar das raízes No diagrama do lugar das raízes observamos que o sistema será estável se todos os polos estiverem localizados na região esquerda do plano complexo ou seja todos os polos devem ter partes reais negativas No caso deste sistema temos dois polos no eixo real um em s 0 e outro em s 2 Portanto qualquer valor de K que faça com que um ou ambos os polos cruzem para a região direita do plano complexo resultará em um sistema instável Analisando o root locus vemos que à medida que aumentamos o valor de K os polos se movem para a direita Portanto a faixa de valores de K que garantem a estabilidade é determinada pelo intervalo em que os polos permanecem na região esquerda do plano complexo No caso deste sistema em particular quando K é igual a zero temos um polo em s 0 que está na região esquerda À medida que aumentamos K o polo em s 0 se move para a direita Quando K atinge um valor crítico o polo em s 0 e o polo em s 2 se encontram na região direita Portanto o valor crítico de K é aquele em que os polos estão na fronteira entre a região esquerda e a região direita Podemos encontrar o valor crítico de K igualando a função de transferência em malha fechada a zero 1 Ks4 ss2 0 Resolvendo essa equação encontramos o valor crítico de K Os polos estarão na fronteira entre a região esquerda e a região direita para valores de K maiores que o valor crítico Assim a faixa de valores de K que garantem a estabilidade será K Kcrítico Determinar o valor crítico de K requer a solução da equação característica e isso pode ser feito por meio de métodos analíticos ou numéricos como o método da bissecção ou o uso de software de análise de controle Portanto para determinar a faixa de valores específica de K que garantem a estabilidade do sistema é necessário resolver a equação característica ou utilizar técnicas adicionais de análise de estabilidade além do diagrama do lugar das raízes Aqui para encontrar o valor crítico de K igualamos a função de transferência em malha fechada a zero 1 Ks4 ss2 0 E a reescrevemos como s2 K 2s 4K 0 E utilizando a fórmula de bhaskara encontramos que a solução é dada por K 10 8 6 Logo o valor crítico de K é dado por Kcrítico 10 8 6 valor positivo Com base no valor crítico de Kcrítico 10 8 6 podemos determinar a faixa de valores do parâmetro K que garantem a estabilidade do sistema Para que o sistema seja estável o valor de K deve ser menor que Kcrítico 10 8 6 Portanto a faixa de valores de K que garantem a estabilidade é dada por K 10 8 6 Qualquer valor de K dentro dessa faixa ou seja menor que 108 6 resultará em um sistema estável No entanto é importante ressaltar que essa é apenas uma condição necessária para a estabilidade do sistema Outros fatores como a localização dos polos originais também devem ser considerados para garantir a estabilidade e o desempenho adequado do sistema de controle Item D Dentro da região de estabilidade determine a faixa de valores do parâmetro K em que este sistema de segunda ordem será subamortecido pólos de malha fechada complexos conjugados Para determinar a faixa de valores do parâmetro K em que o sistema de segunda ordem será subamortecido ou seja em que os polos de malha fechada serão complexos conjugados precisamos considerar a localização desses polos no plano complexo No caso do sistema com a função de transferência Gs Ks4 ss2 os polos de malha fechada são determinados pela equação característica 1 Ks4 ss2 0 Para que os polos sejam complexos conjugados a parte imaginária dos polos deve ser diferente de zero Resolvemos a equação característica utilizando a fórmula de bhaskara no item c e encontramos que as raízes de K são dadas por K 10 8 6 Com isso podemos analisar a faixa de valores de K em que o sistema é subamortecido ou seja em que os polos de malha fechada são complexos conjugados Dentro da região de estabilidade o sistema será subamortecido quando os polos estiverem localizados no semiplano esquerdo do plano complexo e tiverem parte imaginária diferente de zero Portanto a faixa de valores de K em que o sistema é subamortecido é dada por 10 8 6 K 10 8 6 Dentro dessa faixa os polos de malha fechada serão complexos conjugados indicando um comportamento subamortecido do sistema É importante ressaltar que para valores de K fora dessa faixa os polos podem ser reais ou complexos dependendo da posição dos polos originais e da adição do zero à esquerda dos polos Portanto a faixa de subamortecimento está restrita a 10 8 6 K 10 8 6 para este sistema específico