Exercícios Resolvidos Modelagem Espaço de Estados Sistemas Mecânicos Rotacionais

Exercícios sobre representação no espaço de estados Sistemas mecânicos em rotação Bibliografia Kluever Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Rio de Janeiro LTC 2018 439p ISBN 9788521634584 FEI 6252 K66s Exemplo 27 A Figura ao lado mostra um sistema mecânico com um único Grau de Liberdade GdL Em mecânica GdL significa o número mínimo de coordenadas necessárias para descrever completamente um sistema em qualquer instante Neste exemplo basta saber a posição angular θ O rotor de momento de inércia J é suportado por rolamentos e um motor fornece o torque Tint diretamente ao rotor Os rolamentos e o fluido em torno do rotor causam atrito que admitese ser linear e representado por uma parâmetro concentrado b Nmsrad Obtenha seu modelo O diagrama do Corpo livre DCL do rotor é mostrado ao lado e aplicando a segunda lei de Newton obtémse 𝐽𝐽 θ 𝑡𝑡 𝑏𝑏 𝜃𝜃𝑡𝑡 𝑇𝑇in𝑡𝑡 que é um modelo de segunda ordem por causa da derivada segunda em θt Note contudo que podemos substituir as variáveis por ω𝑡𝑡 θ 𝑡𝑡 e ω 𝑡𝑡 θ𝑡𝑡 de forma que o modelo resulta de primeira ordem 𝐽𝐽ω 𝑡𝑡 𝑏𝑏 ω𝑡𝑡 𝑇𝑇in𝑡𝑡 A analogia entre os sistemas mecânicos em rotação e os sistemas mecânicos é similar a analogia dos sistemas em translação Mecânica torque T Posição angular θ velocidade angular 𝝎𝝎 momento de inércia J atrito viscoso b rigidez k Elétrica tensão e carga q corrente i indutância L resistência R inverso capac 1C O circuito elétrico análogo a este sistema mecânico é dado por 𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡 que só tem 1 GdL associado a corrente it torque T velocidade angular 𝝎𝝎 momento de inércia J atrito viscoso b tensão e corrente i indutância L resistência R Exemplo 223 Controle Essencial Considere agora o sistema da figura de 1 GdL a seguir que está vinculado ao referencial inercial por meio de um elemento de torção O torque aplicado ao rotor é Mt o momento de inércia do rotor é J o atrito viscoso tem coeficiente B a rigidez do elemento de torção é K Determine seu modelo A partir do diagrama do Corpo livre DCL do rotor e aplicando a segunda lei de Newton obtémse 𝐽𝐽 θ 𝑡𝑡 𝐵𝐵 θ 𝑡𝑡 𝐾𝐾 θ𝑡𝑡 𝑀𝑀𝑡𝑡 Note que este sistema não pode ser reduzido a um de primeira ordem Substituirmos as variáveis 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝜃𝜃𝑡𝑡 e 𝜔𝜔 𝑡𝑡 𝜃𝜃𝑡𝑡 resulta 𝐽𝐽 𝑑𝑑 𝜔𝜔𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝐵𝐵 ω𝑡𝑡 𝐾𝐾 ω𝑡𝑡 𝑡𝑡 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑀𝑀𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝑑𝑑 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝑖𝑖𝑡𝑡 1 𝐶𝐶 𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑡𝑡 0 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑒𝑒𝑡𝑡 Seu circuito elétrico análogo é dado por torque M velocidade angular 𝝎𝝎 momento de inércia J atrito viscoso B rigidez K tensão e corrente i indutância L resistência R inverso capac 1C Exemplo 223 Controle Essencial Considere agora o sistema esquematizado na Figura de um sistema de rotação dotado de uma redução por engrenagens Os momentos de inércia os coeficientes de atrito viscoso nos mancais os raios e números de dentes das engrenagens bem como o sentido do conjugado motor Cm que atua sobre o rotor e as indicações de velocidade e posições angulares estão indicados na figura Note que o eixo do motor é rígido enquanto que o eixo que propulsiona a carga apresenta uma rigidez torcional K Os diagramas de corpo livre estão indicados a seguir Considere agora o transformador elétrico ideal ou seja que a potência na saída é a mesma da entrada com N1 espiras no primário e N2 espiras no secundário A tensão de entrada é e1 a corrente de entrada é i1 Na saída temos a tensão e2 e a corrente i1 Valem as seguinte relações e1e2 N1N2 n e i1i2 N2N1 1n Retomando as equações em I e obtendo as equações do circuito elétrico análogo J0 J1 dω1dt β0 β1 ω1 Cm C1 L0 L1 di1dt R0 R1i1 u e1 J2 dω2dt β2 ω2 K t0 ω2 d t t0 ω3 d t C2 L2 di2dt R2 i2 1C t0 i2 d t t0 i3 d t e2 J3 dω3dt 2β3 ω3 K t0 ω3 d t t0 ω2 d t 0 L3 di3dt 2R3 i3 1C t0 i3 d t t0 i2 d t 0 C1C2 r1r2 n e e1e2 N1N2 n ω1ω2 r2r1 1n i1i2 N2N1 1n O circuito elétrico análogo resulta u L0 L1 R0 R1 e1 e2 L2 R2 R3 R3 C L3 i1 i2 i3 2 Exemplo 29 A Figura mostra um sistema mecânico com duplo disco proposto de um gerador veicular Há um pistão de momento de