Analogia entre Sistemas Mecanicos e Eletricos - Modelagem e Leis Fundamentais

Analogia entre Sistemas Bibliografia Kluever Craig A Sistemas dinâmicos modelagem simulação e controle Rio de Janeiro LTC 2018 439p ISBN 9788521634584 FEI 6252 K66s Introdução Sistemas dinâmicos de naturezas distintas podem ter seus modelos dados por equações diferenciais de mesma estrutura Esses sistema são ditos análogos Pela comparação das equações de sistemas análogos podese estabelecer correspondências entre variáveis e parâmetros dos modelos Como base nessa correspondência é possível analisar um sistema de uma área com base nas propriedades conhecidas do sistema de outra área Um exemplo típico disso é analogia mecânicaelétrica Com base na correspondência estabelecida entre áreas distintas podese fazer a correspondência direta entre elementos e do arranjo desses elementos Desta forma um projetista pode por exemplo mapear um problema de uma área em outra que é mais familiar para ele Antes de apresentar a analogia mecânicaelétrica fazse uma revisão da modelagem de sistemas mecânicos das apresentandose as leis fundamentais dos elementos básicos de sistemas mecânicos e a da lei de rege a associação desses elementos e a interação entre força massa e aceleração a lei de Newton Fazse também uma revisão da modelagem de sistemas elétricos apresentandose as leis fundamentais dos elementos básicos de sistemas elétricos e da lei de rege a associação desses elementos a lei de Kircchoff Utilizase a abordagem de sistemas de parâmetros concentrados e por isso o modelo matemático consiste em equações diferenciais ordinárias EDO Modelagem de sistemas mecânicos Sistemas mecânicos com movimento de translação e movimento de rotação em relação a eixos fixos são tratados aqui Leis de elementos mecânicos Elementos de Inércia Elementos inércia são as massas concentradas nos sistemas mecânicos de Translação e os momentos de inércia nos sistemas mecânicos de Rotação Eles são identificados na segunda lei de Newton para a translação na forma ft mat e Tt Jαt para a rotação onde m é a massa concentra do corpo rígido e J é o momento de inércia definido por J r² dm no qual dm é uma massa infinitesimal com distância radial r em relação ao eixo de rotação Note que a unidade de J é kgm² Elementos inércia podem armazenar energia potencial ξP mgh e podem armazenar também energia cinética ξc ½ mx² kgm²s² ou Nm ou J para o caso de translação onde xt é a posição e ξc ½ Jθ² kgm²rad²s² ou Nm ou J para o casa de rotação onde θt é a posição angular Elementos de Rigidez Quando um elemento mecânico armazena energia por causa da deformação ou à mudança de forma deve ser modelado com um elemento rigidez e representado por um elemento mola em que Ft k xt A energia potencial armazenada numa mola de translação que sofreu um deslocamento Δx é ξP ½ k Δx² Um sistema mecânico de rotação possui rigidez quando existe uma relação entre um torque aplicado e o deslocamento angular resultante na forma Tt k θt A energia potencial armazenada numa mola torcional que sofreu um deslocamento angular Δθ é ξP ½ k Δθ² Caso as duas extremidades 1 e 2 possam se movimentar a equação precisa ser alterada de forma que a força seja proporcional ao deslocamento relativo F kx₂ x₁ e T kθ₂ θ₁ Na modelagem de sistemas mecânicos normalmente todos os efeitos de rigidez do sistema são concentrados em um elemento equivalente tipo mola não implicando que exista uma mola real no sistema Elementos de Atrito Viscoso Quando um elemento mecânico dissipa energia em razão do seu movimento ele pode ser modelado como um elemento de atrito viscoso que é representado por um elemento amortecedor Um elemento de atrito viscoso em translação a força é proporcional a velocidade relativa das extremidades F bx₂ x₁ onde b é o coeficiente de atrito visco Nsm De forma análoga o elemento de atrito viscoso é um amortecedor cujo torque é proporcional a velocidade angular relativa das extremidades T bθ₂ θ₁ Elementos atrito podem apenas dissipar energia A Potência mecânica PA Nms ou Js ou W dissipada pelo amortecedor é dada pelo produto da Força pela Velocidade e Potência é a derivada taxa de variação em relação ao tempo da Energia logo PA ξA bxx bx² O sinal negativo é adicionado para indicar que a força de atrito e a velocidade têm sentidos opostos ou que a potência é negativa Para se determinar quando de energia foi dissipada num intervalo de tempo basta integrar a potência nesse intervalo Transformadores Mecânicos Elementos mecânicos que transformam um movimento ou transformam uma força são denominados de transformadores mecânicos tais como