inércia J1 conectado a um cilindro de momento de inércia J2 Ambos giram em torno de um eixo comum Os discos estão conectados por uma mola torcional de rigidez k Os deslocamentos angulares θ1t e θ2t são medidos a partir das suas posições de equilíbrio Os atritos dos discos têm coeficiente de atrito viscoso b Um torque Tint proveniente da pressão dos gases de um motor diesel é aplicado em cada cilindro em sentidos contrários As rotações angulares dos discos relativas aos ímãs estacionários geram corrente elétrica e torques de reação mas esses efeitos não são incluídos nesse exemplo Durante o modo de operação normal o torque de entrada do motor Tint é pulsado de tal maneira que o sistema elástico deflete fazendo com que ambos os discos vibrem em torno de uma posição angular média Obtenha o modelo da parte mecânica desse sistema Este sistema tem 2 GdL pois é preciso conhecer θ1t e θ2t para descrever completamente o sistema em todos os instantes Os diagramas de corpo livre são representados a seguir Aplicando a segunda de lei de Newton aos dois graus de liberdade obtémse Tint kθ1 θ2 bθ1 J1 ẍ1 Tin K t0 ω1 d t t0 ω2 d t bω1 J1 ω1 Tint kθ2 θ1 bθ2 J2 ẍ2 Tin Kt0 ω2 d t t0 ω1 d t bω2 J2 ω2 Tal como o sistema mecânico O circuito elétrico análogo também possui 2 GdL associados às correntes i1t e i2t et 1C t0 i1t i2t dt R i1t L1 d i1tdt et 1C t0 i2t i1t dt R i2t L2 di2tdt 4 Aplicando a segunda lei de Newton resulta I Cm C1 β0 β1 ω1 J0 J1 dω1dt J0 J1 dω1dt β0 β1 ω1 Cm C1 C2 β2 ω2 K t0 ω2 d t t0 ω3 d t J2 dω2dt J2 dω2dt β2 ω2 K t0 ω2 d t t0 ω3 d t C2 0 2β3 ω3 K t0 ω3 d t t0 ω2 d t J3 dω3dt J3 dω3dt 2β3 ω3 K t0 ω3 d t t0 ω2 d t 0 A redução é um transformador mecânico e para ele vale II C1C2 r1r2 n e ω1ω2 r2r1 1n Note portanto que as velocidades ω1 e ω2 são relacionadas implicando que o sistema tem apenas 2 GdL Isolando C1 na primeira equação de I obtémse C1 Cm J0 J1 ω1 β0 β1 ω1 C2 J2 ω2 β2 ω2 Kθ2 θ3 Dividindo as duas e escrevendo ω1 ω2n n C1C2 Cm J0J1n ω2 β0β1n ω2 J2 ω2 β2 ω2 Kθ2 θ3 1 Cmn J0J1n2 ω2 β0β1n2 ω2 J2 ω2 β2 ω2 Kθ2 θ3 Resultando J2 J0 J1n2 ω2 β2 β0 β1n2 ω2 Kθ2 θ3 Cmn J3 ω3 2β3 ω3 Kθ3 θ2 0 O modelo obtido é refletido no eixo de saída Exemplo 28 A Figura mostra um sistema turbinagerador eólico usado para transformar energia mecânica em energia elétrica A inércia J1 da turbina e J2 do gerador são conectadas rigidamente às engrenagens da redução A inércia da turbina consiste das pás do eixo e da engrenagem 1 raio r1 A inércia do gerador consiste da engrenagem 2 raio r2 e do rotor do gerador O eixo da turbina e o gerador sofrem atrito viscoso cujos coeficientes de atrito são b1 e b2 As pás da turbina extraem energia do vento e produzem um torque aerodinâmico Taero que é a entrada do sistema e move o conjunto O rotor do gerador inclui bobinas e seu movimento rotacional submerso num campo magnético gera a energia elétrica A corrente que circula nas bobinas e o campo magnético presente faz aparecer um torque Tger que se opõe ao movimento do rotor do gerador As Figuras a seguir são dos diagramas de corpo livre As força fC no ponto de contato das engrenagens são iguais e opostas conforme a terceira lei de Newton Como o torque aerodinâmico Taero fornece um torque positivo ao eixo de entrada a força de contato fC fornece um torque positivo transmitido para o eixo de saída gerador que é igual à fCr2 Aplicando a segunda lei de Newton obtémse Turbina engrenagem 1 𝑇𝑇aero 𝑏𝑏1θ1 𝑓𝑓𝐶𝐶𝑟𝑟1 𝐽𝐽1θ1 Gerador engrenagem 2 𝑓𝑓𝐶𝐶𝑟𝑟2 𝑏𝑏2θ2 𝑇𝑇gen 𝐽𝐽2θ2 Note que o sistema possui apenas 1 GdL pois as rotação angulares θ1 e θ2 não são independentes por causa da redução e que fC é desconhecida Isolando fC da segunda equação fC 1r2b2dotθ2 Tgen J2 ddotθ2 e substituindo na primeira J1 ddotθ1 b1 dotθ1 Taero r1r2b2 dotθ2 Tgen J2 ddotθ2 O movimento pode ser descrito em termos de θ1 e θ2 e optamos por θ1 Usando as relações N r2r1 θ1θ2 dotθ1dotθ2 ddotθ1ddotθ2 Obtémse J1 1N2J2ddotθ1 b1 1N2b2dotθ1 Taero 1NTgen ou J1 1N2J2 dotω1 b1 1N2 b2 ω1 Taero 1NTgen Note que a equação anterior é de um sistema de primeira ordem Note também que J1 1N2J2 é o momento de inércia equivalente do sistema e que b1 1N2 b2 é o coeficiente de atrito viscoso equivalente do sistema refletidos ao eixo de entrada O torque equivalente aplicado à turbina é Taero 1N Tgen Exercícios Represente os modelos de cada um dos sistemas apresentados no espado de estados