as alavancas e as engrenagens A figura representa uma alavanca ideal ou seja com momento de inércia nulo que é um Transformador Mecânico Notese que se um deslocamento vertical 𝑦𝑦1 for aplicado do lado esquerdo em que 𝑦𝑦1 𝐿𝐿1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 ocorrerá um deslocamento vertical distinto do lado direito com amplitude 𝑦𝑦2 𝐿𝐿2𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝜃𝜃 Considere a equação do seu movimento 𝑓𝑓1𝐿𝐿1 cos θ 𝑓𝑓2𝐿𝐿2 cos 𝜃𝜃 𝐽𝐽 𝜃𝜃 Como 𝐽𝐽 0 𝑓𝑓2 𝐿𝐿1 𝐿𝐿2 𝑓𝑓1 ou seja se aplicarmos a força 𝑓𝑓1 do lado esquerdo ela será modificada do lado direito pela relação das distâncias Outro Transformador Mecânico é aquele constituído por engrenagens Admitese aqui que as engrenagens são ideais inércia nula que não há folgas e não há atritos de forma que a energia do eixo de entrada é transmitida integralmente ao eixo de saída Igualando a velocidade no ponto de contato 𝑟𝑟1ω1 𝑟𝑟2ω2 concluise que a relação das velocidades depende da relação N de transmissão ω1 ω2 𝑟𝑟2 𝑟𝑟1 𝑁𝑁 Igualando a potência de entrada com a de saída 𝑇𝑇1ω1 𝑇𝑇2ω2 concluise que a relação dos torques depende do inverso da relação N de transmissão 𝑇𝑇1 𝑇𝑇2 ω2 ω1 1 𝑁𝑁 Sistemas Mecânicos de Translação Para a modelagem de sistemas mecânicos de translação podese construir um esquema equivalente da realidade utilizando os elementos básicos de Inércia Rigidez Atrito e Transformadores Para cada elemento de inércia fazse o diagrama de corpo livre e aplicase a segunda lei de Newton que diz que a somatória das forcas externas agindo sobre um corpo produz uma aceleração proporcional a sua massa F mx Exemplo sistema atuador por solenoide Atuadores por solenoide são usados por exemplo em sistemas hidráulicos e pneumáticos para posicionar válvulas de fluxo tipo carretel A corrente elétrica circula da bobina que envolve o pistão e gera um campo magnético que produz uma força atrativa no pistão puxandoa para o centro da bobina O movimento da massa do pistãoválvula é de translação horizontal para a direita com uma força resistiva dada pela mola de retorno Quando a força é removida a mola faz a massa pistãoválvula retornar a sua posição inicial Assumese aqui que a mola de retorno não está deformada quando o pistão está na sua posição inicial Podese então construir o esquema da figura a seguir que é equivalente ao atuador porém usando os elementos inércia rigidez e atrito A massa concentrada m é do conjunto pistãoválvula A posição da massa m a partir da posição de equilíbrio é denominada aqui por x positiva para a direita A força eletromagnética Fem é uma força externa aplicada diretamente sobre a massa m Admitese que o atrito durante o movimento é viscoso linear com coeficiente b que pode ser representado por um elemento amortecedor ideal A mola de retorno é modelada por uma mola ideal linear com coeficiente k de rigidez e admitese que ela não está deformada quando a massa pistãoválvula está em x 0 O esquema construído com elementos básicos é usado então para a modelagem o atuador por solenoide O primeira providência é construir o diagrama de corpo livre Para se obter a configuração das forças atuando sobre o elemento de inércia e seus sentidos de atuação fazse uma movimentação hipotética da massa no sentido positivo de x Se houve outros elementos de inércia nesse sistema eles permaneceriam fixos Uma vez determinadas as forças e seus sentidos determinase suas amplitudes com base nas equações constitutivas dos elementos básicos Note que a força Fem é externa e portanto não depende da cinemática do movimento Aplicase então a segunda lei de Newton 𝐹𝐹em𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑡𝑡 ou 𝐹𝐹em𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑏𝑏𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑡𝑡 I Notese que o modelo obtido é SISO Dinâmico Invariante no tempo Parâmetros concentrados Contínuo Analógico Linear Determinístico Paramétrico Domínio do tempo Fenomenológico Modelagem de sistemas elétricos Leis de elementos elétricos Elemento Resistor Resistores são elementos que dificultam a passagem de corrente elétrica Os resistores dissipam a energia elétrica em calor Para os resistores vale a lei de Ohm 𝑠𝑠𝑅𝑅𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝐼𝐼𝑡𝑡 onde a queda de tensão eR V causa pela passagem da corrente I A é função do valor da resistência elétrica R Ω A potência PR Wdissipada em forma de calor é dada pelo produto da tensão pela corrente onde o sinal é inserido para representar que energia retirada 𝑃𝑃𝑅𝑅𝑡𝑡 𝑉𝑉 𝐼𝐼𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝐼𝐼2 Elemento Capacitor Capacitores são elementos que armazenam energia no campo elétrico que aparece por causa da aplicação da tensão eC V entre os dois condutores em que C capacitância F é um parâmetro que indica quando de carga pode ser armazenada Para os capacitores vale a seguinte relação 𝐼𝐼𝑡𝑡 𝐶𝐶 𝑠𝑠𝐶𝐶 𝑡𝑡 ou 𝑠𝑠𝐶𝐶𝑡𝑡 𝑠𝑠𝐶𝐶0 1 𝐶𝐶 𝐼𝐼τ𝑑𝑑τ 𝑡𝑡 0 Elemento Indutor Indutores são elementos armazenam energia no campo magnético resultante da corrente através do seu enrolamento Para os indutores vale a seguinte relação 𝑠𝑠𝐿𝐿𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝐼𝐼𝐿𝐿 𝑡𝑡 ou 𝐼𝐼𝐿𝐿𝑡𝑡 𝐼𝐼𝐿𝐿0 1 𝐿𝐿 𝑠𝑠𝐿𝐿τ𝑑𝑑τ 𝑡𝑡 0 Elemento Gerador Há dois tipos de geradores ideais fontes de tensão e de corrente Uma fonte ideal de tensão fornece uma tensão eint independentemente da quantidade de corrente que esteja sendo retirada dela Admitese que a corrente sai pelo terminal positivo e retorna pelo terminal negativo Uma fonte de corrente ideal que fornece uma corrente especificada Iint independentemente da tensão que ele esteja submetido O seta na fonte de corrente indica a convenção positiva para o fluxo de corrente Sistemas Elétricos Para a modelagem de sistemas elétricos aplicase a lei de Kirschoff das tensões que estabelece que a soma algébrica de todas as tensões através dos elementos em qualquer caminho fechado malha é igual a zero Há também a lei de Kirchoff das correntes que estabelece que a soma algébrica de todas as correntes em um nó é igual a zero Exemplo circuito RLC série Considere o circuito RLC série da figura que contém dois elementos armazenadores de energia o indutor L e capacitor C Adotase um sentido positivo para circulação da corrente IL na malha Com esse sentido da corrente fica definido o sentido da queda de tensão em cada um dos componentes R L e C Aplicase então a lei de Kirchoff das tensões eR eL eC eint 0 A partir dos modelos dos elementos básicos podese escrever R IL L iL 1C IL d t eint 0 Considerando a definição de corrente elétrica I dqdt podese reescrever o modelo do circuito RLC por eint L qt R qt 1C qt II Analogia MecânicaElétrica Comparando o modelo do sistema massamolaamortecedor I com o circuito RLC série II notase que os modelos têm mesma estrutura e por isso são denominados sistemas análogos 𝐹𝐹em𝑡𝑡 𝑚𝑚 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑏𝑏 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑡𝑡 𝑠𝑠in𝑡𝑡 𝐿𝐿 𝑞𝑞𝑡𝑡 𝑅𝑅 𝑞𝑞𝑡𝑡 1 𝐶𝐶 𝑞𝑞t Com base semelhança podese fazer uma analogia entre parâmetros e variáveis dos dois sistemas Notese que a analogia é válida também para sistemas mecânicos de rotação fazendose as devidas trocas dos elementos básicos Mecânica força f posição x velocidade v massa m atrito b rigidez k Elétrica tensão e carga q corrente i indutância L Resistência R inv capac 1C Exemplo Sistema com dois graus de liberdade Considere esquema abaixo e determine as equações de movimento ou seja seu modelo Diagramas de corpo livre e aplicação da segunda lei de Newton A partir das equações dos movimentos é possível obter o circuito elétrico análogo e suas equações Note que cada grau de liberdade do sistema mecânico é caracterizado pela cinemática de cada massa Logo o circuito elétrico análogo terá duas malhas cada uma caracterizada por exemplo pelas correntes i1 e i2 O sentido da corrente i2 foi adotado coerente com o sentido da tensão e do gerador pois no sistema mecânico a força está coerente com o sentido positivo do deslocamento da massa M2 O sentido da corrente i1 está no mesmo sentido da corrente i2 pois o sentido de deslocamento da massa M1 é o mesmo da massa M2 Na massa M1 não há aplicação de força externa então a malha 1 do circuito não conterá gerador A malha da direita conterá um gerador pois no sistema mecânico a massa M2 está sujeita a uma força externa A cada umas das massas M1 e M2 corresponde um indutor L1 L2 cuja corrente é só da própria malha pois as acelerações da lei de Newton são absolutas Como há um elemento armazenador de energia entre os dois graus de liberdade do sistema mecânico haverá um elemento elétrico armazenador de energia entre as duas malhas Note que o elemento armazenador de energia não pode ser um indutor logo será um capacitor Da mesma forma que o deslocamento da mola é devido ao movimento relativo a carga armazenada no capacitor também é devida a diferença das correntes das duas malhas Com base nesses argumentos o circuito elétrico análogo é As equações de cada grau de liberdade malha podem ser obtidos pela aplicação da lei de Kircchoff das tensões ou pelo mapeando das equações de movimento do sistema mecânico por meio de argumentos da analogia mecânicaelétrica malha 1 malha 2